王燕貞，陳志翔

（1.漳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程學(xué)院，福建漳州363000；2.閩南師范大學(xué)物理與信息工程學(xué)院，福建漳州363000）

圖像分割是計(jì)算機(jī)視覺和圖像分析處理的關(guān)鍵技術(shù).由于各種原因，如設(shè)備缺陷、光照、采集傳輸?shù)冉?jīng)常會(huì)造成圖像存在灰度不均勻和噪聲問題.這些因素都會(huì)降低了圖像的分割精度.如何提高算法對(duì)噪聲圖像的分割精度和魯棒性是一個(gè)挑戰(zhàn)性課題.

圖像分割總體可以分為基于結(jié)構(gòu)和基于概率統(tǒng)計(jì)兩類方法.基于結(jié)構(gòu)最具代表性的是水平集方法，可分為基于邊緣和區(qū)域兩類模型.1997年Caselles 等提出活動(dòng)輪廓逼近目標(biāo)邊界方法后，很多學(xué)者相繼提出基于邊緣的改進(jìn)算法，文獻(xiàn)[1]引入可變區(qū)域系數(shù)結(jié)合改進(jìn)的邊緣停止函數(shù)區(qū)分噪聲和邊緣.文獻(xiàn)[2]在局部邊緣熵基礎(chǔ)上，重新定義邊緣熵?cái)M合能量函數(shù)以降低噪聲對(duì)圖像分割的影響.傳統(tǒng)的基于區(qū)域的模型無法分割灰度不均勻的圖像，因此很多改進(jìn)算法被提出，文獻(xiàn)[3]用鄰域信息定義能量泛函，結(jié)合正則項(xiàng)、弧長項(xiàng)合并到變分水平集公式中以達(dá)到去噪效果.但是這些方法對(duì)于存在高噪聲和灰度不均的圖像分割效果仍不佳.為了解決灰度不均和噪聲帶來的問題，唐文杰等[4]先使用Haar小波對(duì)含有噪聲和偏移場的醫(yī)學(xué)圖像進(jìn)行分解，從而獲取高頻低頻子圖分別存儲(chǔ)圖像的紋理細(xì)節(jié)和灰度，與此同時(shí)抑制噪聲.在四相雙水平集的基礎(chǔ)上引入偏移場進(jìn)行建模，分割低頻子圖后結(jié)合高頻子圖獲取粗分割結(jié)果，使用模型再次分割，得出最終結(jié)果.該方法克服了傳統(tǒng)水平集算法邊緣分割不清的缺陷，但由于進(jìn)行了圖像分解和兩次分割，耗時(shí)較長.文獻(xiàn)[5]針對(duì)亮度不均勻提出一種基于水平集的多尺度局部區(qū)域分割模型（MSF）.首先建立圓形區(qū)域通過多尺度濾波獲取局部強(qiáng)度信息，其次對(duì)歸一加權(quán)圖像構(gòu)造水平集能量泛函，最后依據(jù)最小化能量泛函準(zhǔn)則實(shí)現(xiàn)圖像分割.黃國鵬等[6]在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上，通過對(duì)多尺度濾波進(jìn)行微調(diào)來模擬偏移場，在一定程度上降低灰度不均勻?qū)Ψ指畹挠绊?在圖像經(jīng)過預(yù)處理后，再分別構(gòu)建基于偏移場校正和局部區(qū)域的兩個(gè)能量函數(shù).基于偏移場校正的能量函數(shù)優(yōu)點(diǎn)是對(duì)初始輪廓不敏感，缺點(diǎn)則是對(duì)嚴(yán)重灰度不均的圖像分割效果不佳；基于局部區(qū)域的能量函數(shù)優(yōu)點(diǎn)是對(duì)目標(biāo)邊界可進(jìn)行精確分割，缺點(diǎn)則是容易陷入局部極小解.為克服兩種能量函數(shù)的缺點(diǎn)，提升對(duì)灰度不均和噪聲圖像的分割魯棒性，模型引入自適應(yīng)權(quán)重函數(shù)構(gòu)建能量泛函，并使用梯度下降法進(jìn)行求解.

基于概率統(tǒng)計(jì)的具有代表性的是有限混合模型（FMM），F(xiàn)MM中常見的高斯混合模型（GMM）廣泛應(yīng)用于圖像分割.文獻(xiàn)[7]提出基于GMM 的分層改進(jìn)算法和鄰域信息約束算法，但對(duì)噪聲魯棒性不佳.SMM由于比GMM 具有更厚重的尾部，所以對(duì)噪聲的魯棒性更佳.這也是很多學(xué)者以SMM 為基礎(chǔ)，提出改進(jìn)算法的原因.文獻(xiàn)[8]提出一種基于馬爾可夫隨機(jī)場(MRF)的SMM用于腦部MR圖分割.該模型將原SMM中的先驗(yàn)概率替換為圖像像素空間信息，并使用EM 算法進(jìn)行求解.實(shí)驗(yàn)表明，引入基于MRF的像素先驗(yàn)概率聯(lián)合分布在一定程度上能夠克服噪聲對(duì)圖像分割的影響.文獻(xiàn)[9]將SMM和水平集相結(jié)合，提出一種基于SMM 的快速魯棒水平集分割方法.該方法構(gòu)造了水平集函數(shù)和SMM 模型之間的交互反饋，通過懲罰項(xiàng)與均值的偏差來增強(qiáng)數(shù)據(jù)保真度，從而重寫SMM 的成本函數(shù)，通過EM 進(jìn)行求解.實(shí)驗(yàn)表明，該方法能夠?qū)Σ煌愋偷膱D像進(jìn)行有效分割，具有一定的拓?fù)潇`活性，但實(shí)驗(yàn)樣本不含噪聲，未能體現(xiàn)該方法的抗噪性.

為了解決上述方法中對(duì)噪聲處理的不足之處，將Student’s t混合模型的t分布進(jìn)行多分類，提出一種多分類SMM模型應(yīng)用于高噪聲圖像分割.該模型在傳統(tǒng)SMM的基礎(chǔ)上進(jìn)行多分類處理，將模型中的t分布再次進(jìn)行混合重組，用新的SMM 代替t分布，利用t分布中的重尾特點(diǎn)和多重t分布混合重組克服圖像中的噪聲.通過對(duì)3 組不同樣本：含有9%高斯噪聲普通圖像、含有9%椒鹽噪聲普通圖像和含有9%噪聲的腦MR仿真圖進(jìn)行分割實(shí)驗(yàn)，以精確度（Accuracy）、信噪比（SNR）和DICE作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明本研究方法優(yōu)于其它方法.

1 模型原理

受文獻(xiàn)[7]的啟發(fā)，本文定義了一種多分類Student’s t 混合模型，并利用EM 算法進(jìn)行求解，通過最大化后驗(yàn)概率實(shí)現(xiàn)高噪聲圖像分割.

1.1 Student’s t混合模型

假設(shè)圖像X由N個(gè)像素點(diǎn)構(gòu)成，表示為X=(x1，x2，…，xN)，Student’s t混合模型由K個(gè)t分布構(gòu)成來對(duì)圖像X進(jìn)行描述，具體如下所示：

其中，Π =(π1，…，πk)，Θ =(Θ1，…，Θk)，πk為混合模型中第k個(gè)分量的權(quán)重，且滿足如下條件：

t(xi|Θk)是像素xi屬于第k個(gè)分量的概率密度函數(shù)，具體如式(3)和式(4)所示：

其中Γ為伽馬函數(shù)，Θk={μk，∑k，vk}代表第k個(gè)t分布的均值、協(xié)方差和自由度.

1.2 多分類Student’s t混合模型

為了降低噪聲和灰度不均對(duì)分割結(jié)果的影響，將傳統(tǒng)Student’s t混合模型中的t分布再次進(jìn)行分類處理.使用新的Student’s t混合模型對(duì)t分布進(jìn)行重新建模，即用Student’s t混合模型代替第kj個(gè)t分布.使用多分類Student’s t混合模型對(duì)圖像X進(jìn)行建模，假設(shè)圖像X由N個(gè)像素點(diǎn)構(gòu)成，被分為K個(gè)不同類別，且每個(gè)類別由R個(gè)t分布構(gòu)成.具體表示為式(5)：

其中，t(xi|Θjr)為t分布，參數(shù)集∏={πij，j=1，2…，K，i=1，2…，N}，πij表示像素點(diǎn)xi隸屬第j個(gè)類別的先驗(yàn)概率，ηjr表示此像素點(diǎn)隸屬第j個(gè)類別中第r個(gè)t分布的先驗(yàn)概率.參數(shù)集Θjk={μjr，∑jr，vjr，j=1，2…，K，r=1，2,…，R}.μjr，∑jr和vjr分別表示第j個(gè)類別中第r個(gè)t分布的均值、協(xié)方差和自由度.

根據(jù)式(5)，得到圖像X的聯(lián)合概率密度函數(shù)如式(6)所示：

1.3 最大期望值算法（EM）求解

為了快速求解多分類Student’s t混合模型，引入最大期望值算法（EM）獲取式(6)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)如式(7)所示：

由于式(7)求解復(fù)雜，引入新變量ui簡化多分類Student’s t混合模型求解，將模型中的t分布分解成伽馬函數(shù)和高斯分布，具體如式(8)和式(9)所示：

根據(jù)式(8)重新整理式(7)得到式(10)如下：

1.4 算法步驟

1)初始化圖像類別數(shù)K和多分類t分布的類別數(shù)R、設(shè)定最大迭代次數(shù)T，自由度vjk，隨機(jī)初始化πij、ηjr、μjr和∑jr，設(shè)置終止條件 1 ＜L(Π，Θ)t+1/L(Π，Θ)t＜1.001，其中t為迭代次數(shù)；

2)E步：根據(jù)式(9)和式(10)，計(jì)算ui、L(Π，Θ)；

3)M步：更新參數(shù)πij、ηjr、μjr、∑jr；

4)判斷是否滿足終止條件或達(dá)到最大迭代次數(shù)T，若滿足，則獲取最大化后驗(yàn)概率完成圖像分割；若不滿足，執(zhí)行步驟2)直至模型收斂.

2 實(shí)驗(yàn)及分析

2.1 樣本及評(píng)價(jià)指標(biāo)

實(shí)驗(yàn)樣本分3 類：1）含有9%高斯噪聲的普通圖像；2）含有9%椒鹽噪聲的普通圖像；3）含有9%噪聲仿真醫(yī)學(xué)影像數(shù)據(jù)中的去顱骨腦部磁共振（MR）圖.本研究方法多分類的Student’s t 混合模型MCSMM與k-means、GMM 和基于Dirichlet分布的Dgm[10]算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比評(píng)價(jià).評(píng)價(jià)圖像分割結(jié)果的優(yōu)劣，通常采用分割后圖像與標(biāo)準(zhǔn)分割的相似度來進(jìn)行評(píng)價(jià).圖像相似度評(píng)價(jià)指標(biāo)有多種，本文選取精確度（Accuracy）和信噪比（SNR）作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，具體如式(11)和式(12)所示.

其中Nx和Ny分別是圖像上行列像素個(gè)數(shù)，f(x，y)為待評(píng)價(jià)圖像灰度，f(x，y)?g(x，y)為去噪后圖像灰度.由式(11)和式(12)可知，Accuracy和SNR越高，表示分割精度越高，圖像視覺效果更好.

由于醫(yī)學(xué)圖像腦MR 圖的特殊性，另選取文獻(xiàn)[11]中基于區(qū)域重疊的DICE 作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，具體如式(13)所示：

其中Sseg表示待評(píng)價(jià)分割結(jié)果，Sgt表示標(biāo)準(zhǔn)分割.正常腦組織劃分為腦脊液（CSF）、灰質(zhì)（GM）和白質(zhì)（WM）.以DICE CSF、DICE GM 和DICE WM 分別代表分割后的腦脊液、灰質(zhì)和白質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)分割對(duì)應(yīng)腦組織的重疊區(qū)域面積.DICE值越大代表相對(duì)應(yīng)的腦組織重疊區(qū)域面積越大，分割結(jié)果越接近標(biāo)準(zhǔn)分割.

2.2 含有9%高斯噪聲普通圖像

圖1為本研究方法多分類Student’s t混合模型（MCSMM）與k-means、GMM 算法分割含有9%高斯噪聲普通圖像的結(jié)果.其中圖1a）為實(shí)驗(yàn)原圖，b）為在實(shí)驗(yàn)原圖上添加了9%高斯噪聲的效果圖，c）～e）分別為k-means、GMM 和MCSMM 的分割結(jié)果.表1為3 種算法在9%高斯噪聲下精確度和信噪比的對(duì)比結(jié)果.由圖1和表1可知，GMM 在含有大量高斯噪聲的圖像分割中，分割精度和信噪比表現(xiàn)較為不穩(wěn)定，k-means雖然在多幅圖像分割精度較為穩(wěn)定，但是分割精度仍然較低.本文方法MCSMM在對(duì)含有大量高斯噪聲圖像進(jìn)行分割時(shí)，表現(xiàn)良好.不但分割精度和信噪比得到了很大的提高，而且分割結(jié)果在視覺上表現(xiàn)更為理想.

圖1 9%高斯噪聲下分割結(jié)果Fig.1 Segmentation results with 9%Gaussian noise

表1 9%高斯噪聲下分割定量對(duì)比Tab.1 Quantitative comparison of segmentation with 9%Gaussian noise

2.3 含有9%椒鹽噪聲普通圖像

圖2為本研究方法MCSMM 與k-means、GMM 算法分割含有9%椒鹽噪聲普通圖像的結(jié)果.其中圖2a）為實(shí)驗(yàn)原圖，b）為含有9%椒鹽噪聲的圖像，c）～e）分別為k-means、GMM 和MCSMM 的分割結(jié)果.表2為3種算法在9%椒鹽噪聲下的Accuracy和SNR對(duì)比結(jié)果.由圖2和表2可知，GMM的分割精度和分割效果較差，k-means 算法在個(gè)別圖像上的分割效果要優(yōu)于GMM 算法.而MCSMM 由于對(duì)傳統(tǒng)的Student’s t混合模型進(jìn)行了分類處理，有著較強(qiáng)的抗噪性.對(duì)含有大量椒鹽噪聲的圖像進(jìn)行分割時(shí)，無論是分割精確度還是信噪比，比k-means和GMM都有了很大的提高.

圖2 9%椒鹽噪聲下分割結(jié)果Fig.2 Segmentation results with 9%salt and pepper noise

表2 9%椒鹽噪聲下定量對(duì)比Tab.2 Quantitative comparison of segmentation with 9%salt and pepper noise

2.4 含有9%噪聲腦MR仿真圖

圖3為本研究方法MCSMM 與k?means、GMM、Dgm 算法分割含有9%噪聲腦MR 仿真圖的結(jié)果.其中圖3a）為含噪聲實(shí)驗(yàn)原圖，b）標(biāo)準(zhǔn)分割，c）～f）分別為k?means、GMM、Dgm和MCSMM 的分割結(jié)果.表3～6為4種分割算法的Dice、精確度和信噪比3個(gè)指標(biāo)對(duì)比.由圖3和表3～6可知，Dgm的分割效果最差，對(duì)個(gè)別仿真圖腦脊液的分割結(jié)果非常不理想.從DICE 指標(biāo)看來，GMM 對(duì)腦脊液的分割略遜色于k?means，但是對(duì)白質(zhì)和灰質(zhì)的分割效果卻明顯優(yōu)于k?means 算法.精確度和信噪比指標(biāo)上，GMM 也優(yōu)于k?means.本文方法MCSMM 采用了Student’s t混合模型，比GMM 具有更長的拖尾，在SMM 的基礎(chǔ)上對(duì)其中的t分布進(jìn)行再次分類，用新的Student’s t 混合模型代替t 分布，以達(dá)到更好的抗噪效果.從Accuracy 和SNR 指標(biāo)可以看出，MCSMM 與GMM 相比，分割精度有了一定程度的提高，信噪比指標(biāo)也優(yōu)于GMM.從DICE 指標(biāo)可以看出，MCSMM對(duì)腦脊液、灰質(zhì)和白質(zhì)的分割精度與其他3種方法相比均為最優(yōu).

圖3 9%噪聲下腦部MR仿真圖分割效果Fig.3 Segmentation effect of brain MR simulation image with 9%noise

表3 第40張仿真圖9%噪聲下分割定量對(duì)比Tab.3 Quantitative comparison of segmentation with 9% noise in the 40th

表4 第50張仿真圖9%噪聲下分割定量對(duì)比Tab.4 Quantitative comparison of segmentation with 9%noise in the 50th simulation image

表5 第70張仿真圖9%噪聲下分割定量對(duì)比Tab.5 Quantitative comparison of segmentation with 9%noise in the 70th simulation image

表6 第98張仿真圖9%噪聲下分割定量對(duì)比Tab.6 Quantitative comparison of segmentation with 9%noise in the 98th simulation image

3 結(jié)論

本研究針對(duì)高噪聲圖像提出一種基于多分類Student’s t混合模型的分割算法.該模型在SMM 的基礎(chǔ)上引入多分類思想，將Student’s t混合模型中的t分布替換成Student’s t混合分布，利用多重t分布的厚尾特點(diǎn)，有效解決了高噪聲圖像分割時(shí)噪聲敏感問題.實(shí)驗(yàn)表明，本研究方法與k?means、GMM 和Dgm 方法相比，在對(duì)含有不同類型噪聲的圖像進(jìn)行分割時(shí)，都獲得了更好的分割效果，分割效果圖上的噪聲點(diǎn)也更少.但本研究的不足之處在于未考慮像素點(diǎn)的鄰域空間信息，因此在模型中加入像素空間約束，進(jìn)一步提高模型的抗噪性和對(duì)偏移場的魯棒性是下一步研究方向.