薛 歡 杜劍南 路江江

一、問題提出

隨著時代的不斷發(fā)展，我國高考試卷呈現(xiàn)出從多樣化發(fā)展到統(tǒng)一化回歸的趨勢[1]，高考全國卷隨之成為眾多研究者關(guān)注的焦點。試卷難度一直是研究者們討論的熱點，而綜合難度模型是研究試卷難度的重要工具之一。該模型起源于學(xué)者Nohara 提交給美國國家教育統(tǒng)計中心的一份工作報告，該報告首次提出了總體難度（overall difficulty）的概念。2002 年，我國學(xué)者鮑建生在總體難度的基礎(chǔ)上提出了關(guān)于數(shù)學(xué)習(xí)題評價的綜合難度模型[2]，隨后許多研究者在該模型的基礎(chǔ)上不斷深入研究，比較分析了不同國家教材版本之間的難度水平[3][4][5]。近年來，有研究者利用綜合難度模型對中、高考數(shù)學(xué)試題的難度進行研究，其中，武小鵬團隊在已有模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合高考數(shù)學(xué)試題特點對模型的影響因素不斷進行調(diào)整和完善，從背景因素、運算水平、推理能力、知識含量、思維方向、認知水平、有無參數(shù)等因素出發(fā)，對高考數(shù)學(xué)試題難度進行了比較。[6][7]

通過文獻閱讀與梳理，筆者發(fā)現(xiàn)已有研究中很少有人針對某個知識單元進行高考數(shù)學(xué)試題的難度探討，且基本沒有涉及高考數(shù)學(xué)“統(tǒng)計與概率”試題的難度?；诖?，本研究依據(jù)近年來高考數(shù)學(xué)的命題趨勢，對已有的綜合難度模型進行調(diào)整，并對2016—2020 年（以下簡稱近五年）高考數(shù)學(xué)（理科）全國卷的“統(tǒng)計與概率”試題進行難度比較，分析近年來高考數(shù)學(xué)全國卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“統(tǒng)計與概率”試題的難度特點及差異，以期為“統(tǒng)計與概率”知識單元的命題和教學(xué)提供參考。

二、研究方法

1.研究對象

本研究選取近五年高考數(shù)學(xué)（理科）15 套全國卷中“統(tǒng)計與概率”知識單元涉及的試題，其中全國Ⅰ卷有22 個題目，全國Ⅱ卷有19 個題目，全國Ⅲ卷有17 個題目，共計58 個題目，具體數(shù)量和類型如表1 所示。

表1 近五年高考數(shù)學(xué)（理科）全國卷“統(tǒng)計與概率”試題取樣結(jié)果

從表1 我們可以看出，近五年高考數(shù)學(xué)（理科）全國卷“統(tǒng)計與概率”試題在數(shù)量和題型分布上的差異很小。全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷的“統(tǒng)計與概率”試題在數(shù)量上依次遞減；在題型分布上單選題、解答題的題量基本一致，但全國Ⅲ卷的填空題沒有對“統(tǒng)計與概率”知識單元進行考查。對題型及數(shù)量的分析只能觀察到試題的表面現(xiàn)象，想要更加深入地解析試卷，研究者需要借助科學(xué)的研究工具進行更深層次的探討。

2.研究工具及應(yīng)用

（1）綜合難度模型的建立

表2 “統(tǒng)計與概率”試題綜合難度模型的結(jié)構(gòu)與內(nèi)涵

根據(jù)近年來高考數(shù)學(xué)命題的趨勢和與英語教育教學(xué)專家、一線教師的研討，結(jié)合“統(tǒng)計與概率”知識單元的內(nèi)容特點，本研究對武小鵬團隊的綜合難度模型進行調(diào)整，將模型的影響因素修訂為背景因素、參數(shù)因素、運算水平、推理能力、知識含量、解題思維、認知水平、條件含量及閱讀量（字符）9 個因素。其中，條件含量、閱讀量（字符）是兩個新增因素，以此凸顯高考試題的命題變化，條件含量因素又劃分為“單個條件”“兩個條件”“3 個及以上”3 個水平，閱讀量（字符）因素又劃分為“少量”“中等”與“大量”3 個水平。在整合數(shù)學(xué)學(xué)科特點與高考數(shù)學(xué)命題特點的基礎(chǔ)上，研究者對其他幾個難度因素的水平進行了重新劃分，使模型編碼更具可操作性，以期更準(zhǔn)確地衡量數(shù)學(xué)試題的難度，具體模型如表2 所示。

依據(jù)表2 的綜合難度模型框架，本研究先確定試題各難度因素的水平劃分，并進行相應(yīng)的編碼、賦值，再通過加權(quán)平均計算各難度因素的綜合難度系數(shù)di，計算公式是：

其中，di（i=1，2，3，4，5，6，7，8，9）表示9 個難度因素上的取值；dij表示第i 個難度因素的第j個水平的權(quán)重；nij表示這組題目中屬于第i 個難度因素的第j 個水平的題目的個數(shù)；n 表示題目的總數(shù)。[8]

（2）模型數(shù)據(jù)的收集與分析

按照表2 中不同因素的界定，本研究將近五年高考數(shù)學(xué)（理科）15 套全國卷中“統(tǒng)計與概率”知識單元涉及的題目進行分類編碼。我們邀請了5 名數(shù)學(xué)教育碩士對試題進行編碼，并邀請2 名一線數(shù)學(xué)教師對其分析結(jié)果進行一致性檢驗，由此確定每道試題各個難度因素的編碼。如例1、例2可編碼如下。

例1［2019 年高考數(shù)學(xué)（理科）全國Ⅰ卷第6題］：我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6 個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“— —”，下圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是

試題分析：

此題難度水平如下：科學(xué)背景（以數(shù)學(xué)文化和圖形的方式呈現(xiàn)）；無參數(shù)（不涉及相關(guān)參數(shù)變量）；簡單符號運算（簡單概率運算）；一般推理（包含3 步：一是利用分步乘法計數(shù)原理求樣本空間所含的基本事件數(shù)，二是利用組合數(shù)求事件發(fā)生所含的基本事件數(shù)，三是利用古典概型的概率計算公式求事件發(fā)生的概率）；知識含量中等（包括古典概型、計數(shù)原理、組合數(shù)公式應(yīng)用）；順向思維（按照現(xiàn)有的知識點直接解決實際問題）；綜合分析水平（本題可用條件較多，需要深入分析和綜合應(yīng)用才能求解）；條件含量3 個及以上（本題可供使用的條件包括：6 個爻組成一重卦，分為陽爻和陰爻，圖形示例，隨機抽?。?；閱讀量中等（約100 個字符）。

例2［2019 年高考數(shù)學(xué)（理科）全國Ⅲ卷第17 題］：為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200 只小鼠隨機分成A、B 兩組，每組100 只，其中A 組小鼠給服甲離子溶液，B 組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

甲離子殘留百分比直方圖

乙離子殘留百分比直方圖

記C 為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計值為0.70.

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b 的值；

（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.

試題分析：

參照例1 的討論分析，可得例2 問題（1）屬于綜合背景、有參數(shù)需討論、簡單數(shù)值運算、簡單推理、知識含量少量、順向思維、運用水平、條件含量3 個及以上、閱讀量大量（字符總數(shù)在100以上）的試題。

問題（2）屬于綜合背景、無參數(shù)、簡單數(shù)值運算、簡單推理、知識含量少量、順向思維、綜合分析、條件含量3 個及以上、閱讀量大量（字符總數(shù)在100 以上）的試題。

按照表2 中試題編碼的界定，本研究對近五年高考數(shù)學(xué)（理科）全國卷“統(tǒng)計與概率”知識單元涉及的58 個題目一一進行編碼、賦值，形成原始編碼數(shù)據(jù)，并通過進一步統(tǒng)計分析得到表3。其中，題目數(shù)的統(tǒng)計方式是按照各卷試題的影響因素所處水平劃分統(tǒng)計的；百分比的計算方式是用各影響因素中的某一水平的題目數(shù)除以該卷所對應(yīng)的試題總數(shù)（保留兩位小數(shù)），如全國Ⅰ卷中“無實際背景”水平的百分比是1÷22=4.55%；綜合難度系數(shù)按照公式（1）進行計算。

表3 近五年高考數(shù)學(xué)（理科）全國卷“統(tǒng)計與概率”試題綜合統(tǒng)計

三、研究結(jié)果

依據(jù)表3 的統(tǒng)計結(jié)果，本研究分別對影響近五年高考數(shù)學(xué)（理科）全國卷“統(tǒng)計與概率”試題難度的9 個因素進行全國卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）之間的比較分析，最后根據(jù)收集的各因素綜合難度系數(shù)di，繪制出反映“統(tǒng)計與概率”試題綜合難度的模型雷達圖，并根據(jù)雷達圖的整體態(tài)勢分析“統(tǒng)計與概率”知識單元試題的難度特征。

1.背景因素

背景因素的統(tǒng)計結(jié)果如圖1 所示。

圖1 背景因素不同水平變化折線對比

從圖1 可以看出，全國卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“統(tǒng)計與概率”試題對背景因素的考查較為廣泛，且絕大部分試題屬于生活背景和綜合背景。但在對各背景因素的考查上，全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷之間的側(cè)重點又各有不同：全國Ⅰ卷更注重生活背景的考查；全國Ⅱ卷更側(cè)重生活背景和綜合背景的考查，考查科學(xué)背景的試題不多；全國Ⅲ卷更注重綜合背景的考查。

對照各卷具體試題我們可以發(fā)現(xiàn)，全國卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“統(tǒng)計與概率”試題在知識的聯(lián)系上都強調(diào)數(shù)學(xué)知識與實際背景的聯(lián)系，而不是單純地考查數(shù)學(xué)知識本身。例如，2019 年全國Ⅱ卷第18 題和2020 年全國Ⅰ卷第19 題，在背景因素的考查上以生活背景為主，通過我們熟知的乒乓球比賽和羽毛球比賽引出數(shù)學(xué)問題，這有助于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察身邊正在經(jīng)歷的事物。

2.參數(shù)因素

參數(shù)因素的統(tǒng)計結(jié)果如圖2 所示。

圖2 參數(shù)因素不同水平變化折線對比

從圖2 可以看出，全國卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“統(tǒng)計與概率”試題對參數(shù)因素的考查基本一致，都有較高比例的無參數(shù)試題，而有參數(shù)不需要討論和有參數(shù)需討論的試題占比較低。通過深入分析試題可以發(fā)現(xiàn)，有參數(shù)不需要討論的試題主要涉及用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)）或離散程度參數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極差）；有參數(shù)需討論的試題主要包含用樣本相關(guān)系數(shù)了解一元線性回歸模型求解、二項式含參求解以及相關(guān)擴展性問題。例如，2017 年全國Ⅲ卷第18 題，第一問沒有涉及參數(shù)，只需要進行簡單概率運算求出關(guān)于日需求量X 的分布列；第二問則需要通過對日進貨量n 進行分類討論，求解出關(guān)于日利潤Y 的數(shù)學(xué)期望最大值，這種在實際問題應(yīng)用過程中滲透分類討論思想的方法對學(xué)生的思維發(fā)展有較好的提升作用。

3.運算水平

運算水平的統(tǒng)計結(jié)果如圖3 所示。

圖3 運算因素不同水平變化折線對比

從圖3 可以看出，全國卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“統(tǒng)計與概率”試題對運算水平的考查以簡單數(shù)值運算和簡單符號運算為主。全國Ⅰ卷中，考查簡單符號運算的試題占比68.18%；全國Ⅱ卷中，考查簡單數(shù)值運算和簡單符號運算的試題占比都較高；全國Ⅲ卷中，考查簡單數(shù)值運算的試題占比高達52.94%，但考查復(fù)雜數(shù)值運算和復(fù)雜符號運算的試題占比較低。這可能與“統(tǒng)計與概率”知識單元的內(nèi)容特點有關(guān)，即主要涉及計數(shù)原理、二項式定理和簡單概率計算公式等的直接應(yīng)用，很少涉及復(fù)雜計算。這也反映了高考數(shù)學(xué)正在逐步增加學(xué)生的思維量，減少復(fù)雜運算，并逐漸向“一多一少”靠攏，即多考一點想的，少考一點算的[9]，這一點在“統(tǒng)計與概率”知識單元的試題解答過程中體現(xiàn)得較為直接。

4.推理能力

推理能力的統(tǒng)計結(jié)果如圖4 所示。

圖4 推理能力不同水平變化折線對比

從圖4 不難看出，全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷“統(tǒng)計與概率”試題對推理能力的考查水平基本一致，兩卷考查簡單推理、一般推理和復(fù)雜推理水平的試題比例都大致為6:3:1。但全國Ⅰ卷中考查簡單推理的試題占比低于全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷，考查一般推理和復(fù)雜推理的試題占比均高于全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷。相對而言，全國Ⅰ卷對于推理能力的考查比重略高于全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷。例如，2019 年全國Ⅰ卷第15 題屬于復(fù)雜推理，此題以籃球比賽為知識背景，需要學(xué)生運用已知條件結(jié)合分類計數(shù)和分步計數(shù)原理求概率的方法推導(dǎo)出甲隊獲勝的概率。

5.知識含量

知識含量的統(tǒng)計結(jié)果如圖5 所示。

由圖5 可知，全國卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“統(tǒng)計與概率”試題對知識含量的考查主要集中在少量水平上，中等水平和大量水平的題目相對較少，基本上是解答題。相對而言，全國Ⅰ卷、全國Ⅲ卷對于知識含量的考查水平基本保持一致；全國Ⅱ卷知識含量中等水平的試題占比高于全國Ⅰ卷、全國Ⅲ卷，知識含量大量水平的試題較少。例如，2017 年全國Ⅱ卷第18 題考查了相互獨立事件同時發(fā)生的概率、頻率分布直方圖的識別與應(yīng)用、中位數(shù)的計算、獨立性檢驗等基礎(chǔ)知識，屬于知識含量的中等水平，意在考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力及應(yīng)用意識。

圖5 知識含量不同水平變化折線對比

6.解題思維

解題思維的統(tǒng)計結(jié)果如圖6 所示。

圖6 解題思維不同水平變化折線對比

高考數(shù)學(xué)試題的解題思維是展示學(xué)生綜合運用所學(xué)知識求解實際問題的重要方式之一，可以客觀反映學(xué)生的思維水平。圖6 表明，全國卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“統(tǒng)計與概率”試題在解題思維上以順向思維為主，涉及少量的逆向思維考查。這表明，全國卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）對“統(tǒng)計與概率”試題的考查主要是讓學(xué)生運用現(xiàn)有的知識點直接解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題，如運用二項式定理解決有關(guān)二項展開式的簡單問題。例如，2018 年全國Ⅲ卷第8 題需要學(xué)生首先判斷移動支付的概率分步是否符合二項分布，這是解決本題的關(guān)鍵所在，是對學(xué)生逆向思維的直接考查。

7.認知水平

認知水平的統(tǒng)計結(jié)果如圖7 所示。

圖7 認知因素不同水平變化折線對比

由圖7 可知，全國卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“統(tǒng)計與概率”試題對認知水平的考查基本保持一致，考查運用水平和綜合分析水平的試題共占比90%左右，考查識記水平的試題相對較少。由此可以說明，全國卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“統(tǒng)計與概率”試題對認知水平的考查側(cè)重于知識的運用與綜合分析，這正好符合“統(tǒng)計與概率”試題的知識特征和考查方式[10]，即“統(tǒng)計與概率”與實際情境結(jié)合緊密，主要考查學(xué)生數(shù)據(jù)處理、運算求解的能力及分析問題、解決問題的能力。例如，2017 年全國Ⅲ卷第3 題，以某城市游客人數(shù)變化規(guī)律繪制折線圖，考查學(xué)生的識圖能力，屬于運用水平的考查。

8.條件含量

條件含量的統(tǒng)計結(jié)果如圖8 所示。

圖8 條件含量不同水平變化折線對比

從圖8 可以看出，全國卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“統(tǒng)計與概率”試題考查3 個及以上條件的較多，占比均在80%以上。其中全國Ⅱ卷考查3 個及以上條件的試題占比為100%，未涉及單個條件和兩個條件的試題；全國Ⅰ卷、全國Ⅲ卷對單個條件和兩個條件水平的考查也相對較少。對試卷進行深入分析后本研究發(fā)現(xiàn)，“統(tǒng)計與概率”試題所含條件相對較多，學(xué)生需要從眾多信息中提取有效信息，由此說明“統(tǒng)計與概率”試題比較注重對學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力的考查。[11]例如，2019 年全國Ⅰ卷第15 題就考查了3 個及以上條件，其中包括籃球比賽規(guī)則、甲隊主客場次序、甲隊主客場取勝概率等可用條件，需要學(xué)生整合試題中的有效信息進行求解。

9.閱讀量（字符）

閱讀量（字符）的統(tǒng)計結(jié)果如圖9 所示。

圖9 閱讀量（字符）不同水平變化折線對比

綜合分析近年來的高考試卷，我們不難發(fā)現(xiàn)，試題閱讀量的增加已經(jīng)成為一種趨勢。而在高考數(shù)學(xué)試卷中，“統(tǒng)計與概率”知識單元是承擔(dān)閱讀量增加的重要題型，這一點在圖9 中體現(xiàn)較為明顯。全國卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“統(tǒng)計與概率”試題閱讀量處于大量水平的試題占比均在75%以上，說明試題提供的信息量越來越大，使得試題中的干擾信息越來越多，這無疑會使學(xué)生直接從題干中提取有效信息更加困難。學(xué)生需要對試題進行深入的剖析和理解，這是對學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀能力更高水平的發(fā)展要求。如2020 年全國Ⅱ卷第3 題以新冠肺炎疫情防控期間的快遞配送為背景，閱讀量約為180 字符，需要學(xué)生在有效的時間內(nèi)完成題目閱讀、信息提取、模型建構(gòu)。因此，在“統(tǒng)計與概率”教學(xué)中，教師有必要加強學(xué)生的數(shù)學(xué)閱讀訓(xùn)練和指導(dǎo)，幫助學(xué)生掌握科學(xué)的數(shù)學(xué)閱讀方法和技能，養(yǎng)成良好的閱讀習(xí)慣，從而更好、更主動地閱讀、理解、掌握數(shù)學(xué)知識。[12]

10.綜合難度分析

為了進一步探究影響高考數(shù)學(xué)“統(tǒng)計與概率”試題綜合難度的主要因素，本研究對表3 中各影響因素的綜合難度系數(shù)進行數(shù)值平均，得到了近五年高考數(shù)學(xué)（理科）全國卷“統(tǒng)計與概率”試題的平均難度系數(shù)Xd，如表4 所示。依據(jù)表4，筆者繪制出反映近五年高考數(shù)學(xué)（理科）全國卷“統(tǒng)計與概率”試題綜合難度系數(shù)雷達圖，如圖10所示。

表4 近五年高考數(shù)學(xué)（理科）全國卷“統(tǒng)計與概率”試題各難度因素的平均難度系數(shù)

從試卷平均難度系數(shù)來看，近五年高考數(shù)學(xué)（理科）全國卷“統(tǒng)計與概率”試題難度總體上保持一致，只在個別難度因素上存在差異，這充分肯定了我國高考數(shù)學(xué)試卷的命制工作，說明全國卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）的試題命制在綜合難度上的尺度比較一致。相對來說，全國Ⅰ卷難度最大，平均難度系數(shù)為2.09；全國Ⅱ卷次之，平均難度系數(shù)為2.05；全國Ⅲ卷難度最小，平均難度系數(shù)為2.02。這一難度分布，契合了我國不同區(qū)域之間經(jīng)濟、文化等方面發(fā)展水平不一的特點。需要說明的是，不同地區(qū)的學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面存在差異，即使同一地區(qū)的學(xué)生在不同數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)上也會存在差異，因此，綜合難度系數(shù)的比較僅僅是一個理論難度，在不同學(xué)生的表現(xiàn)上可能存在偏差。

圖10 近五年高考數(shù)學(xué)（理科）全國卷“統(tǒng)計與概率”試題綜合難度系數(shù)雷達圖

通過雷達圖我們可以得到如下發(fā)現(xiàn)。

（1）在運算水平和推理能力方面，全國Ⅰ卷“統(tǒng)計與概率”試題的難度明顯高于其他兩卷，而在參數(shù)因素上又明顯低于其他兩卷；在背景因素方面，全國Ⅲ卷“統(tǒng)計與概率”試題的難度明顯高于其他兩卷；在條件含量方面，全國Ⅱ卷“統(tǒng)計與概率”試題的難度也高于其他兩卷；在知識含量、解題思維、認知水平、閱讀量（字符）4 個因素方面，全國卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“統(tǒng)計與概率”試題的難度差異不大，難度水平基本相當(dāng)。

（2）在9 個難度因素中，全國卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“統(tǒng)計與概率”試題的參數(shù)因素、推理能力、知識含量、解題思維的綜合難度系數(shù)相比其他5個因素要小很多，而背景因素、條件含量、閱讀量（字符）的綜合難度系數(shù)相比其他因素要大一些，說明“統(tǒng)計與概率”知識單元試題比較注重背景因素、條件含量和閱讀量（字符）的考查。

（3）全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷“統(tǒng)計與概率”試題在背景因素上的綜合難度系數(shù)依次增加，在運算水平上依次遞減，且綜合難度系數(shù)差距均在0.15 以上；而在知識含量、解題思維、認知水平、閱讀量（字符）4 個因素上表現(xiàn)出了較高的一致性，差異非常小。

（4）對全國卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）“統(tǒng)計與概率”試題9 個因素的難度系數(shù)值進行觀察及估算，筆者發(fā)現(xiàn)，全國Ⅰ卷“統(tǒng)計與概率”試題各因素難度系數(shù)極差約為1.72，全國Ⅱ卷約為1.84，全國Ⅲ卷約為1.82，說明全國卷“統(tǒng)計與概率”試題在9 個難度因素上的平衡性還有待加強。

四、結(jié)論及命題建議

1.研究結(jié)論

依據(jù)表2 的“統(tǒng)計與概率”試題綜合難度模型結(jié)構(gòu)與內(nèi)涵，本研究對近五年高考數(shù)學(xué)（理科）全國卷“統(tǒng)計與概率”試題進行了全面分析，發(fā)現(xiàn)全國卷（Ⅰ卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷）關(guān)于“統(tǒng)計與概率”知識單元的考查具有以下特點：內(nèi)容表述突出情境性、問題解決體現(xiàn)發(fā)展性、數(shù)學(xué)閱讀展現(xiàn)多樣性，且試題難度略有差異性。

（1）高考數(shù)學(xué)“統(tǒng)計與概率”知識單元試題的內(nèi)容表述突出情境性

圖1 表明，近五年高考數(shù)學(xué)（理科）全國卷“統(tǒng)計與概率”試題對于背景因素的考查較為廣泛，以生活背景和綜合背景為主，其本質(zhì)在于反映數(shù)學(xué)源于生活，又要應(yīng)用于生活，兩者之間密不可分。高考數(shù)學(xué)“統(tǒng)計與概率”試題對問題情境的重視程度日益上升，這也使得問題情境成為影響試題難度的重要指標(biāo)之一。如《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 版）》[13]在命題建議中就曾提到：選擇合適的問題情境是考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體。

（2）高考數(shù)學(xué)“統(tǒng)計與概率”知識單元試題的問題解決體現(xiàn)發(fā)展性

從認知水平、條件含量這兩方面看，近五年高考數(shù)學(xué)（理科）全國卷“統(tǒng)計與概率”試題非常關(guān)注學(xué)生問題解決能力的發(fā)展。在認知水平方面，全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷處于運用水平和綜合分析水平的試題比重都在90%以上；在條件含量方面，全國Ⅰ卷、全國Ⅱ卷、全國Ⅲ卷也都設(shè)計了不少考查3 個以上條件的試題。對于“統(tǒng)計與概率”知識的運用與綜合分析類試題，學(xué)生需要在有限時間內(nèi)讀完題目、理解題意，并能從題干中提取有效信息，從而完成解答。這對學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力、問題解決能力提出了更高要求，這也是試題難度增加的重要原因。

（3）高考數(shù)學(xué)“統(tǒng)計與概率”知識單元試題的數(shù)學(xué)閱讀展現(xiàn)多樣性

依據(jù)圖9 我們可以看出，近五年高考數(shù)學(xué)（理科）全國卷“統(tǒng)計與概率”試題對于閱讀量的考查非常重視，閱讀量處于大量水平的試題均在70%以上，足以證明高考數(shù)學(xué)試卷對于閱讀能力的要求越來越高。數(shù)學(xué)閱讀是學(xué)生從背景、數(shù)據(jù)等材料中獲取信息的心理活動過程，不僅包括對數(shù)學(xué)文字語言、符號語言、圖表語言的理解、記憶、認知等過程，還包括對材料的邏輯結(jié)構(gòu)進行分析、綜合、歸納、推理、猜想等一系列思維過程，數(shù)學(xué)閱讀是區(qū)別于一般閱讀的較為復(fù)雜的智力活動。[14]隨著數(shù)學(xué)閱讀量的增加，學(xué)生將出現(xiàn)更復(fù)雜的思維過程，這會直接影響試題的難度，因此，學(xué)生邏輯思維能力的發(fā)展至關(guān)重要。

（4）高考數(shù)學(xué)“統(tǒng)計與概率”知識單元試題的難度略有差異性

圖10 和其他研究結(jié)果充分表明，近五年高考數(shù)學(xué)（理科）全國卷“統(tǒng)計與概率”試題難度基本一致，只在個別難度因素上存在細微差別。綜合來看：高考數(shù)學(xué)“統(tǒng)計與概率”試題對背景因素、運算水平、認知水平、條件含量和閱讀量（字符）的考查要求較高，這正是個別難度因素差異的根源所在；反觀參數(shù)因素、推理能力、知識含量和解題思維，這幾個因素在具體試題中的考查水平都較低且差異較小。

2.命題建議

在大數(shù)據(jù)時代，“統(tǒng)計與概率”知識正逐步應(yīng)用到社會生產(chǎn)生活的方方面面，已經(jīng)成為人類不可或缺的知識儲備。高考數(shù)學(xué)試題對“統(tǒng)計與概念”知識的考查比重也逐年加重，在考查手段、設(shè)問方式、答案設(shè)置等方面都有了較多的變化。[15]結(jié)合上述近五年高考數(shù)學(xué)（理科）全國卷“統(tǒng)計與概率”試題難度的比較分析，筆者提出以下幾點命題建議。

（1）在知識含量方面，注重各數(shù)學(xué)知識間的整合

從上述研究可知，近五年高考數(shù)學(xué)（理科）全國卷“統(tǒng)計與概率”試題中80%左右對知識含量的考查處于少量水平。高考數(shù)學(xué)在考查過程中要體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，其中，綜合性指數(shù)學(xué)知識體系的內(nèi)部聯(lián)系，強調(diào)數(shù)學(xué)各分支內(nèi)容的相互交叉與滲透[16]，這種知識間的交叉、滲透及整合，可以幫助學(xué)生從整體上建構(gòu)知識框架，形成合理的認知結(jié)構(gòu)。

因此，在命制“統(tǒng)計與概率”試題時，命題人員需要充分考慮多個知識之間的相互聯(lián)系，可以適當(dāng)增加跨章節(jié)（如，從1 到30 中任取一個數(shù)，取到素數(shù)的概率是多少？回答這個問題，學(xué)生需要聯(lián)系素數(shù)這一數(shù)學(xué)知識[17]），以及與實際生活常識等相關(guān)的試題，從而增加考試內(nèi)容的綜合性，這也有利于學(xué)生進行知識的遷移與應(yīng)用。

（2）在解題思維方面，增加對學(xué)生逆向思維的考查

從上文分析可知，近五年高考數(shù)學(xué)（理科）全國卷“統(tǒng)計與概率”試題80%以上都考查順向思維，考查逆向思維的試題較少。數(shù)學(xué)思維是個體思考問題和解決問題的一種思維方式，分為正向思維和逆向思維，而逆向思維就是與常規(guī)正向思維方向相反的思維過程，常表現(xiàn)為執(zhí)果索因的推理順序。[18]像這種讓學(xué)生逆用現(xiàn)有的知識結(jié)構(gòu)順序，間接或逆向解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題的試題，可以有效促進學(xué)生思維水平的發(fā)展，如反證法、舉一反三等。

因此，在命制“統(tǒng)計與概率”試題時，命題人員可以適當(dāng)增加一些考查學(xué)生逆向思維的試題，如逆用數(shù)學(xué)公式、將數(shù)據(jù)與圖表相互轉(zhuǎn)化、舉反例，以及利用倒推法或反證法求解等，這有利于學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)，在一定程度上可以促進學(xué)生問題解決能力的發(fā)展。

（3）在綜合難度方面，均衡各難度因素，優(yōu)化試卷質(zhì)量

本研究表明，近五年高考數(shù)學(xué)（理科）全國卷“統(tǒng)計與概率”試題在9 個難度因素上的平衡性有待加強，具體表現(xiàn)在：參數(shù)因素、推理能力、知識含量、解題思維的綜合難度系數(shù)值比其他5 個因素要小一些，背景因素、條件含量、閱讀量（字符）的綜合難度系數(shù)值相比其他因素要大一些。編制一套高質(zhì)量的高考數(shù)學(xué)試題，最大的價值追求就是既要保證難度設(shè)計的科學(xué)合理又能檢測出學(xué)生的真實水平，同時還要充分發(fā)揮高考數(shù)學(xué)試題的選拔功能和積極導(dǎo)向作用。但在實際的高考試題命制過程中，由于各部分內(nèi)容的目標(biāo)定位和各難度因素所起的作用不同，命題人員未必能做到十全十美。

因此，高考數(shù)學(xué)“統(tǒng)計與概率”的試題編制在設(shè)定各難度因素的平衡性時，應(yīng)依據(jù)高中數(shù)學(xué)課程改革的目標(biāo)要求，秉持發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、服務(wù)高校高質(zhì)量選拔人才等理念，深入一線，通過問卷調(diào)查、深度訪談等形式，了解不同區(qū)域、不同層次人員對高考試題的需求，從每個難度因素的科學(xué)性、合理性、全面性等方面出發(fā)，均衡各難度因素，優(yōu)化試卷質(zhì)量。

注釋：

①解答題中的條件含量是按照題干涉及的可用條件數(shù)進行統(tǒng)計的。例如，某解答題中若問題2 用到問題1 的結(jié)果，則將結(jié)果統(tǒng)計到問題2 的條件含量中。

②解答題中的閱讀量（字符）是按照題干涉及的字符數(shù)和問題字符數(shù)之和進行統(tǒng)計的。例如，某解答題中若問題2 涉及題干信息，則將題干信息的字符數(shù)統(tǒng)計到問題2的閱讀量中。