李壽英 向琳琳 鄧羊晨

摘? ?要：為研究懸索橋吊索的尾流致振機(jī)理及準(zhǔn)定常理論在尾流致振中的適用性，進(jìn)行了一系列風(fēng)洞試驗(yàn)，測(cè)量得到尾流索股的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的空間分布情況，建立了尾流致振非定常理論分析模型，采用龍格-庫(kù)塔法求解方程，得到尾流致振響應(yīng). 結(jié)果表明：在5.2≤X≤5.6，1.1≤Y≤2.1的空間區(qū)域尾流索股發(fā)生明顯振動(dòng)，振動(dòng)頻率小于結(jié)構(gòu)固有頻率;在一個(gè)尾流致振周期內(nèi)，氣動(dòng)剛度力對(duì)尾流索股做正功，說(shuō)明尾流致振由氣動(dòng)剛度控制;基于準(zhǔn)定常理論的計(jì)算結(jié)果與非定常理論計(jì)算結(jié)果偏差較小，兩種理論得到的尾流致振機(jī)理一致.

關(guān)鍵詞：懸索橋;吊索;尾流致振;龍格-庫(kù)塔法;非定常理論;準(zhǔn)定常理論

中圖分類號(hào)：U448.25? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Theoretical Analysis on Wake-induced Vibration of

Suspension Bridges Hangers Based on Unsteady Theory

LI Shouying，XIANG Linlin，DENG Yangchen?

（Key Laboratory of Wind and Bridge Engineering （Hunan University） of Hunan Province，Changsha 410082，China）

Abstract：In order to investigate the mechanism of wake-induced vibration of the? suspension bridge hangers， and to verify the applicability of quasi-steady assumption in the research of the wake-induced vibration， a series of wind tunnel tests for two parallel circular cylinders were carried out to measure the aerodynamic derivatives of the downstream cylinder. Second， a theoretical analysis model of wake-induced vibration of the downstream cable was developed on the basis of the unsteady theory， and the Runge-Kutta method was adopted to numerically solve the motion equations to obtain the responses of wake-induced vibration. The results show that obvious oscillations of the leeward cable take place in the spatial region of 5.2≤X≤5.6 and 1.1≤Y≤2.1， and the vibration frequency of cable is slightly? less than its natural frequency. A positive work within a period is always done by the aerodynamic stiffness force if large amplitude vibration of wake-induced vibration takes place， which indicates that the aerodynamic stiffness force is the key factor to evoke the wake-induced vibration of the leeward cable. Moreover， the results based on the quasi-steady theory show small variation when compared with those based on the unsteady theory， and the wake-induced vibration mechanism obtained by the two theories is consistent.

Key words：suspension bridges;hangers;wake-induced vibration;Runge-Kutta method;unsteady theory;

quasi-steady theory

大跨度懸索橋吊索一般由多個(gè)（2，4或6）索股組成，吊索具有自重輕、柔度大、阻尼低的特點(diǎn)，極易發(fā)生各類風(fēng)致振動(dòng). 國(guó)內(nèi)外已有多座懸索橋觀測(cè)到了吊索的大幅風(fēng)致振動(dòng)現(xiàn)象，例如，日本明石海峽大橋[1]、丹麥大海帶東橋[2]及中國(guó)舟山西堠門(mén)大橋[3]. 然而，上述3座大橋吊索采用的減振措施不盡相同，這表明不同橋梁的吊索振動(dòng)機(jī)理可能不同. 為此，部分學(xué)者開(kāi)展了相關(guān)研究，Li等[4]和Chen等[5]通過(guò)試驗(yàn)研究了懸索橋橋塔周邊吊索振動(dòng)特性，指出橋塔尾流是引起吊索振動(dòng)的原因;張志田等[6]對(duì)西堠門(mén)橋纜索系統(tǒng)進(jìn)行了數(shù)值分析，指出主纜振動(dòng)引起的內(nèi)共振是吊索振動(dòng)的原因所在;李壽英等[7]在風(fēng)洞試驗(yàn)中重現(xiàn)了多索股吊索由于氣動(dòng)干擾所引發(fā)的尾流致振現(xiàn)象. 本文作者曾在西堠門(mén)橋觀測(cè)到在風(fēng)速為8 ～ 10 m/s情況下，同一吊點(diǎn)4根吊索中，位于背風(fēng)側(cè)的3根吊索發(fā)生劇烈振動(dòng)，而剩下的1根位于迎風(fēng)側(cè)的吊索基本靜止不動(dòng)[8]. 這表明吊索多索股之間的尾流氣動(dòng)干擾可能是吊索振動(dòng)的關(guān)鍵所在.

目前，氣動(dòng)干擾研究主要集中在輸電線和海洋立管等方面. 輸電線方面：Price[9]、Ko[10]以及Wardlaw等[11]通過(guò)風(fēng)洞試驗(yàn)測(cè)量了輸電線尾流導(dǎo)線的氣動(dòng)力系數(shù). Simpson[12]、Tusi等[13]以及Price等[14]通過(guò)建立理論分析模型，對(duì)輸電線的尾流致振進(jìn)行了理論研究. Hardy等[15]建造了一條五跨、全長(zhǎng)1.5 km的測(cè)試輸電線路，據(jù)此研究輸電線的尾流致振響應(yīng). 在海洋立柱方面：Huse[16]、Brika等[17]以及Sagatun等[18]在水中進(jìn)行了一系列氣彈模型試驗(yàn). Bleivins[19]、 Bokanian等[20]通過(guò)理論分析對(duì)海洋立管流致失穩(wěn)進(jìn)行了分析. 然而，無(wú)論是在自身結(jié)構(gòu)特性還是結(jié)構(gòu)布置上，懸索橋吊索與輸電線以及海洋立管均有很大的不同[21]， 目前專門(mén)針對(duì)懸索橋多索股間氣動(dòng)干擾的研究非常有限，并且，絕大多數(shù)已有氣動(dòng)干擾研究是建立在準(zhǔn)定常理論假設(shè)基礎(chǔ)上的，即認(rèn)為作用在物體上的氣動(dòng)力不受自身運(yùn)動(dòng)狀態(tài)影響，在研究中忽略因自身運(yùn)動(dòng)引起的氣動(dòng)自激力. 然而，李壽英等[22]對(duì)準(zhǔn)定常理論在風(fēng)雨振中的適用性研究表明，相比較于在準(zhǔn)定常理論假設(shè)基礎(chǔ)上得到的拉索和水線氣動(dòng)力，基于非定常理論得到的氣動(dòng)力更為精確，并且建議在精細(xì)化的風(fēng)雨振研究中應(yīng)采用非定常理論方法. 對(duì)于懸索橋吊索間復(fù)雜的氣動(dòng)干擾問(wèn)題，同樣有必要建立非定常理論分析模型，以此對(duì)準(zhǔn)定常理論的適用性進(jìn)行研究.

本文進(jìn)行了一系列風(fēng)洞試驗(yàn)，測(cè)量得到尾流索股的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的空間分布情況，建立了尾流致振非定常理論分析模型，采用Runge-Kutta數(shù)值法求解方程，得到尾流致振響應(yīng)，對(duì)尾流致振機(jī)理進(jìn)行了研究，其間，對(duì)比分析了基于非定常理論模型和準(zhǔn)定常理論模型的相應(yīng)計(jì)算結(jié)果.

1? ?風(fēng)洞試驗(yàn)

1.1? ?試驗(yàn)概況

尾流索股的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)采用強(qiáng)迫振動(dòng)方法識(shí)別，試驗(yàn)在湖南大學(xué)HD-2風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)室的高速試驗(yàn)段進(jìn)行，該試驗(yàn)段長(zhǎng)17 m、寬3 m、高2.5 m，試驗(yàn)風(fēng)速在0～58 m/s范圍內(nèi)連續(xù)可調(diào). 采用湖南大學(xué)自主研制的強(qiáng)迫振動(dòng)裝置識(shí)別尾流索股氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)，該裝置內(nèi)置兩臺(tái)B51型五分量桿式測(cè)力天平，可實(shí)現(xiàn)水平、豎直和扭轉(zhuǎn)3個(gè)方向的耦合運(yùn)動(dòng). 通過(guò)強(qiáng)迫振動(dòng)裝置驅(qū)動(dòng)尾流索股模型做特定頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，通過(guò)五分量天平測(cè)得作用在尾流索股上的氣動(dòng)力時(shí)程，位移時(shí)程采用激光位移計(jì)來(lái)測(cè)量. 試驗(yàn)數(shù)據(jù)采用DH5920動(dòng)態(tài)信號(hào)測(cè)試分析系統(tǒng)采集，風(fēng)速測(cè)量采用澳大利亞TFI公司的眼鏡蛇風(fēng)速儀.

采用兩根光圓柱來(lái)模擬懸索橋雙索股吊索，索股模型由不銹鋼軸和輕質(zhì)泡沫制作，模型直徑0.088 m、長(zhǎng)1.33 m，尾流吊索模型端板直徑0.25 m，試驗(yàn)?zāi)Ｐ腿鐖D1（a）所示. 迎風(fēng)索股模型安裝在數(shù)控移測(cè)架上，通過(guò)移動(dòng)移測(cè)架來(lái)調(diào)節(jié)兩索股模型的相對(duì)間距，尾流索股模型通過(guò)不銹鋼軸固定在強(qiáng)迫振動(dòng)裝置的天平上. 為保證流場(chǎng)的均勻性，對(duì)風(fēng)洞內(nèi)的強(qiáng)迫振動(dòng)裝置安設(shè)了整流罩，試驗(yàn)?zāi)Ｐ驮陲L(fēng)洞中的整體安裝情況如圖1（b）所示.

雙索股的空間位置定義如圖2所示，建立坐標(biāo)系xoy，其中坐標(biāo)原點(diǎn)o在迎風(fēng)索股中心，x軸與來(lái)流方向平行，y軸與來(lái)流方向垂直，定義無(wú)量綱坐標(biāo)X和Y：

式中：D為索股直徑.

考慮到懸索橋吊索實(shí)際間距及試驗(yàn)安全性，選定無(wú)量綱坐標(biāo)X和Y的測(cè)試范圍分別為[4，8]和[0，4]，測(cè)量間距步長(zhǎng)為ΔX = ΔY = 0.25，共包含289個(gè)相對(duì)位置. 從西堠門(mén)大橋吊索的觀察情況來(lái)看，在來(lái)流風(fēng)速約為10 m/s時(shí)吊索易發(fā)生大幅尾流干擾振動(dòng). 因此，試驗(yàn)風(fēng)速統(tǒng)一選定為10 m/s，對(duì)應(yīng)雷諾數(shù)為6.14 × 104. 詳細(xì)試驗(yàn)參數(shù)見(jiàn)表1.

1.2? ?氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)識(shí)別結(jié)果

參考橋梁主梁非定常氣動(dòng)自激力表達(dá)式，考慮尾流索股順、橫風(fēng)向2個(gè)自由度. 索股的非定常氣動(dòng)自激力（升力與阻力）可采用8個(gè)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)確定：

式中：ρ為空氣密度;U為來(lái)流風(fēng)速;Ki = ωi D /U（i = u，v）為與各向運(yùn)動(dòng)自由度相關(guān)的折算頻率;u、v、[u] 、[v] 分別為尾流索股模型的水平向和豎向位移以及水平向和豎向速度;H*

尾流索股氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)（P1*、P4*、P5*、P6*、H1*、H4*、H5*和H6*）空間分布情況如圖3所示. 從圖3中可看出，尾流索股的8個(gè)氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的分布沒(méi)有明顯的規(guī)律性. 但從圖3（b）中可觀察到，與順風(fēng)位移相關(guān)的H4*，其正數(shù)值高達(dá)80. 這表明與順風(fēng)位移有關(guān)的負(fù)氣動(dòng)剛度可能會(huì)引起吊索的振動(dòng). 圖3所示的試驗(yàn)數(shù)據(jù)將用來(lái)在第2節(jié)中確定吊索的非定常自激氣動(dòng)力.

2? ?尾流索股運(yùn)動(dòng)方程

假定迎風(fēng)索股固定不動(dòng)，將尾流索股簡(jiǎn)化為兩自由度振子，分別為順風(fēng)向和橫風(fēng)向，如圖4所示. 建立坐標(biāo)軸xoy，原點(diǎn)位于迎風(fēng)索股中心，x和y軸方向分別為順風(fēng)向和橫風(fēng)向，尾流索股在x和y軸方向的位移分別為u（t）和v（t），尾流索股上的作用力包括彈性力（kx u和ky v）、阻尼力（cx [u] 和cy [v] ）、慣性力（mx [u]和my [v]）及氣動(dòng)力（Fx和Fy）.

在圖4所示的力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，尾流索股的的運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為：

基于非定常理論，體軸坐標(biāo)系下尾流索股的氣動(dòng)力Fx和Fy為：

式中：Ur為尾流對(duì)尾流索股的局部相對(duì)風(fēng)速;CD為以局部風(fēng)速U進(jìn)行無(wú)量綱化的平均阻力系數(shù);CL為以局部風(fēng)速U進(jìn)行無(wú)量綱化的平均升力系數(shù).

局部相對(duì)風(fēng)速Ur與局部風(fēng)速以及尾流索股的運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)：

公式（6）（7）中正弦和余弦函數(shù)以及以局部風(fēng)速無(wú)量綱化的平均氣動(dòng)力系數(shù)（CD和CL）可進(jìn)行如下轉(zhuǎn)換：

式中：CD∞為下游索股處在上游索股尾流范圍外的阻尼系數(shù)，取CD∞ = 1.2.

式中：CD和CL分別為平均阻力和平均升力系數(shù)，采用文獻(xiàn)[19]中風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù).

采用Runge-Kutta法數(shù)值求解方程（4）（5），得到尾流索股響應(yīng).

為了對(duì)比，給出了基于準(zhǔn)定常理論推導(dǎo)得到的尾流索股的氣動(dòng)力表達(dá)式，如公式（17）（18）所示[19].

3? ?數(shù)值算例

3.1? ?尾流索股振動(dòng)特性

吊索結(jié)構(gòu)參數(shù)選用西堠門(mén)懸索橋吊索實(shí)際參數(shù)，具體參數(shù)見(jiàn)表2. 尾流索股的線密度mx = my = 31 kg/m，索股直徑D = 0.088 m，順風(fēng)向和橫風(fēng)向結(jié)構(gòu)頻率fx = fy = 0.40 Hz，結(jié)構(gòu)阻尼比ξx = ξy = 0.1%，來(lái)流風(fēng)速U = 10 m/s，空氣密度ρ = 1.225 kg/m3.

考慮到第1節(jié)中已識(shí)別的尾流索股氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的空間范圍，在5≤X≤7、0≤Y≤4，間距ΔX=ΔY=0.1空間范圍內(nèi)進(jìn)行了數(shù)值模擬，共計(jì)861個(gè)計(jì)算工況. 同時(shí)，為評(píng)估非定常氣動(dòng)自激力的影響，分別采用非定常和準(zhǔn)定常模型對(duì)尾流索股的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算.

圖5給出了基于非定常和準(zhǔn)定常兩種理論模型數(shù)值計(jì)算得到的尾流索股單邊最大振幅和振動(dòng)頻率空間分布情況. 從圖5中可看出在5.2≤X≤ 5.6、1.2≤Y≤2區(qū)域兩種理論模型計(jì)算得到的尾流索股均發(fā)生了明顯振動(dòng)，其中，非定常理論模型計(jì)算得到的最大振幅約為1.35D，略大于準(zhǔn)定常理論模型得到的最大振幅1.03D. 在振動(dòng)明顯的區(qū)域內(nèi)，兩種理論模型計(jì)算得到的索股的振動(dòng)頻率均略小于固有頻率，表明可能有氣動(dòng)負(fù)剛度存在. 圖6分別給出了基于非定常和準(zhǔn)定常兩種理論模型計(jì)算得到的X=5.4、Y=1.6工況處尾流索股位移時(shí)程和運(yùn)動(dòng)軌跡. 從圖6中可看出基于非定常理論模型計(jì)算得到的振幅要略大于準(zhǔn)定常理論模型計(jì)算結(jié)果，尾流索股運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓形、順時(shí)針?lè)较?

3.2? ?尾流索股振動(dòng)機(jī)理

尾流索股發(fā)生尾流致振時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡示意圖如圖7所示. 其中，點(diǎn)O1為尾流索股的初始位置，橢圓軌跡的中心點(diǎn)O2為尾流索股的動(dòng)平衡位置，點(diǎn)O3為尾流索股在運(yùn)動(dòng)軌跡上任意時(shí)刻的位置.

由于空氣密度與吊索密度相比很小，作用在索股上的氣動(dòng)質(zhì)量力可忽略不計(jì)，因此作用在尾流索股上的氣動(dòng)力包含三部分：與位移和速度均無(wú)關(guān)的定常氣動(dòng)力Fam、與位移相關(guān)的氣動(dòng)剛度力Fas和與速度相關(guān)的氣動(dòng)阻尼力Fad. 其中，定常氣動(dòng)力Fam為尾流索股在某位置處?kù)o止時(shí)所受到的氣動(dòng)力，氣動(dòng)剛度力Fas和氣動(dòng)阻尼力Fad分別可由公式（19）（20）計(jì)算得到[21].

式中：Fam（O1） 和Fam（O3）分別為尾流索股在點(diǎn)O1和O3 位置處?kù)o止時(shí)所受到的定常氣動(dòng)力;Fa（O3）為尾流索股在點(diǎn)O3運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受到的總氣動(dòng)力，可由公式（15）～（18）計(jì)算得到.

圖8和圖9分別給出了基于非定常和準(zhǔn)定常兩種理論模型計(jì)算得到的典型工況的尾流索股氣動(dòng)剛度力和氣動(dòng)阻尼力時(shí)程. 從圖8和圖9中可以看出，基于準(zhǔn)定常理論計(jì)算得到的氣動(dòng)剛度力和氣動(dòng)阻尼力比非定常理論計(jì)算結(jié)果偏小，特別是氣動(dòng)阻尼力. 整體上，基于兩種理論模型計(jì)算得到的平均氣動(dòng)剛度力均比平均氣動(dòng)阻尼力大.

在將氣動(dòng)力各組成部分準(zhǔn)確分離的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)氣動(dòng)力各分量做功進(jìn)行分析，研究尾流索股的尾流致振機(jī)理. 圖10給出了基于非定常和準(zhǔn)定常兩種理論模型計(jì)算得到的典型工況尾流索股一個(gè)穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)的氣動(dòng)剛度力、氣動(dòng)阻尼力以及結(jié)構(gòu)阻尼力做功的功率時(shí)程. 對(duì)于結(jié)構(gòu)阻尼力，基于兩種理論模型計(jì)算得到的功率始終為負(fù)，表明結(jié)構(gòu)阻尼力在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)尾流索股做負(fù)功. 對(duì)于氣動(dòng)剛度力，兩種理論模型計(jì)算得到的結(jié)果均表明在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)氣動(dòng)剛度力對(duì)尾流索股做正功. 對(duì)于氣動(dòng)阻尼力，基于準(zhǔn)定常理論模型計(jì)算得到的功率始終為負(fù)，基于非定常理論模型計(jì)算得到的功率不僅出現(xiàn)正值而且出現(xiàn)負(fù)值，但是，從整體來(lái)看，做負(fù)功的總量仍然大于做正功的總量，表明氣動(dòng)阻尼力在一個(gè)周期內(nèi)對(duì)尾流索股做負(fù)功. 綜合上述分析，基于非定常和準(zhǔn)定常兩種理論模型計(jì)算得到的尾流致振機(jī)理是一致的，即尾流致振由氣動(dòng)負(fù)剛度驅(qū)動(dòng).

4? ?結(jié)? ?論

進(jìn)行了一系列風(fēng)洞試驗(yàn)，測(cè)量得到尾流索股的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的空間分布，在此基礎(chǔ)上建立了尾流致振非定常理論分析模型，采用Runge-Kutta數(shù)值法求解方程，得到尾流致振響應(yīng)，對(duì)尾流致振機(jī)理進(jìn)行了分析研究，并與準(zhǔn)定常理論對(duì)應(yīng)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析，得到如下主要結(jié)論：

1）在5.2≤X≤5.6、1.1≤Y≤2.1區(qū)域，尾流索股發(fā)生了較大振幅振動(dòng)，且在發(fā)生振動(dòng)的區(qū)域內(nèi)，振動(dòng)頻率小于固有頻率.

2）在一個(gè)穩(wěn)定振動(dòng)周期內(nèi)，氣動(dòng)剛度力做正功，表明氣動(dòng)剛度力是尾流索股尾流致振的關(guān)鍵因素，即尾流致振由氣動(dòng)剛度力驅(qū)動(dòng).

3）準(zhǔn)定常模型計(jì)算結(jié)果與非定常模型計(jì)算結(jié)果吻合較好，表明準(zhǔn)定常模型能較好地反映尾流致振主要特征.

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