馬濤

（上海工程技術(shù)大學(xué)管理學(xué)院，上海 201620）

0 引言

增長與擇優(yōu)連接是BA 模型的兩個特征，該模型認為網(wǎng)絡(luò)可以無限增長，而且認為節(jié)點的壽命也是無限的，不考慮節(jié)點壽命長短。然而，現(xiàn)實中的許多網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點是具有壽命的，不同節(jié)點的壽命有長短區(qū)別，新節(jié)點進入到網(wǎng)絡(luò)后，都會經(jīng)歷這個過程，包括：成長、老化和死亡，例如：市場營銷渠道網(wǎng)絡(luò)中會有新公司進入，也會有公司退出，離開該網(wǎng)絡(luò)；產(chǎn)業(yè)鏈網(wǎng)絡(luò)中有的企業(yè)可能由于一些原因而被淘汰，也會有企業(yè)作為新的一員加入到該產(chǎn)業(yè)鏈中；科學(xué)家合作網(wǎng)的節(jié)點是有壽命的；電影演員合作網(wǎng)的節(jié)點是有壽命的；WWW 網(wǎng)基本上每時每刻都有新的網(wǎng)頁進入該系統(tǒng)，也會有網(wǎng)頁離開；在自然界中有新的物種出現(xiàn)，也會有一些物種消失。

目前，國內(nèi)外學(xué)者對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點老化現(xiàn)象進行了較多的研究，Moinet 等人[1]描述了網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的老化現(xiàn)象；Goldberg 等人[2]提出節(jié)點老化需要在引文網(wǎng)絡(luò)模型中得到體現(xiàn)，并使用一些數(shù)據(jù)對模型進行測試，來驗證模型是否正確；Dorogovtsev 等人[3]也對節(jié)點老化模型進行了研究，認為隨著節(jié)點壽命的增加，擇優(yōu)性會衰減；Luo等人[4]在進化的傳感器網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)中，考慮了能量意識機制，還討論了網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點和鏈接的變化；Sarshar等人[5]提出了一種日益增長的網(wǎng)絡(luò)研究模型，主要包括：新節(jié)點和鏈接的進入，現(xiàn)有鏈接的重組，以及節(jié)點的退出和補償連接機制。此外，目前也有對復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的有壽命節(jié)點的進入退出機制進行研究的文獻，包括：節(jié)點具有壽命的企業(yè)生產(chǎn)物流系統(tǒng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型[6]和M-G-P 型復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中有壽命節(jié)點的進入退出機制[7]。

綜上所述，對超網(wǎng)絡(luò)中有壽命節(jié)點的進入、老化與退出機制分析和描述的文獻很少。目前，劉艷等人[8]構(gòu)建了一種基于超圖的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)演化模型，在該模型演化過程中，既有新節(jié)點和新邊增加，也有舊節(jié)點和舊邊離開，而且不僅新添加的節(jié)點可生成新邊，網(wǎng)絡(luò)中的舊節(jié)點之間也可生成新邊。然而，文獻[8]的研究中沒有考慮節(jié)點的壽命，也沒有考慮節(jié)點的老化問題。因此，為了更好地理解真實網(wǎng)絡(luò)的變化，本文考慮到網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點是有壽命的，在文獻[8]的基礎(chǔ)上提出了超網(wǎng)絡(luò)中有壽命節(jié)點的進入、老化與退出機制，新節(jié)點被增加到網(wǎng)絡(luò)之后，都要經(jīng)歷成長、老化和死亡，即新節(jié)點進入、進入的節(jié)點會老化、老的節(jié)點會退出網(wǎng)絡(luò)。

1 基于超圖的超網(wǎng)絡(luò)

超網(wǎng)絡(luò)是一般網(wǎng)絡(luò)的一種自然推廣，超網(wǎng)絡(luò)可以被認為是一種特殊的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。超網(wǎng)絡(luò)分為兩類：基于超圖的超網(wǎng)絡(luò)和基于網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)。本文研究的是基于超圖的超網(wǎng)絡(luò)。超圖的圖形如圖1 所示。

圖1 超圖示例

超圖表示為：H=(V,E)，共有兩個集。V 是一個有限集，V={v1,v2,…,vn} 為節(jié)點集；E 為超邊集，E={E1,E2,…,Em} ，設(shè)Ei≠?(i=1,2,…,m)，超圖示例如圖1 所示，節(jié)點集V={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7} ，超邊集E={E1,E2,E3} ，其 中 ，E1={v1,v2,v3} ,E2={v4,v5} ,E3={v6,v7} 。

基于超圖的超網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)特征的研究中，對超網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)進行衡量的指標包括：節(jié)點的度、節(jié)點超度、超邊度、超邊超度及其分布、集聚系數(shù)、平均距離等。中心性被用來測量網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點處于中心位置的程度。超網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點中心性的測量包括：度中心性、介數(shù)中心性和接近中心性等。

2 超網(wǎng)絡(luò)中有壽命節(jié)點的進入、老化與退出機制

本文建立了Poisson 連續(xù)時間增長節(jié)點具有壽命的超網(wǎng)絡(luò)模型的新節(jié)點進入、節(jié)點老化和老節(jié)點退出的機制。機制的建立描述了超網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)變化過程，對用超網(wǎng)絡(luò)刻畫的復(fù)雜系統(tǒng)的描述具有借鑒意義。因此，以BA 模型為基礎(chǔ)，我們提出了一個節(jié)點具有壽命的超網(wǎng)絡(luò)模型，即節(jié)點是具有壽命的，新的節(jié)點進入網(wǎng)絡(luò)、進入的節(jié)點會逐漸老化、老的節(jié)點會退出網(wǎng)絡(luò)。超網(wǎng)絡(luò)中新節(jié)點的進入可以形成新的超邊，超網(wǎng)絡(luò)中的舊節(jié)點之間的超邊可能消失，也可能會產(chǎn)生新的超邊。超網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)在不斷地變化，使得超網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)為一種動態(tài)而復(fù)雜的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)。本文中舊節(jié)點和老節(jié)點的含義是不一樣的，超網(wǎng)絡(luò)中已有的節(jié)點被稱為舊節(jié)點，而隨著節(jié)點的老化，該老節(jié)點可能被刪除。

通過上述分析可知，超網(wǎng)絡(luò)表現(xiàn)出明顯的復(fù)雜性和動態(tài)性。為了有效研究超網(wǎng)絡(luò)，我們進行抽象化描述，新的節(jié)點進入網(wǎng)絡(luò)中，還會有新的連邊生成，而且，新進入的節(jié)點會老化，已存在于網(wǎng)絡(luò)中的一些老節(jié)點也會以一定概率被刪除，退出系統(tǒng)。新進入系統(tǒng)的節(jié)點在選擇舊節(jié)點形成新超邊時，會有某種傾向性存在，具有連接的偏好特性。舊節(jié)點之間的舊超邊可能消失，同樣舊節(jié)點之間連接形成新超邊時，在舊節(jié)點的選取上，也具有某種傾向性。根據(jù)假設(shè)條件，我們對Poisson 連續(xù)時間增長節(jié)點具有壽命的超網(wǎng)絡(luò)模型的新節(jié)點進入、老化與退出的機制描述如下。

2.1 新節(jié)點進入和節(jié)點老化

（1）泊松增長：網(wǎng)絡(luò)從少量的節(jié)點數(shù)量m0開始。在這個過程中，節(jié)點以批次的形式分批到達網(wǎng)絡(luò)，新節(jié)點批的到達過程是一個具有強度為λ的Poisson 過程。在時刻t，當(dāng)一批新節(jié)點到達超網(wǎng)絡(luò)時，從服從分布F(η)的正整數(shù)中提取ηN(t)，ηN(t)是一個可變化的值，這ηN(t)個新節(jié)點與超網(wǎng)絡(luò)中已有的m1個舊節(jié)點形成一條新超邊，新超邊包含的節(jié)點中有m1個舊節(jié)點，ηN(t)個新節(jié)點。如果m1=0，新超邊中的所有節(jié)點都是新節(jié)點；如果ηN(t)=0，新超邊中的所有節(jié)點都是舊節(jié)點。每一條新超邊中包含的舊節(jié)點數(shù)m1是變化的，所包含的新節(jié)點數(shù)ηN(t)也是一個變化的值。

（2）擇優(yōu)連接：為新節(jié)點選擇連接時，假設(shè)新節(jié)點連接到舊節(jié)點vi的概率∏(dH(vi))取決于舊節(jié)點vi的超度dH(vi)和它的年齡τi，即滿足：

其中，ti是節(jié)點vi進入網(wǎng)絡(luò)的時刻，τi=t-ti為節(jié)點vi的年齡。

上面公式（1）說明，隨著節(jié)點年齡的增長，其擇優(yōu)性在減弱。隨著時間的增加，節(jié)點逐漸老化，則被新節(jié)點選擇的概率會降低。當(dāng)節(jié)點達到一定的年齡（老齡化）時，新進入的節(jié)點將不再連接它。

2.2 老節(jié)點退出

刪除網(wǎng)絡(luò)中的某個老節(jié)點vl的概率為p(dH(vl))。刪除老節(jié)點依據(jù)概率：

選擇節(jié)點vl，dH(vl)是節(jié)點vl的超度；n≥0，稱為飽和因子，n 是與節(jié)點的年齡(t-ti)有關(guān)的，(t-ti)越大，n 越大，節(jié)點被刪除的可能性越大。

3 超網(wǎng)絡(luò)中有壽命節(jié)點的進入、老化與退出的演化模型

Barabasi 和 Albert［9］對 BA 模型進行了推廣，構(gòu)建了一個更具有一般性的無標度網(wǎng)絡(luò)，即網(wǎng)絡(luò)不僅由于添加新節(jié)點而產(chǎn)生新邊外，網(wǎng)絡(luò)中的舊節(jié)點之間的連接既可能消失也可能會建立新的連接。在很多現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)中，邊可以通過連接新節(jié)點的方式增加，也可以在網(wǎng)絡(luò)中的舊節(jié)點之間創(chuàng)建新的連接。例如：在演員合作網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點表示演員，連邊表示影片。一部新的影片可以通過一些新演員和已有演員之間的合作來完成，也可以通過已有演員之間的合作來完成。

本文根據(jù)第3 部分的超網(wǎng)絡(luò)中的有壽命節(jié)點的進入、老化與退出機制，構(gòu)建了基于超圖的超網(wǎng)絡(luò)動態(tài)變化模型：在變化過程中，不僅有新節(jié)點和新超邊進入超網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點也會老化，也有老節(jié)點退出超網(wǎng)絡(luò)，除了新添加的節(jié)點與舊節(jié)點可以生成新超邊之外，并且超網(wǎng)絡(luò)中的舊節(jié)點之間也可以生成新的超邊，舊超邊也可能退出超網(wǎng)絡(luò)。在圖2 的六種動態(tài)模型中，前三種主要來自文獻[8]，后三種是本文在文獻[8]的基礎(chǔ)上首次提出。初始時假設(shè)超網(wǎng)絡(luò)有m0個節(jié)點。m 是新超邊含有的節(jié)點數(shù)，m1是新超邊中包含的舊節(jié)點數(shù)，ηN(t)是新超邊中包含的新節(jié)點數(shù)，m2是被刪除的老節(jié)點數(shù)[9]。圖2 模擬了當(dāng)m=3，m2=1 時，超網(wǎng)絡(luò)動態(tài)演化過程，其中（a）是基礎(chǔ)圖，（1）-（6）為超網(wǎng)絡(luò)演化過程示意圖。圖 2 中的（1）-（6）是分別在基礎(chǔ)圖形（a）上做演化所得到的。在每個時間步內(nèi)，下面6 種操作選其一。實際中，超網(wǎng)絡(luò)的演化過程有很多種形式，下面的6 種操作只是超網(wǎng)絡(luò)演化過程的部分舉例。圖2 中，舊節(jié)點用黑色實心圓點表示，新進入超網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點用黑色空心圓點表示，舊超邊用實線圓圈表示，新超邊用虛線圓圈表示。

（1）在原有連接的基礎(chǔ)上，以概率p 增加一條新超邊。從超網(wǎng)絡(luò)的已有節(jié)點中根據(jù)概率擇優(yōu)選擇m 個舊節(jié)點，生成一條新超邊，每次選取的舊節(jié)點vi的概率根據(jù)公式（1），如圖 2（1）所示。

（2）在原有連接的基礎(chǔ)上，以概率q 增加一條新超邊。首先從超網(wǎng)絡(luò)中隨機刪除一條舊超邊，再從超網(wǎng)絡(luò)已有節(jié)點中根據(jù)概率擇優(yōu)選擇m 個節(jié)點，生成一條新超邊，每次選取舊節(jié)點vi的概率根據(jù)公式（1），如圖2（2）所示。

（3）以概率r增加ηN(t)個新節(jié)點和一條新超邊。這ηN(t)個新節(jié)點與超網(wǎng)絡(luò)中已有的m1個舊節(jié)點結(jié)合生成一條新超邊。當(dāng)選擇舊節(jié)點vi與新節(jié)點相連時，舊節(jié)點vi根據(jù)擇優(yōu)概率（1）式選取，如圖 2（3）所示。

（4）在原有連邊的基礎(chǔ)上，以概率s 增加一條新超邊。刪除超網(wǎng)絡(luò)中m2個老節(jié)點，刪除老節(jié)點的概率依據(jù)公式（2），然后從超網(wǎng)絡(luò)已有節(jié)點中根據(jù)概率優(yōu)先選取m 個節(jié)點，生成一條新超邊。每次舊節(jié)點vi根據(jù)擇優(yōu)概率（1）式選取，如圖 2（4）所示。

（5）在原有連邊的基礎(chǔ)上，以概率w 增加一條新超邊。首先從超網(wǎng)絡(luò)中隨機刪除一條舊超邊，同時刪除已有超網(wǎng)絡(luò)中m2個老節(jié)點，刪除老節(jié)點的概率依據(jù)公式（2），再從現(xiàn)有超網(wǎng)絡(luò)節(jié)點中根據(jù)概率優(yōu)先選取m 個節(jié)點，生成一條新超邊。每次舊節(jié)點vi根據(jù)擇優(yōu)概率（1）式選取，如圖 2（5）所示。

（6）以概率1-p-q-r-s-w 增加ηN(t)個新節(jié)點和一條新超邊，同時刪除超網(wǎng)絡(luò)中m2個老節(jié)點，刪除老節(jié)點的概率依據(jù)公式（2）。這ηN(t)個新節(jié)點與已有超網(wǎng)絡(luò)中的m1個舊節(jié)點結(jié)合生成一條新超邊。當(dāng)選擇舊節(jié)點vi與新節(jié)點相連時，舊節(jié)點vi根據(jù)擇優(yōu)概率（1）式選取，如圖 2（6）所示。

4 實例分析

企業(yè)科技創(chuàng)新團隊合作申請專利超網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點代表的是企業(yè)科技創(chuàng)新團隊人員，超邊代表的是科技創(chuàng)新團隊合作申請專利關(guān)系。該超網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點是有壽命的，這里的壽命不是人的自然壽命，而是指人員合作申請專利的壽命。在企業(yè)科技創(chuàng)新團隊合作申請專利超網(wǎng)絡(luò)中，可能會有新的人員加入超網(wǎng)絡(luò)中，長期不更新專業(yè)知識的人員會老化，即節(jié)點老化抽象為人員不更新專業(yè)知識，所導(dǎo)致的人員老化問題，超網(wǎng)絡(luò)中的已有的人員可能由于某些原因離開超網(wǎng)絡(luò)，超邊所表示的現(xiàn)有的科技創(chuàng)新團隊可能解散，也可能現(xiàn)有人員之間形成新的科技創(chuàng)新團隊，或者有新的人員加入與已有的人員組成新的科技創(chuàng)新團隊。因此，企業(yè)科技創(chuàng)新團隊合作申請專利的過程可以用圖2 描述。如圖3 所示是某高新技術(shù)企業(yè)科技創(chuàng)新團隊合作申請專利超網(wǎng)絡(luò)模型的演化過程圖[10]。

企業(yè)科技創(chuàng)新團隊合作申請專利超網(wǎng)絡(luò)最開始的初始時間是t=0，該超網(wǎng)絡(luò)隨著時間逐步演化，圖3 超網(wǎng)絡(luò)演化過程分為6 個時間點，從t=1 到t=6。圖3 是整體超網(wǎng)絡(luò)隨著時間發(fā)展所進行的逐步演化。圖3 中每一步的演化都是根據(jù)圖2 基于超圖的超網(wǎng)絡(luò)演化過程示意圖中的6 種操作來完成的。圖3 中，每條新超邊中的節(jié)點數(shù)都是3，m2是被刪除的老節(jié)點數(shù)，被刪除的老節(jié)點數(shù)都是1，每條新超邊中的新節(jié)點數(shù)、老節(jié)點數(shù)是變化的。

圖 3 中，t=1 時，以概率 p 在舊節(jié)點 v1、v4、v19之間增加一條新超邊E8，每次選取的舊節(jié)點vi的概率根據(jù)公式（1）；t=2 時，首先從超網(wǎng)絡(luò)中隨機刪除一條舊超邊E4，再從超網(wǎng)絡(luò)已有節(jié)點中根據(jù)概率擇優(yōu)選擇3 個節(jié)點 v8、v9、v10，以概率 q 增加一條新超邊 E9，每次選取的舊節(jié)點vi的概率根據(jù)公式（1）；t=3 時，以概率 r 增加 2 個新節(jié)點和1 條新超邊。這2 個新節(jié)點v15、v16與超網(wǎng)絡(luò)中已有的1 個舊節(jié)點v12結(jié)合生成一條新超邊E10。當(dāng)選擇舊節(jié)點vi與新節(jié)點相連時，舊節(jié)點vi根據(jù)擇優(yōu)概率（1）式選??；t=4 時，刪除超網(wǎng)絡(luò)中 1 個老節(jié)點 v4，刪除老節(jié)點的概率依據(jù)公式（2），然后從超網(wǎng)絡(luò)已有節(jié)點中根據(jù)概率優(yōu)先選取 3 個節(jié)點 v11、v15、v16，以概率 s 增加一條新超邊E11，每次舊節(jié)點vi根據(jù)擇優(yōu)概率（1）式選??；t=5 時，首先從超網(wǎng)絡(luò)中隨機刪除一條舊超邊E6，同時刪除已有超網(wǎng)絡(luò)中1 個老節(jié)點v13，刪除老節(jié)點的概率依據(jù)公式（2），再從現(xiàn)有超網(wǎng)絡(luò)節(jié)點中根據(jù)概率優(yōu)先選取 3 個節(jié)點 v7、v12、v15，以概率 w 增加一條新超邊 E12，每次舊節(jié)點vi根據(jù)擇優(yōu)概率（1）式選??；t=6 時，以概率1-p-q-r-s-w 增加2 個新節(jié)點和1 條新超邊，同時刪除超網(wǎng)絡(luò)中1 個老節(jié)點v5，刪除老節(jié)點的概率依據(jù)公式（2）。這 2 個新節(jié)點 v17、v18與已有超網(wǎng)絡(luò)中的 1 個舊節(jié)點v16結(jié)合生成一條新超邊E13。當(dāng)選擇舊節(jié)點vi與新節(jié)點相連時，舊節(jié)點vi根據(jù)擇優(yōu)概率（1）式選取。

圖3 企業(yè)科技創(chuàng)新團隊合作申請專利超網(wǎng)絡(luò)模型演化過程圖

通過圖3 可知，t=0 時，該企業(yè)科技創(chuàng)新團隊合作申請專利超網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點數(shù)是15，超邊數(shù)是7，經(jīng)過5個步驟，t=6 時，該企業(yè)科技創(chuàng)新團隊合作申請專利超網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點數(shù)是16，超邊數(shù)是11，超網(wǎng)絡(luò)圖形更加復(fù)雜，超網(wǎng)絡(luò)的密度增加，以及平均距離減小。從t=1到t=6，超網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點數(shù)和超邊數(shù)都是變化的，該企業(yè)科技創(chuàng)新團隊合作申請專利超網(wǎng)絡(luò)是處于動態(tài)變化過程中的，以上體現(xiàn)了該企業(yè)科技創(chuàng)新團隊合作申請專利的演化過程。通過該演化過程，我們可以知道該超網(wǎng)絡(luò)中的人員和科技創(chuàng)新團隊的數(shù)量是動態(tài)變化的。因此，企業(yè)需要關(guān)注科技創(chuàng)新團隊人員以及科技創(chuàng)新團隊的變化，采取相應(yīng)的措施來激勵人員更多地參與到科技創(chuàng)新團隊中，加強對人員的培訓(xùn)，延長團隊人員的合作申請專利的壽命，同時在企業(yè)科技創(chuàng)新團隊的組建過程中，對人員的引進、選擇等方面也要進行充分地考量。

5 結(jié)語

本文基于現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)的特點，在超圖理論的基礎(chǔ)上，提出Poisson 連續(xù)時間增長的超網(wǎng)絡(luò)模型中有壽命節(jié)點的進入、老化與退出機制，包含：新節(jié)點的加入、節(jié)點老化和老節(jié)點退出。新的節(jié)點進入網(wǎng)絡(luò)中，還會有新的連邊生成，舊節(jié)點之間形成的超邊可能消失，舊節(jié)點之間也可能會產(chǎn)生新超邊。本文構(gòu)建了一種基于超圖的超網(wǎng)絡(luò)動態(tài)演化模型，最后以某高新技術(shù)企業(yè)進行實例分析，進一步驗證了前面的假設(shè)。近年來，基于現(xiàn)實世界的超網(wǎng)絡(luò)特性的研究成果比較少，關(guān)于超網(wǎng)絡(luò)的演化還需要進一步開展相應(yīng)研究。由于數(shù)據(jù)的缺少，所以實證研究需要進一步加強，超網(wǎng)絡(luò)演化模型的實證研究是需要繼續(xù)研究的問題。