蘇子灃

（閩清縣白中鎮(zhèn)中心小學(xué)，福建福州350806）

數(shù)學(xué)高階思維“常發(fā)生在元認(rèn)知、問題解決、應(yīng)用與創(chuàng)造性活動中，學(xué)生的思維經(jīng)歷聯(lián)系與轉(zhuǎn)化、抽象與擴(kuò)展、批判與監(jiān)控的過程?！保?］教師培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力是重要任務(wù)，也是課堂教學(xué)的重點(diǎn)問題。恰當(dāng)應(yīng)用開放題進(jìn)行教學(xué)，有助于學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)高階思維。小學(xué)數(shù)學(xué)開放題有條件開放題、方法開放題和結(jié)論開放題等。現(xiàn)以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中開放題的教學(xué)為例，談?wù)劷處熑绾紊罨_放題教學(xué)，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)高階思維能力。

一、經(jīng)歷聯(lián)系與轉(zhuǎn)化過程，用條件開放題培養(yǎng)學(xué)生高階思維

條件開放題就是問題中所提供的條件太多、太少或隱含，導(dǎo)致學(xué)生無法直接根據(jù)已有條件解決問題。解決條件開放題，學(xué)生要根據(jù)題目中的所有數(shù)學(xué)信息進(jìn)行分析、找出信息之間相互影響和相互制約的關(guān)系（即聯(lián)系），并把題目中的信息根據(jù)需要進(jìn)行適當(dāng)變化（即轉(zhuǎn)化），以便用所學(xué)知識順利解決問題。學(xué)生通過觀察、推理、聯(lián)想、抽象或概括等思維過程排除多余條件、發(fā)現(xiàn)隱含條件，建立知識間的聯(lián)系，對已有經(jīng)驗適當(dāng)加工或改造，就能在問題解決的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)高階思維。

六年級下冊P57有這樣一道習(xí)題：用1:200的比例尺，畫出你家房子的平面圖。每個學(xué)生家的房子形狀未必相同，所畫的平面圖也就可能大不一樣。有的大，有的小。要畫平面圖，學(xué)生需要知道相關(guān)數(shù)據(jù)才行，但題中只有一個比例尺。仔細(xì)分析一下，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件是這個圖形最多只能是長為29.7厘米、寬為21厘米的長方形（A4紙大?。?。教學(xué)時，教師要引導(dǎo)學(xué)生用整體的觀點(diǎn)進(jìn)行審題、找出隱含條件，發(fā)現(xiàn)這些信息中的聯(lián)系，再根據(jù)比例尺1:200畫房子的平面圖，從而把實際問題轉(zhuǎn)化為已知比例尺和實際距離求圖上距離的數(shù)學(xué)問題。畫圖前，教師要引導(dǎo)學(xué)生實際測量房子的相關(guān)數(shù)據(jù)，再根據(jù)實際數(shù)據(jù)和比例尺算出圖上的數(shù)據(jù)；畫圖時，教師要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)房子的造型構(gòu)思圖形，做到胸有成竹，再根據(jù)實際情況畫圖并及時修訂，最后展示平面圖、交流畫圖情況。

數(shù)學(xué)高階思維要求學(xué)生能根據(jù)問題信息及時轉(zhuǎn)換思路、把問題轉(zhuǎn)化為新問題，而且要求學(xué)生能主動發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對象之間的相互聯(lián)系。學(xué)生及時建立知識間的聯(lián)系是問題轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)對象之間建立的聯(lián)系越豐富、越深刻，學(xué)生分析問題和解決問題時的思維轉(zhuǎn)化就越靈活。學(xué)生把解決實際生活中的開放性問題所用的相關(guān)知識聯(lián)系起來，使開放性問題轉(zhuǎn)化為測量、計算圖上距離等問題，實現(xiàn)對已有知識網(wǎng)絡(luò)的整理和重組。學(xué)生對知識的聯(lián)結(jié)越強(qiáng)，解決開放題越順利，高階思維的形成與發(fā)展就越有可能。

二、經(jīng)歷抽象與擴(kuò)展過程，用方法開放題培養(yǎng)學(xué)生高階思維

方法開放題就是學(xué)生要解決的數(shù)學(xué)開放性問題的方法并不唯一，而是多種多樣。學(xué)生的不同思路可能會出現(xiàn)不同或相同的解題方法，學(xué)生的相同思路也可能會出現(xiàn)相同或不同的解題方法。學(xué)生可以從開放題的不同解題方法中抽取共性進(jìn)行描述，從而形成正確認(rèn)識（即抽象）；學(xué)生也可以從開放題最容易發(fā)現(xiàn)的方法開始思考，并擴(kuò)大思維方向，以便從不同角度發(fā)現(xiàn)不同方法，直至舉一反三地應(yīng)用到類似問題解決過程中（即擴(kuò)展）。解決方法開放題，學(xué)生要在抽象與擴(kuò)展中透過現(xiàn)象看本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)、概括出一般規(guī)律，并進(jìn)行知識的遷移、推廣和應(yīng)用，使學(xué)生在用不同思路解決問題的過程中發(fā)展高階思維。

五年級下冊P82有這樣一道習(xí)題，要求填空：

解決這道開放題時，有的學(xué)生通分，發(fā)現(xiàn)用20做公分母時，沒有符合條件的分?jǐn)?shù)；用40做公分母時，，符合要求的分?jǐn)?shù)是；用60做公分母時，符合要求的分?jǐn)?shù)是1360、1460（或730）……有的學(xué)生把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，發(fā)現(xiàn)，介于0.2和0.25的兩位小數(shù)有0.21、0.22、0.23、0.24，化成分?jǐn)?shù)分別是介于0.2和0.25之間的小數(shù)有0.201、0.202、0.203、0.204……把這些小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，可以得到很多符合要求的分?jǐn)?shù)。不同的解題方法，所用的知識不同，解決問題的過程也不同，學(xué)生的收獲也不同，構(gòu)建的問題解決模型不同，積累的解決問題經(jīng)驗也不同。學(xué)生可以把解決第一個問題所建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型和積累的相關(guān)數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗遷移應(yīng)用到第二個問題解決過程中。

培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的共識，將經(jīng)過抽象得到的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行廣泛應(yīng)用同樣重要。“某種程度上，擴(kuò)展也可看成是一種抽象，它是將抽象得到一般對象化到了更高的抽象層次。抽象思維與擴(kuò)展能力相輔相成，共同為數(shù)學(xué)高階思維領(lǐng)航”。［2］學(xué)生從不同角度思考問題，用不同方法解決問題，并在不同角度或方法之間進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化，最終殊途同歸。當(dāng)然，學(xué)生解決方法開放題需要辯證地看待不同方法之間的優(yōu)劣，甚至可以適當(dāng)進(jìn)行方法比較與優(yōu)化。

三、經(jīng)歷批判與監(jiān)控過程，用結(jié)論開放題培養(yǎng)學(xué)生高階思維

結(jié)論開放題的結(jié)論不確定，可以有多種答案。看問題的著眼點(diǎn)不同，探索出的結(jié)論可能也不同。學(xué)生需要根據(jù)已有信息探索符合條件的可能結(jié)論。如果學(xué)生對信息通過觀察、比較、分析、綜合、抽象、推理和概括并獲得結(jié)論后，教師要引導(dǎo)他們學(xué)會批判和監(jiān)控，也就是對已有結(jié)論要敢于質(zhì)疑，幫助學(xué)生在識別、分析和評價結(jié)論中監(jiān)控、調(diào)節(jié)思維過程。學(xué)生在批判和監(jiān)控自己或同學(xué)的數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)結(jié)論的過程中能有效發(fā)展高階思維。

六年級上冊P93有這樣一道開放題：

學(xué)生根據(jù)題目中的信息提出了一些數(shù)學(xué)問題，如：1.獲二等獎的有多少幅？2.獲三等獎的有多少幅？3.獲三等獎的比二等獎多多少幅？4.獲一等獎和二等獎的一共有多少幅？5.獲一等獎和三等獎的一共有多少幅？6.獲二等獎和三等獎的一共有多少幅？7.獲獎的一共有多少幅？8.沒獲獎的一共有多少幅……交流時，學(xué)生對問題有了爭議，焦點(diǎn)在獲三等獎的人數(shù)究竟用125×16%×（1+4%），還是用125×（16%+4%）表示。教師引導(dǎo)持不同觀點(diǎn)的學(xué)生進(jìn)行辯論，他們分別闡述了自己的想法和理由：持前一種的觀點(diǎn)學(xué)生認(rèn)為，比較量是獲二等獎的人數(shù)，4%是相對獲二等獎的人數(shù)（即125×16%）而言的；持后一種觀點(diǎn)的學(xué)生認(rèn)為4%是相對125幅畫而言的，并且指出如果用他們的方法，計算結(jié)果會出現(xiàn)小數(shù)，不符合生活實際情況。最后，持前一種觀點(diǎn)的學(xué)生主動否定了自己的想法，支持了后一種觀點(diǎn)。教師順其自然地引導(dǎo)學(xué)生要靈活、準(zhǔn)確地認(rèn)識比較量，由此有效發(fā)展了高階思維。