楊振東

(廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律、動(dòng)力學(xué)特征及機(jī)械能守恒是探討簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的3個(gè)基本視角，也是求解振動(dòng)周期的3個(gè)典型路徑.其中，利用機(jī)械能守恒求振動(dòng)周期是物理競(jìng)賽中的典型方法(通常稱能量法)，其優(yōu)點(diǎn)在于不依賴受力分析而通過(guò)能量迅速得到簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，進(jìn)而將體系的振動(dòng)圓頻率和周期表示出來(lái).

1 能量法導(dǎo)出振動(dòng)周期

例1.半徑為R的半球形碗內(nèi)壁，一半徑為r(r

圖1 小球在碗內(nèi)做純滾動(dòng)

解析: 因小球做純滾動(dòng)，摩擦力不做功，因此整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)機(jī)械能守恒，即

式中vC、IC分別為小球的質(zhì)心速度及對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其中IC=mr2.上式化簡(jiǎn)為

兩端對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，整理得

可見(jiàn)，能量法實(shí)際上是利用機(jī)械能守恒方程求導(dǎo)來(lái)得出振動(dòng)周期，其優(yōu)點(diǎn)在于有效避免了繁雜的受力分析，為探討復(fù)雜情形的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)提供了一條捷徑.然而傳統(tǒng)的機(jī)械能守恒僅在慣性系下成立，因此非慣性系中的簡(jiǎn)諧振動(dòng)難以從機(jī)械能的角度進(jìn)行解釋，也無(wú)法再沿用能量法來(lái)求解振動(dòng)周期.這要求我們重新認(rèn)識(shí)非慣性系中的能量問(wèn)題.

2 非慣性系中的機(jī)械能守恒

非慣性系中即使僅存在保守力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能也不守恒，其原因在于無(wú)法避免慣性力做功帶來(lái)的機(jī)械能變化.因此，不妨著眼于慣性力做功的特點(diǎn)進(jìn)行探討.

設(shè)某參考系沿x軸方向以恒定加速度a=ai運(yùn)動(dòng)，在該參考系中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)中受一慣性力F=-mai，與重力對(duì)比不難發(fā)現(xiàn)，慣性力同樣具備做功與路徑無(wú)關(guān)的特征，因而可以引入相應(yīng)的慣性力勢(shì)能，形式上與重力勢(shì)能相同，即Ep*=max，x為該點(diǎn)到零勢(shì)能面的距離.

為慣性力引入相應(yīng)的勢(shì)能后，并把該勢(shì)能計(jì)入系統(tǒng)的總機(jī)械能，這樣機(jī)械能守恒的形式在非慣性系便可繼續(xù)沿用.在上述兩種非慣性系中，若質(zhì)點(diǎn)所受的力均為保守力，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有

Ek+Ep+Ep*=恒量，

其中Ek、Ep、Ep*分別表示質(zhì)點(diǎn)在系統(tǒng)中的動(dòng)能、勢(shì)能和慣性力勢(shì)能.[3]這就為非慣性系中應(yīng)用能量法求解諧振周期提供了可能.

3 能量法求解非慣性系簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期

例2.如圖2所示，質(zhì)量為m的物塊與一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連接，彈簧一端固定在傾角為θ的斜面上.斜面在外力作用下以水平向右的恒定加速度滑動(dòng)，現(xiàn)將物塊從平衡位置拉開(kāi)一小段距離后放手.證明此時(shí)物塊做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求出振動(dòng)周期.

圖2 勻加速斜面上的彈簧振子

解析： 取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)與重力勢(shì)能、慣性力勢(shì)能零點(diǎn)，設(shè)該處彈簧形變量為l，沿斜面向下為x軸正方向.由系統(tǒng)能量守恒可知，振子在斜面任意位置處，均有

上式左端各項(xiàng)依次為振子動(dòng)能、重力勢(shì)能、慣性力勢(shì)能及彈性勢(shì)能.將上式兩端對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，整理得

由于彈簧平衡處有mgsinθ+macosθ=kl，代入上式，整理可得

圖3 旋轉(zhuǎn)參考系下的復(fù)擺

解析： 振動(dòng)僅發(fā)生在穩(wěn)定的平衡位置處，欲證明θ=0處小球可發(fā)生簡(jiǎn)諧振動(dòng)，需證明此處為小球的穩(wěn)定平衡處.取圓盤(pán)作為參考系，系統(tǒng)中勢(shì)能包括重力勢(shì)能與離心勢(shì)能.

取懸點(diǎn)O′作為重力勢(shì)能零點(diǎn)，θ=0處為離心勢(shì)能零點(diǎn)，則小球在任意角位置θ處，總勢(shì)能為

解得小球的平衡位置為

可見(jiàn)θ=0處確為小球的平衡位置，進(jìn)而對(duì)其平衡穩(wěn)定性進(jìn)行探討.

在θ=0附近小球做小幅度擺動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)總機(jī)械能守恒，即

左端各項(xiàng)依次為重力勢(shì)能、離心勢(shì)能及擺球動(dòng)能.將上式兩端對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，整理得

其中I=ml2，因小幅度擺動(dòng)，sinθ≈θ，cosθ≈1，代入得

例4.如圖4所示，圓盤(pán)繞通過(guò)中心O點(diǎn)的豎直軸在水平面內(nèi)以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)量為m的小球被約束在圓盤(pán)上的光滑導(dǎo)軌AB內(nèi)運(yùn)動(dòng).小球與一勁度系數(shù)為k的彈簧相連(k>mω2)，彈簧另一端固定在圓盤(pán)A點(diǎn).彈簧原長(zhǎng)時(shí)小球位于P點(diǎn)，OP=r0，且OP⊥AB.將小球沿導(dǎo)軌拉開(kāi)一段距離后釋放.試證明小球做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求出振動(dòng)周期.[4]

圖4 勻速旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)中的彈簧振子

解析： 取圓盤(pán)作為參考系，設(shè)小球相對(duì)圓盤(pán)的速度為v，系統(tǒng)總機(jī)械能記為E，將離心勢(shì)能計(jì)入系統(tǒng)總能量，則小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中系統(tǒng)機(jī)械能守恒.取圓盤(pán)中心為離心勢(shì)能零點(diǎn)，則物體在任意位置處均有

由圖4可知

r2=r02+y2.

代入上式得

則

兩邊對(duì)時(shí)間微分，其中常量r0微分結(jié)果為0，則有

兩邊除以2v得

4 小結(jié)

將慣性系中求解簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期的能量法推廣到非慣性系中，利用機(jī)械能守恒方程對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，便可直接得出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)微分方程，有效避開(kāi)了復(fù)雜問(wèn)題情境中繁雜的受力分析.同時(shí)，為慣性力引入相應(yīng)的勢(shì)能并找到非慣性系中的機(jī)械能守恒這一路徑蘊(yùn)含了等效、守恒等物理學(xué)獨(dú)特的思維方法，其價(jià)值并不局限于解題，更在于鍛煉學(xué)生的物理思維，為落實(shí)科學(xué)素養(yǎng)的提升提供了可能.