【摘要】本文由教學(xué)小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《簡(jiǎn)易方程》中的一道作業(yè)題展開(kāi)思考，論述教師向?qū)W生解釋“約定俗成”的“規(guī)定”的途徑，認(rèn)為教師要端正教學(xué)態(tài)度，明確學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，努力追尋數(shù)學(xué)本質(zhì)，完善教學(xué)資源體系。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 約定俗成 方程 算術(shù)思維

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2020）37-0103-02

平日的數(shù)學(xué)教學(xué)中，難免有學(xué)生質(zhì)疑那些不易解釋的問(wèn)題或規(guī)范。教師常利用“約定俗成”“一般來(lái)說(shuō)”“通常情況”等“專業(yè)術(shù)語(yǔ)”化解這類尷尬現(xiàn)象。大部分學(xué)生比較“識(shí)相”就此作罷，個(gè)別學(xué)生則繼續(xù)“較真”，最終難以心服口服。教師只能用這些敷衍的說(shuō)辭解決問(wèn)題嗎？教學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《簡(jiǎn)易方程》期間，筆者圍繞學(xué)生在練習(xí)環(huán)節(jié)出現(xiàn)的一個(gè)經(jīng)典錯(cuò)誤，從開(kāi)始的敷衍解釋，逐步追尋數(shù)學(xué)本質(zhì)，深入研究，成功解決問(wèn)題，治學(xué)態(tài)度和教學(xué)精神均獲得了不同程度的提升。

一、“約定俗成”無(wú)所不在

教學(xué)新授課《方程的初步認(rèn)識(shí)》后，筆者布置了一組作業(yè)，發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生不能正確地列方程。

如圖，繩子總長(zhǎng)為6米，被分成兩段，已知一段長(zhǎng)度為3.5米，另一段長(zhǎng)度為x米，列出正確的方程。

正確答案為“x+3.5=6”或“6-x=3.5”，而部分學(xué)生列出的方程為“x=6-3.5”或“6-3.5=x”，出現(xiàn)了經(jīng)典錯(cuò)誤，筆者隨即在作業(yè)反饋過(guò)程中提醒學(xué)生訂正此題。話音剛落，學(xué)生Z質(zhì)問(wèn)筆者。

生Z：老師，請(qǐng)問(wèn)這題我為什么錯(cuò)？

師：因?yàn)槟銢](méi)有列出正確的方程。

生Z：我列的是x=6-3.5，根據(jù)方程的定義，有未知數(shù)，是等式，哪里不對(duì)了？

筆者回憶觀摩這節(jié)課教學(xué)的多次經(jīng)歷，教師普遍認(rèn)為這樣的式子雖然符合方程的定義，但不合適、不自然，都會(huì)跟學(xué)生說(shuō)“一般規(guī)定，不列‘x=…這樣形式的方程”。于是筆者借助其他教師的方法向?qū)W生Z解釋。

師：一般我們規(guī)定不列“x=…”這樣的方程，不能將未知數(shù)單獨(dú)放在一邊，這是數(shù)學(xué)中“約定俗成”的規(guī)則。

生1：你列成這樣，跟算術(shù)方法有什么區(qū)別？

生2：對(duì)啊，那你還學(xué)方程干嗎呢？

生Z：我贊同這樣的寫(xiě)法其實(shí)和算術(shù)方法沒(méi)區(qū)別，但是我仍然覺(jué)得，x=6-3.5不能算錯(cuò)，既然在解方程中能出現(xiàn)，那么也可以列這樣的方程。

被學(xué)生Z這么步步緊逼，筆者決定認(rèn)真思考這個(gè)問(wèn)題。于是筆者查閱資料，借鑒他人觀點(diǎn)的同時(shí)自己思考，決定開(kāi)展一次拓展課教學(xué)。

筆者設(shè)計(jì)了兩道較為復(fù)雜的問(wèn)題，與繩子例題組成了對(duì)比題組。

第1題：一根6米長(zhǎng)的繩子被分成兩段，一段長(zhǎng)3.5米，另一段長(zhǎng)多少米？

第2題：同學(xué)們?nèi)タ措娪?，五年?jí)去了95人，五年級(jí)的人數(shù)比四年級(jí)的2倍多3人，四年級(jí)去了多少人？

第3題：學(xué)校買了6張桌子和8把椅子，共付了600元，每張桌子比椅子貴30元，桌椅的單價(jià)各是多少？

要求學(xué)生在算術(shù)方法或方程中選擇一種方法解決問(wèn)題。

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，第1題，運(yùn)用算術(shù)方法的學(xué)生更多;第2、3題，列方程的學(xué)生更多。于是筆者出示第二個(gè)任務(wù)——補(bǔ)齊每道題的另一種解法。

這一次，在解答第2、3題時(shí)，原本列出算式的學(xué)生很快列出了方程。而原本選擇列方程的學(xué)生，磕磕絆絆才能列出算式，勉強(qiáng)完成任務(wù)。

師：你們?cè)诹惺竭^(guò)程中有怎樣的感受？

生1：感覺(jué)第一題隨便選什么方法都可以。但是第2題、第3題好像列方程更簡(jiǎn)單。

生2：要是在課外學(xué)過(guò)和差問(wèn)題，肯定也覺(jué)得算術(shù)方法簡(jiǎn)單。

師：為什么后兩題大家會(huì)覺(jué)得列方程更簡(jiǎn)單，運(yùn)用算術(shù)方法反而有點(diǎn)難？

生3：因?yàn)榉匠炭梢灾苯痈鶕?jù)題目的數(shù)量關(guān)系寫(xiě)出來(lái)。

生4：方程中有未知數(shù)和已知數(shù)，能方便表示出數(shù)量關(guān)系，但是算術(shù)方法必須全部用已知數(shù)來(lái)表示，一旦數(shù)量關(guān)系復(fù)雜了就很難列式。

生5：對(duì)，而且算術(shù)方法在思路上需要反過(guò)來(lái)想，而列方程只要順著題目意思就行了。

師：看來(lái)大家有點(diǎn)頭緒了，那我們?cè)诹蟹匠虝r(shí)，能列“x=…”這樣的方程嗎？

生：不能。

生2：列方程的思路和算術(shù)方法的思路根本不一樣。這樣列方程，形式上是方程，思路上卻是算術(shù)方法了。

學(xué)生感受到算術(shù)方法和列方程思路的不同，筆者乘勝追擊，以第2題為例幫助學(xué)生分析兩者思維的異同。

師：方程是一種代數(shù)思維，而算術(shù)方法是算術(shù)思維。

師：如果用算術(shù)方法，需要逆向思維，通過(guò)已知條件的95人，還原四年級(jí)人數(shù)的2倍，再通過(guò)2倍關(guān)系，還原四年級(jí)人數(shù)。算術(shù)方法的每一步都指向一個(gè)中間量，用已知數(shù)推算出未知數(shù)，算術(shù)思維指向算法本身，大家首先想的是“這個(gè)問(wèn)題應(yīng)該怎么算”。

師：如果使用方程，通過(guò)等量關(guān)系列出方程，和問(wèn)題情境的描述相似，可以同時(shí)操作已知數(shù)和未知數(shù)，未知數(shù)參與計(jì)算，其代數(shù)思維的核心指向關(guān)系而非算法，利用未知數(shù)和已知數(shù)，在順向思維下尋求特定關(guān)系，再計(jì)算求得未知數(shù)。大家首先想的是“這個(gè)問(wèn)題和其他條件之間有什么關(guān)系”。

師：老師在這里用一個(gè)表格總結(jié)兩者的區(qū)別。

師：由此可見(jiàn)，方程的代數(shù)思維和算術(shù)思維區(qū)別很大，方程就是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立等式關(guān)系。從思維上來(lái)說(shuō)，就是化逆為順，淡化技巧。遇到復(fù)雜的題目，方程相較于算術(shù)法會(huì)更有優(yōu)勢(shì)。大家現(xiàn)在明白為什么“x=…”這樣的方程，名為方程，實(shí)為算術(shù)思維了吧？

二、剖析“約定俗成”

五年級(jí)學(xué)生處于認(rèn)識(shí)方程的起始階段，列出形如“x=…”或“…=x”方程的現(xiàn)象屢見(jiàn)不鮮，教師給出的不能這樣做的理由無(wú)非是“一般規(guī)定”“約定俗成”。慢慢地，這樣的解釋被大部分學(xué)生所接受，導(dǎo)致一些學(xué)生心存疑惑卻迫于教師權(quán)威而認(rèn)同服從。

筆者仔細(xì)分析問(wèn)題后，發(fā)現(xiàn)最初的錯(cuò)誤爆發(fā)點(diǎn)為繩子例題，這是一道非常簡(jiǎn)單的題目，正如學(xué)生反饋的那樣，方程或算術(shù)方法都容易，由于方程的解題規(guī)范復(fù)雜，學(xué)生更傾向選擇算術(shù)方法。于是筆者設(shè)計(jì)了兩道較為復(fù)雜的題目作為對(duì)比題。解決后兩題的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)慢慢發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系并不難找?？扇绻麌L試運(yùn)用算術(shù)方法，不僅需要逆向思考，還需要用已有條件表達(dá)出一些未知量，難度是比較大的。特別是第3題，需要用到假設(shè)策略，五年級(jí)學(xué)生還沒(méi)有學(xué)過(guò)，此時(shí)相較于算術(shù)方法，列方程反而成了上策。

以一組難度遞增的題目組作對(duì)比，學(xué)生才慢慢感受到，列方程和算術(shù)方法的思維方式完全不同，這在解答繩子例題時(shí)是難以感受到的，因此“x=…”這樣形式的方程，只是在形上可以定義為方程，但是在解題方式和思維方式上，完全就是算術(shù)方法。方程和算術(shù)在思維本質(zhì)上有哪些區(qū)別、方程思想的價(jià)值是什么等，學(xué)生難以靠自己的力量充分感知。

三、如何突破“約定俗成”

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，類似這樣的現(xiàn)象還有很多。作為教師，我們應(yīng)該怎樣合情合理地解釋這些“約定俗成”的規(guī)則呢？筆者從此次事件中，總結(jié)出以下教學(xué)途徑。

（一）端正治學(xué)態(tài)度，理解學(xué)生

“吾日三省吾身?！弊鳛榻處?，筆者常常問(wèn)自己：“今天對(duì)學(xué)生負(fù)責(zé)任了嗎？”一位負(fù)責(zé)任的教師，首先要端正自己的治學(xué)態(tài)度。

學(xué)生是一群?jiǎn)渭兊暮⒆樱處煴局鴮?duì)學(xué)生負(fù)責(zé)的態(tài)度嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)，才不會(huì)忽略每一個(gè)值得深挖的教學(xué)細(xì)節(jié)，才不會(huì)忽視每一名渴望新知的學(xué)生。當(dāng)教師無(wú)法聚焦那些值得探索的問(wèn)題時(shí)，面對(duì)學(xué)生的質(zhì)疑和追問(wèn)，應(yīng)做到不漠視、不傲慢，更不能倚仗教師的權(quán)威將一切歸結(jié)于約定俗成的規(guī)則而敷衍學(xué)生;要虛心面對(duì)，形成內(nèi)驅(qū)力，勇于探索，深入思考這些問(wèn)題，從而真正地理解學(xué)生的需求，理解學(xué)生探索知識(shí)的無(wú)畏精神。

（二）追尋數(shù)學(xué)本質(zhì)，支持學(xué)習(xí)

為什么面對(duì)這些問(wèn)題，教師會(huì)采用約定俗成的規(guī)則敷衍學(xué)生？筆者認(rèn)為原因普遍有二：第一，想要解決問(wèn)題，往往單憑教師的個(gè)人能力無(wú)法勝任;第二，過(guò)往的教學(xué)以及大部分教師普遍利用約定俗成的規(guī)則回應(yīng)學(xué)生，教師形成了習(xí)慣，很少有教師愿意投入大量的時(shí)間與精力去研究。

大多數(shù)教師內(nèi)心還是愿意對(duì)學(xué)生負(fù)責(zé)的，但無(wú)奈不知所措，只好作罷。因此，解決約定俗成的規(guī)則、難點(diǎn)，就是從“糾纏”邁向“究纏”。

從“糾纏”邁向“究纏”，意味著教師要將思考落實(shí)在數(shù)學(xué)層面，追尋數(shù)學(xué)的本質(zhì)。因此，教師需要認(rèn)真鉆研教材，理解教學(xué)目標(biāo)，結(jié)合具體情況和理解學(xué)情，完善已有的教學(xué)環(huán)節(jié)，或設(shè)計(jì)新的教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度研究這些約定俗成的規(guī)則，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)提供最大程度的支持。

如果教師本身并沒(méi)有鉆研出合理的方式，可以與學(xué)生共同探討，集思廣益，師生共同追尋數(shù)學(xué)本質(zhì)的過(guò)程，既是對(duì)學(xué)生最大程度的支持，也是對(duì)教師學(xué)習(xí)的支持。如此解決問(wèn)題就變得較為容易，至少有跡可循，不至于隨意敷衍。

（三）完善教學(xué)資源體系，提升學(xué)習(xí)能力

在解決問(wèn)題的過(guò)程中，會(huì)伴隨出現(xiàn)具備一定價(jià)值的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)或教學(xué)資源。教師要和學(xué)生一起深刻總結(jié)每一次解決類似問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，悉心歸納知識(shí)成果，構(gòu)建更加完善的教學(xué)資源體系。

比如在這次事件中，筆者設(shè)計(jì)了一次拓展教學(xué)課，總結(jié)了算術(shù)思維和代數(shù)思維的區(qū)別表，幫助學(xué)生歸納了更高階的知識(shí)內(nèi)容，同時(shí)也為今后的方程教學(xué)設(shè)定了更高的可選擇目標(biāo)。教師要和學(xué)生一起完善這些教學(xué)資源，為今后解決類似問(wèn)題提供高效的資源體系，在提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力的同時(shí)提升教師的學(xué)習(xí)能力。

【參考文獻(xiàn)】

[1]壯惠鈴，孫玲.從算術(shù)思維到代數(shù)思維[J].小學(xué)教學(xué)研究，2006（3）

[2]張齊華.獨(dú)辟蹊徑，建構(gòu)意義——《認(rèn)識(shí)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)與思考[J].教育視界，2016（4）

作者簡(jiǎn)介：王恒（1993— ），江蘇南京人，大學(xué)本科學(xué)歷，二級(jí)教師，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

（責(zé)編 劉小瑗）