曹盼盼，趙西卿

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

長(zhǎng)期以來(lái)，歐拉函數(shù)解的問(wèn)題一直是數(shù)論領(lǐng)域的一個(gè)引人關(guān)注的課題[1].在已有的四元?dú)W拉函數(shù)的研究基礎(chǔ)之上，本研究團(tuán)隊(duì)對(duì)其添加了常數(shù)且常數(shù)為完全數(shù)這一方面的研究產(chǎn)生了極大的興趣.這方面的研究會(huì)對(duì)后期任意常數(shù)的添加提供一種研究方法.對(duì)于任意正整數(shù)n，歐拉函數(shù)φ(n)定義為不大于n且與n互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù).歐拉函數(shù)在數(shù)論中有著重要的作用，近年來(lái)，有關(guān)歐拉函數(shù)的性質(zhì)以及歐拉方程吸引了很多學(xué)者的興趣[2].如張四保[3]、孫樹(shù)東[4]、魯偉陽(yáng)等[5]分別研究了當(dāng)k=3、k=7、k=5時(shí)方程φ(xy)=k(φ(x)+φ(y))可解性問(wèn)題；許霞等[6]、郭瑞等[7]、張四保等[8]等分別研究了歐拉方程φ(xy)=ak(φ(x)+φ(y))當(dāng)a=2、a=3、a=4時(shí)的正整數(shù)解的問(wèn)題；張明麗等[9]討論了φ(xy)=22·3(φ(x)+φ(y))歐拉方程的正整數(shù)解的問(wèn)題；張四保[10]還研究了當(dāng)k=4時(shí)歐拉函數(shù)方程φ(abc)=k(φ(a)+φ(b)+φ(c))的全部正整數(shù)解；楊張媛等[11]研究了三元變系數(shù)歐拉函數(shù)方程φ(abc)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)的全部正整數(shù)解；申江紅等[12]研究了三元變系數(shù)的歐拉方程φ(abc)=3φ(a)+4φ(b)+5φ(c)-14的全部正整數(shù)解；楊張媛等[13]研究了四元?dú)W拉函數(shù)φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)的正整數(shù)解，等.在此研究的基礎(chǔ)上，本文將研究以下歐拉函數(shù)：

φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)+6.

(1)

1 主要引理

引理3[7]對(duì)任意正整數(shù)n，n≥3時(shí)，φ(n)必為偶數(shù).

2 定理與證明

定理1 歐拉函數(shù)方程φ(abcd)=φ(a)+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)+6的正整數(shù)解有：(a,b,c,d)=(8,1,5,1),(12,1,5,1),(5,1,8,1),(5,1,12,1),(7,1,3,1),(7,1,4,1),(7,1,3,2),(7,2,3,1),(7,1,6,1),(9,1,4,1),(14,1,3,1),(4,3,5,1),(3,4,5,1).

同理可得φ(a)+2φ(b)+10≥φ(c)[φ(a)φ(b)-3]≥φ(a)φ(b)-3，即有(φ(a)-2)(φ(b)-1)≤15.

因此，可以分以下幾種情況討論.

情形1 當(dāng)(φ(a)-2)(φ(b)-1)<0時(shí)，則有φ(a)=1，φ(b)≥2或者φ(a)≥4，φ(b)<1(不存在).

情形1.1 當(dāng)φ(a)=1，φ(b)≥2時(shí)，有:

φ(abcd)=1+2φ(b)+3φ(c)+4φ(d)+7≥φ(b)φ(c)φ(d)，

即3φ(c)+4φ(d)+7≥φ(b)[φ(c)φ(d)-2]≥φ(c)φ(d)-2，

則有(φ(c)-4)(φ(d)-3)≤21.因此，可以繼續(xù)分情況討論.

1) 當(dāng)(φ(c)-4)(φ(d)-3)<0時(shí)，則有φ(c)=1,2，φ(d)≥4或者φ(c)≥6，φ(d)=1,2.

取φ(d)=4時(shí)，φ(abcd)=1+2φ(b)+3×1+4×4+6=26+2φ(b)≥4φ(b)，得φ(b)≤13，即2≤φ(b)≤13.由于a=1,2，c=1,2，d=5,8,10,12，經(jīng)檢驗(yàn)，方程(1)無(wú)解.

取φ(d)=6時(shí)，φ(abcd)=1+2φ(b)+3×1+4×6+6=34+2φ(b)≥6φ(b)，得φ(b)≤8，即2≤φ(b)≤8.由于a=1,2，c=1,2，d=7,9,14,18，經(jīng)檢驗(yàn)，方程(1)無(wú)解.

取φ(d)=8時(shí)，φ(abcd)=1+2φ(b)+3×1+4×8+6=42+2φ(b)≥8φ(b)，得φ(b)≤7，即2≤φ(b)≤6.由于a=1,2，c=1,2，d=15,16,20,24,30，經(jīng)檢驗(yàn)，方程(1)無(wú)解.

取φ(d)=10時(shí)，φ(abcd)=1+2φ(b)+3×1+4×10+6=50+2φ(b)≥10φ(b)，得φ(b)≤6，即2≤φ(b)≤6.由于a=1,2，c=1,2，d=11,22，經(jīng)檢驗(yàn)，方程(1)無(wú)解.

取φ(d)=4時(shí)，φ(abcd)=1+2φ(b)+3×2+4×4+6=29+2φ(b)，顯然，此式不成立，所以方程(1)無(wú)解.

取φ(b)=2時(shí)，有φ(abcd)=1+2×2+3φ(c)+4×1+6=15+3φ(c)，可得φ(c)=1與φ(c)≥6矛盾，所以方程(1)無(wú)解.

取φ(b)=4時(shí)，有φ(abcd)=1+2×4+3φ(c)+4×1+6=19+3φ(c)，可得φ(c)=1與φ(c)≥6矛盾，所以方程(1)無(wú)解.

取φ(b)=6時(shí)，有φ(abcd)=1+2×6+3φ(c)+4×1+6=23+3φ(c)，可得φ(c)=1與φ(c)≥6矛盾，所以方程(1)無(wú)解.

取φ(c)=6時(shí)，有φ(abcd)=1+2φ(b)+3×6+4×2+6=33+2φ(b)，顯然，此式不成立，所以方程(1)無(wú)解.

取φ(c)=8時(shí)，有φ(abcd)=1+2φ(b)+3×8+4×2+6=39+2φ(b)，顯然，此式不成立，所以方程(1)無(wú)解.

取φ(c)=10時(shí)，有φ(abcd)=1+2φ(b)+3×10+4×2+6=45+2φ(b)，顯然，此式不成立，方程(1)無(wú)解.

取φ(c)=12時(shí)，有φ(abcd)=1+2φ(b)+3×12+4×2+6=51+2φ(b)，顯然，此式不成立，方程(1)無(wú)解.

取φ(c)=16時(shí)，有φ(abcd)=1+2φ(b)+3×16+4×2+6=63+2φ(b)，顯然，此式不成立，方程(1)無(wú)解.

取φ(c)=18時(shí)，有φ(abcd)=1+2φ(b)+3×18+4×2+6=69+2φ(b)，顯然，此式不成立，方程(1)無(wú)解.

2) 當(dāng)(φ(c)-4)(φ(d)-3)=1時(shí)，則有φ(c)=5(不存在)，φ(d)=4，此時(shí)方程(1)無(wú)解.

3) 當(dāng)(φ(c)-4)(φ(d)-3)=2時(shí)，則有φ(c)=5，φ(d)=5(不存在)或者φ(c)=6，φ(d)=4.

取φ(c)=6，φ(d)=4時(shí)，有φ(abcd)=1+2φ(b)+3×6+4×4+6=41+2φ(b)，顯然，此式不成立，方程(1)無(wú)解.

4) 當(dāng)(φ(c)-4)(φ(d)-3)=4時(shí)，則有φ(c)=5，φ(d)=7(不存在)或者φ(c)=8，φ(d)=4或者φ(c)=6，φ(d)=5(不存在).

取φ(c)=8，φ(d)=4時(shí)，有φ(abcd)=1+2φ(b)+3×8+4×4+6=47+2φ(b)，顯然，此式不成立，方程(1)無(wú)解.

5) 當(dāng)(φ(c)-4)(φ(d)-3)=6時(shí)，則有φ(c)=5，φ(d)=9(不存在)或者φ(c)=10，φ(d)=4.

取φ(c)=10，φ(d)=4時(shí)，φ(abcd)=1+2φ(b)+3×10+4×4+6=53+2φ(b)，顯然，此式不成立，方程(1)無(wú)解.

6) 當(dāng)(φ(c)-4)(φ(d)-3)=8時(shí)，則有φ(c)=5，φ(d)=11(不存在)或者φ(c)=6，φ(d)=7(不存在)或者φ(c)=8，φ(d)=5(不存在)或者φ(c)=12，φ(d)=4.

取φ(c)=12，φ(d)=4時(shí)，φ(abcd)=1+2φ(b)+3×12+4×4+6=59+2φ(b)，顯然，此式不成立，方程(1)無(wú)解.

7) 當(dāng)(φ(c)-4)(φ(d)-3)=10時(shí)，則有φ(c)=5，φ(d)=13(不存在)或者φ(c)=14，φ(d)=4.所以，方程(1)無(wú)解.

8) 當(dāng)(φ(c)-4)(φ(d)-3)=12時(shí)，則有φ(c)=5，φ(d)=15(不存在)或者φ(c)=6，φ(d)=9(不存在)或者φ(c)=10，φ(d)=5(不存在)或者φ(c)=16，φ(d)=4.

取φ(c)=16，φ(d)=4時(shí)，φ(abcd)=1+2φ(b)+3×16+4×4+6=71+2φ(b)，顯然，此式不成立，方程(1)無(wú)解.

9) 當(dāng)(φ(c)-4)(φ(d)-3)=16時(shí)，則有φ(c)=5，φ(d)=19(不存在)或者φ(c)=6，φ(d)=11(不存在)或者φ(c)=8，φ(d)=7(不存在)或者φ(c)=12，φ(d)=5或者φ(c)=20，φ(d)=4.

取φ(c)=20，φ(d)=4時(shí)，φ(abcd)=1+2φ(b)+3×20+4×4+6=83+2φ(b)，顯然，此式不成立，方程(1)無(wú)解.

10) 當(dāng)(φ(c)-4)(φ(d)-3)=18時(shí)，則有φ(c)=5，φ(d)=21(不存在)或者φ(c)=22，φ(d)=4.

取φ(c)=22，φ(d)=4時(shí)，φ(abcd)=1+2φ(b)+3×22+4×4+6=89+2φ(b)，顯然，此式不成立，方程(1)無(wú)解.

11) 當(dāng)(φ(c)-4)(φ(d)-3)=20時(shí)，則有φ(c)=5，φ(d)=23(不存在)或者φ(c)=6，φ(d)=13(不存在)或者φ(c)=14，φ(d)=5(不存在)或者φ(c)=24，φ(d)=4.

取φ(c)=24，φ(d)=4時(shí)，φ(abcd)=1+2φ(b)+3×24+4×4+6=95+2φ(b)，顯然，此式不成立，方程(1)無(wú)解.

情形2 當(dāng)(φ(a)-2)(φ(b)-1)=1時(shí)，則有φ(a)=3，φ(b)=2(不存在)，所以方程(1)無(wú)解.

情形3 當(dāng)(φ(a)-2)(φ(b)-1)=2時(shí)，則有φ(a)=3，φ(b)=3(不存在)或者φ(a)=4，φ(b)=2.

1) 當(dāng)φ(c)=1時(shí)，有φ(abcd)=4+2×2+3×1+4φ(d)+6=17+4φ(d)，顯然，此式不成立，方程(1)無(wú)解.

2) 當(dāng)φ(c)=2時(shí)，有φ(abcd)=4+2×2+3×2+4φ(d)+6=20+4φ(d)≥16φ(d)，可得φ(d)=1.所以φ(abcd)=24，abcd=35,39,45,52,56,70,72,78,84,90.由于a=5,8,10,12，b=3,4,6，c=3,4,6，d=1,2，經(jīng)計(jì)算，方程(1)有解(a,b,c,d)=(5,3,3,1),(5,3,6,1),(5,3,3,2),(5,6,3,1),(8,3,3,1),(10,3,3,1).

情形4 當(dāng)(φ(a)-2)(φ(b)-1)=4時(shí)，則有φ(a)=3，φ(b)=5(不存在)或者φ(a)=4，φ(b)=3(不存在)或者φ(a)=6，φ(b)=2.

1) 當(dāng)φ(c)=1時(shí)，有φ(abcd)=6+2×2+3×1+4φ(d)+6=19+4φ(d)，顯然，此式不成立，方程(1)無(wú)解.

2) 當(dāng)φ(c)=2時(shí)，有φ(abcd)=6+2×2+3×2+4φ(d)+6=22+4φ(d)≥24φ(d)，可得φ(d)=1.所以φ(abcd)=26，該值不存在，方程(1)無(wú)解.

情形5 當(dāng)(φ(a)-2)(φ(b)-1)=6時(shí)，則有φ(a)=3，φ(b)=7(不存在)或者φ(a)=8，φ(b)=2.

1) 當(dāng)φ(c)=1時(shí)，有φ(abcd)=8+2×2+3×1+4φ(d)+6=21+4φ(d)，顯然，此式不成立，方程(1)無(wú)解.

情形6 當(dāng)(φ(a)-2)(φ(b)-1)=8時(shí)，則有φ(a)=3，φ(b)=9(不存在)或者φ(a)=4，φ(b)=5(不存在)或者φ(a)=6，φ(b)=3(不存在)或者φ(a)=10，φ(b)=2.

1) 當(dāng)φ(c)=1時(shí)，有φ(abcd)=10+2×2+3×1+4φ(d)+6=23+4φ(d)，顯然，此式不成立，方程(1)無(wú)解.

情形7 當(dāng)(φ(a)-2)(φ(b)-1)=10時(shí)，則有φ(a)=3，φ(b)=11(不存在)或者φ(a)=12，φ(b)=2.

1) 當(dāng)φ(c)=1時(shí)，有φ(abcd)=12+2×2+3×1+4φ(d)+6=25+4φ(d)，顯然，此式不成立，方程(1)無(wú)解.

情形8 當(dāng)(φ(a)-2)(φ(b)-1)=12時(shí)，則有φ(a)=3，φ(b)=13(不存在)或者φ(a)=4，φ(b)=7(不存在)或者φ(a)=8，φ(b)=3(不存在)或者φ(a)=14，φ(b)=2(不存在).所以方程(1)無(wú)解.

3 結(jié)語(yǔ)

基于本文對(duì)四元變系數(shù)的歐拉函數(shù)方程的研究方法，對(duì)以后四元以及四元以上的歐拉方程及添加常數(shù)的研究提供了一種有效的方法.