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聚焦直線方程與圓的方程中的數(shù)學(xué)思想

2020-12-29 00:00:00吳函

直線與圓是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,在直線與圓的解題中蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想,如函數(shù)與方程思想、分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等。下面例析直線與圓中的數(shù)學(xué)思想的具體應(yīng)用。

一、函數(shù)與方程思想

例1 過點(diǎn)P(2,1)作直線l,分別交x軸、y軸的正半軸于點(diǎn)A、B,當(dāng)PA·PB取得最小值時(shí),求直線l的方程。

解:顯然直線的斜率存在且k<0,設(shè)直線l的方程為y-l=k(x-2)(k<0)。令y=0,得令x=0,得B(O,1-2k)。所以當(dāng)且僅當(dāng)k=-1時(shí)取等號(hào)。所以直線l的方程為x+y-3=0。

點(diǎn)評(píng):先根據(jù)條件設(shè)出直線的方程,再根據(jù)題目條件建立PA - PB的目標(biāo)函數(shù),最后利用二次函數(shù)求出該函數(shù)的最小值,從而解決問題。

二、分類討論思想

例2 討論直線l::3x+4y+m=0與圓C:x2+y2=2x=O的位置關(guān)系。

解:先求得圓C的圓心為C(l,O)和半徑x=l,再求得圓心C到直線l的距離d=最后按,三種情況討論直線與圓相交、相切、相離時(shí)m的取值范圍。

當(dāng)即-82時(shí),直線與圓相離。

點(diǎn)評(píng):對(duì)含有參數(shù)的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解時(shí),要注意運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想,分類要正確、嚴(yán)密,做到不重、不漏。

三、轉(zhuǎn)化與化歸思想

例3 已知m∈R,直線和圓C

(1)求直線l斜率的取值范圍。

(2)直線l能否將圓C分割成弧長的比值為1/2的兩段圓?。繛槭裁??

解:(1)直線l的方程可化為斜率,即當(dāng)k=0時(shí),m=O;當(dāng)k≠O時(shí),由△≥O,得,即

綜上可得k的取值范圍是

(2)不能。由(1)知l的方程為y=圓C的圓心為圓心C到直線l的距離,由,得l,故。從而,若l與圓C相交,則圓C截直線l所得的弦對(duì)應(yīng)的圓心角小于120°,所以l不能將圓C分割成弧長的比值為1/2的兩段弧。

點(diǎn)評(píng):本題中利用圓的幾何性質(zhì),把弧的長度比轉(zhuǎn)化為角度的范圍,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想。

作者單位:河南省羅山高級(jí)中學(xué)高三(1)班

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