孔森 張立強(qiáng) 馮倩倩

摘? 要： 針對圓柱刀側(cè)銑加工非可展直紋面的原理性誤差問題，提出了一種改進(jìn)鯨魚刀位優(yōu)化算法，旨在減少側(cè)銑加工時(shí)的原理性誤差。首先構(gòu)建單刀位和多刀位下的誤差度量函數(shù);其次在鯨魚算法中引入混沌擾動(dòng)來更新迭代過程中鯨魚群體中較差的個(gè)體;最后通過MATLAB仿真檢驗(yàn)本文算法的有效性。仿真結(jié)果表明，該方法相比PSO算法在加工誤差上減少了15.7%。

關(guān)鍵詞： 側(cè)銑; 非可展直紋面; 改進(jìn)鯨魚算法; MATLAB仿真

中圖分類號(hào)：TP391? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ?文章編號(hào)：1006-8228（2020）12-01-05

Abstract： Aiming at the problem of fundamental error of non-expansible straight grain surface in cylindrical flank milling， a method based on Modified Whale Optimization Algorithm is proposed to reduce the original error of flank milling. The error functions under single tool location and multiple tool location are introduced， and chaotic disturbance is introduced into the whale algorithm to update the poor individuals in the whale population during iteration. The validity of the algorithm is tested by MATLAB simulation. Simulation results show that this method can reduce machining error by 15.7% compared with PSO algorithm.

Key words： flank milling; non-expansible straight face; Modified Whale Optimization Algorithm; MATLAB simulation

0 引言

高端裝備的零件如航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片、機(jī)身蒙皮等通常是用一些網(wǎng)格曲面來構(gòu)建，沒有精確的計(jì)算公式。直紋面是工程實(shí)踐中常見且重要的一種曲面類型，其可以分為可展直紋面與非可展直紋面，其中可展直紋面加工比較簡單，并不是研究的重點(diǎn)。非可展直紋面由于其法向量沿著直母線方向是變化的，因此在側(cè)銑過程中使用圓柱刀或者圓錐刀都不可避免地存在加工誤差。

為了達(dá)到更小的加工誤差和得到更高精度的零件，諸多學(xué)者針對非可展直紋面的原理性誤差[1]通過不同的角度和方法進(jìn)行了探索。LIU[2]將曲面基線上的一對離散點(diǎn)進(jìn)行偏置得到一組刀軸，這種方法雖然簡單，但誤差很大;CHIOU[3]將刀具包絡(luò)面與待加工表面之間的法向距離作為優(yōu)化函數(shù)，通過調(diào)整刀具位姿使誤差減小;REDONNET等[4]通過復(fù)雜的算法使三點(diǎn)相切于工件表面以達(dá)到減小誤差的目的;嚴(yán)濤等[5]通過4點(diǎn)偏置法和最小二乘法進(jìn)一步對問題進(jìn)行優(yōu)化;SANJEEV等[6]提出了刀具包絡(luò)面與曲面的兩條母線相切的方法，其忽略了直紋面中間誤差的優(yōu)化，使直紋面內(nèi)部的誤差過大;CORNELIA等[7]建立了三步優(yōu)化算法，三步優(yōu)化后的誤差較大閻長罡等[8]結(jié)合圓錐面自身的幾何特性，提出了法向映射曲線的概念，將刀具包絡(luò)面向設(shè)計(jì)曲面的逼近問題轉(zhuǎn)化為每個(gè)刀位下法向映射曲線與特征線的最小二乘逼近問題;HSIEH等[9]將刀軸端點(diǎn)視為尋優(yōu)粒子，首次把PSO算法引入非可展直紋面的原理性問題的優(yōu)化過程中;劉紅軍等[10]利用人工魚群算法全局收斂性快的特性，首先找到了求解的局部范圍，然后利用粒子群算法局部收斂快的特性，找到了局部最優(yōu)值。在制造業(yè)中，尤其在非可展直紋面類零件的生產(chǎn)過程中，其原理性誤差問題還沒有一種具體的解決方法。本文通過對鯨魚優(yōu)化算法[11]（WOA）進(jìn)一步改進(jìn)以減少直紋面的原理性誤差。

1 誤差度量函數(shù)的構(gòu)造

如圖1所示，[Tc]為刀軸矢量，[Pi]為刀軸矢量上的某一刀軸離散點(diǎn)，[Ci]為刀具包絡(luò)面上的一點(diǎn)，其可以理解為點(diǎn)[Pi]在刀具包絡(luò)面上的映射，對于圓柱刀具而言，[Ci]和[Pi]之間的距離等于圓柱刀的半徑[Rc]，[Wi]設(shè)計(jì)曲面上一點(diǎn)，其可以理解為[Pi]在設(shè)計(jì)曲面上的映射，[Wi]與[Ci]之間的距離計(jì)算可以理解為點(diǎn)到曲面的距離計(jì)算。則單刀位下的誤差度量函數(shù)為：

在構(gòu)造了誤差度量函數(shù)后，通過兩點(diǎn)偏置法確定初始刀位，隨后構(gòu)建MWOA刀位優(yōu)化算法調(diào)整若干個(gè)刀軸以進(jìn)一步減小誤差。經(jīng)驗(yàn)可知，刀軸數(shù)目越大，刀軸形成的軌跡面越精確，但計(jì)算效率卻會(huì)下降。刀軸矢量的分布如圖2所示，26個(gè)刀軸被作為初始優(yōu)化目標(biāo)，把刀軸離散為11個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，通過MWOA刀位優(yōu)化算法，計(jì)算這11個(gè)離散數(shù)據(jù)點(diǎn)下最小加工誤差，能夠求得單刀位下最優(yōu)刀軸矢量。

2.1 混沌優(yōu)化WOA的思想

混沌算法是一種簡單但具有重要意義的算法[12]。文章為了提高鯨魚種群的優(yōu)越性，對該鯨魚種群中適應(yīng)度差的鯨魚進(jìn)行混沌更新，可以提高WOA刀位優(yōu)化算法整體優(yōu)化精度。MWOA的構(gòu)建思想是把混沌策略引入鯨魚算法優(yōu)化刀軸矢量的方法中，其通過小波變換把混沌的運(yùn)動(dòng)范圍載波進(jìn)入刀軸的優(yōu)化變量范圍，給刀位群體中最差的刀位引入一個(gè)混沌擾動(dòng)，通過不斷更新鯨魚的位置得到最優(yōu)刀軸矢量。本文選則logistic映射產(chǎn)生混沌變量：

2.2 MWOA刀位優(yōu)化算法的構(gòu)造

MWOA刀位優(yōu)化算法能夠在更新群體中適應(yīng)度較差個(gè)體的同時(shí)實(shí)現(xiàn)對問題的優(yōu)化求解。隨機(jī)在以偏置點(diǎn)為中心的半徑等于5毫米的兩個(gè)球形區(qū)域中產(chǎn)生鯨魚個(gè)體[w1（x1，y1，z1）]和[wn（xn，yn，zn）]，組成一組鯨魚對，構(gòu)成刀軸矢量[Tα];重復(fù)[m]次，得到[m]個(gè)六維矢量作[（x1，y1，z1，xn，yn，zn）]為初始種群。

[w1（x1，y1，z1）]和[wn（xn，yn，zn）]是待求的刀軸兩端點(diǎn)，其也在刀軸離散點(diǎn)誤差的計(jì)算之內(nèi)，由于所在的搜尋區(qū)域?yàn)榘霃降扔?毫米球型區(qū)域，搜索區(qū)域較大，可能出現(xiàn)端點(diǎn)越界的情況，造成較大的誤差。如圖3所示，[w1]為優(yōu)化過程中刀軸的首端點(diǎn)，[wn]為刀軸的末端點(diǎn)，[Tα]為當(dāng)前刀軸矢量，設(shè)計(jì)曲面表示為[s（u，v）]，[P1]為[w1]到曲面上最近的一點(diǎn)，[Pm]為[wn]到曲面上最近的一點(diǎn)，[w2]為第二個(gè)刀軸離散點(diǎn)。以首端點(diǎn)[w1]為例，若其所在位置在[u∈[0，1]]之外，則判定為越界，越界會(huì)造成較大的計(jì)算誤差，需要重新對兩端點(diǎn)所在的位置進(jìn)行規(guī)劃以減小計(jì)算誤差。

如圖3所示，[wwi]為第一個(gè)刀軸離散點(diǎn)[w1]和第二個(gè)刀軸離散點(diǎn)[w2]之間的一點(diǎn)，[wwi]的位置可以認(rèn)為是[w1]和[w2]之間的均分點(diǎn)，[i=（0，1，2，…，z）]。無論[w1]越不越界，首先計(jì)算[w1]到曲面[s（u，v）]的距離的最近點(diǎn)[P1]，得到[P1]的位置之后，計(jì)算每一個(gè)均分點(diǎn)[wwi]與[P1]之間的距離[di]，若存在[di

改進(jìn)鯨魚刀位優(yōu)化算法執(zhí)行過程可按如下步驟。

Step1 MWOA刀位優(yōu)化算法中參數(shù)的設(shè)定。需要設(shè)定的參數(shù)包括迭代最大次數(shù)[N]、混沌更新的最大執(zhí)行次數(shù)[F]，變量的界限為[xlowi]和[xtopi]，同時(shí)設(shè)定初始最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值為[M]。

Step2 隨機(jī)初始化刀軸的位置。按照公式[xi=xtopi-xlowirand（）+xlowi]隨機(jī)生成[n]個(gè)初始刀軸刀位。

Step3 確定當(dāng)前刀位的最優(yōu)目標(biāo)值[fbest]與最優(yōu)刀位。刀軸端點(diǎn)越界處理后，根據(jù)誤差度量函數(shù)定義式⑵計(jì)算當(dāng)前刀位群中各個(gè)刀位的目標(biāo)函數(shù)值并與當(dāng)前最優(yōu)目標(biāo)值比較，按照優(yōu)化目標(biāo)最小化規(guī)則確定出刀位群的最優(yōu)目標(biāo)值，其相應(yīng)刀位即為當(dāng)代最優(yōu)刀位。

Step4 當(dāng)前最差刀位的篩選及其混沌賦值過程。將當(dāng)代刀位群中目標(biāo)值最大的刀位作為被更新個(gè)體[Bnew]，采用如下的混沌搜索策略對其進(jìn)行位置更新。

① 利用混沌更新函數(shù)式⑶，更新該刀軸兩端點(diǎn)的位置，刀軸端點(diǎn)越界處理后，比較新刀位與原刀位[Boriginal]的誤差函數(shù)值，若新刀位優(yōu)于原最差刀位則更新位置，反之則個(gè)體[Bnew]位置不變。

② 在原最差刀位被更新的前提下，比較新刀位與當(dāng)前最優(yōu)刀位的誤差函數(shù)目標(biāo)值，當(dāng)新刀位優(yōu)于當(dāng)前最優(yōu)刀位時(shí)更新最優(yōu)刀位，反之最優(yōu)刀位不變。

③ 判斷混沌更新次數(shù)C是否達(dá)到最大值，若是，則返回執(zhí)行Step5，反之C增加1并執(zhí)行步驟①。

Step5 按文獻(xiàn)[11]中WOA算法信息繼承方式生成新刀位群并進(jìn)行解的有效性判斷。優(yōu)化過程中，在兩種尋優(yōu)機(jī)制（收縮包圍和螺旋泡泡網(wǎng)）之間隨機(jī)選擇一種機(jī)制進(jìn)行搜索，更新刀位并產(chǎn)生新的刀位群，通常隨機(jī)概率選為0.5。以[xlowi]和[xtopi]為界限判斷刀位的有效性，若躍界則在區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生新刀位，反之則保持不變。

Step6 判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù)[N]。若是則輸出最優(yōu)函數(shù)值和最優(yōu)刀位的位置;否則返回Step3繼續(xù)進(jìn)行迭代計(jì)算。

通過上述改進(jìn)鯨魚算法可得到所有優(yōu)化后的刀軸矢量和刀軸端點(diǎn)值。

3 數(shù)值算例

設(shè)計(jì)曲面其造型如圖4所示，其2條基線的節(jié)點(diǎn)矢量為[0，0，0，0，0.2，0.4，0.6，0.8，1，1，1，1]。

使用半徑為5mm的圓柱刀，并將整個(gè)設(shè)計(jì)曲面分成[0，0.04]，[0.04，0.08]，[0.08，0.121]，…，[0.92，0.96]，[0.96，1]25個(gè)子區(qū)域，用[M=25]表示，即參數(shù)u分別等于0，0.04，0.08，0.12，…，0.96，1，選取26個(gè)刀位，計(jì)算刀軸上均布的11個(gè)點(diǎn)的總誤差。

根據(jù)PSO算法對刀軸優(yōu)化的先前研究經(jīng)驗(yàn)，把PSO和MWOA刀位優(yōu)化算法的種群搜索個(gè)體的數(shù)目設(shè)置為50，最大迭代次數(shù)設(shè)為100次，本文混沌更新次數(shù)設(shè)為100次，。對兩點(diǎn)偏置法、PSO、MWOA三種不同的刀位優(yōu)化方法進(jìn)行分析。圖5為u=0.2時(shí)兩種算法單刀位最優(yōu)值的收斂情況，當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到65次和58次以上時(shí)收斂趨于平緩，PSO算法收斂于0.026mm，MWOA算法收斂于0.022mm，MWOA算法在其他刀軸的收斂情況相似。圖6表示u=0.2處的最優(yōu)解，其中，離散的點(diǎn)所在直線為優(yōu)化后的刀軸矢量，端點(diǎn)內(nèi)測的點(diǎn)代表刀軸兩端點(diǎn)經(jīng)邊界處理后的位置，以圖6b為例，未經(jīng)邊界處理前的兩端點(diǎn)位置為[102.4317，39.2816，26.5421]、[125.2001，50.3714，51.0000]，越界處理后的兩端點(diǎn)位置為[103.3424，39.7252，27.5204]、[124.2893，49.8169，50.0217]。通過誤差計(jì)算，兩點(diǎn)偏置法和兩種優(yōu)化算法的加工誤差對比如圖7所示，對設(shè)計(jì)曲面的11×21個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)進(jìn)行誤差計(jì)算，其中在初始刀具軸跡面下，加工誤差平均值為0.054mm;在PSO算法優(yōu)化后的刀具軸跡面下，加工誤差的平均值為0.00242mm，較兩點(diǎn)偏置法加工誤差減少了95.5%;在MWOA算法優(yōu)化后的刀具軸跡面下，加工誤差平均值為0.00204mm，加工誤差較PSO減少了15.7%。圖7中負(fù)值表示過切現(xiàn)象，正值表示欠切現(xiàn)象。

4 結(jié)束語

本文以圓柱刀側(cè)銑加工為例，基于MWOA刀位優(yōu)化算法對側(cè)銑單位刀軸矢量進(jìn)行優(yōu)化。將本文算法與傳統(tǒng)兩點(diǎn)偏置法進(jìn)行仿真對比分析發(fā)現(xiàn)，基于MWOA刀位優(yōu)化算法側(cè)銑加工時(shí)的刀軸誤差得到了明顯減小。同時(shí)與廣泛研究的PSO算法進(jìn)行進(jìn)一步的仿真對比分析，數(shù)值計(jì)算結(jié)果為平均誤差減少了15.7%，一定程度上提高了零件加工質(zhì)量，對非可展直紋面的側(cè)銑加工有一定的指導(dǎo)意義。

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