吳斌，劉見，張玨，陳旭

(1.北京師范大學(xué)天文系，北京100875；2.Albert Einstein Institute,Hanover 30167；3.Department of Physics,University of Western Australia,Crawley 6009)

1 引言

1.1 激光干涉引力波探測器

激光干涉引力波探測器由兩條相同的干涉臂組成，它利用干涉原理，通過測量兩條干涉臂由引力波引起的長度變化差來探測引力波信號。一般情況下，引力波傳播到地球時的振幅已變得非常小(約能引起千米級別的干涉儀的臂長變化，原子核尺寸的1‰)。為了測量到該微小的長度變化，激光干涉引力波探測器在普通的邁克爾遜干涉儀的基礎(chǔ)上做了許多改進[1–3]。以美國的激光干涉引力波天文臺(Laser Interferometer Gravitational-wave Observatory,LIGO)為例[1]，它的干涉臂長為4 km，且每一條臂都是由兩個測試物質(zhì)組成的法布里-珀羅諧振腔，被稱為探測器的臂腔。臂腔的兩測試物質(zhì)之間的距離變化則體現(xiàn)了干涉臂的長度變化。利用臂腔，激光在測試物質(zhì)間來回反射，這極大增加了干涉儀的有效臂長，因此引力波給干涉儀帶來的微小形變被積累放大。除此之外，另有兩個重要的改良是功率循環(huán)和信號提取技術(shù)的引進，它們分別增加了臂腔內(nèi)的循環(huán)功率和拓寬了探測的頻率帶寬。自2015年以來，高新激光干涉引力波天文臺(advanced LIGO)在已完成的兩輪探測(O1和O2)中，共探測到11個引力波信號[4]，其中包含了首次雙中子星并合事件[5]。始于2019年4月的為期近一年的第3次探測(O3)，探測了更多更遠的信號[6,7]。在O3觀測階段，Advanced LIGO對雙中子星并合事件和雙黑洞并合事件的觀測距離分別可達到120 Mpc和1 100 Mpc左右，而在O1和O2觀測階段的Advanced LIGO對雙中子星并合事件的探測距離分別為80 Mpc和100 Mpc，對雙黑洞并合事件的探測距離分別為740 Mpc和910 Mpc[8]。

量子噪聲是目前限制引力波探測器靈敏度的主要因素之一。它包含兩種噪聲[9]：低頻段由輻射壓噪聲主導(dǎo)，它來源于光子對測試物質(zhì)輻射壓力的漲落，這會導(dǎo)致測試物質(zhì)的位移噪聲；高頻段由散粒噪聲主導(dǎo)，它來源于光子抵達光電探測器的時間與光子數(shù)量的不確定性[10]。探測器臂腔內(nèi)激光的功率對兩種量子噪聲的強弱有相反的影響：若提高激光功率，輻射壓噪聲會變強，但散粒噪聲會減弱。為了將輻射壓噪聲和散粒噪聲折中，并將量子噪聲合理地降至最低，激光干涉引力波探測器在不同探測頻率下會有一個最佳的激光功率。根據(jù)Advanced LIGO的設(shè)計，其臂腔內(nèi)循環(huán)功率要達到約8×105W[1]才能使探測器在百赫茲附近達到最佳的靈敏度。在O3觀測階段的Advanced LIGO，臂腔內(nèi)的激光功率約為2×105W[11]，與全功率相差很大。

1.2 參量不穩(wěn)定性問題的提出及目前的研究概況

影響激光干涉引力波探測器的干涉臂內(nèi)激光功率的重要因素，是臂腔內(nèi)光學(xué)模與測試物質(zhì)的機械模(聲學(xué)模式)之間相互作用引起的參量不穩(wěn)定性。在參量不穩(wěn)定性出現(xiàn)時，臂腔內(nèi)的激光能量可以被傳遞到測試物質(zhì)的機械振動中，最終影響干涉儀的穩(wěn)定工作。

Braginsky等人[12]在2001年首次提出高功率激光在激光干涉引力波探測器臂腔中的使用會帶來參量不穩(wěn)定性問題，他指出參量不穩(wěn)定性會影響干涉儀臂腔內(nèi)所能存儲功率的上限，并強調(diào)了解決參量不穩(wěn)定性問題的重要性。隨后Zhao等人[13]對激光干涉引力波探測器中的參量不穩(wěn)定性問題進行了進一步的理論研究和數(shù)值模擬，并對Advanced LIGO的參量不穩(wěn)定性進行了預(yù)測。Zhao等人在文章中還提出利用熱形變來改變探測器測試物質(zhì)的曲率半徑，可以在一定程度上抑制參量不穩(wěn)定性[13]。之后，越來越多的研究小組加入到參量不穩(wěn)定性的研究當(dāng)中[14–18]，更貼合大型激光干涉引力波探測器實際情況的理論計算和模擬詳細地給出了一系列不穩(wěn)定模式的頻率[19]，并進一步揭示了參量不穩(wěn)定性問題在引力波探測中的重要性。Advanced LIGO在2015年首次觀測到了參量不穩(wěn)定性現(xiàn)象[20]，該實驗結(jié)果證實了Zhao等人的預(yù)測。

在Advanced LIGO的前兩輪探測中，參量不穩(wěn)定性主要通過兩種方法來抑制：最初采用的便是Zhao等人提出的利用熱形變改變測試物質(zhì)曲率半徑的方法；另外一種方法是通過靜電驅(qū)動來主動控制測試物質(zhì)的振動[21]。這兩種方法都存在一個弊端：它們很難同時抑制多個不穩(wěn)定的模式。而在全功率運作的條件下，Advanced LIGO的每一個測試物質(zhì)都會有10個左右的不穩(wěn)定模式[20]，所以多個模式的同時抑制很重要。在O3觀測中，Advanced LIGO采用了一種實施起來更加簡單但十分有效的新方法——聲學(xué)模阻尼器[22]。這一新方法在O3觀測中抑制了(1.5～1.8)×104Hz寬帶內(nèi)的參量不穩(wěn)定性，但它的難點在于抑制參量不穩(wěn)定性的同時在引力波信號頻段不出現(xiàn)額外的熱噪聲。未來，激光干涉引力波探測器臂腔內(nèi)的激光功率將持續(xù)增加，會出現(xiàn)更多的不穩(wěn)定模式；設(shè)計覆蓋頻段更寬、阻尼更大的阻器是人們面臨的挑戰(zhàn)。

本文將從參量不穩(wěn)定性的原理出發(fā)，詳細介紹以上幾種比較重要的解決參量不穩(wěn)定性問題的方法，之后將結(jié)合目前對于參量不穩(wěn)定性問題的研究進展，介紹三種值得繼續(xù)研究的新方法。

2 參量不穩(wěn)定性

2.1 光聲相互作用

光聲相互作用是導(dǎo)致參量不穩(wěn)定性現(xiàn)象的根本原因。從光子和聲子的角度，該相互作用可以用斯托克斯過程和反斯托克斯過程來解釋。如圖1a)所示，一個頻率為ω0的光子被散射，產(chǎn)生了一個頻率為ωs的更低頻的光子和頻率為ωm的聲子，這一過程被稱為斯托克斯過程；如圖1b)所示，一個同樣頻率為ω0的光子被頻率為ωm的聲子散射，產(chǎn)生一個頻率為ωa的更高頻的光子，這一過程被稱為反斯托克斯過程。在激光干涉引力波探測器的臂腔內(nèi)發(fā)生的光聲相互作用，實際的效果常常是將臂腔內(nèi)基模的能量散射到了不同頻率的高階模上。如果散射出來的高階模能在臂腔內(nèi)諧振，臂腔內(nèi)便能產(chǎn)生兩個光學(xué)模式(基模和高階模)與一個聲學(xué)模式之間的三模相互作用。

圖1 斯托克斯過程與反斯托克斯過程[23]

圖2從經(jīng)典力學(xué)的角度解釋了三模相互作用，臂腔內(nèi)的基模(ω0)能量，被測試物質(zhì)某個特定的聲學(xué)模式(ωm)散射到高階模(ω1)上。通過輻射壓的形式，臂腔內(nèi)的光學(xué)基模與高階模之間的拍頻會給測試物質(zhì)施加一個帶有特定空間分布的力，從而引起測試物質(zhì)的振動。當(dāng)測試物質(zhì)的聲學(xué)模式和臂腔內(nèi)的兩個光學(xué)模滿足以下兩個條件的時候，會出現(xiàn)較強的三模相互作用：其一，測試物質(zhì)的聲學(xué)模頻率與光學(xué)模的模式間隔(光學(xué)基模與高階模之間的頻率差)滿足頻率匹配條件，即|ω0-ω1|≈ωm；其二，散射出來的高階模的電場的能量分布與測試物質(zhì)的聲學(xué)模式的振幅分布之間有足夠大空間重疊。在Advanced LIGO的臂腔內(nèi)，一些光學(xué)模與測試物質(zhì)的聲學(xué)模有較大空間重疊，如圖3所示。由于測試物質(zhì)的曲率半徑在沿表面的不同方向上有微小差別，它不再是中心對稱的，所以圖中每種模式有兩種形式(強度分布旋轉(zhuǎn)90°，頻率略有差別)[19]。

圖2 經(jīng)典力學(xué)角度的三模相互作用[24]

圖3 光學(xué)模式與聲學(xué)模式分布的空間重疊[19]

2.2 參量增益

人們通常使用參量增益因子R來更加直觀地描述三模相互作用[25]。對于激光干涉引力波探測器的臂腔來說，參量增益因子的定義如下：

其中，P0代表臂腔內(nèi)基模(TEM00)的能量；Q1和Qm分別代表臂腔內(nèi)光學(xué)模和測試物質(zhì)聲學(xué)模的品質(zhì)因子；L是臂腔的腔長；M是測試物質(zhì)的質(zhì)量；c是真空中的光速；ωm是測試物質(zhì)聲學(xué)模的頻率；Δωs和Δωa反映了前文所提到的頻率匹配情況，Δωs/a=|ω0-ωs/a|-ωm；δs與δa分別是斯托克斯模和反斯托克斯模的線寬?？梢钥闯觯芰繌墓鈱W(xué)模式傳遞到聲學(xué)模式的斯托克斯過程，降低了光子的頻率并激勵了聲學(xué)模式的振動，參量增益因子為正；能量從聲學(xué)模式傳遞到光學(xué)模式的反斯托克斯過程，升高了光子的頻率并阻尼了聲學(xué)模式的振動，參量增益因子為負(fù)。Λ代表高階模光場分布與測試物質(zhì)聲學(xué)模振幅分布的空間重疊，下標(biāo)s和a分別對應(yīng)斯托克斯模和反斯托克斯模，Λ表達式為[12]：

式中V代表臂腔的體積；E00和Emn分別代表臂腔內(nèi)基模和高階模的電場分布；r代表三維的空間坐標(biāo)矢，r⊥為r垂直于測試物質(zhì)表面的分量；μ代表測試物質(zhì)聲學(xué)模的空間位移情況，μ⊥為μ在垂直于測試物質(zhì)表面的分量。Λ的取值越大，代表模式之間的重合度越大。

在發(fā)生三模相互作用時，測試物質(zhì)的振幅隨時間按指數(shù)et/τpi變化。利用參量增益因子R，測試物質(zhì)振動的時間常數(shù)τpi可以表示為[22]：

其中，τm是在沒有三模相互作用的情況下測試物質(zhì)振動的時間常數(shù)，僅與測試物質(zhì)的品質(zhì)因子Qm相關(guān)：Qm=τm×ωm/2。

可以看出，當(dāng)R＜1的時候，時間常數(shù)是負(fù)數(shù)，這意味著測試物質(zhì)的振幅隨著時間指數(shù)衰減，衰減的時間可能比正常的弛豫時間短或者長；當(dāng)R＞1的時候，時間常數(shù)為正數(shù)，測試物質(zhì)的振幅會隨著時間指數(shù)型增長，即出現(xiàn)不穩(wěn)定的情況；而如果R=1，三模相互作用帶給測試物質(zhì)的能量與測試物質(zhì)自身的能量耗散相等，此時τpi-→∞，即測試物質(zhì)將保持不變的振幅永遠振動下去。

相對于Initial LIGO，測試物質(zhì)聲學(xué)模和光學(xué)模的品質(zhì)因子也分別增大了10倍和2倍。從式(1)可以看出，參量增益的倍數(shù)與P0,Qm和Q線性相關(guān)，這3個量的變大，大大增加了參量不穩(wěn)定性出現(xiàn)的可能性。于是在2015年，Advanced LIGO一開始工作便發(fā)現(xiàn)了參量不穩(wěn)定性現(xiàn)象。在LIGO之前，也有其他一些相對小型的實現(xiàn)驗證了參量不穩(wěn)定性理論的正確性[27,28]，這些實驗對LIGO這樣的大型引力波探測器中可能出現(xiàn)的問題有很重要的指導(dǎo)意義。

3 參量不穩(wěn)定性的抑制

抑制參量不穩(wěn)定性其實就是要把參量增益R控制在1以下。從參量增益的表達式(1)中我們可以發(fā)現(xiàn)，通過改變引力波干涉儀的某些參量，可以達到降低參量增益的效果。其中最簡單直接的辦法是降低臂腔內(nèi)的激光功率，但是為了維持散粒噪聲水平，臂腔內(nèi)的高功率激光不可或缺。目前理論和實驗上比較可行的幾種辦法，主要是通過改變光學(xué)模和聲學(xué)模的頻率匹配情況或降低測試物質(zhì)的品質(zhì)因子來降低參量增益。

3.1 環(huán)形加熱器

參量不穩(wěn)定性出現(xiàn)的要求之一是滿足頻率匹配關(guān)系，即前文所提到的基模與高階模之間的模式間隔與聲學(xué)模頻率相等。對于激光干涉引力波探測器的臂腔來說，該模式間隔可以通過理論計算出來[26]：

其中，ωmn代表高階模的頻率，ω00代表基模的頻率，c是真空中的光速，L是臂腔的腔長，m和n是高階模的橫模指數(shù)。g1和g2分別由下面的兩個表達式得到：

其中，R1和R2分別代表測試物質(zhì)的曲率半徑。一個穩(wěn)定的臂腔必須滿足0＜g1g2＜1。

由式(4)和(5)可知，若改變測試物質(zhì)的曲率半徑，臂腔內(nèi)的模式間隔將會隨之發(fā)生改變，這便是環(huán)形加熱器(ring heater,RH)的原理。環(huán)形加熱器的概念如圖4所示，環(huán)形的熱源與測試物質(zhì)沒有直接接觸，它環(huán)繞在測試物質(zhì)邊緣，通過熱輻射給測試物質(zhì)加熱。由于邊緣吸收的熱量多、形變大，測試物質(zhì)的曲率半徑因此降低，這一曲率半徑的變化直接影響到臂腔的g因子，從而改變了臂腔內(nèi)高階模與基模之間的頻率差。若頻率變化超過臂腔的線寬，頻率匹配關(guān)系被打破，三模相互作用無法得到加強，參量不穩(wěn)定性便被抑制住。

圖4 環(huán)形加熱器概念圖[29]

Advanced LIGO測試物質(zhì)曲率半徑約為2 km，對于臂腔內(nèi)的三階模(TEM03)而言，測試物質(zhì)曲率半徑變化1 m就足以將它的頻率改變80 Hz，約等于臂腔的一個線寬。對于簡單的法布里-珀羅諧振腔來說，一個線寬的頻率移動，可以將參量增益降低一半，而對于采用了功率循環(huán)和信號提取技術(shù)的引力波探測器，變化更為顯著[30]。在LIGO Livingston首次發(fā)現(xiàn)其臂腔內(nèi)的參量不穩(wěn)定性現(xiàn)象后不久，環(huán)形加熱器便被用于參量不穩(wěn)定性的抑制。在測試物質(zhì)曲率半徑變化了2 m之后，參量增益降到了1以下，整個探測器在臂腔內(nèi)激光功率接近1×105W的狀態(tài)下穩(wěn)定工作超過12 h[20]。值得注意的是，這并不是環(huán)形加熱器首次在LIGO投入使用，在此之前它被用來抵消由于測試物質(zhì)吸收基模的能量而引起的曲率半徑的變化[31]，并且最高可以實現(xiàn)幾十米曲率半徑的改變[32]。

若LIGO工作在其設(shè)計功率下，采用環(huán)形加熱器抑制參量不穩(wěn)定性現(xiàn)象將會有一定的限制。因為隨著激光功率的增高，一方面參量增益也呈線性增大，環(huán)形加熱器將不足以將這些大的增益降到1以下；另一方面不穩(wěn)定模的密度也會變大，這時候把一個模移開其不穩(wěn)定區(qū)域的同時會有極大的可能性將其他原本穩(wěn)定的模式移動到不穩(wěn)定的區(qū)域中。

3.2 靜電驅(qū)動器

光學(xué)模產(chǎn)生的輻射壓對于測試物質(zhì)的推動，需要大于測試物質(zhì)自身的耗散才能夠激發(fā)參量不穩(wěn)定性。從式(1)可知，參量增益R與測試物質(zhì)的品質(zhì)因子Qm呈線性相關(guān)，所以降低測試物質(zhì)的品質(zhì)因子是抑制參量不穩(wěn)定性的另一個方向。

Ju等人[23]2009年首次提出可以利用靜電驅(qū)動器(electrostatic drive,ESD)來抑制參量不穩(wěn)定性，隨后Miller等人[33]在LIGO對靜電驅(qū)動做了進一步研究。2016年Blair等人[21]在LIGO Livingston首次實驗證實了靜電驅(qū)動在抑制參量不穩(wěn)定性問題中的可行性。如圖5所示，靜電驅(qū)動的基本原理是通過反作用質(zhì)量(reaction mass,RM)上排列的梳齒狀的導(dǎo)體，給測試物質(zhì)提供一個與其振動頻率相同、相位相反的縱向驅(qū)動力來抵消三模相互作用對測試物質(zhì)的輻射壓。本質(zhì)上，它是一個通過實時的反饋回路控制測試物質(zhì)，從而有效地降低測試物質(zhì)的品質(zhì)因子的主動阻尼過程。為了達到理想的驅(qū)動效果，該驅(qū)動力的分布也需要與測試物質(zhì)的聲學(xué)模式有較大的空間重疊。

圖5 Advanced LIGO靜電驅(qū)動裝置的模擬圖[21]

圖6所示的是Advanced LIGO的靜電驅(qū)動系統(tǒng)反饋回路的簡圖。豎直方向干涉臂的透射光被一個四象限的光電探測器收集，該四象限光電探測器可以測量到臂腔內(nèi)基模(TEM00)和三階模(TEM03)之間的拍頻信號，該三階模是被測試物質(zhì)的一個聲學(xué)模(15.54 kHz)散射出來的。拍頻信號先通過一個15.54 kHz的帶通濾波器以及一個放大倍數(shù)可調(diào)的放大器，再經(jīng)過移相器之后被傳輸?shù)届o電驅(qū)動器上。通過該反饋驅(qū)動過程，Advanced LIGO把這個TEM03模所對應(yīng)的參量增益從2.4降到了0.18[21]，施加在測試物質(zhì)上的靜電力從測試物質(zhì)振蕩最嚴(yán)重時的0.62 nN，降到了穩(wěn)態(tài)時的0.03 nN[21]。

圖6 Advanced LIGO的靜電驅(qū)動系統(tǒng)反饋回路簡圖[21]

靜電驅(qū)動方法同樣會在臂腔內(nèi)激光功率增大時遇到難以解決的困難。如隨著激光功率增大而新出現(xiàn)的不穩(wěn)定模式可能與靜電驅(qū)動力的分布僅有很小的空間重疊，因此，即使是一個很小參量增益，也需要非常大的驅(qū)動力來抑制。Miller等人[33]的模擬結(jié)果顯示，在30～90 kHz頻段內(nèi)出現(xiàn)的一些不穩(wěn)定模式，可能需要比目前大30倍的靜電力來抑制。與此同時，每一個不穩(wěn)定模式將會對應(yīng)一個獨立的控制信號，這意味著隨著不穩(wěn)定模式的增加，反饋回路的設(shè)計也將變得異常復(fù)雜。

3.3 聲學(xué)模阻尼器

在最近的O3觀測中，被動阻尼的方法在抑制參量不穩(wěn)定性中取得了很好的效果。不同于主動阻尼的反饋控制，被動阻尼是通過在測試物質(zhì)上安裝一種聲學(xué)模阻尼器(acoustic mode damper,AMD)而實現(xiàn)了寬帶內(nèi)測試物質(zhì)品質(zhì)因子的降低。

設(shè)計一個符合要求的被動阻尼器比較困難，一方面它需要在15～80 kHz的寬帶里實現(xiàn)有效的阻尼，另一方面它要確保在激光干涉引力波探測器的探測敏感頻段(100 Hz附近)不帶來新的噪聲。Gras等人[34]在2010年研究了一種金屬環(huán)阻尼器，這一方法可以有效地將大部分不穩(wěn)定模式的參量增益降低98%，但它存在兩個弊端：其一，金屬環(huán)阻尼器并不是對所有的模式都有同樣的效果，對于一些特定模式它只有很弱的抑制效果；其二，在有效地降低參量增益的同時，金屬環(huán)阻尼器引入了無法忽略的熱噪聲，從而影響探測器的靈敏度。隨后在2015年，Gras等人又設(shè)計了一種新的阻尼器——聲學(xué)模阻尼器[35]。這種阻尼器能夠?qū)崿F(xiàn)寬帶寬(15～80 kHz)的阻尼，但在100 Hz左右也會引入約為初始狀態(tài)2倍的熱噪聲。在此基礎(chǔ)上，Biscans等人[22]在2019年改良了阻尼器中的元件，使其不再對激光干涉引力波探測器的熱噪聲水平造成明顯的影響，并在LIGO的O3觀測中投入使用。在LIGO的臂腔內(nèi)，當(dāng)激光功率達到設(shè)計功率的30%時，新的聲學(xué)模阻尼器將消除15～80 kHz內(nèi)所有可能出現(xiàn)的不穩(wěn)定情況。

聲學(xué)模阻尼器的關(guān)鍵元件是一個壓電陶瓷，它把測試物質(zhì)的應(yīng)變能轉(zhuǎn)化為電能，最后通過電阻以熱能的形式耗散掉。這樣一個耗散系統(tǒng)，本質(zhì)上是一個損耗很大的彈簧，聲學(xué)模阻尼器(AMD)可看作是該彈簧與連接在該彈簧上的小質(zhì)量物體的組合。而在考慮被隔震系統(tǒng)懸掛起來的測試物質(zhì)(TM)時，我們可以認(rèn)為它是通過一個幾乎沒有損耗的彈簧連接在固定的墻壁上，因此阻尼器與測試質(zhì)量組成的系統(tǒng)構(gòu)成了一個質(zhì)量比很大的耦合振蕩器，圖7是其簡化的概念模型。通過選擇合適的阻尼器(損耗很大、質(zhì)量很小且其共振頻與測試物質(zhì)共振頻一致)，系統(tǒng)的品質(zhì)因子便可減小到足以將參量增益降低到1以下。為了實現(xiàn)寬帶寬阻尼，Advanced LIGO的每一測試物質(zhì)上都安裝了4個針對不同頻段的阻尼器，對于阻尼器沒有覆蓋到的10 kHz頻段的2個不穩(wěn)定的模，則采用3.1節(jié)中所提到的環(huán)形加熱器來抑制。

圖7 被動阻尼的概念模型[22]

聲學(xué)模阻尼器在Advanced LIGO的O3觀測中發(fā)揮了很重要的作用，但未來阻尼器的使用將同樣面臨一些問題。一方面，隨著激光功率的提升，臂腔內(nèi)會出現(xiàn)更多其他頻率的不穩(wěn)定模式(在15～80 kHz頻段之外)，現(xiàn)有的不穩(wěn)定模式的參量增益也會隨之變大，針對新的頻率以及更大的參量增益設(shè)計新的阻尼器將是一項新的挑戰(zhàn)；另一方面，未來的引力波探測器的熱噪聲將會變得更低，這意味著由聲學(xué)模阻尼器引入的熱噪聲雖然在目前可以忽略，但是在未來將不可忽略。

3.4 陣列加熱器

陣列加熱器常被用來修正激光干涉引力波探測器測試物質(zhì)的面形誤差。以意大利的引力波探測器Advanced Virgo為例，Day等人[36]通過陣列加熱器使測試物質(zhì)表面受熱并發(fā)生形變，實現(xiàn)了對面形誤差的實時修正，從而最大限度地保證了臂腔內(nèi)激光不被散射到其他模式上。陣列加熱器也能用來解決參量不穩(wěn)定性問題，它的出發(fā)點與環(huán)形加熱器類似，都是通過改變臂腔內(nèi)的模式間隔，從而改變臂腔內(nèi)的頻率匹配情況來打破三模相互作用。不同的是陣列加熱器可以對測試物質(zhì)表面進行小區(qū)域的加熱，從而達到隨意改變表面形狀的目的。

改變測試物質(zhì)表面的形狀實際上是改變了臂腔的體積。根據(jù)能量守恒定律，臂腔體積變大相當(dāng)于臂腔內(nèi)光子對外做功，光子能量降低，對應(yīng)著頻率的降低；反之，體積變小相當(dāng)外界對光子做功，光子能量增大，對應(yīng)著頻率的升高[37,38]。利用這一關(guān)系，測試物質(zhì)表面形變與臂腔內(nèi)光學(xué)模的頻率變化被聯(lián)系了起來，我們可以利用一個轉(zhuǎn)換矩陣來實現(xiàn)它們之間的轉(zhuǎn)換：

其中，A代表測試物質(zhì)表面形變，它是以澤尼克多項式為基底將表面形變分解得到的系數(shù)，澤尼克多項式是常被用來擬合光學(xué)表面的一組正交完備基；ω代表不同高階模所對應(yīng)的模式間隔的變化量；T是轉(zhuǎn)換矩陣，矩陣的m行n列的元素Tmn代表的是第m個高階模在形如第n個澤尼克多項式的形變之下的模式間隔變化量。利用T的逆矩陣，我們便可以通過設(shè)計特定的測試物質(zhì)表面形變(A)來調(diào)整臂腔內(nèi)任意的模式間隔(ω)，這為同時抑制多個不穩(wěn)定模式提供了可能，也能夠保證在抑制一個不穩(wěn)定模式時不會引入新的參量不穩(wěn)定性。

目前陣列加熱器還沒有用于實驗中參量不穩(wěn)定性的抑制，但理論計算和模擬結(jié)果已初步證明了該方法的可行性。圖8顯示了利用轉(zhuǎn)換矩陣導(dǎo)出的一個測試物質(zhì)表面形變，該形變能夠在將TEM03模的模式間隔變化100 Hz的同時維持其他的模式間隔不變。

陣列加熱器能夠同時控制臂腔內(nèi)的不同模式間隔，這一點比環(huán)形加熱器具有更明顯的優(yōu)勢，圖9顯示了陣列加熱器與環(huán)形加熱器改變模式間隔的效果對比。在不使用加熱器時，藍色虛線顯示，在15 kHz附近的光學(xué)模間隔與藍色箭頭指向的聲學(xué)模頻率相匹配。采用環(huán)形加熱器和陣列加熱器都能夠?qū)⒃撃Ｊ介g隔往左移動，從而避開這個不穩(wěn)定的頻率區(qū)域。但是在圖9所示的情況下，環(huán)形加熱器將一個高階模間隔從藍色箭頭指向的不穩(wěn)定模式移開的同時，又將另兩個高階模間隔移向了紅色箭頭所指向的兩個聲學(xué)模式。而采用陣列加熱器不會改變其他的模式間隔，從而不會引入新的參量不穩(wěn)定性情況。

圖8 利用轉(zhuǎn)換矩陣導(dǎo)出的測試物質(zhì)表面形變

圖9 陣列加熱器與環(huán)形加熱器的效果相比

要在實驗上真正實現(xiàn)利用陣列加熱器控制模式間隔還有很多工作要做。首先，不同的臂腔內(nèi)支持的光學(xué)模式的光場分布不一樣，這意味著針對不同的臂腔會有不一樣的轉(zhuǎn)換矩陣，測量測試物質(zhì)上不同光學(xué)模光場的分布將是該實驗的第一步；其次，模擬結(jié)果顯示矩陣加熱的結(jié)果與目標(biāo)形變之間有一定的誤差，這將給干涉儀引入新的損耗。除此之外，減少陣列加熱器中加熱元件的個數(shù)也是值得進一步研究的方向。

值得注意的是，轉(zhuǎn)換矩陣與陣列加熱器在光學(xué)實驗中還可能有其他用處。因為臂腔內(nèi)的模式間隔是可測量的，所以我們可以通過測量臂腔內(nèi)模式間隔的變化來實時監(jiān)測測試物質(zhì)表面形變的情況，必要時還可通過陣列加熱器來抵消該形變。

3.5 光學(xué)反饋

光學(xué)反饋(optical feedback)為抑制激光干涉引力波探測器臂腔內(nèi)的參量不穩(wěn)定性提供了另一條思路。當(dāng)臂腔內(nèi)的三模相互作用發(fā)生時，測試物質(zhì)的振動信息會耦合到臂腔的反射光場中。光學(xué)反饋正是利用反射光場中的信息，生成了一個與臂腔內(nèi)原有高階模頻率和空間分布都一致但是相位相反的光學(xué)模式，并將其注入到臂腔中。這樣一來，臂腔內(nèi)高階模強度由于干涉相消而被減弱，參量不穩(wěn)定性也因此被抑制。

光學(xué)反饋最初由Zhang等人[39]提出，隨后Fan等人[40]通過實驗進一步證明了該反饋系統(tǒng)可用于降低臂腔內(nèi)的高階模強度，實驗結(jié)果如圖10所示。在未開啟光學(xué)反饋系統(tǒng)時，臂腔內(nèi)TEM01模對應(yīng)信號的強度達到了約42 mV，而在開啟了光學(xué)反饋系統(tǒng)之后，TEM01模對應(yīng)信號的強度降到了5 mV附近。值得指出的是，該實驗并不是在參量不穩(wěn)定性發(fā)生的情形下完成，實驗中測試物質(zhì)的振動是由外界驅(qū)動的，所以光學(xué)反饋對參量不穩(wěn)定性的抑制效果，還有待進一步實驗驗證。

圖10 臂腔內(nèi)TEM01模對應(yīng)的信號強度[40]

3.6 設(shè)計不存在參量不穩(wěn)定性問題的新一代干涉儀

由前面的介紹可知，對于已建好的干涉儀，我們只能通過一些外加的裝置在有限的范圍內(nèi)調(diào)整測試物質(zhì)的曲率半徑或者品質(zhì)因子。但是如果設(shè)計新的干涉儀，我們可以根據(jù)模擬結(jié)果設(shè)計合適的臂腔參數(shù)，從而避免出現(xiàn)參量不穩(wěn)定性。

Zhang等人[41]最近研究并模擬了臂腔腔長、測試物質(zhì)直徑以及測試物質(zhì)曲率半徑的設(shè)計對參量不穩(wěn)定性現(xiàn)象的影響。他們的模擬結(jié)果指出，對于一個測試物質(zhì)直徑為50 cm的長8 km的臂腔，當(dāng)測試物質(zhì)的曲率半徑在4 500 m附近約6.8 m的范圍內(nèi)變化的時候，臂腔內(nèi)將不會出現(xiàn)任何不穩(wěn)定的模式。如圖11所示，在曲率半徑約為4 500 m時，不穩(wěn)定性模式缺失的情況。被稱為“零參量不穩(wěn)定性窗口”(PI-free window)。通過進一步優(yōu)化，他們發(fā)現(xiàn)當(dāng)臂腔腔長設(shè)計為6 335 m、測試物質(zhì)直徑設(shè)計為52 cm的時候，零參量不穩(wěn)定性窗口可拓寬到45.1 m。當(dāng)臂腔內(nèi)激光功率增大時，零參量不穩(wěn)定性窗口相應(yīng)地變窄，甚至?xí)霈F(xiàn)不存在任何零參量不穩(wěn)定性窗口的情況。但是，即便是在這種情況下，仍可以通過設(shè)計臂腔的參數(shù)來獲得一些“低參量不穩(wěn)定性窗口”，這可以減輕其他抑制參量不穩(wěn)定方法的負(fù)擔(dān)。

圖11 零參量不穩(wěn)定性窗口[41]

4 總結(jié)與展望

激光干涉引力波探測器的參量不穩(wěn)定性問題是由臂腔內(nèi)的光學(xué)模與測試物質(zhì)的聲學(xué)模之間相互作用導(dǎo)致的，這一相互作用會使得測試物質(zhì)的聲學(xué)模振動呈指數(shù)型快速增長，最終使得測試物質(zhì)失去控制，探測器無法正常工作。根據(jù)參量不穩(wěn)定性問題的產(chǎn)生原理，目前比較成熟的抑制參量不穩(wěn)定性問題的方法主要基于兩個出發(fā)點：其一，打破聲學(xué)模式與光學(xué)模式之間的頻率匹配關(guān)系；其二，降低聲學(xué)模式的品質(zhì)因子。

LIGO先后采用過三種方法來抑制參量不穩(wěn)定性現(xiàn)象：環(huán)形加熱器、靜電驅(qū)動器和聲學(xué)模阻尼器。其中環(huán)形加熱器是利用測試物質(zhì)的受熱形變來改變它的曲率半徑，從而改變臂腔內(nèi)光學(xué)模式的間隔，使之不再滿足頻率匹配關(guān)系。靜電驅(qū)動器通過實時的反饋回路，將測試物質(zhì)控制在其平衡位置。聲學(xué)模阻尼器在寬帶內(nèi)有效地降低了測試物質(zhì)的品質(zhì)因子，LIGO在O3觀測中通過聲學(xué)模阻尼器解決了15～80 kHz頻帶范圍內(nèi)所有潛在的參量不穩(wěn)定性問題。

以上列舉的這些方法在完成他們的設(shè)計任務(wù)的同時，也有一些不足之處。環(huán)形加熱器在抑制一個參量不穩(wěn)定性模式時，會將其他模式移入新的不穩(wěn)定頻段；靜電驅(qū)動器的一個反饋回路只針對一個不穩(wěn)定模式，若要同時抑制多個不穩(wěn)定模式，反饋回路以及驅(qū)動力的設(shè)計將會非常困難；而要設(shè)計覆蓋頻段更寬、阻尼效果更好的聲學(xué)模阻尼器也是一項新的挑戰(zhàn)。

除了以上三種LIGO已采用的方法，本文還介紹了三種在未來值得進一步研究的新方法。(1)利用一個連接測試物質(zhì)表面形變和臂腔內(nèi)光學(xué)模式間隔的轉(zhuǎn)化矩陣，設(shè)計能夠產(chǎn)生特定模式間隔變化的測試物質(zhì)表面形變，并通過陣列加熱器在測試物質(zhì)表面產(chǎn)生這一設(shè)計的形變。該方法解決了環(huán)形加熱器帶來的改變測試物質(zhì)曲率半徑會引入新的參量不穩(wěn)定性的問題，但自身也還有一些不成熟的地方有待實驗的進一步驗證和提升。(2)采用光學(xué)反饋，通過向臂腔內(nèi)注入一個與臂腔內(nèi)已存在的高階模相位相反但是頻率和空間分布都相同的光學(xué)模式，來降低臂腔內(nèi)的高階模強度。(3)從激光干涉引力波探測器的設(shè)計出發(fā)，通過巧妙地選擇臂腔的腔長、測試物質(zhì)的尺寸和曲率半徑，使得在一些特定的參數(shù)下“零參量不穩(wěn)定性”工作狀態(tài)成為可能。

在未來的激光干涉引力波探測器中，隨著臂腔內(nèi)激光功率的增大，可能的不穩(wěn)定模式會越來越多(若使用Advanced LIGO的設(shè)計功率，臂腔內(nèi)將會有超過40個可能的不穩(wěn)定模式)，與此同時，已有的不穩(wěn)定模式的參量增益也會變大。在優(yōu)化已有的抑制方法的基礎(chǔ)上，多種抑制方法的共同使用，將會是抑制參量不穩(wěn)定性問題的一個重要方向。

致謝

感謝西澳大學(xué)(The University of Western Australia)趙春農(nóng)教授和鞠莉教授的寶貴意見，他們提供的資料充實了文章內(nèi)容。同時也非常感謝審稿人和編輯部，他們的工作幫助提升了本文的質(zhì)量。