張 俊，郭道省

（陸軍工程大學(xué)，通信工程學(xué)院，江蘇 南京 210007）

0 引言

近年來(lái)，隨著5G 技術(shù)的飛速發(fā)展和設(shè)備通信范圍的穩(wěn)定增長(zhǎng)，以及對(duì)基于位置的服務(wù)的需求，目標(biāo)定位已廣泛用于軍事和民用領(lǐng)域，如環(huán)境監(jiān)控，路由和頻譜共享，物聯(lián)網(wǎng)，人群感知，應(yīng)急服務(wù)[1-5]。

為了保持較低的執(zhí)行成本、計(jì)算復(fù)雜度和對(duì)所有地形的適用性，限制了現(xiàn)有全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)（global navigation satellite system，GNSS) 的 使用。從測(cè)量中估計(jì)位置信息的方法主要有到達(dá)時(shí)間（time of arrival，TOA）、到達(dá)時(shí)差（time difference of arrival，TDOA）、接收信號(hào)強(qiáng)度（received signal strength，RSS）和到達(dá)角（angle of arrival，AOA)，文獻(xiàn)[6]中對(duì)以上方法都有相關(guān)介紹。盡管基于單一測(cè)量的目標(biāo)定位估計(jì)具有低復(fù)雜度、低成本的優(yōu)點(diǎn)，但估計(jì)精度仍有很大的提高空間。因此，為了提高定位系統(tǒng)的精度和可靠性，提出了基于多量測(cè)的混合定位系統(tǒng)[7-10]。

使用混合RSS 和AOA 數(shù)據(jù)定位目標(biāo)位置是一個(gè)非凸優(yōu)化問(wèn)題。為了真正解決這個(gè)問(wèn)題，文獻(xiàn)[7]中使用RSS 和AOA 信息從發(fā)射器地理位置推導(dǎo)了最小二乘估計(jì)和最大似然估計(jì)，由于未考慮傳感器的陰影衰落，會(huì)導(dǎo)致比較大估計(jì)誤差。文獻(xiàn)[8]中作者使用球坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和可用的AOA 觀測(cè)值建立了測(cè)量值與未知目標(biāo)位置之間的新關(guān)系，并在未知發(fā)射功率下推導(dǎo)了簡(jiǎn)單的閉式解。在文獻(xiàn)[9]中，當(dāng)傳感器在未知的傳輸功率和路徑損耗系數(shù)下隨機(jī)部署時(shí)，作者提出了加權(quán)最小二乘法估計(jì)器來(lái)估計(jì)位置。在文獻(xiàn)[10]中，作者通過(guò)在非合作和合作定位問(wèn)題下使用凸松弛技術(shù)，將這些混合估計(jì)量轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃（semi-definite programming，SDP）和二階錐規(guī)劃（second-order cone programming，SOCP）問(wèn)題。上述研究并未充分考慮實(shí)際環(huán)境中節(jié)點(diǎn)之間陰影衰落的相關(guān)性。

在本文中，假設(shè)陰影衰落在傳感器之間具有空間相關(guān)性，從觀測(cè)模型開(kāi)始，提出的路徑損耗模型考慮了許多因素。通過(guò)貝葉斯層次模型，將度量模型轉(zhuǎn)化為數(shù)據(jù)模型、過(guò)程模型和參數(shù)模型三階段模型。該模型能較好地說(shuō)明空間相關(guān)的陰影衰落問(wèn)題。然后，利用貝葉斯理論得到未知信道模型參數(shù)的后驗(yàn)概率分布，并用馬爾可夫鏈蒙特卡洛（Markov chain Mento Carlor,MCMC）計(jì)算出后驗(yàn)概率分布，并用于估計(jì)未知位置的位置。

1 RSS-AOA 定位問(wèn)題描述

1.1 問(wèn)題介紹

本文考慮了一個(gè)二維混合RSS-AOA 定位網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，規(guī)則的節(jié)點(diǎn)部署分布如圖1 所示，其中包含一個(gè)目標(biāo)節(jié)點(diǎn)、一個(gè)初始節(jié)點(diǎn)和N個(gè)錨節(jié)點(diǎn)（ANs）。未知的目標(biāo)節(jié)點(diǎn)為s=[sx,sy]∈?2，已知的隨機(jī)初始節(jié)點(diǎn)i=[ix,iy]∈?2，錨節(jié)點(diǎn)為ai=[aix,aiy]∈?2，i=1,2,…,N,利用一個(gè)分層模型來(lái)整合距離和角度來(lái)估計(jì)目標(biāo)位置，通過(guò)結(jié)合RSS 和AOA 測(cè)量來(lái)提高估計(jì)精度。

圖1 規(guī)則的節(jié)點(diǎn)分布圖

初始點(diǎn)l=[lx,ly]∈?2傳輸信號(hào)，其他的錨節(jié)點(diǎn)接受信號(hào)生成訓(xùn)練集，用于在貝葉斯分層模型匯總計(jì)算空間相關(guān)性和估計(jì)參數(shù)。訓(xùn)練集的結(jié)構(gòu)表示如下：

其中P=[P1,P2,…,PN]，?=[?1,?2,…,?N]分別表示RSSs 和AOAs 的測(cè)量值，Pi,?i表示第i個(gè)錨節(jié)點(diǎn)的RSS 和AOA 值。L=[a1,a2,…,aN]表示錨節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)。通過(guò)設(shè)置不同的初始節(jié)點(diǎn)位置和發(fā)射功率來(lái)生成多組數(shù)據(jù)集，提高了貝葉斯分層模型中未知參數(shù)的準(zhǔn)確度，提高了定位精度。

1.2 測(cè)量模型

根據(jù)發(fā)射功率和信號(hào)傳播模型，可將錨節(jié)點(diǎn)處接收的信號(hào)分解為路徑損耗、陰影衰落、小尺度衰落和噪聲。通過(guò)長(zhǎng)期觀測(cè)，可以求出小尺度衰減和噪聲的平均值。RSS 和AOA 測(cè)量模型如圖2 所示，由此可得到i的RSS 值：

圖2 2D RSS-AOA 測(cè)量模型

其中Pt[dBm]是傳輸功率，d0是參考距離，在本文中假設(shè)d0=1[m]。λ是輻射的波長(zhǎng)，η是路徑損失系數(shù)，||ai-s||表示目標(biāo)節(jié)點(diǎn)和錨節(jié)點(diǎn)i間的歐式距離。Wi是一個(gè)服從高斯分布的陰影衰落，ni是由錨節(jié)點(diǎn)造成的測(cè)量誤差，是一個(gè)服從零均值標(biāo)準(zhǔn)差為σn的高斯隨機(jī)變量。

在實(shí)際的無(wú)線信號(hào)觀測(cè)環(huán)境中，存在著由相似地形或同一障礙物而導(dǎo)致的陰影衰落。由以往的研究中可以得出，陰影衰落的相關(guān)性隨著節(jié)點(diǎn)間距離的增大而減小。因此，在RSS 測(cè)量中有必要考慮錨節(jié)點(diǎn)之間的空間相關(guān)性。這里我們假設(shè)錨節(jié)點(diǎn)間的陰影衰落服從一個(gè)N維的高斯分布，其均值是零向量，方差由一個(gè)函數(shù)定義的協(xié)方差矩陣表示。這里我們選擇Matérn 協(xié)方差函數(shù)[11]:

其中dij表示錨節(jié)點(diǎn)i,j間的歐式距離，函數(shù)Γ(·)是普通的伽馬函數(shù)，Kv(·)是改良的v階 Bessel函數(shù)，它控制著實(shí)現(xiàn)隨機(jī)域的平滑度，本文中我們選擇v=3。φ是空間相關(guān)性系數(shù)，它控制著衰減程度，σw是邊際差，它控制著函數(shù)在預(yù)期范圍內(nèi)的輸出。

根據(jù)圖2 中的測(cè)量模型，假設(shè)錨節(jié)點(diǎn)處配備（如定向天線、天線陣列等）去獲得AOA 測(cè)量值。因此，仰角?可以通過(guò)簡(jiǎn)單的幾何結(jié)構(gòu)建模為:

其中mi是角度的測(cè)量誤差，是一個(gè)零均值標(biāo)準(zhǔn)差為σm的高斯隨機(jī)變量。在測(cè)量向量Y=[P,?]T基礎(chǔ)上，我們可以得到未知目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的條件概率密度函數(shù)：

由于ML 估計(jì)的高度非凸性以及無(wú)封閉解，算法可能陷入局部極小值，導(dǎo)致定位誤差較大。因此，引入BHM 來(lái)分別考慮空間相關(guān)的陰影衰落分量。

2 貝葉斯分層模型和定位估計(jì)

在本節(jié)中，提出了應(yīng)用于測(cè)量模型的BHM，以及使用空間相關(guān)陰影衰落的MCMC 的混合 RSS和AOA 定位方法。

2.1 貝葉斯分層模型

根據(jù)RSS和AOA測(cè)量模型，錨節(jié)點(diǎn)處的 RSS值由路徑損失系數(shù)η，測(cè)量方差σn2所影響；AOA值由測(cè)量方差σm2所約束。且都與目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的位置信息有關(guān)。與此同時(shí)，潛在的陰影衰落過(guò)程由相關(guān)系數(shù)φ和方差σw2所約束。就中的測(cè)量模型，引入三層貝葉斯分層模型[2]轉(zhuǎn)換，詳細(xì)模型如下：

● 數(shù)據(jù)模型：

測(cè)量向量Y在隱過(guò)程和相關(guān)參數(shù)下，服從一個(gè)多維高斯分布。均值向量μ=[μ1,μ2,…,μ2N]∈?2N×1協(xié)方差矩陣為σ=[σn2IN×N,σm2IN×N]∈?2N×2N。均值向量μ為：

這里，假設(shè)所有的參數(shù)都是相互獨(dú)立的，可以得到：

2.2 參數(shù)估計(jì)

假設(shè)我們有一些關(guān)于參數(shù)的先驗(yàn)信息。如表1所示，我們可以選擇均值為4，方差為4 的高斯分布作為路徑損失系數(shù)的先驗(yàn)分布。當(dāng)參數(shù)的先驗(yàn)信息不存在時(shí)，可以選擇弱信息的先驗(yàn)分布。選擇的分布對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響不大，參數(shù)估計(jì)主要是由數(shù)據(jù)決定的，須將參數(shù)的先驗(yàn)分布控制在合理的范圍內(nèi)。

表1 不同環(huán)境下的路徑損失系數(shù)

根據(jù)上述貝葉斯分層模型，可以得到參數(shù)的后驗(yàn)分布：

其中p(θ|Y)表示參數(shù)的先驗(yàn)概率密度函數(shù)，在測(cè)量數(shù)據(jù)和生成數(shù)據(jù)下的條件，通過(guò)貝葉斯理論，可以得到參數(shù)的后驗(yàn)分布函數(shù)，以路徑損失系數(shù)η為例：

上式積分難求閉式解，應(yīng)用MCMC 方法對(duì)（12）進(jìn)行采樣，然后計(jì)算采樣結(jié)果的均值作為仿真參數(shù)。

2.3 RSS-AOA 混合定位估計(jì)

根據(jù)上述三層貝葉斯分層模型，提出了一種基于MCMC 方法估計(jì)目標(biāo)節(jié)點(diǎn)位置信息后驗(yàn)分布的方法。在初始節(jié)點(diǎn)發(fā)送功率，在錨節(jié)點(diǎn)接收到的測(cè)量數(shù)據(jù)Y和錨節(jié)點(diǎn)位置信息已知的條件下，可以得到目標(biāo)節(jié)點(diǎn)在發(fā)射功率Pt時(shí)位置信息s=[sx,sy]的后驗(yàn)概率分布：

由參數(shù)的先驗(yàn)分布p(θ|Y,L)，采樣一組參數(shù)θ的樣本{θ(i)},i=1,2,…,K。根據(jù)采樣的參數(shù)樣本在p(s|Y,θ(i),Pt)上對(duì)每一組θ(i)采樣{s(i),Pt(i)}?？紤]在實(shí)際監(jiān)測(cè)環(huán)境中，目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的發(fā)射功率未知，因此，在上述貝葉斯分層模型中，將Pt當(dāng)作一個(gè)未知參數(shù)去估計(jì)。新的參數(shù)模型如下：

由于陰影衰落受錨節(jié)點(diǎn)間的距離和相關(guān)系數(shù)影響，因此，數(shù)據(jù)模型和過(guò)程模型沒(méi)有改變。根據(jù)在未知目標(biāo)節(jié)點(diǎn)發(fā)送功率，以及接收到的測(cè)量數(shù)據(jù)，應(yīng)用MCMC 算法去估計(jì)參數(shù)模型θ^ 中的s,Pt的后驗(yàn)預(yù)測(cè)分布：

首先，從p(θ|Y,L)中采樣{θ(i)}，然后對(duì)每一個(gè)θ(i)從p(s,Pt|Y,L)中采一組，最后計(jì)算目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的估計(jì)信息：

3 仿真結(jié)果與分析

在本節(jié)中，考慮在500m×500m 的二維區(qū)域中的定位問(wèn)題。如圖1 所示，在觀測(cè)區(qū)域中均勻部署100 個(gè)錨節(jié)點(diǎn)。

3.1 仿真數(shù)據(jù)

根據(jù)隨機(jī)生成的初始節(jié)點(diǎn)i位置發(fā)射功率設(shè)置為Pt=30[dBm]，生成用于估計(jì)參數(shù)模型中的相關(guān)參數(shù)的M=100 組數(shù)據(jù)，格式如（1）所示。表2 中給出了相關(guān)參數(shù)先驗(yàn)信息，并對(duì)其進(jìn)行MCMC 采樣得出其參數(shù)的后驗(yàn)預(yù)測(cè)分布，如圖3 所示，描述了四條采樣樣本鏈?zhǔn)諗坑谕环植?。左列?000 個(gè)有效樣本的估計(jì)參數(shù)核密度，從上至下分別表示η,φ,σw,σn,σm；右列為有效樣本的軌跡圖，說(shuō)明了算法的收斂性。根據(jù)得出采樣有效樣本，計(jì)算出樣本均值，作為位置估計(jì)的仿真參考數(shù)值。

表2 參數(shù)的預(yù)設(shè)先驗(yàn)信息

3.2 性能指標(biāo)

（1）均方根誤差

定位性能由均方根誤差 (Root Mean Squares Error，RMSE)來(lái)給出：

其中s′表示目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的估計(jì)位置，Mc的有效采樣次數(shù)為5000。

（2）累積分布函數(shù)

用預(yù)先設(shè)定的定位精度，去衡量位置估計(jì)的成功概率，選用累計(jì)分布函數(shù)來(lái)評(píng)價(jià)算法的精度：

CDF(e)=P(||s′-s||

其中e表示目標(biāo)節(jié)點(diǎn)和估計(jì)節(jié)點(diǎn)間的定位誤差距離。

圖3 參數(shù)的后驗(yàn)預(yù)測(cè)核密度圖以及采樣跡圖

3.3 仿真結(jié)果

使用Python 環(huán)境下的PyStan 包在Jupyter Lab上進(jìn)行建模仿真工作，實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置如下：已知位置信息的錨節(jié)點(diǎn)數(shù)N=100，隨機(jī)位置的初始節(jié)點(diǎn)發(fā)射功率Pt=30[dBm]，參數(shù)先驗(yàn)分布如表2 所示，在位置估計(jì)仿真中，位置坐標(biāo)sx,sy是[0,500]上的均勻分布，其他參數(shù)設(shè)置為表2 中的后驗(yàn)預(yù)測(cè)分布的均值。

（1）圖4 為單一RSS、AOA 定位方法和混合RSS-AOA 定位方法在RSS 測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差σn的對(duì)比圖，如圖所示，在較低的標(biāo)準(zhǔn)差下，單RSS 和混合方法誤差較低，達(dá)到6m 左右，隨著標(biāo)準(zhǔn)差的變化，混合方法有較好的穩(wěn)定性，在較大的RSS 測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)下，可以結(jié)合角度信息對(duì)目標(biāo)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行較高精度的定位。由圖5 可以看出，在定位誤差e=16.5m 下，即可達(dá)到精確定位。

圖4 定位誤差隨標(biāo)準(zhǔn)差σn 變化趨勢(shì)

圖5 定位誤差的累計(jì)分布變化

（2）圖6 為在AOA 測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差σm下的對(duì)比圖，混合定位方法有更高的精度，由于定位場(chǎng)景存在的陰影衰落，導(dǎo)致AOA 測(cè)量偏差較大，單一的方法無(wú)法進(jìn)行較為精確的估計(jì)?？紤]空間相關(guān)性的混合定位方法更有效。

圖6 定位誤差隨標(biāo)準(zhǔn)差σm 變化趨勢(shì)

圖7 可以看出，混合定位在更低的定位誤差下，可達(dá)到精確定位。

圖7 定位誤差累計(jì)分布變化

4 結(jié)語(yǔ)

在本文中，提出了一種基于貝葉斯分層模型的混合RSS-AOA 定位方法，通過(guò)將陰影衰落轉(zhuǎn)換成過(guò)程模型，考慮了節(jié)點(diǎn)間的空間相關(guān)性，提高了對(duì)目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的位置估計(jì)精度。仿真結(jié)果驗(yàn)證了定位方法的有效性。