王國(guó)強(qiáng)，程甚男?，孟立飛，易 忠，肖 琦，潘宗浩，胡小文，劉 凱，張鐵龍,4

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)（深圳）空間科學(xué)與應(yīng)用技術(shù)研究院，深圳518055；2.北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京100094；3.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué) 地球和空間科學(xué)學(xué)院，合肥 230026；4.奧地利科學(xué)院 空間研究所，格拉茨A-8042）

0 引言

衛(wèi)星通過(guò)搭載科學(xué)載荷設(shè)備記錄空間環(huán)境中的物理參數(shù)，從而為開(kāi)展空間探索提供科學(xué)數(shù)據(jù)[1-2]。因此，科學(xué)載荷技術(shù)的研發(fā)對(duì)空間科學(xué)的發(fā)展具有重要意義。磁場(chǎng)測(cè)量是空間探測(cè)中的一項(xiàng)重要任務(wù)[3-6]，精確的磁場(chǎng)測(cè)量有助于研究磁重聯(lián)、波粒相互作用等物理過(guò)程及一些空間小尺度的物理結(jié)構(gòu)等[7-11]。搭載在衛(wèi)星上的磁測(cè)設(shè)備一般為磁通門(mén)磁強(qiáng)計(jì)，其所測(cè)得的磁場(chǎng)包含衛(wèi)星本體磁場(chǎng)、磁強(qiáng)計(jì)磁零點(diǎn)補(bǔ)償值（簡(jiǎn)稱(chēng)零位補(bǔ)償）和自然磁場(chǎng)[2-3]。為獲得準(zhǔn)確的自然磁場(chǎng)，需要明確磁強(qiáng)計(jì)的零位補(bǔ)償。盡管在衛(wèi)星發(fā)射之前會(huì)對(duì)磁通門(mén)磁強(qiáng)計(jì)進(jìn)行地面標(biāo)定，但零位補(bǔ)償值會(huì)隨時(shí)間發(fā)生緩慢變化[12-14]。因此，需要對(duì)磁通門(mén)磁強(qiáng)計(jì)進(jìn)行在軌標(biāo)定，從而獲得可靠的零位補(bǔ)償值。

對(duì)空間探測(cè)的磁通門(mén)磁強(qiáng)計(jì)進(jìn)行在軌標(biāo)定的常用技術(shù)為Davis-Smith 方法[15-17]?？臻g等離子體環(huán)境存在大量磁流體力學(xué)波動(dòng)，包括阿爾芬波動(dòng)和壓縮波動(dòng)，其中阿爾芬波動(dòng)不會(huì)改變總磁場(chǎng)強(qiáng)度[18-20]?；诎柗也▌?dòng)對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)三分量與總磁場(chǎng)強(qiáng)度不相關(guān)這一特征，利用Davis-Smith 方程可獲得準(zhǔn)確的磁強(qiáng)計(jì)零位補(bǔ)償值[16]。然而，行星際空間中沒(méi)有純粹的阿爾芬波動(dòng)，即磁場(chǎng)擾動(dòng)中存在壓縮波動(dòng)[16]，因此利用Davis-Smith 方程計(jì)算出來(lái)的零位補(bǔ)償值不可避免地存在計(jì)算誤差，但可以通過(guò)篩選出阿爾芬特性足夠強(qiáng)的磁場(chǎng)波動(dòng)來(lái)確保磁補(bǔ)償?shù)挠?jì)算誤差足夠小。為此，有學(xué)者提出復(fù)雜的磁場(chǎng)波動(dòng)篩選判據(jù)[16]，并已應(yīng)用于美國(guó)MMS（Magnetospheric Multiscale）衛(wèi)星的磁通門(mén)磁強(qiáng)計(jì)在軌標(biāo)定[21]。

近期的數(shù)值分析結(jié)果表明，無(wú)論是阿爾芬波動(dòng)還是壓縮波動(dòng)，其波動(dòng)參數(shù)（如波動(dòng)幅度、周期等）對(duì)Davis-Smith 方程計(jì)算磁強(qiáng)計(jì)的零位補(bǔ)償值存在不同程度的影響[22-24]——壓縮波動(dòng)幅度越小，零位補(bǔ)償值的誤差則趨向于更小[22]；而當(dāng)壓縮波動(dòng)周期與阿爾芬波動(dòng)周期相同時(shí)，即便壓縮波動(dòng)幅度較小，Davis-Smith 方程的計(jì)算結(jié)果也可能出現(xiàn)非常大的誤差[23]；零位補(bǔ)償值的誤差在壓縮波動(dòng)所在的磁場(chǎng)分量上會(huì)相對(duì)較大，這表明同一波動(dòng)在不同參考坐標(biāo)系中對(duì)Davis-Smith 方程的計(jì)算誤差影響可能不相同[22]。

本文利用數(shù)值分析，研究不同直角坐標(biāo)系中Davis-Smith 方程對(duì)同一磁場(chǎng)波動(dòng)的計(jì)算誤差特征，以考查參考坐標(biāo)系對(duì)基于Davis-Smith 方法的磁通門(mén)磁強(qiáng)計(jì)在軌標(biāo)定的影響。

1 Davis-Smith方程

設(shè)磁通門(mén)磁強(qiáng)計(jì)所測(cè)磁場(chǎng)為BM=(Bx,By,Bz)，零位補(bǔ)償值為O=(Ox,Oy,Oz)。假定磁強(qiáng)計(jì)所測(cè)到的衛(wèi)星本體磁場(chǎng)噪聲為0（該假設(shè)在衛(wèi)星上放置磁傳感器的伸桿足夠長(zhǎng)的情況下是合理的），則自然磁場(chǎng)BA=BM–O。如果衛(wèi)星上的磁通門(mén)磁強(qiáng)計(jì)探測(cè)到一段純的阿爾芬波動(dòng)，則將該時(shí)段的磁場(chǎng)數(shù)據(jù)BM代入Davis-Smith 方程，即可獲得零位補(bǔ)償值O。Davis-Smith 方程的表達(dá)式[16]為

其中Bx′、By′、Bz′和|BM|2′分別為Bx、By、Bz和|BM|2與其各自的平均值之差。

2 數(shù)值仿真

假設(shè)衛(wèi)星本體磁場(chǎng)為0且磁通門(mén)磁強(qiáng)計(jì)不存在磁零點(diǎn)漂移，即零位補(bǔ)償值為0，那么磁強(qiáng)計(jì)所測(cè)得磁場(chǎng)BM即為自然磁場(chǎng)BA。此時(shí)，將BM代入Davis-Smith 方程后所得到的零位補(bǔ)償值O即為該方程的計(jì)算誤差。我們首先設(shè)定初始平面波動(dòng)，然后通過(guò)旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系來(lái)考查該波動(dòng)在不同參考坐標(biāo)系下Davis-Smith 方程的計(jì)算誤差分布特征。

2.1 初始波動(dòng)設(shè)置

為便于分析，我們假設(shè)阿爾芬波動(dòng)為單色平面波動(dòng)，擾動(dòng)分量分別在x和y方向上；壓縮波動(dòng)只在z分量上。該設(shè)置類(lèi)似于磁場(chǎng)矢量所在的坐標(biāo)系為場(chǎng)向坐標(biāo)系，磁場(chǎng)三分量設(shè)置如下：

式(2)～式(4)中：A、C分別為阿爾芬波動(dòng)和壓縮波動(dòng)的幅度；ωA和ωC分別為阿爾芬波動(dòng)和壓縮波動(dòng)的角頻率。磁場(chǎng)單位為nT。

采用式(2)～式(4)設(shè)置2個(gè)波動(dòng)事件，如圖1所示。事件1的阿爾芬波動(dòng)幅度A=1 nT，周期為60 s；壓縮波動(dòng)幅度C=0.2 nT，周期為10 s。事件2的阿爾芬波動(dòng)幅度A=2 nT，周期為90 s；壓縮波動(dòng)幅度C=0.3 nT，周期為20 s。在后文分析中，這2個(gè)波動(dòng)的時(shí)間窗口分別取對(duì)應(yīng)阿爾芬波動(dòng)周期的10倍時(shí)長(zhǎng)。

圖1 所設(shè)置波動(dòng)事件的磁場(chǎng)三分量和總磁場(chǎng)Fig.1 Three components of the magnetic field and the strength of the two wave events designed in this paper

2.2 坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)對(duì)單個(gè)波動(dòng)事件的零位補(bǔ)償誤差的影響

對(duì)磁場(chǎng)矢量按如下方式進(jìn)行坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換：將xyz坐標(biāo)系的磁場(chǎng)矢量先繞y軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度φ，得到新坐標(biāo)系x′y′z′；再將x′y′z′坐標(biāo)系下的磁場(chǎng)矢量繞z′軸旋轉(zhuǎn)θ角，從而得到x″y″z″坐標(biāo)系下的磁場(chǎng)數(shù)據(jù)。把x″y″z″坐標(biāo)系下的磁場(chǎng)數(shù)據(jù)代入Davis-Smith 方程，就可以考查坐標(biāo)系對(duì)零位補(bǔ)償計(jì)算的誤差特征。θ按步長(zhǎng)1°從0°增加到360°；φ按步長(zhǎng)1°從0°增加到180°。每進(jìn)行一次坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換，便將x″y″z″坐標(biāo)系下的磁場(chǎng)數(shù)據(jù)代入到式(1)計(jì)算出對(duì)應(yīng)的零位補(bǔ)償值。

圖2展示了波動(dòng)事件1對(duì)應(yīng)的磁通門(mén)磁強(qiáng)計(jì)零位補(bǔ)償值O隨θ和φ的分布。這里需要注意的是，圖中所示的零位補(bǔ)償值為Davis-Smith 方程的計(jì)算誤差。如圖2(a)所示，Ox、Oy和Oz的絕對(duì)值隨θ和φ的變化在0.01～10 nT之間變化：Ox在(θ,φ)=(0°,90°)或(180°,90°)附近達(dá)到極大值；而Oy在(θ,φ)=(90°,90°)或(270°,90°)附近達(dá)到極大值。Ox和Oy隨θ的變化相差90°可能與Bx和By的相位相差90°有關(guān)。Ox、Oy在φ=0°和180°時(shí)達(dá)到極小值；而Oz在φ=0°和180°時(shí)達(dá)到極大值，在φ=90°時(shí)達(dá)到極小值。圖2(b)展示了Ox、Oy和Oz的正負(fù)符號(hào)：Ox在0°＜θ＜90°和270°＜θ＜360°區(qū)間為負(fù)，在90°＜θ＜270°區(qū)間為正；Oy和Oz也在不同的θ或φ區(qū)間表現(xiàn)出不同的正負(fù)情況。由此可見(jiàn)，即便是同一波動(dòng)，參考坐標(biāo)系對(duì)Davis-Smith 方程所計(jì)算零位補(bǔ)償?shù)木_度亦有顯著影響。

圖2 波動(dòng)事件1的零位補(bǔ)償?shù)慕^對(duì)值及其正負(fù)符號(hào)隨θ 和φ的分布Fig.2 Theabsolutevalue (left)and the plusor minus (right)of the magnetic zero-offset for wave event I

近期的數(shù)值分析結(jié)果表明，磁場(chǎng)壓縮波動(dòng)若與阿爾芬波動(dòng)周期相同，則即便壓縮波動(dòng)幅度較小也可能產(chǎn)生較大的零位補(bǔ)償計(jì)算誤差[21-22]。將波動(dòng)事件1中的壓縮波動(dòng)周期改為與阿爾芬波動(dòng)周期相同，即60 s，其他參數(shù)保持不變，然后分析參考坐標(biāo)系對(duì)該波動(dòng)的影響（如圖3所示）。可以發(fā)現(xiàn)，圖3中磁場(chǎng)三分量的零位補(bǔ)償誤差與圖2顯著不同（圖中白色區(qū)域表示在計(jì)算零位補(bǔ)償時(shí)，求解逆矩陣的結(jié)果不可信，從而導(dǎo)致零位補(bǔ)償?shù)挠?jì)算值不可靠）：Ox和Oy在φ=80°以及90°＜θ＜180°和270°＜θ＜360°區(qū)間出現(xiàn)極大值，誤差可達(dá)幾十nT，遠(yuǎn)大于阿爾芬波動(dòng)的幅度（1 nT）；在0＜θ＜90°和0＜φ＜80°以及180°＜θ＜270°和80°＜φ＜160°區(qū)間，Ox和Oy的值非常?。ㄔ?.01 nT 附近或更?。?；Oz在φ=170°附近出現(xiàn)極大值。對(duì)比圖3和圖2可以發(fā)現(xiàn)，即便是同一阿爾芬波動(dòng)，壓縮波動(dòng)周期是否與阿爾芬波動(dòng)周期相同亦對(duì)Davis-Smith 方程計(jì)算結(jié)果的精確度有顯著影響。

圖3 波動(dòng)事件1的零位補(bǔ)償?shù)慕^對(duì)值及其正負(fù)符號(hào)隨θ 和φ的分布（其中該事件中的壓縮波動(dòng)周期已修改為與阿爾芬波動(dòng)周期相同）Fig.3 The absolute value(left)and the plus or minus(right)of the magnetic zero-offset for wave event I,in which the period of the compressional wave is set to be the same with the Alfvén wave

圖4所示為波動(dòng)事件1對(duì)應(yīng)的零位補(bǔ)償總誤差OT，其中圖4(a)對(duì)應(yīng)波動(dòng)事件1中壓縮波動(dòng)周期為10 s，圖4(b)中的壓縮波動(dòng)周期與阿爾芬波動(dòng)周期相同，為60 s。圖4(a)顯示：OT最小可低至0.4 nT，最大可達(dá)5 nT；在θ=45°、φ=130°或θ=225°、φ=50°附近，OT達(dá)到極小值。這表明，在對(duì)單個(gè)波動(dòng)用Davis-Smith 方程進(jìn)行計(jì)算時(shí)，挑選合適的磁場(chǎng)波動(dòng)可顯著減小OT的計(jì)算誤差。圖4(b)顯示：OT在φ=80°以及90°＜θ＜180°和270°＜θ＜360°區(qū)間，或φ=170°時(shí)，誤差可達(dá)幾十nT；OT的最小值在1 nT附近。對(duì)比圖4(a)和圖4(b)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)壓縮波動(dòng)周期與阿爾芬波動(dòng)周期不同時(shí)，OT值會(huì)顯著變小。因此，在對(duì)磁通門(mén)磁強(qiáng)計(jì)進(jìn)行在軌標(biāo)定時(shí)，如果阿爾芬波動(dòng)事件足夠多，應(yīng)盡可能選取與壓縮波動(dòng)周期不相同的波動(dòng)事件來(lái)用Davis-Smith 方程計(jì)算零位補(bǔ)償。

圖4 波動(dòng)事件1的零位補(bǔ)償總誤差Fig.4 The total error of the magnetic zero-offset calculated by using the data from waveevent I

2.3 坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)對(duì)波動(dòng)事件零位補(bǔ)償誤差的影響

在對(duì)磁通門(mén)磁強(qiáng)計(jì)進(jìn)行在軌標(biāo)定時(shí)，一般選取若干個(gè)阿爾芬特性足夠強(qiáng)的時(shí)段來(lái)用Davis-Smith方程計(jì)算零位補(bǔ)償。同時(shí)將波動(dòng)事件1、2的數(shù)據(jù)代入Davis-Smith 方程來(lái)計(jì)算零位補(bǔ)償，且為考查參考坐標(biāo)系對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，假設(shè)波動(dòng)事件1的磁場(chǎng)數(shù)據(jù)保持不變，然后對(duì)波動(dòng)事件2進(jìn)行坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)。圖5給出了OT隨θ和φ的分布，其中圖5(a)中壓縮波動(dòng)周期分別為10 s和20 s，圖5(b)中壓縮波動(dòng)周期與對(duì)應(yīng)的阿爾芬波動(dòng)周期相同。圖5(a)中OT在0.1～5 nT 區(qū)間變化，這表明盡管用于計(jì)算零位補(bǔ)償?shù)?個(gè)波動(dòng)事件的阿爾芬特性足夠強(qiáng)，其誤差依然可能非常顯著。在給定θ時(shí)，OT隨φ增大而減小，因此選取合適參考坐標(biāo)系（相對(duì)于場(chǎng)向坐標(biāo)系而言）下的波動(dòng)事件，零位補(bǔ)償值的精度可以得到顯著提高。和圖4(a)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，用2個(gè)波動(dòng)事件的磁場(chǎng)數(shù)據(jù)來(lái)計(jì)算零位補(bǔ)償?shù)恼`差一般而言比用單個(gè)波動(dòng)的要小。

圖5 用2個(gè)波動(dòng)事件計(jì)算的零位補(bǔ)償總誤差Fig.5 The total error of the magnetic zero-offset calculated by using the data from two wave events

圖5(a)中的OT值從整體而言比圖5(b)中的要顯著減??；但在θ=270°和φ=45°附近，圖5(b)中的OT值比圖5(a)中的小，約為0.3 nT。由此可見(jiàn)，在選取阿爾芬特性強(qiáng)的波動(dòng)時(shí)段時(shí)，不僅需要考慮壓縮波動(dòng)周期，還需要考慮參考坐標(biāo)系（或阿爾芬波動(dòng)的波矢方向）的影響。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)數(shù)值仿真研究了參考坐標(biāo)系對(duì)用Davis-Smith 方程計(jì)算磁通門(mén)磁強(qiáng)計(jì)零位補(bǔ)償?shù)挠绊?。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：即便是同一個(gè)磁場(chǎng)波動(dòng)事件，在不同的參考坐標(biāo)系下通過(guò)Davis-Smith 方程計(jì)算產(chǎn)生的誤差也是不同的，其最大誤差與最小誤差之間相差可達(dá)1個(gè)數(shù)量級(jí)或者更大；當(dāng)用2個(gè)波動(dòng)事件來(lái)計(jì)算零位補(bǔ)償時(shí)，即便是相同的2 個(gè)波動(dòng)，計(jì)算結(jié)果也會(huì)隨著其中1個(gè)波動(dòng)擾動(dòng)平面的不同而不同，其誤差也可達(dá)到不容忽視的程度。盡管如此，利用2個(gè)波動(dòng)事件來(lái)計(jì)算零位補(bǔ)償，其誤差相比于單個(gè)波動(dòng)事件而言顯著減小。以上仿真結(jié)果表明，在挑選阿爾芬特性足夠強(qiáng)的波動(dòng)時(shí)段時(shí)，還需充分考慮參考坐標(biāo)系的影響，以有效降低Davis-Smith 方程的計(jì)算誤差。