高梅 曹小群 劉柏年 韓梓航 侯士成 陽國貴

摘要 提出基于動力學模態(tài)分解（Dynamic Mode Decomposition，DMD）的大氣運動數(shù)據(jù)分析方法，目的是改進對大氣運動特征的認識。首先，采用DMD方法對200 hPa急流運動流場進行模態(tài)分析，從中得到了急流天氣系統(tǒng)運動變化過程中的主要模態(tài)和對應(yīng)頻率以及模態(tài)隨時間衰減/增長等信息。這些模態(tài)是對流場演化特征的低維描述，反映了蘊含在流場中的動力學特征，可用于實現(xiàn)高維復雜流場的低維近似表示。其次，建立了200 hPa急流運動流場演化的動力學降階模型，能夠重構(gòu)和預(yù)測急流運動流場的動態(tài)發(fā)展過程。結(jié)果表明：通過對前6階主要模態(tài)所包含的流場信息進行對比分析，DMD方法成功捕捉到了200 hPa急流運動流場不同尺度的流動結(jié)構(gòu)，直觀地顯示了不同頻率流場之間的差別，表明了DMD方法在對復雜大氣動力學系統(tǒng)進行模態(tài)分解時的優(yōu)勢。通過不同時刻，模態(tài)疊加的重構(gòu)流場與真實流場的直觀比較，表明DMD方法只由前面6階模態(tài)就能基本包含原始流場的流動信息，從而實現(xiàn)流場的準確重構(gòu)。

關(guān)鍵詞 高空急流;動力學模態(tài)分解;降階模型;穩(wěn)定性分析;多尺度分析

在氣象環(huán)境預(yù)報保障和大氣科學研究中，準確描述和理解復雜大氣流體運動結(jié)構(gòu)變化和不穩(wěn)定機理至關(guān)重要（穆穆等，2003）。然而，近幾十年來，即使隨著計算機技術(shù)的高速發(fā)展和氣象觀探測儀器性能不斷提升，要準確量化地提取復雜大氣流體運動結(jié)構(gòu)依然非常困難。另一方面，在對大氣流動進行穩(wěn)定性分析時，需要對控制大氣運動的偏微分方程組進行大幅度簡化或者計算大型矩陣的逆和特征值，眾所周知大型矩陣計算代價巨大，且在大氣運動穩(wěn)定性分析中不存在普適性方法。而DMD（Dynamic Mode Decomposition）方法作為從整體穩(wěn)定性分析（Mezic'，2005;Rowley et al.，2009）的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種低維系統(tǒng)分解技術(shù)，不需要依賴任何具體的基函數(shù)，只需要一組時空數(shù)據(jù)就能分解得到流場多尺度運動模態(tài)的空間結(jié)構(gòu)及對應(yīng)頻率（Schmid and Sesterhenn，2008）;相比于現(xiàn)有的大數(shù)據(jù)處理算法，DMD方法具有模型簡單、數(shù)值穩(wěn)定性良好、計算效率高等特點，能夠給出準確的分析結(jié)果并為非線性動力系統(tǒng)提供簡化的線性模型（Tirunagari et al.，2017;Mohan et al.，2018）。

DMD方法由Schmid and Sesterhenn（2008）提出，基本思想是直接從實驗或數(shù)值模擬獲得的流場數(shù)據(jù)中提取出流場的動力學信息。Schmid（2010）對DMD方法在數(shù)學上進行了詳實的理論推導，并將其分別對在數(shù)值方法和實驗得到的流場數(shù)據(jù)進行分解，從中提取動力學模態(tài)信息，驗證了DMD方法的可靠性。Muld et al.（2012）應(yīng)用DMD方法對高速列車周圍流場的數(shù)值模擬結(jié)果進行處理，提取了關(guān)鍵性流場渦團結(jié)構(gòu)。Tu et al.（2014）等介紹了DMD與其他線性系統(tǒng)辨識方法的關(guān)聯(lián)和等價性。Rowley and Dawson（2017）綜述了DMD方法在模型降階、流場分析和控制等問題上的應(yīng)用。潘翀等（2010）率先開展了對DMD方法的應(yīng)用研究，將DMD方法應(yīng)用在NACA0015翼型加裝Gurney襟翼后的尾流流場分析中。研究表明，DMD方法能夠捕獲流場中的各階高頻諧波，為研究復雜流場中不同尺度的相干結(jié)構(gòu)提供了重要信息。張賓等（2015）對旋轉(zhuǎn)圓柱繞流的實驗數(shù)據(jù)進行了DMD處理，發(fā)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)圓柱與尾流結(jié)構(gòu)共振表現(xiàn)出低頻渦結(jié)構(gòu)特征，對相關(guān)工程領(lǐng)域避免事故的發(fā)生具有重要的指導意義。葉坤等（2016）采用DMD方法對超燃沖壓發(fā)動機凹腔流動的穩(wěn)定性進行分析，進一步理解了凹腔自激震蕩的機理。綜上所述，作為一種在不同領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的模態(tài)分解方法，DMD方法的優(yōu)勢在于不僅能夠獲得流場的動力學信息，還可以給出流場特征結(jié)構(gòu)的頻率和增長率等信息（秦文瑾等，2016;邵昱昌和王彤，2017）。DMD方法適用于分析復雜流體運動（洪樹立和黃國平，2017），同時在不同領(lǐng)域動力學系統(tǒng)建模方面具有廣闊應(yīng)用前景（寇家慶和張偉偉，2018;Tirunagari et al.，2017）。但是，將動力學模態(tài)分解方法應(yīng)用于大氣運動流場分析，尤其是平流層急流類型的天氣系統(tǒng)分析還未見相關(guān)的公開報道（潘留杰等，2018;許琪等，2018）。

本研究首次將動力學模態(tài)分解方法應(yīng)用于大氣運動流場數(shù)據(jù)分析中?；贓RA5再分析數(shù)據(jù)集，首先采用DMD方法對一段時間內(nèi)200 hPa急流運動速度場進行分解，提取了流場的主要模態(tài)以及頻率，分析了急流運動在時間和空間上的主要特征，且根據(jù)特征值獲得的模態(tài)增長/衰減率判斷出相應(yīng)模態(tài)的穩(wěn)定性。其次建立了200 hPa大氣急流運動演化的動力學降階模型，以重構(gòu)和預(yù)測流場動力學過程，評估了DMD方法在分析大氣運動流場特征的能力。

1 資料和方法

1.1 DMD方法基本原理

DMD方法是基于Koopman理論（Koopman，1931）發(fā)展起來的一種數(shù)據(jù)驅(qū)動的矩陣分解方法，結(jié)合了主成分分析（Shlens，2005）和傅立葉變換的優(yōu)點（Tirunagari et al.，2017），能夠同時提取出數(shù)據(jù)序列的空間模態(tài)及其對應(yīng)的頻率。

當殘差最小時，酉矩陣S的特征值近似表達了矩陣A的特征值，從而可通過分析低維矩陣S的特征值和特征向量來研究原高維度系統(tǒng)的時空特征。矩陣S可通過對流場快照矩陣VN-11進行QR分解獲得，但該方法容易產(chǎn)生病態(tài)矩陣，無法準確地提取流場的模態(tài)。因此Schmid and Sesterhenn（2008）提出通過奇異值分解對高階算子進行相似變換，得到系統(tǒng)的低階表達。該方法具有更好的數(shù)值穩(wěn)定性，現(xiàn)已成為動力學模態(tài)分解的標準算法。

1.2 大氣運動流場的DMD分析算法

DMD算法數(shù)學表達式簡單，計算易于實現(xiàn)，為許多流體力學問題的機理分析提供了新的有力工具。本文將DMD方法應(yīng)用于大氣運動流場分析，無論是高分辨率數(shù)值預(yù)報模式產(chǎn)生的預(yù)報場數(shù)據(jù)，還是全球變分資料同化系統(tǒng)產(chǎn)生的分析場都只是描述了某一個時刻大氣運動的狀態(tài)，即嚴格來說是瞬時狀態(tài)場（實際該時刻前后狀態(tài)變化不大），相當于對大氣運動狀態(tài)進行相機拍照后存儲下來，因此可以借用流體力學中的流動快照概念，命名為大氣運動快照。本文實際上是利用DMD方法對一段時間200 hPa大氣急流運動快照進行分析，采用標準DMD算法實現(xiàn)大氣運動流場的動力學模態(tài)分解，詳細說明如下：

以上，為對實現(xiàn)大氣運動流場動力學模態(tài)分解算法的簡單描述。獲得的最重要的結(jié)果是模態(tài)Φj和其對應(yīng)的特征值λj。log（λj）/Δt的實部對應(yīng)模態(tài)的增長率，表示模態(tài)隨時間的演化和發(fā)展情況，即是增長還是衰減;虛部對應(yīng)模態(tài)的頻率。在進行穩(wěn)定性判斷時，如果增長率為正，則對應(yīng)的模態(tài)不穩(wěn)定;如果增長率為負，則對應(yīng)的模態(tài)為穩(wěn)定模態(tài);若增長率為零則對應(yīng)的模態(tài)為周期性模態(tài)。同樣也可以將特征值置于復平面上進行判斷，對于中性穩(wěn)定的流動，大部分特征值都落在復平面上距離原點幅值為1的單位圓附近，對應(yīng)的模態(tài)為穩(wěn)定模態(tài);位于單位外的特征值對應(yīng)的模態(tài)是不穩(wěn)定模態(tài);位于單位圓上的特征值對應(yīng)的模態(tài)是周期性模態(tài)。

2 數(shù)值實驗結(jié)果及分析

使用的資料為歐洲中期天氣預(yù)報中心（European Center for Medium-Range Weather Forecasts，ECMWF）ERA5水平風場高分辨率再分析資料，資料的水平分辨率為0.25°×0.25°，時間分辨率為1 h（趙天保等，2010;高慶九等，2018），只分析垂直方向高度為200 hPa的平流層急流流場，提取流場的時間段為：2013年1月7日00時—12日23時，瞬態(tài)流場數(shù)量共計為144，分析區(qū)域為泛亞洲區(qū)（30°～150°E，25°～50°N）。

2.1 結(jié)果與分析

圖1為200 hPa急流運動流場DMD模態(tài)的特征值的分布情況。幾乎所有的特征值都落在單位圓附近，這表明DMD分解的200 hPa急流速度場數(shù)據(jù)是位于吸引集周圍的，也說明DMD分解得到的模態(tài)是中性穩(wěn)定的（Hemati et al.，2014）。由于處理的數(shù)據(jù)序列為實數(shù)，圖1中特征值呈共軛對稱分布，對稱中心對應(yīng)的頻率為零。圖1a中，橫軸為實部，縱軸為虛部?？招狞c表示在單位圓內(nèi)，對應(yīng)的模態(tài)為穩(wěn)定模態(tài);實心點表示在單位圓外，對應(yīng)不穩(wěn)定模態(tài)?？梢钥闯鼋^大部分模態(tài)為穩(wěn)定模態(tài)，且其對應(yīng)的特征值靠近單位圓，不穩(wěn)定模態(tài)極少。特征值取對數(shù)后的分布（圖1b）。其中，橫軸為虛部，縱軸為實部。空心點對應(yīng)的模態(tài)為穩(wěn)定模態(tài)，實心點對應(yīng)的模態(tài)為不穩(wěn)定模態(tài)。穩(wěn)定模態(tài)可以理解為對應(yīng)該時間段內(nèi)變化緩慢、逐漸消退的天氣過程;不穩(wěn)定模態(tài)則對應(yīng)該時間段內(nèi)逐漸發(fā)展增強的大氣流場結(jié)構(gòu)，對天氣系統(tǒng)的變化發(fā)展起主導作用（苗春生等，2018;張柳等，2020）。

圖2為200 hPa急流運動流場DMD模態(tài)幅值與對應(yīng)頻率和增長率之間的關(guān)系。其中頻率和增長率均經(jīng)過歸一化處理。根據(jù)式（20），模態(tài)幅值α代表了模態(tài)對初始時刻流場x1的貢獻。在物理意義上，幅值α的絕對值大小代表了各個模態(tài)攜帶著的能量/強度。圖2a中頻率對應(yīng)的模態(tài)幅值存在一個明顯的峰值，隨著模態(tài)頻率的增大對應(yīng)的幅值逐漸減小，即高頻模態(tài)對初始時刻流場的貢獻逐漸減小。圖2b中，空心點對應(yīng)的增長率為負，對應(yīng)的模態(tài)衰減;實心點對應(yīng)的增長率為正，對應(yīng)模態(tài)增長?？梢钥闯鼋^大部分模態(tài)的增長率為負，并集中在零附近，表明該部分模態(tài)隨時間緩慢衰減;極少數(shù)模態(tài)增長率為正。

表1為200 hPa急流運動流場前6階模態(tài)的增長率以及頻率。其中第1階模態(tài)增長率較小，頻率為零，其模態(tài)代表了流場中與時間無關(guān)的信息，近似于平均流場。第2～6階模態(tài)為共軛模態(tài)，其中第3、5階模態(tài)對應(yīng)的增長率為正，為不穩(wěn)定模態(tài)，對流場的變化發(fā)展起主導作用。其余模態(tài)為穩(wěn)定模態(tài)，在增長率上略有差異，頻率較小，呈緩慢衰減趨勢。

DMD方法能夠分解出流場不同z物理頻率代表的運動模態(tài)。在空間上低頻模態(tài)表示了較大尺度的運動特征、高頻模態(tài)表示的是小尺度特征。不同的模態(tài)代表了流場不同空間尺度的運動規(guī)律，這些流動模態(tài)疊加就形成了流場所體現(xiàn)出的主要特征。不同尺度的DMD模態(tài)與大氣科學中的大、中、小尺度沒有嚴格的對應(yīng)關(guān)系，后者對應(yīng)不同空間尺度的具體天氣系統(tǒng)。本文初次嘗試應(yīng)用DMD方法對大氣運動流場進行分解，僅對一個區(qū)域200 hPa的急流運動流場數(shù)據(jù)集進行分析，當利用DMD方法對全球大氣運動場數(shù)據(jù)進行分析時，得到的不同動力模態(tài)特征可能反映了全球大、中、小尺度大氣運動的特征，但考慮到大氣多尺度運動的復雜性，分解得到的不同大氣動力模態(tài)與全球大、中、小尺度大氣運動不可能具有完全的一一對應(yīng)關(guān)系。

200 hPa急流運動流場前六階DMD模態(tài)實部的空間形態(tài)分布如圖3所示，模態(tài)虛部并未展示，虛部與實部存在90°的位相差，模態(tài)均經(jīng)過歸一化處理。圖中偽彩色圖反映流場垂直渦度的分布，箭頭代表模態(tài)流場的速度矢量，特征值的實部為增長率，虛部為頻率。總的來說，獲得的六個模態(tài)分別展示了200 hPa急流的多尺度運動特征，具體分析如下。對于DMD模態(tài)而言，第一階模態(tài)對應(yīng)的增長率為負，頻率為零，故其對應(yīng)的DMD模態(tài)只有實部。

該模態(tài)流場結(jié)構(gòu)包含時間平均的流場信息，展現(xiàn)了急流流場中占主導地位的流動結(jié)構(gòu)。如圖3a所示，第一階模態(tài)流場的空間分布呈現(xiàn)出波動狀流動結(jié)構(gòu)，以緯向西風為主，這種特征在東西方向上呈一致的延伸，在80°E、25°～40°N以東區(qū)域存在一支較強的西風急流，急流軸位于25°～35°N附近，第一階模態(tài)的空間分布特征基本符合我們對西風急流空間結(jié)構(gòu)的認識。第二階模態(tài)實部也為負，為衰減模態(tài)，相比第一階模態(tài)，第二階模態(tài)在流場大尺度運動的背景上出現(xiàn)較大尺度的渦旋結(jié)構(gòu)，并呈現(xiàn)出氣旋、反氣旋交替分布的特點。需要注意的是模態(tài)中渦的旋轉(zhuǎn)方向并不代表流場中真實渦的旋轉(zhuǎn)方向，模態(tài)的空間分布結(jié)構(gòu)只是體現(xiàn)動力學模態(tài)分解對急流運動流場運動規(guī)律的提取，這些結(jié)構(gòu)無法從大氣運動瞬態(tài)流場中直接體現(xiàn)出來，因而DMD方法獲得的流場結(jié)構(gòu)具有非直觀性。第三階模態(tài)的空間分布與第二階模態(tài)類似，渦旋結(jié)構(gòu)明顯，但其特征值實部為正，為不穩(wěn)定發(fā)展模態(tài)。不穩(wěn)定模態(tài)對流場從穩(wěn)定平衡狀態(tài)到不穩(wěn)定發(fā)展狀態(tài)起主導作用，具有重要意義。第四階模態(tài)中，隨著頻率的增加渦旋結(jié)構(gòu)的尺度明顯減小、數(shù)量增多，空間結(jié)構(gòu)更為復雜，其對應(yīng)的增長率為負，為衰減模態(tài)。第五階模態(tài)空間分布同第四階模態(tài)類似，但其增長率為正，為不穩(wěn)定增長模態(tài)。第六階模態(tài)的頻率更高，流場的結(jié)構(gòu)尺度進一步減小，空間分布也更為雜亂。在物理上這些高頻模態(tài)代表了嵌入大尺度流場渦旋結(jié)構(gòu)這一動力過程中的典型各階小尺度擾動，這些模態(tài)可能源于大尺度渦旋流動對環(huán)境流體的卷攜作用，它們雖然在相干性上不及大尺度模態(tài)，但刻畫了流場的擴張。

由上述分析可得，DMD方法可以通過對一段時間大氣流場數(shù)據(jù)序列的分析，提取出該時間段內(nèi)流場不同頻率、不同尺度的相干結(jié)構(gòu)，這些結(jié)構(gòu)無法從大氣運動瞬態(tài)流場中直接體現(xiàn)出來，但是其對大氣流場內(nèi)部能量的轉(zhuǎn)移、大氣系統(tǒng)的不穩(wěn)定性都有很大的影響。因此，將DMD方法應(yīng)用在大氣運動分析上，有助于對大氣運動特征有更進一步的理解。

2.2 200 hPa急流流場的重構(gòu)和預(yù)測

為了進一步觀察DMD方法對大氣200 hPa急流運動流場特征的提取效果，基于動力模態(tài)分解獲得的200 hPa急流運動流場的前六階模態(tài)，根據(jù)式（19）建立大氣急流運動流場的降階模型，對流場進行重構(gòu)。

圖中偽彩色圖反映流場垂直渦度的分布，箭頭代表急流運動流場的速度矢量。如圖4所示，左側(cè)一列分別T=12 h、60 h、120 h的真實流場，右側(cè)為相應(yīng)時刻的重構(gòu)流場?？梢钥闯鋈齻€時刻重構(gòu)流場與真實流場的空間結(jié)構(gòu)基本吻合，充分說明DMD方法能夠準確地提取出大氣流場的主要結(jié)構(gòu)，并且分解得到的前幾階模態(tài)就包含了原始流場的大部分信息，從而在給定的時間段內(nèi)能夠給出原始流場的準確重構(gòu)。

根據(jù)式（19），利用DMD模態(tài)對200 hPa急流運動流場重構(gòu)后的低維表示可以對大氣動力學流場的動態(tài)發(fā)展過程進行近似預(yù)測，預(yù)測流場的時間范圍為2013年1月13日—16日，共96 h。圖5給出了采樣時間段和預(yù)測時間段模態(tài)系數(shù)（模態(tài)振幅/能量）隨時間的變化，由于第一階模態(tài)增長率和頻率都近似為零，因此沒有給出。其中圖5a為前6階模態(tài)中穩(wěn)定模態(tài)的模態(tài)系數(shù)隨時間的變化情況，可以看出穩(wěn)定模態(tài)的模態(tài)系數(shù)隨時間均表現(xiàn)為趨于收斂，這與表1中對應(yīng)模態(tài)增長率為負相對應(yīng);由表1可得穩(wěn)定模態(tài)增長率的絕對值為DM2>DM4>DM6，對應(yīng)圖中可以看出第二階模態(tài)系數(shù)的衰減速度最快，其次為第四階、第六階模態(tài)。

圖5b為不穩(wěn)定模態(tài)的模態(tài)系數(shù)隨時間的變化情況，可以看出不穩(wěn)定模態(tài)的模態(tài)系數(shù)緩慢地趨于發(fā)散，呈現(xiàn)出增長趨勢;由表1可得不穩(wěn)定模態(tài)的增長率絕對值為DM3>DM5，對應(yīng)圖中可以看出第三階模態(tài)隨時間的增長速率明顯大于第五階模態(tài)。

3 討論和結(jié)論

介紹了動力學模態(tài)分解方法（DMD）的基本理論及算法，提出在大氣科學數(shù)據(jù)中引入DMD方法進行大氣運動流場的多尺度分析，以200 hPa急流運動流場為研究對象，引入DMD方法進行分析，得出如下結(jié)論：

1）DMD方法成功捕捉到了200 hPa急流天氣系統(tǒng)運動變化過程中的主要模態(tài)和對應(yīng)頻率以及流場在不同頻率下的流動特點，包括不同頻率下模態(tài)的空間分布、能量/強度的分布及其穩(wěn)定性;并基于獲得的前6階模態(tài)建立了急流流場的降階模型，實現(xiàn)了流場的準確重構(gòu)。

2）相比傳統(tǒng)的模態(tài)分解方法，DMD方法可以有效獲得多尺度大氣運動中每個頻率運動模態(tài)的結(jié)構(gòu)信息，實現(xiàn)了從復雜大氣運動流場中提取單一頻率擬序結(jié)構(gòu)的能力。

3）通過DMD分解方法可以獲得大氣運動流場不同模態(tài)對應(yīng)的特征值，模態(tài)特征值的實部反映流場能量/強度在時間層面的增長和衰減程度，特征值的虛部可以反映流場結(jié)構(gòu)在時間層面的形態(tài)變化，通過特征值分析即可判斷大氣運動模態(tài)的穩(wěn)定性。

4）DMD方法分解得到的不同的模態(tài)代表了流場不同空間尺度的運動規(guī)律，零頻模態(tài)代表了大氣運動流場的基本流動結(jié)構(gòu)，大氣運動流場可以看作在這個基本流動結(jié)構(gòu)上疊加不同頻率的動力學模態(tài)，由此，將復雜的流動問題轉(zhuǎn)化為若干主要流動模態(tài)隨時間的演化。

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In this paper，a method of Dynamic Mode Decomposition（DMD） is proposed，so as to analyze the atmospheric motion data，with the aim of improving our understanding of atmospheric motion characteristics.The modal analysis of the 200 hPa jet is performed using the DMD method，andthe main modes，along with theircorresponding frequency and the decay/growth rate of flow，are obtained.Next，a dynamic reduced-order model of the evolution of the 200 hPa jet is established，which is able to reconstruct and predict the dynamic development process of the jet.The study results confirm that the DMD method is able to successfully capture the flow structures of different scales of the 200 hPa jet stream flow.The results also illustrate the differences between the flow with different frequencies，by comparing and analyzing the flow field information contained in the first 6-order main modes，thereby indicating the advantages of the DMD method in modal decomposition of complex atmospheric dynamic systems.The comparisons between the real and reconstructed flow fields by the mode superposition at different times indicate that the first 6-order modes contain the greatest amount of information regarding the original flow fields，from which they can be accurately reconstructed.

high jet;dynamic mode decomposition（DMD）;reduced-order model;stability analysis;multi-scale analysis

doi：10.13878/j.cnki.dqkxxb.20190516001

（責任編輯：袁東敏）