王 雁

(四川信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 四川廣元 637000)

比色法是目前常用的一種檢測物質(zhì)濃度的方法， 即把待測物質(zhì)制備成溶液后滴在特定的白色試紙上， 等其充分反應(yīng)以后獲得一張有顏色的試紙， 再把該顏色試紙與一個標準比色卡進行對比， 就可以確定待測物質(zhì)的濃度了. 由于每個人對顏色的視覺差異和觀測誤差， 使得這一方法在精度上受到很大影響. 隨著照相技術(shù)和顏色分辨率的提高， 希望建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)量關(guān)系， 即只要輸入照片中的顏色讀數(shù)就能夠獲得待測物質(zhì)的濃度. 本文以溴酸鉀為例， 確定顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度之間的關(guān)系， 并建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)學(xué)模型.

1 問題分析和模型假設(shè)

由于比色法存在主觀上的視覺差異， 導(dǎo)致每一種物質(zhì)在同濃度下， 有一組或多組的顏色讀數(shù). 為了準確預(yù)測顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度間的關(guān)系， 對同濃度下所測得的讀數(shù)取均值， 用均值進行數(shù)據(jù)分析和模型建立.

首先討論B、 R、 G、 H、 S這五種色卡顏色的讀數(shù)與物質(zhì)濃度間是否存在相關(guān)性， 剔除其中相關(guān)性較弱的色卡， 選擇相關(guān)系數(shù)大的色卡進行建模. 其次， 由于觀察可知數(shù)據(jù)呈現(xiàn)明顯的遞增趨勢， 所以考慮建立一元線性回歸模型. 但是建模數(shù)據(jù)較少， 考慮建立灰色模型.

2 模型選擇和建立

實驗數(shù)據(jù)來自2017年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模比賽C題附件1(表1).

表1 同濃度的溴酸鉀在比色卡上的讀數(shù)

2.1 顏色讀數(shù)與物質(zhì)濃度相關(guān)性分析

圖1說明溴酸鉀在不同濃度下， 五種顯色卡讀數(shù)的變化情況.

圖1 色卡隨濃度變化情況

從折線圖可以看出， 色卡S隨著濃度逐漸增大而讀數(shù)也增大， 而色卡B、 G隨著濃度逐漸增大而讀數(shù)減小， H、 R色卡變化并不明顯. 為了增強觀察的可靠性， 進一步做相關(guān)性檢驗.

由表2可知， 除R色卡讀數(shù)不能確定物質(zhì)濃度之外， 其余色卡讀數(shù)均可確定物質(zhì)濃度， 選取相關(guān)系數(shù)較大的前三列B、 G、 S色卡作為建模數(shù)據(jù).

表2 濃度與色卡讀數(shù)的相關(guān)性分析

2.2 顏色讀數(shù)與物質(zhì)濃度的模型建立

2.2.1 一元線性回歸模型

經(jīng)過以上初步分析， 物質(zhì)濃度與顏色讀數(shù)存在線性關(guān)系， 因此考慮做一元線性回歸.

B色卡：Y=97.418-0.857X，R2=0.915

計算誤差可得表3結(jié)果.

表3 B色卡一元線性回歸模型與原始值間的殘差

G色卡：

Y=1385.395-9.882X，R2=0.761

計算誤差可得表4結(jié)果.

表4 G色卡一元線性回歸模型與原始值間的殘差

S色卡：

Y=-26.131+0.487X,R2=0.908

計算誤差可得表5結(jié)果.

表5 S色卡一元線性回歸模型與原始值間的殘差

由上述分析可知B、 S色卡擬合效果較好， 相關(guān)系數(shù)的平方和均達到了0.9以上. 其中B、 G、 S三種色卡所建立的模型標準誤差中， B色卡模型13.3361

2.2.2 灰色線性回歸模型

灰色線性回歸模型彌補了原線性回歸模型不能描述指數(shù)增長趨勢和GM(1,1)模型不能描述變量間的線性關(guān)系的不足， 因此該組合模型更適用于既有線性趨勢又有指數(shù)增長趨勢的序列.

事實上， 若有序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2), …,x(0)(n)) ，X(0)的一次累加序列為

X(1)=(x(1)(1),x(1)(2), …,x(1)(n))， 則稱

為灰色線性回歸組合模型. 針對B、 G、 H建立灰色線性回歸模型.

B色卡：

表6 B色卡灰色線性回歸模型與原始值間的殘差

G色卡：

表7 G色卡灰色線性回歸模型與原始值間的誤差

圖3 G色卡濃度變化情況

S色卡：

表8 S色卡灰色線性回歸模型與原始值間的殘差

圖4 S色卡濃度變化情況

通過對B、 G、 S色卡建立灰色線性回歸模型， 由圖2， 3， 4可直觀地看到， 預(yù)測值和原始值擬合效果非常好. 再由誤差分析可以得出， 利用灰色線性回歸建立的模型， 其殘差遠遠小于一元線性回歸模型. 其中B、 G、 S三種色卡所建立的模型標準誤差中， G色卡模型0.2511< B色卡模型1.4032

圖2 B色卡濃度變化情況

3 結(jié) 論

本文先對數(shù)據(jù)進行了相關(guān)性分析， 發(fā)現(xiàn)并不是所有的比色卡讀數(shù)都和濃度有相關(guān)關(guān)系， 特別是R色卡， 在不同濃度下沒有明顯差異， 基于此選擇相關(guān)性較大的三種比色卡進行建模分析. 首先嘗試建立了一元線性回歸模型， 在殘差分析中， 此模型精度差， 擬合效果不好. 而數(shù)據(jù)既有線性趨勢又有指數(shù)增長趨勢， 因此考慮建立灰色線性回歸模型來優(yōu)化擬合效果， 通過建立灰色線性回歸模型， 發(fā)現(xiàn)擬合效果優(yōu)于一元線性回歸模型.