姬宏偉， 白 濤， 劉登峰， 欒金凱， 慕鵬飛

(西安理工大學(xué) 西北旱區(qū)生態(tài)水利國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 陜西 西安710048)

無(wú)資料地區(qū)的水文預(yù)測(cè)問(wèn)題(Prediction in Ungauged Basins，PUB)一直是水文學(xué)研究的重點(diǎn)和難點(diǎn)，得到了國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注[1]。流量歷時(shí)曲線(xiàn)(Flow Duration Curve，F(xiàn)DC)是反映流量在某一時(shí)段內(nèi)(或年內(nèi)某一季節(jié)、一年)超過(guò)某一數(shù)值持續(xù)天數(shù)的一種統(tǒng)計(jì)特性曲線(xiàn)，其縱坐標(biāo)為日平均流量，橫坐標(biāo)為超過(guò)該流量的累計(jì)日數(shù)，即歷時(shí)。如橫坐標(biāo)用歷時(shí)相對(duì)百分?jǐn)?shù)表示，則為相對(duì)歷時(shí)曲線(xiàn)，或稱(chēng)保證率曲線(xiàn)[2]。水利工程在設(shè)計(jì)時(shí)常需獲取FDC，以掌握工程所在地區(qū)的徑流特征。但是，由于部分中小型規(guī)模的水利工程往往位于無(wú)實(shí)測(cè)徑流資料地區(qū)，故無(wú)法直接由實(shí)測(cè)徑流資料得到FDC[3]。

長(zhǎng)期以來(lái)，估計(jì)無(wú)資料地區(qū)FDC的方法主要分為兩類(lèi)[4]：一是基于水文過(guò)程和統(tǒng)計(jì)的方法預(yù)測(cè)無(wú)資料地區(qū)FDC；二是根據(jù)物理成因機(jī)制，輔以流域水文模型以及降雨徑流相關(guān)假設(shè)，最后將有資料地區(qū)的模型參數(shù)移植到無(wú)資料地區(qū)。其中，統(tǒng)計(jì)的方法主要包含回歸方程[5-6]、地質(zhì)學(xué)統(tǒng)計(jì)方法[7]等，這些統(tǒng)計(jì)方法因操作簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)而備受青睞[8-9]。例如，楊邦等[10]采用FDC作為水文模型的擬合目標(biāo)，從而確定無(wú)資料地區(qū)的參數(shù)，為無(wú)資料地區(qū)水文模型參數(shù)的區(qū)域化提供了新思路；黃國(guó)如[11]通過(guò)對(duì)FDC的深入分析，得到了區(qū)域化的FDC，為無(wú)資料地區(qū)的徑流預(yù)測(cè)提供了一條簡(jiǎn)單有效的途徑。

然而，上述研究主要集中在一定的時(shí)間尺度，很少涉及或分析不同時(shí)間尺度下FDC之間的關(guān)系，而不同時(shí)間尺度的FDC在水文學(xué)中的用法不同[12]，因此，本文著重研究不同時(shí)間尺度下FDC之間的關(guān)系。本文以渭河流域支流8個(gè)代表性水文站為研究對(duì)象，利用單一概率分布模型進(jìn)行日徑流序列模擬，闡明不同時(shí)間尺度下FDC的相關(guān)關(guān)系，以預(yù)測(cè)無(wú)資料地區(qū)或僅有大時(shí)間尺度數(shù)據(jù)地區(qū)的日徑流過(guò)程。研究成果可為無(wú)實(shí)測(cè)資料地區(qū)FDC的推演提供一條簡(jiǎn)便可靠的途徑，并為無(wú)資料地區(qū)的水利工程規(guī)劃、設(shè)計(jì)、施工和運(yùn)行管理提供重要支撐。

1 區(qū)域概況及基本資料

渭河是黃河最大的支流，渭河流域位于黃土高原，分為西部黃土丘陵溝壑區(qū)和東部關(guān)中平原區(qū)兩部分。受地形等因素影響，流域產(chǎn)匯流體現(xiàn)出明顯的區(qū)域特征。流域內(nèi)降水分布由東南向西北遞減，南部秦嶺山麓降水豐富，年最大降水量在1 000 mm以上，降水量隨高程的降低而急劇減小，平原區(qū)年降水量約500 mm。研究區(qū)資料包括渭河流域支流8個(gè)水文站(武山站(H01)、秦安站(H02)、天水站(H03)、鳳閣嶺站(H04)、安頭站(H05)、黑峪口站(H06)、柳林站(H07)、馬渡王站(H08))2001—2016年的實(shí)測(cè)日平均流量數(shù)據(jù)，該數(shù)據(jù)來(lái)源于中華人民共和國(guó)水文年鑒(第4卷第7冊(cè))[13]。8個(gè)水文站的基本資料如表1所示，研究區(qū)域如圖1所示。

表1 各站的主要統(tǒng)計(jì)參數(shù)Tab.1 Main statistical parameters of each station

圖1 水文站和研究區(qū)域圖Fig.1 Hydrological station and study area map

2 研究方法

在日時(shí)間尺度上，由于日徑流過(guò)程是一個(gè)復(fù)雜的時(shí)間序列，流量值范圍橫跨多個(gè)數(shù)量級(jí)，因而很難找到可以準(zhǔn)確描述日徑流的概率分布，因此，對(duì)日徑流序列的模擬需要具有多個(gè)參數(shù)的復(fù)雜概率分布來(lái)完成[10]。

有多種方法可以對(duì)FDC進(jìn)行建模，且不同方法適用的區(qū)域不同[14]。本文在以往研究的基礎(chǔ)上，針對(duì)徑流序列的特點(diǎn)、模型的復(fù)雜度以及分布參數(shù)的個(gè)數(shù)，選取了三種分布函數(shù)來(lái)估計(jì)年內(nèi)日徑流序列的概率分布，如表2所示，利用建模FDC參數(shù)比較(M-FDC-P)[14]，通過(guò)計(jì)算不同時(shí)間尺度下經(jīng)驗(yàn)FDC參數(shù)，再基于Nash-Sutcliffe效率(NSE)和均方根誤差(RMSE)評(píng)價(jià)擬合效果的優(yōu)劣，得出適合該地區(qū)的最優(yōu)分布函數(shù)及參數(shù)，最終分析參數(shù)相關(guān)性以得到不同時(shí)間尺度下FDC之間的相關(guān)關(guān)系。

表2 分布函數(shù)Tab.2 Distribution function

M-FDC-P方法的步驟為：

步驟1 經(jīng)驗(yàn)FDC的估算。常用的繪制流量歷時(shí)曲線(xiàn)的方法主要分為總歷時(shí)法和多年平均歷時(shí)法?？倸v時(shí)法是對(duì)記錄期內(nèi)所有日徑流序列按照升序排序，然后求出各個(gè)流量的經(jīng)驗(yàn)頻率，從而得到 FDC 曲線(xiàn)；多年平均歷時(shí)法(又稱(chēng)年內(nèi)流量歷時(shí)曲線(xiàn))是先求出每年的 FDC，然后根據(jù)年內(nèi) FDC 求出中位數(shù)值(或均值)，并給出相應(yīng)的置信區(qū)間，其優(yōu)勢(shì)在于是利用統(tǒng)計(jì)的方法因而不受記錄期內(nèi)異常值的干擾(異?？菟秃樗??？倸v時(shí)法能夠反映流域的真實(shí)徑流特性，而多年平均歷時(shí)法則反映流域多年平均的徑流特性(該法FDC 曲線(xiàn)是處理后的曲線(xiàn))。因此，為了更真實(shí)地反映流域徑流情況，本文將采用總歷時(shí)法來(lái)繪制流量歷時(shí)曲線(xiàn)圖。

為了獲得每個(gè)流量的超過(guò)概率，使用weibull分布，因?yàn)樗峁┝顺龈怕实臒o(wú)偏估計(jì)，而且可以不考慮滿(mǎn)足底分布序列樣本的排序[15]：

(1)

式中：i代表序列的排序位置；n代表記錄期年數(shù)。Vogel 和 Fennessey[15]給出了幾種非參數(shù)方法用于繪制小樣本量的 FDC 圖，然而考慮到本文的樣本量較大，因此選擇weibull分布。

步驟2 擬合經(jīng)驗(yàn)FDC。對(duì)于各站點(diǎn)不同時(shí)間尺度下的FDC，分別利用指數(shù)函數(shù)、Gamma函數(shù)、對(duì)數(shù)正態(tài)分布進(jìn)行擬合，得到各個(gè)分布的參數(shù)。

步驟3 評(píng)估FDC模型的可靠性和適用性。通過(guò)擬合得到具體的參數(shù)，就可以繪制由參數(shù)確定的FDC。為了評(píng)估擬合FDC的優(yōu)劣性，使用Nash-Sutcliffe效率(NSE)和均方根誤差(RMSE)進(jìn)行評(píng)價(jià)，得到最優(yōu)概率分布。

步驟4 參數(shù)相關(guān)性分析。通過(guò)分析不同時(shí)間尺度下最優(yōu)概率分布參數(shù)的變化規(guī)律和評(píng)估分布參數(shù)之間的相關(guān)性來(lái)分析不同時(shí)間尺度下FDC之間的關(guān)系。

3 實(shí)例計(jì)算與分析

3.1 不同時(shí)間尺度下經(jīng)驗(yàn)FDC的變化

為了闡明FDC隨時(shí)間尺度的變化規(guī)律，分析各站在不同時(shí)間尺度下(1 d、7 d、15 d、30 d、90 d和365 d)的經(jīng)驗(yàn)FDC(分別對(duì)應(yīng)于每日、每周、半個(gè)月、每月、每季度和年度FDC)的變化規(guī)律。限于篇幅，本文只給出武山站在不同時(shí)間尺度下的經(jīng)驗(yàn)FDC，如圖2所示。

圖2 武山站經(jīng)驗(yàn)流量歷時(shí)曲線(xiàn)隨時(shí)間尺度的變化Fig.2 Empirical flow duration curve (FDC) variations with time scales for Wushan Station

由圖2可以看出，經(jīng)驗(yàn)FDC隨時(shí)間尺度變化緩慢，F(xiàn)DC在1 d的時(shí)間尺度上具有最大的斜率，然后隨著時(shí)間尺度變大，曲線(xiàn)變得逐漸平坦；當(dāng)時(shí)間尺度在1 d～30 d時(shí)，經(jīng)驗(yàn)FDC非常相似；當(dāng)時(shí)間范圍大于90 d時(shí)，F(xiàn)DC會(huì)出現(xiàn)明顯的差異。其余7個(gè)站點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)FDC的變化規(guī)律與武山站相同。

3.2 分布函數(shù)的優(yōu)選

利用8個(gè)站點(diǎn)的日徑流數(shù)據(jù)，從表2所列的3個(gè)分布函數(shù)中篩選出研究區(qū)域的最佳分布函數(shù)。表3、表4分別給出了研究區(qū)域內(nèi)各站在不同時(shí)間尺度下(1 d、7 d、15 d和30 d)的經(jīng)驗(yàn)FDC的NSE和RMSE值。

表3 不同站點(diǎn)各分布函數(shù)的NSE值Tab.3 NSE values of distribution functions at different sites

表4 不同站點(diǎn)各分布函數(shù)的RMSE值Tab.4 RMSE values of distribution functions at different sites

本文使用Nash-Sutcliffe效率(NSE)和均方根誤差(RMSE)來(lái)評(píng)價(jià)模型的性能。NSE是一個(gè)歸一化指標(biāo)，其值越接近于1表明模擬效果越好。圖3給出了8個(gè)站點(diǎn)不同時(shí)間尺度下FDC模擬效果的NSE值和RMSE值箱線(xiàn)圖，從箱線(xiàn)圖可以直觀看出這三種分布的模擬效果。對(duì)于絕大多數(shù)站點(diǎn)，Gamma函數(shù)具有NSE高、RMSE低的特征，其不同時(shí)間尺度下NSE和RMSE的中位數(shù)值都分別在0.85以上和0.04以下。根據(jù)以往研究成果[16]，可判定Gamma函數(shù)的性能最好，其次是對(duì)數(shù)正態(tài)分布函數(shù)，最差的是指數(shù)分布函數(shù)。綜上所述，在分布函數(shù)選取的過(guò)程中，推薦使用Gamma分布函數(shù)作為擬合日徑流的概率分布。

武山站和秦安站是渭河流域支流控制面積最大的兩個(gè)站，代表性較強(qiáng)。限于篇幅，本文選取武山站和秦安站作為典型站點(diǎn)，將1 d流量歷時(shí)曲線(xiàn)擬合值與實(shí)測(cè)值進(jìn)行對(duì)比分析。結(jié)果如圖4、圖5所示，可以看出：

圖4 武山站實(shí)測(cè)和擬合流量歷時(shí)曲線(xiàn)Fig.4 Measurement and fitting flow diachronic curve of Wushan Station

圖5 秦安站實(shí)測(cè)和擬合流量歷時(shí)曲線(xiàn)Fig.5 Measurement and fitting flow diachronic curve of Qinan Station

1) 利用Gamma分布擬合的FDC與實(shí)測(cè)的FDC比較吻合；

2) 由圖6可得，利用Gamma分布擬合的FDC，除了枯水部分的模擬值與實(shí)測(cè)值差異較大外，其它模擬值均在實(shí)測(cè)值的30%相對(duì)誤差區(qū)間內(nèi)，符合精度要求。

圖6 武山站實(shí)測(cè)與Gamma分布擬合的流量歷時(shí)曲線(xiàn)Fig.6 Flow duration curve fitted with measured and Gamma distribution at Wushan Station

3.3 基于 M-FDC-P 方法的 FDC 關(guān)系研究

對(duì)日徑流序列在不同時(shí)間尺度上取平均值，擬合成Gamma分布，并研究了Gamma分布參數(shù)之間的關(guān)系。如前所述，1～30 d時(shí)間尺度下的經(jīng)驗(yàn)FDC非常相似，可能具有很強(qiáng)的相關(guān)性，因此，本文將研究集中在1～30 d時(shí)間尺度上，且大時(shí)間尺度的流量數(shù)據(jù)更容易獲取。

為了評(píng)估Gamma分布參數(shù)隨時(shí)間尺度的變化，圖7給出了1～30 d時(shí)間尺度上8個(gè)水文站的FDC的三個(gè)Gamma分布參數(shù)的平均值。

圖7 1～30 d時(shí)間尺度下三個(gè)Gamma分布參數(shù)平均值的變化Fig.7 Change of the average value of the three Gamma distribution parameters in the time scale of 1～30 d

由圖7可看出，所有參數(shù)都隨著時(shí)間尺度逐漸變化，呈現(xiàn)出明顯的變化趨勢(shì)。對(duì)于參數(shù)b，它隨時(shí)間尺度增加而減少，在1 d時(shí)間尺度上最大為0.46，在30 d時(shí)間尺度上最小為0.35。參數(shù)a和c非常相似，均隨著時(shí)間尺度的增加而增加，但參數(shù)a的增加趨勢(shì)更為明顯。

研究不同時(shí)間尺度下Gamma分布參數(shù)的相關(guān)性。表5給出了1 d、7 d、15 d和30 d時(shí)間尺度下三個(gè)參數(shù)之間的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)。

表5 三種Gamma分布參數(shù)在不同時(shí)間尺度上的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)Tab.5 Linear correlation coefficients between three Gamma distribution parameters in different time scales

對(duì)于參數(shù)c，所有相關(guān)系數(shù)均超過(guò)0.64，表明參數(shù)c在1～30 d時(shí)間尺度內(nèi)存在較高的相關(guān)性。對(duì)于參數(shù)a和b，隨著時(shí)間尺度的增大，1 d FDC與其他時(shí)間尺度之間的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)逐漸減小。與參數(shù)c相比，不同時(shí)間尺度下參數(shù)a的相關(guān)性較弱。

從參數(shù)a和參數(shù)b來(lái)看，在1～30 d時(shí)間尺度之間其線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)顯著低于參數(shù)c，其中1 d與30 d的相關(guān)系數(shù)分別為0.297 9和0.479 8，均低于0.5，說(shuō)明相關(guān)性較弱。

所有參數(shù)中，參數(shù)c線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)最高，其最低時(shí)(1 d到30 d時(shí)間尺度之間)仍然超過(guò)0.6，顯示出較強(qiáng)的相關(guān)性。

4 結(jié)論與展望

本文以渭河流域8個(gè)水文站為研究對(duì)象，運(yùn)用M-FDC-P方法，對(duì)研究區(qū)域8個(gè)站點(diǎn)不同時(shí)間尺度上的FDC進(jìn)行研究。

1) 不同時(shí)間尺度下，經(jīng)驗(yàn)FDC隨時(shí)間尺度的增加而逐漸平坦，當(dāng)時(shí)間尺度在1～30 d時(shí)，經(jīng)驗(yàn)FDC非常相似；當(dāng)時(shí)間范圍大于90 d時(shí)，F(xiàn)DC會(huì)出現(xiàn)明顯的差異。當(dāng)利用單一概率分布擬合1～30 d時(shí)間尺度的FDC時(shí)，其在非洪水和非枯水部分的擬合效果較好，總體上能得到令人滿(mǎn)意的精度，但在FDC的尾部模擬效果較差，這表明利用單一概率分布估計(jì)整個(gè)日徑流變化過(guò)程是比較困難的，尤其是對(duì)于日徑流序列尾部的變化。

2) 分布函數(shù)優(yōu)選結(jié)果表明：Gamma分布為最優(yōu)分布，其次是對(duì)數(shù)正態(tài)分布函數(shù)，最差的為指數(shù)分布函數(shù)。對(duì)于絕大多數(shù)站點(diǎn)，Gamma函數(shù)均具有NSE高、RMSE低的特征，其不同時(shí)間尺度下NSE和RMSE的中位數(shù)值都分別在0.85以上和0.04以下。因此，以NSE和RMSE作為判據(jù)，選取 NSE 值最大、RMSE值最小的概率分布作為最優(yōu)分布，故本文推薦使用Gamma分布函數(shù)作為擬合日徑流的概率分布。

3) 通過(guò)分析1～30 d時(shí)間尺度下3個(gè)Gamma分布參數(shù)的相關(guān)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)不同時(shí)間尺度參數(shù)之間的線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)隨著時(shí)間尺度的增大而減小。其中參數(shù)c的相關(guān)性最好，除1 d與30 d最大時(shí)間尺度差異下參數(shù)c的相關(guān)系數(shù)為0.641外，其他相關(guān)系數(shù)均高于0.8；而對(duì)于參數(shù)a和b，其1 d與30 d的相關(guān)系數(shù)分別為0.297 9和0.479 8，均低于0.5，說(shuō)明相關(guān)性較弱。

上述分析研究表明，當(dāng)利用一個(gè)特定的概率分布對(duì)較大時(shí)間尺度FDC進(jìn)行建模時(shí)，可以考慮通過(guò)流量分布的內(nèi)在關(guān)系得到日徑流分布。本文中發(fā)現(xiàn)的關(guān)系可作為區(qū)域回歸模型的重要補(bǔ)充，用于估計(jì)無(wú)資料地區(qū)的日徑流過(guò)程，為今后研究區(qū)域內(nèi)供水工程的規(guī)劃及水資源優(yōu)化配置提供設(shè)計(jì)依據(jù)。

但是，水文過(guò)程是一個(gè)具有物理機(jī)制的自然過(guò)程，本文只利用特定的概率分布來(lái)對(duì)FDC進(jìn)行建模，無(wú)法得到準(zhǔn)確的模擬日徑流過(guò)程的概率分布，因此，在今后的研究中，可以考慮加入具有物理意義的水文模型來(lái)進(jìn)行模擬，未來(lái)的研究還將考慮分布參數(shù)的區(qū)域化，以便綜合利用7 d、15 d、月流量數(shù)據(jù)和其他信息來(lái)推演完整的日徑流過(guò)程。