一、研究背景

課程改革后，課時(shí)減少，習(xí)題課也大幅度減少，導(dǎo)致同學(xué)們接受、記憶、模仿的做題方式占主導(dǎo)地位。從而導(dǎo)致同學(xué)們出現(xiàn)思維定式、思維狹窄的現(xiàn)象，對(duì)于開(kāi)拓同學(xué)們的思路、創(chuàng)新性的思考極為不利。而一題多解正是從相同的題目出發(fā)，利用不同的思路、不同的知識(shí)點(diǎn)、不同的方法而達(dá)到共同的目的，即殊途同歸。一題多解是一種鼓勵(lì)同學(xué)們深入思考的好方式，使同學(xué)們不僅關(guān)注已有的老思路、老想法，而且可以在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上盡情舒展自己的思路，可以有效地培養(yǎng)同學(xué)們的主動(dòng)性，以及開(kāi)闊同學(xué)們的思維，促使同學(xué)們?nèi)?chuàng)新、去思考，使同學(xué)們逐步形成解題的靈活性與解題技巧。同時(shí)鼓勵(lì)同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣。所以，一題多解對(duì)于推動(dòng)新課程的實(shí)施和培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維具有重要意義。

二、一道高考題的三種解法

題目 （2012年高考山東）設(shè)函數(shù)（a，b∈R，a≠0）。若y=f（x）的圖像與y=g（z）的圖像有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），則下列判斷正確的是（

）。

A.當(dāng)a<0時(shí)，X1+x2<0，Y1+Y2>0

B.當(dāng)a<0時(shí)，x1+x2>O，Y1J+Y2<0

C.當(dāng)a>0時(shí)，x1+x2

D.當(dāng)a>0時(shí)，x1+x2>0，Y1+Y2>0

解法一：令，則。（x≠o）。設(shè)F（x）=ax3+bx2，F(xiàn)'（x）=3ax2+2bx。令F'（x）=3ax2+2bx=0，則x=，要使y=f（x）的圖像與y=g（x）圖像有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，只需，整理得4b2=27a2。于是可取a=±2，b=3來(lái)研究，當(dāng)a=2，b=3時(shí)，2x3+3x2=1，解得x1=-1，x2=1/2，此時(shí)Y1=-l，y2=2，x1+x20;當(dāng)a=-2，b=3時(shí)，-2x3+3x2=1，解得X1=1，，此時(shí)Y1=l，Y2=2，xl+x2>O，Y1+y2<0。答案為B。

解法二：令f（x）=g（X），可得。結(jié)合圖1可知與aX+b有兩個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)xl0時(shí)，如圖2所示，|X2|>|x2|，即-x1>x2>0，此時(shí)即y2>0;同理由圖形經(jīng)過(guò)推理可得，當(dāng)a<0時(shí)x1+x2>O，y1+y2

解法三：由y=f（x）的圖像與y=g（x）圖像有且僅有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，得ax2+bx，所以關(guān)于ax3十bx2-1=O（a≠O）有兩個(gè)不同的解，即三次方程有兩重根。不妨設(shè)重根為x1，則有ax3+bx2-1=a（x-x1）2（x-x2）=0，從而有即，所以當(dāng)a>0時(shí)，x2>0，則x1+x2答案為B。

作者單位：江西省萍鄉(xiāng)市湘東中學(xué)