朱聰聰，李丹丹，喬振陽，吳宇翔，宋寅卯

（鄭州輕工業(yè)大學 建筑環(huán)境工程學院，鄭州 450001）

引言

由于資源的長期濫用與浪費，能源和環(huán)境問題日益嚴重，節(jié)能環(huán)保逐漸成為當今時代的主題。電機、變壓器作為主要的電氣設(shè)備，如何提高它們的效率以降低能源消耗已經(jīng)成為國內(nèi)外學者關(guān)注的問題[1,2]。眾所周知，電機的效率與其損耗密切相關(guān)，降低電機中的各項損耗對提高電機效率有著至關(guān)重要的作用，因此，精確求解出磁性材料的鐵心損耗尤為重要。

鐵耗是指在鐵磁材料上施加交變或旋轉(zhuǎn)磁場，鐵磁材料所產(chǎn)生的損耗。根據(jù)磁疇和磁疇壁的運動規(guī)律，可以將鐵耗分為磁滯損耗、渦流損耗和雜散損耗[3]。磁滯損耗是由于鐵磁材料置于交變磁場中，材料被反復(fù)交變磁化，磁疇相互不停的摩擦造成的損耗；當通過鐵心的磁通隨時間交變時，根據(jù)電磁感應(yīng)定律，鐵心中將產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，并引起渦流，渦流在鐵心中引起的損耗，稱為渦流損耗；雜散損耗是材料在磁化過程中，磁疇壁彎曲所產(chǎn)生的損耗。

目前針對磁性材料損耗的研究，國內(nèi)外學者已提出大量的理論和計算方法。計算方法大致分為以下3類[4]：（1）基于實驗數(shù)據(jù)擬合的Steinmetz經(jīng)驗公式法[5]；（2）基于損耗機理的Bertotti損耗分離法[6]；（3）基于磁化物理機制的磁滯損耗模型[7]。其中，磁滯模型主要有Preisach模型、Jiles-Atherton(J-A)模型和 Enokizono and Soda（E&S）模型。

本文從經(jīng)典的損耗計算公式出發(fā)，分別對各類損耗計算公式的發(fā)展歷程、適用范圍進行了全面綜述。目的在于從多個角度對損耗計算公式的應(yīng)用與發(fā)展趨勢進行歸納和分析，為后續(xù)學者對于損耗計算的研究提供方向。

1 Steinmetz經(jīng)驗公式

基于磁滯損耗形成機制，Steinmetz S于1892年提出了著名的磁滯損耗計算的原始Steinmetz經(jīng)驗公式[（5]OSE）。

式中：kh、α、β為正弦交流電激勵下測得的經(jīng)驗參數(shù)，f為鐵磁材料的磁化頻率，Bm為最大磁感應(yīng)強度。

該方法計算公式簡單，計算參數(shù)少，從而廣泛應(yīng)用于各類電工設(shè)備鐵耗的計算。但因其只適用于正弦激勵下的鐵耗計算，限制了這種方法的適用范圍，所以國內(nèi)外學者對其進行了深入的研究，使其能夠在更寬廣的范圍內(nèi)使用。

Reinert J等[8]指出由磁疇壁運動產(chǎn)生的鐵心損耗直接取決于磁感應(yīng)強度變化率dB/dt，并將一個完整再磁化周期內(nèi)的磁感應(yīng)強度變化率取平均值，整理得式（2）。

式中：ΔB=Bmax-Bmin，Bmax、Bmin分別為一個磁化周期內(nèi)磁感應(yīng)強度的最大值和最小值，B?為平均再磁化速率。

在正弦激勵波形條件下，式（2）可以進行歸一化處理。根據(jù)平均再磁化速率，用歸一化常數(shù)2/Bπ2計算出等效頻率feq如式（3）所示。

將等效頻率代入式（1）中，得到Steinmetz修正公式（MSE）如式（4）所示。

Abdallah等在文獻[8]基礎(chǔ)上進一步完善了鐵耗取決于平均再磁化率的假設(shè)[9]，認為鐵耗不僅與磁感應(yīng)強度變化率相關(guān)，還取決于瞬時參數(shù)B(t)，以減小在文獻[8]中改進的Steinmetz公式預(yù)測鐵耗的誤差，為了考慮小磁滯回環(huán)對鐵心損耗的影響提出了廣義Steinmetz公式（Generalized Steinmetz Equation，GSE），如式（5）所示。

式中系數(shù)k1的計算公式如式（6）所示。

Venkatachalam等認為鐵心損耗僅僅取決于磁感應(yīng)強度變化率dB/dt和B(t)，過分簡化了物理現(xiàn)象[10]，并沒有考慮到磁通波形磁化歷史對損耗帶來的影響。故將文獻[9]中的磁感應(yīng)強度瞬時值B(t)替換為磁通量密度變化的峰峰值ΔB，得到了廣義Steinmetz改進公式（IGSE），如式（7）所示。

式中系數(shù)ki的計算公式如式（8）所示。

為了使OSE適應(yīng)更加復(fù)雜的諧波條件，Shen W等引入了“磁通波形系數(shù)”的概念[11]，它通過計算通量密度波形的平均值，將非正弦波形與具有相同峰值磁通密度的正弦波形相關(guān)。磁通波形系數(shù)由磁通密度和電壓波形計算得出。將波形系數(shù)乘以式（1）即可得到Steinmetz波形系數(shù)公式，如式（9）所示。

式中：FWC為磁通波形系數(shù)，當勵磁電壓波形為方波時，F(xiàn)WC為π/4；當勵磁電壓波形為三角波時，F(xiàn)WC為π/3。

2 Bertotti損耗分離法

Bertotti[7]等在1988年提出了著名的鐵心損耗分離模型，根據(jù)鐵心損耗產(chǎn)生的機理不同將鐵耗分為磁滯損耗、渦流損耗和雜散損耗3部分，鐵耗分離模型如式（10）所示。

式中：Ph、Pcl和Pe分別為磁滯損耗系數(shù)、渦流損耗系數(shù)和雜散損耗系數(shù)，β為實驗測得的經(jīng)驗參數(shù)。

該模型在磁性材料的損耗計算中應(yīng)用十分廣泛，但在高頻或者諧波條件下，該模型的計算精度仍有待提高，針對其缺點，國內(nèi)學者都進行了深入的研究。

張寧在非正弦激勵條件下，推導了修正的鐵耗分離法[12]。并在此基礎(chǔ)上，考慮了磁心疊片的趨膚效應(yīng)，對鐵耗分離公式進一步改進，經(jīng)驗證所得的修正鐵耗分離模型在高頻環(huán)境下有很強的適用性。

張冬冬為了能夠在較寬頻率和磁密范圍內(nèi)準確計算鐵耗，提出了一種用于損耗精細化分析的分段變系數(shù)鐵耗模型[13]。通過引入渦流損耗附加磁通密度高次項和磁滯損耗附加磁通密度低次項，解決了因磁路飽和導致渦流損耗增加以及因諧波磁場導致磁滯損耗增加的問題。

劉任基于損耗分離理論，分別推導了Amar算法、Boglietti算法和Barbiso算法在三角波、方波激勵下的損耗計算公式，通過測量與計算結(jié)果在計算精度和模型參數(shù)提取上的對比分析選出了綜合性能最優(yōu)的算法[14]。為磁性元器件的設(shè)計優(yōu)化等領(lǐng)域求解磁性材料在非正弦激勵下的損耗提供了最優(yōu)算法。

劉剛對比分析了Steinmetz損耗模型、磁場有限元軟件MagNet中的損耗模型和Bertotti損耗模型在損耗計算中的擬合精度，并基于損耗分離模型，引入了磁滯損耗參數(shù)中關(guān)于磁感應(yīng)強度的三次多項式，提高了磁滯損耗的計算精度[15]。

針對諧波激勵下鐵心損耗的計算問題，趙志剛基于Bertotti損耗分離模型，在考慮諧波相位、諧波階次和諧波含量對磁滯損耗和渦流損耗的影響基礎(chǔ)上，引入修正因子對磁滯損耗和渦流損耗進行了修正，實現(xiàn)了諧波激勵下鐵心損耗的計算[16]。

3 磁滯模型

3.1 Preisach模型

Preisach模型是由德國物理學家Preisach F[17]于1935年提出的一種磁滯模型，是最早被提出的一種磁滯模型。1983年Krasnoselkii用純數(shù)學理論描述了Preisach模型，形成了經(jīng)典的Preisach模型，如式（11）所示。到目前為止，Preisach模型是發(fā)展歷程最長、應(yīng)用最為廣泛的一種磁滯模型，在電磁學領(lǐng)域得到了普遍的認同。

式中：f(t)為磁化過程中在給定某一時刻輸入值u(t)的情況下所對應(yīng)的輸出值；μ(α，β)為Preisach分布函數(shù)；α，β分別為算子輸入的上、下閾值。

Preisach模型計算損耗的基本原理是通過對分布函數(shù)的辨識預(yù)測鐵心工作點的磁滯回線面積計算出損耗[18,19]。所以，快速準確地辨識出Preisach模型的分布函數(shù)尤為關(guān)鍵。目前對Preisach分布函數(shù)的辨識主要分為兩種方法，一是用其他函數(shù)逼近Preisach分布函數(shù)，二是通過構(gòu)造Everett函數(shù)計算得出分布函數(shù)[20]。

1980年Vecchia R D[21]提出在Preisach模型中引入Everett函數(shù)，不僅可以確定任意時刻的磁通密度，而且可以簡化復(fù)雜的磁化過程，如式（12）所示。

Naidu根據(jù)Preisach模型的定義提出了一種利用極限磁滯回線的模擬方法[22]，該模型可以模擬不同工況下的磁滯回線。Dlala在此方法的基礎(chǔ)上，利用極限磁滯回線測量值推導出了Evereet函數(shù)表達式[23]，并利用了Evereet函數(shù)的雙線性和雙三次插值技術(shù)，有效地提高了該方法的計算精度和速度，并提高了Preisach模型在有限元中的適用性。

李琳在文獻[23]方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合Preisach模型的同余特性，利用Evereet函數(shù)模擬出高階回轉(zhuǎn)曲線的方法，有效地減少了對實驗數(shù)據(jù)數(shù)量的需求，簡化了復(fù)雜磁化過程的模擬[24]。

趙志剛等[20]利用磁滯回線的對稱性，用兩個一維函數(shù)的乘積來表示Preisach分布函數(shù)，將Preisach分布函數(shù)的辨識問題轉(zhuǎn)化為求解雙線性方程組的問題，在保證計算精度的同時減少了計算量。

李富華等[25]利用Lorentzian函數(shù)近似代替Preisach模型的分布函數(shù)，分別用解析法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法對分布函數(shù)進行識別，避免了使用材料一階回轉(zhuǎn)曲線對分布函數(shù)辨識的不便。

3.2 J-A模型

Jiles和Atherton基于磁疇壁移動和旋轉(zhuǎn)思想建立了鐵磁材料磁滯特性的數(shù)學理論[26]，采用改進的Langevin函數(shù)擬合各向同性材料的理想磁化曲線，然后引入磁滯損耗，根據(jù)能量守恒原理推導出了磁滯回線方程[27]。又根據(jù)磁疇運動機理將實際磁化強度分解為可逆磁化分量和不可逆磁化分量[28]，即：

可逆磁化分量可表示為：

由式（13）和式（14）可得不可逆磁化分量為：

式中：Man為理想磁化曲線，其公式為：

式中：He=H+αM為有效磁場強度。

能量守恒方程為[29]：

聯(lián)立公式（13）至（17），可得到磁化強度M與磁場強度H的關(guān)系式為：

將磁化強度M和磁場強度H之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為B-H的關(guān)系，之后模擬出磁性材料的磁滯回線，由磁滯回線面積即可求得磁滯損耗。其中確定Ms、a、α、k、c這五個磁滯參數(shù)是準確使用J-A模型的前提。

石紅等[30]基于磁化機理認為損耗系數(shù)k僅與不可逆分量有關(guān)，進而提出應(yīng)采用不可逆磁化強度為自變量的修正函數(shù)對損耗系數(shù)k進行修正，即

李超通過引入最大磁化強度Mm和局部修正系數(shù)λ，提出磁滯參數(shù)k、a、c的修正公式，有效提高了二次磁滯回線仿真的精確度[28]。

劉任提出一種基于隨機性優(yōu)化算法提取J-A模型參數(shù)的方法[31]，該方法綜合了模擬退火與確定性優(yōu)化算法全局搜索能力強以及Levengerg-Marquardt算法局部收斂速度快的優(yōu)點，在保證計算精度的同時縮短了計算時間。

3.3 E&S模型

Enokizono M[32]在Chua模型的基礎(chǔ)上提出了E&S矢量磁滯模型。該模型不僅考慮了交變磁化的影響，而且能考慮旋轉(zhuǎn)磁化的影響，可以準確地模擬電工鋼片矢量磁滯特性。該矢量磁滯模型通過描述磁場強度H和磁通密度B之間的關(guān)系，利用下式可以計算出鐵心損耗。

式中：ρ是材料密度，Hx、Hy、Bx、By分別是矢量H和B的兩個正交分量。

該模型可以表示為：

式中：τ=ωt；vxr、vyr為磁阻系數(shù)，vxi、vyi為磁滯系數(shù)，計算公式如下：

式中：k=x,y；系數(shù)由二維磁特性測量數(shù)據(jù)計算得出。

式（23）考慮了H波形的5次諧波分量[33]，而且簡化了傳統(tǒng)E&S模型中磁阻系數(shù)和磁滯系數(shù)的表達式，避免了Bk，?Bk/?τ的4次方項而帶來的有限元分析的復(fù)雜性，并且提高了計算精度。

為了使復(fù)數(shù)E&S模型與有限元結(jié)合時既能夠節(jié)省時間又能夠保證材料特性模擬的準確性，提出了利用磁能密度平均值和磁滯損耗密度分別計算磁阻系數(shù)和磁滯系數(shù)的方法[34]，該磁滯模型可表示為

4 發(fā)展趨勢

Steinmetz公式因參數(shù)較少，表達形式簡單，計算速度較快得到了廣泛的應(yīng)用，但其缺乏對磁滯現(xiàn)象物理機理的解釋，且損耗系數(shù)只通過大量的測量數(shù)據(jù)擬合，所以其適用的磁密和頻率范圍較小[35]。在今后的研究中，要著重于Steinmetz公式在高頻高磁密或者高次諧波激勵條件下的適用性和精確性。

Bertetti從損耗機理出發(fā)，將鐵心損耗分為3部分，并提出了各個部分的損耗計算公式。針對影響損耗計算精度的各個因素都可以找到相應(yīng)的損耗部分去修正，大幅提高了該模型的適用范圍與計算精度。在未來的研究中，可以多考慮在旋轉(zhuǎn)激磁條件下提高Bertotti損耗分離法的計算精度的方法。

磁滯模型計算法雖然可以精確地計算出鐵心損耗，但是依賴于大量的實驗數(shù)據(jù)進行參數(shù)辨識，辨識過程復(fù)雜繁瑣，工作量巨大，在實際應(yīng)用中很不方便。而且針對不同的模型，需要辨識的參數(shù)大有不同，通常每種模型都有特定的測量方法與測量設(shè)備，在研究過程中成本較高，限制了磁滯損耗模型計算方法的推廣和應(yīng)用。未來對磁滯損耗模型的改進首先要基于測量設(shè)備測量精度的提高，在擁有高精度測量設(shè)備的前提下，簡化磁滯模型中的參數(shù)，使辨識過程簡單化。

5 結(jié)束語

通過分析各國學者對這三類計算方法的研究進展，發(fā)現(xiàn)對Bertotti損耗分離法的研究最為廣泛，在諧波磁場或者磁路飽和等因素的影響下，可以通過引入修正因子對磁滯損耗和渦流損耗進行準確的計算分離。因此Bertotti損耗分離法更適合于復(fù)雜諧波磁場下的損耗計算，不斷完善損耗分離法有助于精確計算鐵心損耗，對提高電氣設(shè)備的性能有重要的指導意義。