蘭淋海

[摘要] 高中數(shù)學(xué)在初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上提升了不少，不但新增了數(shù)學(xué)內(nèi)容，而且拓展了數(shù)學(xué)思想和方法 。在解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生普遍感到數(shù)學(xué)抽象嚴(yán)謹(jǐn)有條理、方法多樣有優(yōu)劣、計(jì)算能力須扎實(shí)。部分高中學(xué)生原在初中時(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)就不是很好的，有的計(jì)算能力也弱，在解答教輔材料上的諸多習(xí)題總感力不從心，疑難問(wèn)題接踵而來(lái)，甚至到了抱怨高中數(shù)學(xué)太困難了，期望老師能適時(shí)為他們排疑解難，樹立起學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的信心。

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué) ; 學(xué)生疑問(wèn) ;教師解惑

高中數(shù)學(xué)要求學(xué)生具有初中的數(shù)學(xué)綜合知識(shí)和計(jì)算能力，新增了數(shù)學(xué)內(nèi)容，拓展了數(shù)學(xué)思想和方法 。學(xué)生在解答許多高中數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，普遍感到數(shù)學(xué)有的很抽象又嚴(yán)謹(jǐn)，考慮問(wèn)題要周全、解答過(guò)程要有條理性且方法手段多樣并有有優(yōu)劣、計(jì)算能力須扎實(shí)。筆者見到一些學(xué)生在解答一些高中數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中時(shí)感困惑、迷茫，尤其在解答教輔材料上的諸多習(xí)題總感力不從心，疑難問(wèn)題接踵而來(lái)，抱怨高中數(shù)學(xué)太難了。倘若教師不能給予他們輔導(dǎo)，這些學(xué)生受挫心就會(huì)增加，畏難情緒表露無(wú)遺，導(dǎo)致他們消極地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。因此，教師若能細(xì)致地為學(xué)生解惑，就能不斷地促進(jìn)學(xué)生探索高中數(shù)學(xué)問(wèn)題，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。高中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平差異也較大，包括初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及其計(jì)算能力、分析能力、解決問(wèn)題策略方法、數(shù)學(xué)空間想象能力等等。因人而異，分層輔導(dǎo)為學(xué)生排疑解惑，是以人為本的教育理念的體現(xiàn)，是教師的一種責(zé)任，也是一門藝術(shù)。下面擇幾道學(xué)生求問(wèn)的高中數(shù)學(xué)題與同仁分享，以期拋磚引玉。

1.區(qū)分學(xué)生解題能力，做好不同層面的輔導(dǎo)工作

例1，圖1，用 ， ， 三類不同的元件鏈成一個(gè)系統(tǒng)，當(dāng) 正常工作， 、 至少一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作。已知 ， ， 正常工作的概率依次為0.9， 0.8，0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為（? ）A. 0.960?????? B. 0.864???? C. 0.720???? D. 0.576

解析：求教的學(xué)生有的茫然解答，有的無(wú)法選項(xiàng)。復(fù)習(xí)：若事件 ， ，...， 相互獨(dú)立，則 .

用 表示“元件 正常工作”， 表示“元件 正常工作”， 。學(xué)生的疑惑：所求的概率為 ， 、 分別表示元件 與 、 同時(shí)正常工作的概率， 表示三個(gè)元件都正常工作的概率，但計(jì)算后得不出要選擇的結(jié)果。筆者點(diǎn)撥：數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?！分三種情況中前兩種都是兩個(gè)元件正常工作，還要考慮余下的一個(gè)元件是不正常工作的！解開迷霧，他們改為如下的計(jì)算：

，點(diǎn)撥成功！

鼓勵(lì)學(xué)生試著用“系統(tǒng)正常工作”的對(duì)立事件“系統(tǒng)不正常工作”的概率去間接求解。“系統(tǒng)不正常工作”的概率為： ，從而得到“系統(tǒng)不正常工作”的概率為：

本題不但考查學(xué)生對(duì)獨(dú)立事件和互斥事件的理解及其概率計(jì)算方法的掌握，而且學(xué)生需要有一定的分析問(wèn)題的能力和數(shù)學(xué)解題的策略。

對(duì)于解答該題毫無(wú)頭緒的學(xué)生，啟發(fā)如下：①獨(dú)立事件概率是如何計(jì)算？②本題中三個(gè)元件怎樣才能保證系統(tǒng)正常工作？具體有幾種情況？③各元件不能正常工作時(shí)各自概率是多少？④如何列式表示“系統(tǒng)正常工作”概率。輔導(dǎo)時(shí)，更有甚者要邊問(wèn)邊給出解答過(guò)程，直到愁云散去。

2.為學(xué)生解惑，讓不同層次的學(xué)生全面理解題目的要求和合理選擇解題方法

例2.甲、乙、丙三人射擊命中目標(biāo)的概率分別是 、 、 ，現(xiàn)三人同時(shí)射擊目標(biāo)，則目標(biāo)擊中的概率為???????????? 。

學(xué)生的誤解：所求的概率為： =......。解題思路簡(jiǎn)單化，對(duì)題目的要求不夠全面理解。

先明確題目的要求“甲、乙、丙三人射擊是否命中目標(biāo)”是相互獨(dú)立的，“目標(biāo)擊中”即為“甲、乙、丙三人射擊至少一人命中目標(biāo)”。用 、 、 分別表示甲、乙、丙三人射擊命中目標(biāo)，則用 、 、 分別表示甲、乙、丙三人射擊沒(méi)命中目標(biāo)， 表示甲、乙、丙三人射擊都沒(méi)命中目標(biāo)，因?yàn)?、 、 相互獨(dú)立，所以

= = ，因此，? ，即所求的概率為 。另一種解答，“目標(biāo)擊中”分為三種情況：

（1）甲、乙、丙三人中只有一個(gè)擊中目標(biāo)，即? ，則

（2）甲、乙、丙三人中只有2個(gè)擊中目標(biāo)，即 ，? ;

（3）甲、乙、丙三人中3個(gè)都擊中目標(biāo)，即 ， 。

用 表示擊中目標(biāo)，且 、 、 兩兩互斥，因此

對(duì)比兩種計(jì)算方法，哪種方法孰優(yōu)孰劣，學(xué)生有了切身的感受。容易看出，利用對(duì)立事件的概率間接地求解，計(jì)算更加簡(jiǎn)單，省去了多種擊中目標(biāo)的分析計(jì)算。對(duì)于各層次的學(xué)生，都要讓他們?nèi)胬斫忸}意，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，同時(shí)盡量地合理選擇解題策略。

例3.學(xué)校文藝隊(duì)每一個(gè)隊(duì)員唱歌、跳舞至少會(huì)一門，已知會(huì)唱歌的有5人，會(huì)跳舞的 有7人，現(xiàn)從中選3人，且至少有1個(gè)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的概率為 ，則該隊(duì)共有???? 人。

解析：本題借助于圖示幫助學(xué)生全面理解題目。如圖所示，

依題意，設(shè)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有 人，則只會(huì)唱歌的有 人，只會(huì)跳舞的有 人，那么只會(huì)唱歌的和只會(huì)跳舞的共有 人，該隊(duì)共有 人。從 人中選出3人，用A 表示“至少有1個(gè)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞”，則 表示“只會(huì)唱歌

或只會(huì)跳舞”，有? ，即 ，化為 ，容易驗(yàn)證 是方程的解。從而求得該隊(duì)人數(shù)為9人。

在給學(xué)生輔導(dǎo)過(guò)程中，結(jié)合圖示引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)出上面的各種數(shù)量關(guān)系，根據(jù)學(xué)生的回答情況有針對(duì)性地點(diǎn)撥。學(xué)生普遍感到圖示法直觀、容易理解，領(lǐng)略了獨(dú)到的解題策略。

3.指導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)式子轉(zhuǎn)化，對(duì)比，針對(duì)不同程度的學(xué)生給出稍有不同的輔導(dǎo)

例4.函數(shù) 的圖象的一條對(duì)稱軸方程為（?? ）

A.? ?????B.????? C.?????? D.

分析：對(duì)于形如函數(shù) ，從 ， 求得

， 為函數(shù)對(duì)稱軸方程?，F(xiàn)在，命題老師把該題的函數(shù)改成了 ，求的問(wèn)題不變，這時(shí)，就有些學(xué)生不知怎樣解答了。有經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生看到 ，就會(huì)將 化為 = ，于是函數(shù) ，化為前面所呈現(xiàn)的題型，即由 ， 解得 ， 為函數(shù) 的對(duì)稱軸的方程，當(dāng) 時(shí)，對(duì)稱軸方程為 。當(dāng)然，也可提示學(xué)生利用正弦與余弦和（差）角公式展開后合并，也能化為 。

以上針對(duì)不同層次的學(xué)生，還可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)难由旌屯卣?。如把本題要求改為求單調(diào)區(qū)間，求對(duì)稱中心，求最值等。還可以提出新的問(wèn)題：如何將正弦曲線 進(jìn)行伸縮平移成 等。

4.解決空間幾何計(jì)算問(wèn)題，精心給學(xué)生分析并視學(xué)生幾何基礎(chǔ)，詳略有別地輔導(dǎo)

例5.在正方體 - 中， 、 分別為棱 、 的中點(diǎn)，過(guò) 、 、 作該正方體的截面將正方體分成兩部分，則較小部分與較大部分的體積的比值為（? ）

A.?????? B.????? C .?????? D.

解析：本題是幾何題，要求學(xué)生要有一定的幾何基礎(chǔ)和空間想象力，學(xué)生感到解題困難的不在少數(shù)。

先讓學(xué)生畫出正方體的示意圖（如圖2），再教學(xué)生作出所求的截面 （如圖3）。

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 ，并設(shè)正方體被分割的兩部分的體積分別為 、 ，則

對(duì)于幾何基礎(chǔ)好的學(xué)生，教師指引他自己獨(dú)立完成計(jì)算。而對(duì)于空間想象力差且平面幾何知識(shí)薄弱的學(xué)生，教師將正方體的底面ABCD 與側(cè)面 畫在稿紙上（成為平面圖形）進(jìn)行引導(dǎo)，得出? ， 。

總之，高中數(shù)學(xué)問(wèn)題有代數(shù)的也有幾何的，平面幾何是空間幾何的基礎(chǔ)，空間想象力是學(xué)生重要的數(shù)學(xué)能力。高中數(shù)學(xué)綜合性強(qiáng)，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法手段多種多樣，要求高中學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)比較高。分層輔導(dǎo)高中學(xué)生數(shù)學(xué)也是因材施教的體現(xiàn)。在輔導(dǎo)時(shí)教師應(yīng)慈祥熱情接受學(xué)生提出的問(wèn)題，應(yīng)表現(xiàn)出樂(lè)于幫助學(xué)生的態(tài)度，帶給學(xué)生親切感，讓學(xué)生放松性情，愉悅配合。教師樂(lè)為學(xué)生解惑，有利于提高學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的積極性，也是教師的使命所在。

參考文獻(xiàn)

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