王浩宇，楊 歡，彭利平，劉德洋

(河海大學(xué) 機電工程學(xué)院，江蘇 常州 213000)

0 引 言

微機電系統(tǒng)和電子技術(shù)的快速發(fā)展使得微電子設(shè)備的能量消耗逐漸變小，但為其供能的傳統(tǒng)電池存在壽命短及更換過程復(fù)雜的缺點，這促使人們探究新的無源供能方法。振動俘能器已被公認為是解決低功耗設(shè)備供電問題最具有發(fā)展?jié)摿Φ募夹g(shù)途徑。振動俘能器中最常見的能量轉(zhuǎn)換機制有靜電換能[1]、壓電換能[2]和電磁換能[3-5]。其中，不需要額外輔助供電的電磁式能量俘能器(EEH)和壓電式能量俘能器(PEH)受到了國內(nèi)外研究者的更多關(guān)注。

現(xiàn)實中主要環(huán)境振動源在一個比較寬的低頻范圍內(nèi)(100 Hz以下)，然而大多數(shù)的振動俘能器簡化為線性彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)，振動的能量俘能器都將單峰振幅限制在窄頻帶內(nèi)；外部激勵存在與俘能器的諧振頻率不匹配產(chǎn)生共振發(fā)散的情況[6]，這使得線性能量收集器應(yīng)用受到局限。另外，單一能量轉(zhuǎn)換模式的能量輸出往往達不到供能需求。因此，研究多種俘能技術(shù)和非線性的耦合輸出具有很大意義。復(fù)合壓電-電磁振動能量俘能器(HPEH)能將兩種及以上的能量轉(zhuǎn)換機制進行耦合，能增加耦合來提高輸出能量。CHALLA[7]通過實驗得出了復(fù)合振動俘能器相比任何獨立的振動俘能器有更好的能量輸出的結(jié)論；MAHMOUDI等人[8]開發(fā)了一種包含非線性HPEH的多物理模型，非線性磁場的系統(tǒng)比線性系統(tǒng)工作帶寬和功率密度分別增加了29%和60%；SOLIMAN等人[9]提出了一種基于分段線性振子的振動俘能器，利用制動器引起梁的碰撞，頻率帶寬明顯拓寬；MIAH等人[10]設(shè)計了基于沖擊梁的向上變頻壓電振動俘能器，該振動俘能器與分段線性系統(tǒng)耦合，能夠在較寬的工作帶寬內(nèi)產(chǎn)生較高的輸出功率。

針對以上問題，本研究利用多個壓電懸臂梁和非線性彈簧提升系統(tǒng)的耦合以及帶寬；筆者利用歐拉-伯努利梁理論對裝置進行分布參數(shù)建模；利用Rayleigh-Ritz模態(tài)分析法確定力電耦合模型的等效剛度、質(zhì)量等參數(shù)，建立基于集總參數(shù)模型的機電耦合模型。該方法考慮梁的振型與軸向應(yīng)變分布情況，能提高預(yù)測精度。通過加工實驗裝置及搭建實驗平臺得到實驗輸出值與理論值對比，驗證非線性振動俘能器機電耦合模型的準確性和裝置拓寬頻帶能力。

1 能量收集系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及工作原理

振動俘能器有4個壓電懸臂梁，梁的自由端均與線圈連接，線圈下方設(shè)有固定磁鐵和彈簧。

分段線性復(fù)合振動俘能器和HPEH的單自由度等效動力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 分段線性復(fù)合振動俘能器

梁和末端重物會隨著激勵振動，壓電梁產(chǎn)生的簡諧橫向振動使得壓電片厚度方向發(fā)生物理變形引起了電荷運動，從而在壓電陶瓷片的上下極板集聚了極性相反、等量的電荷。同樣，中間的線圈隨著梁上下振動，線圈切割磁感線引起磁通量的變化，發(fā)生法拉第電磁感應(yīng)現(xiàn)象使得線圈產(chǎn)生感生電流。當線圈的振幅足夠大時，每個周期底部彈簧都與基座碰撞，系統(tǒng)從線性振動轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性振動的一種分段線性狀態(tài)，拓寬了系統(tǒng)的工作帶寬。

2 線性動力學(xué)模型及PEH建模

本研究移除電磁耦合和非線性彈簧，將振動俘能器簡化為單自由度線性壓電振動俘能器。

線性復(fù)合式振動俘能器具有良好的對稱性，如圖2所示。

圖2 線性復(fù)合式振動俘能器示意圖

系統(tǒng)動力學(xué)特性的研究對象簡化為對稱的一部分，即帶末端質(zhì)量的固定-導(dǎo)支梁。在只考慮一階固有頻率的情況下，利用歐拉-伯努利梁理論和牛頓力學(xué)原理研究末端帶質(zhì)量的壓電梁的彎曲振動位移響應(yīng)，得到壓電梁沿z軸無阻尼自由運動方程為：

(1)

式中：EI—壓電梁平均抗彎剛度；ρs—壓電梁的單位長度質(zhì)量。

利用模態(tài)疊加法求解運動方程，梁上各點相對位移可以表示為：

(2)

式中：i—振型數(shù)；φ(x)—模態(tài)特征函數(shù)；q(t)—模態(tài)坐標。

運用分離變量法求解上式，將式(2)代入式(1)，利用導(dǎo)支和固支的邊界條得到頻率方程為：

(3)

根據(jù)瑞利里茲法，導(dǎo)支端的位移為w(L,t)=φ(L)q(t)，將系統(tǒng)參數(shù)等效到x=L處的位置，得到系統(tǒng)的等效質(zhì)量M和等效機械剛度Km為：

(4)

式中：p，s—壓電和基底層；S—梁的橫截面積；ρ—密度；E—彈性模量；I—慣性矩；Mt—末端質(zhì)量。

筆者在模態(tài)分析和壓電本構(gòu)方程的基礎(chǔ)上，利用哈密爾頓原理開展線性PEH系統(tǒng)的機電耦合建模[11，12]。根據(jù)Rayleigh-Ritz方法，梁的橫向位移可以為N個振動模態(tài)函數(shù)與模態(tài)坐標的乘積，電勢函數(shù)為N個電勢分布函函數(shù)和電學(xué)坐標的乘積：

(5)

式中：ψ(z,t)—電勢函數(shù)；φn(x)—振動模態(tài)函數(shù)；φv(z)—電勢分布函數(shù)；v(t)—電學(xué)坐標。

機電耦合等效方程簡化為：

(6)

式中：θp—等效壓電耦合系數(shù)；Cp—壓電等效電容：

(7)

3 電磁耦合系數(shù)

電磁發(fā)電轉(zhuǎn)換機制基于法拉第電磁感應(yīng)定律，電磁感應(yīng)結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 電磁感應(yīng)原理示意圖

無論是面積恒定下變化的磁場引起的磁通量變化，還是恒定磁場下的面積變化引起的磁通量變化，均可以推導(dǎo)出電動勢方程。工作過程中線圈振子磁場時刻變化，線圈的面積認為常數(shù)。

電動勢Ue與通過線圈磁通量的變化率有關(guān)[13]，表示如下：

(8)

根據(jù)磁偶極子模型[14]，磁偶極子模型產(chǎn)生的磁場在坐標(r，z)的磁場強度B為：

(9)

式中：Br，Vm—永磁鐵剩磁強度和體積；ez—z方向的單位向量。

只有沿著z方向的磁場分量對感應(yīng)電動勢有影響，整個感應(yīng)線圈內(nèi)的磁通量為：

(10)

式中：fc—線圈填充率，N—線圈匝數(shù)。

將式(9，10)代入式(8)得到電磁耦合系數(shù)：

(11)

式中：Δ1，Δ2—靜平衡時磁鐵中心到線圈上面和下面的垂直距離。

為了便于分析和計算，一般取靜平衡位置時的電磁耦合系數(shù)。

4 集總參數(shù)機電耦合模型

(12)

壓電梁通常在低頻有較好的表現(xiàn)，等效質(zhì)量和等效機械剛度取一階振動模態(tài)可得：

(13)

(14)

式中：K1,D1—非線性彈簧的等效剛度和阻尼。

考慮到壓電和電磁機電耦合作用對系統(tǒng)的影響，系統(tǒng)的線性等效剛度為：

(15)

壓電負載Rp和電磁負載Re下系統(tǒng)的輸出功率分別為：

(16)

(17)

5 數(shù)值仿真與實驗分析

為了驗證理論模型的合理性，本研究在MATLAB中對機電耦合模型進行數(shù)值仿真和實驗。

HPEH結(jié)構(gòu)的仿真相關(guān)參數(shù)如表1所示。

實驗?zāi)Ｐ蜆訖C及驗證實驗平臺如圖4所示。

實驗系統(tǒng)主要包括：信號發(fā)生器為DH5922N、功率放大器為DH5872、激振器為DH40200、位移傳感器為HG-C1050、加速度傳感器1A941E、數(shù)字示波器、外接電阻負載。功率放大器根據(jù)信號發(fā)生器輸出的頻率可調(diào)正弦激勵信號控制激振器振動，從而為俘能器提供恒定的激勵源，同時采用加速度傳感器和位移傳感器對振動加速度以及輸出位移進行測量。

表1 HPEH結(jié)構(gòu)參數(shù)相關(guān)參數(shù)

圖4 模型樣機及驗證實驗平臺

本研究利用MATLAB對無彈簧復(fù)合俘能器系統(tǒng)進行掃頻，測試發(fā)電能力。在0.2 g加速度激勵下研究系統(tǒng)的電壓變化情況。

振動俘能器的掃頻仿真和實驗如圖5所示。

圖5 線性HPEH掃頻最優(yōu)負載電壓輸出圖

系統(tǒng)仿真固有頻率為17.5 Hz，實驗得到一階固有頻率為17.2 Hz，理論與實驗較為接近。

為了得到系統(tǒng)的最優(yōu)負載，分別對PEH和EEH進行功率優(yōu)化。在17 Hz、0.2 g加速度下分別對PEH和EEH接入不同的負載，獲得電壓和功率隨負載變化情況。

PEH、EEH電壓、功率隨電阻變化如圖6所示。

圖6 PEH、EEH電壓、功率隨電阻變化曲線

其電壓隨著阻值的增加而單調(diào)增大，輸出功率則先上升到某個值后逐漸下降。實驗得到PEH和EEH的最佳負載分別為18.2 kΩ和37 Ω。

單一俘能器最優(yōu)負載的電壓、功率隨頻率變化如圖7所示。

圖7 單一俘能器最優(yōu)負載的電壓、功率隨頻率變化圖

PEH、EEH的電壓輸出和功率輸出隨著激勵的增加而增加，同時他們的峰值隨著激勵的增大向右產(chǎn)生偏移。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是結(jié)構(gòu)具有非線性，較高激勵使得梁的剛度增加影響了固有頻率。

線性HPEH功率隨頻率變化如圖8(a)所示。對比理論分析結(jié)果和實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，線性HPEH的理論模型與實驗結(jié)果較為吻合。線性HPEH的復(fù)合功率在17.8 Hz處達最大值，最大輸出功率為682 mW。

為了探究不同激勵對于系統(tǒng)輸出的影響，線性HPEH輸出隨頻率、加速度變化如圖8(b)所示。系統(tǒng)功率輸出的最大值隨著激勵的增加而偏移，產(chǎn)生這種峰值偏移的原因可能是耦合的增加使得系統(tǒng)向右偏移。

最后對非線性彈簧HPEH的發(fā)電性能進行最優(yōu)負載的仿真和實驗。

圖8 線性HPEH功率隨頻功率變化關(guān)系圖

分段線性HPEH不同剛度功率輸出隨頻率變化如圖9所示。

圖9 分段線性HPEH不同剛度功率輸出隨頻率變化圖

對比發(fā)現(xiàn)分段線性HPEH具更寬的帶寬。除了在原有一階共振處有較高的輸出，隨著彈簧剛度的增加系統(tǒng)會在右側(cè)產(chǎn)生的次共振峰值，且兩個峰值功率隨著剛度的增加而下降。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因可能是大剛度的彈簧阻尼也越大，影響了系統(tǒng)的輸出。

分段線性HPEH輸出功率隨加速度激勵變化如圖10所示。

復(fù)合功率的帶寬隨著系統(tǒng)激勵的增大而變寬，并且一階固有頻率有向右偏移的趨勢，剛度越大偏移越明。在k=3 000 N/m條件下，優(yōu)化后的負載輸出功率最大值，約為27.6 mW/g2。

圖10 分段線性HPEH輸出功率隨加速度激勵變化圖

6 結(jié)束語

本研究提出一種分段線性復(fù)合式振動俘能器，建立相關(guān)機電耦合模型并進行相關(guān)實驗驗證理論。分析了分段線性俘能器能夠拓展帶寬的原因，探究達到最大輸出功率下的最優(yōu)負載。

研究結(jié)果表明：分段線性的復(fù)合振動俘能器在原有共振頻率的右側(cè)會產(chǎn)生一個次峰值，同時該等效固支-導(dǎo)支梁結(jié)構(gòu)本身具有非線性，這兩種現(xiàn)象均能拓展帶寬。

通過實驗與數(shù)值仿真得到：系統(tǒng)輸出電壓隨著負載的增大單調(diào)增加，而輸出功率隨著負載的電阻增加逐漸增大到某個最值后逐漸減小。在最優(yōu)負載、工作頻率為19 Hz時，分段HPEH最大輸出功率達到27.6 mW/g2，產(chǎn)生的能量能夠滿足網(wǎng)絡(luò)傳感器等低耗能微電子產(chǎn)品的供能需求，在工程中具有一定的價值。