王偉杰，陶 沙，侯為波①

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北235000）

0 引言

現(xiàn)階段，隨著金融全球化的推進，金融市場規(guī)模逐漸擴大，金融交易的動態(tài)性和復(fù)雜性也隨之增加.一方面中國是新興的資本市場，美國是一個成熟的資本市場，兩者之間存在比較大的差異，呈現(xiàn)出不同的特征. 另一方面投資組合的國際化程度越來越高，所以不僅要研究中國股市，也要研究美國股市. 因為美國股市是股票市場的成熟代表，而中國股市的發(fā)展又十分可觀. 所以對中美股市進行實證分析可以為投資者的投資提供一些參考.

國外學(xué)者對股市的波動性研究相對成熟，Mandlebrot［1］發(fā)現(xiàn)，金融時間序列的波動具有波動聚集的特點. Fama［2］研究發(fā)現(xiàn)，股票的波動性具有尖峰后尾的特性. Engle［3］對單個股票的收益率序列的實證分析中證明自回歸條件異方差（Autoregressive Conditional Heteroscedasticity，ARCH）效應(yīng)是顯著的. Awartani等［4］基于非對稱冪自回歸條件異方差（Asymmetric Power Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model，APARCH）模型實證分析10國的股票指數(shù). Brooks等［5］考慮外部信息的情況下，應(yīng)用不同的廣義自回歸條件異方差（Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model，GARCH）模型對標準普爾500（S&P 500）指數(shù)波動進行實證分析，研究發(fā)現(xiàn)，在信息對稱的條件下，GARCH（1，1）模型的擬合效果較好，而在信息不對稱的條件下，非對稱的GARCH模型更適合. Edbert等［6］運用GARCH類模型對東盟五國的油價波動和股票收益進行實證分析.

唐齊鳴等［7］研究中國股市的ARCH效應(yīng)，通過實證分析驗證發(fā)現(xiàn)ARCH類模型可以較好地刻畫中國股市的波動性. 薛宏剛等［8］研究在險價值（Value at Risk，VaR）的各種計算方法，并利用實際數(shù)據(jù)對不同時間段和置信水平下的單個資產(chǎn)和投資組合的VaR值做比較，說明各種方法的優(yōu)缺點和適用范圍. 楊琦等［9］運用混合自回歸滑動平均-廣義自回歸條件異方差（Autoregressive Moving Average-Generalized Au?toregressive Conditional Heteroscedasticity Model，ARMA-GARCH）模型對深圳A股的股票價格進行分析及預(yù)測. 李莉等［10］運用兩種非正態(tài)分布的GARCH模型對中國深證綜指進行實證分析，并描述深證綜指價格的趨勢. 聶巧平等［11］對ARCH，GARCH模型及其拓展進行介紹，并在此基礎(chǔ)上對國內(nèi)外關(guān)于GARCH模型族在金融市場中的應(yīng)用進行綜述，最后對各個模型的使用情況進行對比分析. 王樹娟等［12］基于GARCH模型和條件風(fēng)險價值（Conditional Value at Risk，CVaR）對中國股市進行風(fēng)險分析. 李建偉等［13］主要從中美股市運行特點、中美股市監(jiān)管制度、中美股市發(fā)展規(guī)模與證券化率、中美股市融資規(guī)模與融資結(jié)構(gòu)、中美股市行業(yè)結(jié)構(gòu)、中美股市估值與盈利能力及中美股市股指波動的驅(qū)動因素等幾個方面進行對比分析. 王新天等［14］對上海原油期貨合約日收盤價進行數(shù)據(jù)處理，建立原油期貨價格日收益率波動序列，通過構(gòu)建均值方程并擬合GARCH族模型，分析上海原油期貨收益率波動特征. 宋小宇等［15］借助GARCH族模型，利用上證綜指的日收盤價數(shù)據(jù)，對其日收益率的波動進行實證分析，特別采用GARCH（1，1）模型來捕捉上證指數(shù)日收益中的波動性.

1 研究基礎(chǔ)

VaR由Morgan投資銀行提出的. VaR具體定義是指在一定置信水平α下和持有時間Δt內(nèi)，投資組合P預(yù)期最大損失. 其數(shù)學(xué)公式表示為

其中ΔP為投資組合P在持有時間Δt內(nèi)的損失. Engle［16］在1982年提出ARCH模型，后為全面描述資產(chǎn)收益率的波動過程，Bollerslev［17］在1986年提出一個推廣的形式，即GARCH模型. GARCH（m，s）模型可以用如下的公式表達均值方程

方差方程

其中rt是資產(chǎn)在時間t的對數(shù)收益率，μt是條件均值，ɑt是收益率的擾動序列，｛εt｝是均值為0方差為1的獨立同分布的隨機變量序列. Ding等［18］提出了APARCH模型. 一般的APARCH（m，s）模型可以寫成

均值方程

方差方程

其中：μt是條件平均值，δ是正實數(shù)，D（0，1）指均值是0方差是1的分布，系數(shù)ω、αi、γi和βj滿足一定的正則性條件使波動率為正. 高斯分布的概率密度函數(shù)是

學(xué)生t分布的概率密度函數(shù)比高斯分布有一個更厚的尾部，可以用來描述尾部特性，以提高在更高置信水平下的計算VaR準確度. 其概率密度函數(shù)是

其中Г（·）是Г函數(shù)，n是自由度.

2 實證分析

2.1 數(shù)據(jù)的選取

本文選取中國股市上證指數(shù)（SSEC）從2010年1月4日至2019年9月17日的日收盤價數(shù)據(jù)和美國股市標準普爾500指數(shù)從2010年1月4日至2019年5月20日的日收盤價數(shù)據(jù). 每個指數(shù)共2 361個交易日的收盤價數(shù)據(jù). 該數(shù)據(jù)來源于雅虎財經(jīng)網(wǎng)站，本文所有分析均使用R軟件編程完成. 由于推導(dǎo)時間序列之和的性質(zhì)比推導(dǎo)時間序列之積的性質(zhì)要更容易，故對數(shù)收益率的定義使收益率的統(tǒng)計建模變得更簡單. 因此本文采用日對數(shù)收益率計算，其公式為

對SSEC和S&P500的2 361個收盤價序列進行計算，得到N=2 361個對數(shù)收益率序列.

2.2 數(shù)據(jù)的預(yù)處理

為驗證選取的數(shù)據(jù)是否適用于VaR 方法建立的GARCH 族模型，并利用高斯分布和學(xué)生t分布進行建模. 先對數(shù)據(jù)的正態(tài)性進行檢驗，為獲取資產(chǎn)收益率的可視化方法，下面檢驗這些數(shù)據(jù)的直方圖和經(jīng)驗密度函數(shù).

圖1 SSEC收益率直方圖

圖2 S&P500收益率直方圖

圖3 SSEC收益率經(jīng)驗密度函數(shù)

圖4 S&P500收益率經(jīng)驗密度函數(shù)

圖1及圖2是將收益率的數(shù)據(jù)劃分為30個子區(qū)間獲得的收益率直方圖，可直觀看出收益率曲線關(guān)于其零均值是對稱的. 基于直方圖采用非參數(shù)平滑的方法得圖3和圖4，其實線給出SSEC和S&P500收益率的經(jīng)驗密度函數(shù)，虛線給出SSEC和S&P500正態(tài)分布的密度函數(shù)，其存在相同的均值與方差. 同正態(tài)分布對比，經(jīng)驗密度函數(shù)存在較高的峰值和較厚的尾部. SSEC收益率峰值接近于50，S&P500收益率峰值接近于70，表明中國股市比美國股市的聚集程度低，而且實線與虛線之間的差別表明，SSEC和S&P500收益率是偏向于非正態(tài)分布的. 下面采用分位數(shù)-分位數(shù)（QQ）圖進一步驗證選取的數(shù)據(jù)具有非正態(tài)性.

圖5 SSEC和S&P500的QQ圖

圖5中直線是正態(tài)分布的QQ圖，曲線是SSEC和S&P500日對數(shù)收益率的QQ圖. 從圖5中可直觀看出，SSEC和S&P500的QQ圖與正態(tài)分布的QQ圖不重合，進一步說明SSEC和S&P500具有非正態(tài)性.

圖6 SSEC和S&P500的日對數(shù)收益率時序圖

圖6分別繪制中美股票市場日對數(shù)收益率的時序圖，觀察圖6可以發(fā)現(xiàn)，中美股票市場的對數(shù)收益率波動均為隨機過程且均在零值的上下進行波動，圖6（a）和圖6（b）都直觀地說明中美股市存在波動聚集現(xiàn)象. 仔細觀察圖6（a）可以發(fā)現(xiàn)，SSEC從2010年至2015年是低波動周期且持續(xù)時間較長，說明中國股市相對比較平靜，波動幅度相對較小，緊接著從2015年至2016年下半年是高波動周期且持續(xù)時間相對較短，說明中國股市存在爆發(fā)式的波動，隨后從2016年下半年至2020年初又回到低波動周期，該收益率序列在平均收益上下進行波動，且方差是時變的. 再仔細觀察圖6（b），從圖中可以發(fā)現(xiàn)，S&P500從2010年至2011年是低波動時期，這表明美國股市相對比較平靜，緊接著在2012年出現(xiàn)高波動且持續(xù)時間較短，說明美國股市波動幅度相對較為劇烈，存在高收益和高風(fēng)險的現(xiàn)象，緊接著從2012年至2020年是低波動周期且持續(xù)時間相對較長，說明這段時期的美國股市波動幅度相對較小. 從圖6（a）和圖6（b）可以發(fā)現(xiàn)，中美股市具有相似的情形，即在大的波動之后往往伴隨大的波動，而在較小的波動之后往往伴隨小的波動. 此外，在2012年前后SSEC 的日對數(shù)收益率的波動幅度小于S&P500的日對數(shù)收益率的波動幅度，代表在2012年前后中國股市的風(fēng)險低于美國股市的風(fēng)險. 通過對圖6（a）和圖6（b）的比較分析，可以得到SSEC和S&P500收益率存在波動聚集現(xiàn)象且其收益率序列的分布都具有非正態(tài)性.

2.3 基本統(tǒng)計量分析

本文在統(tǒng)計均值（Mean）、標準差（Stdev）、最大值（Maxinum）、最小值（Mininum）、偏度（Skewness）、峰度（Kurtosis）、超值峰度（Excess Kurtosis）、Jarque-Bera（J-B）統(tǒng)計量等的基礎(chǔ)上，對SSEC 和S&P500 進行統(tǒng)計學(xué)分析，分析結(jié)果如表1所示.

表1 SSEC和S&P500的日對數(shù)收益率的基本統(tǒng)計量分析

從表1中可以看出，SSEC和S&P500的數(shù)據(jù)分布特征大致相同，但也存在一些差異. 下面將對具體的數(shù)據(jù)特征進行簡要的對比分析.

（1）均值：SSEC 和S&P500 收益率序列的均值均接近于零且在零值附近波動，但SSEC 的均值為負值，而S&P500的均值為正值，這說明中國股市和美國股市的波動方向不同. 其中SSEC的對數(shù)收益率均值在零軸線以下，說明在此時期內(nèi)中國股市處于動蕩調(diào)整期，因此認定為“熊市階段”. 而S&P500的日收益率均值大于零，說明在此時期內(nèi)美國股市處于波動上升期，因此認定為“牛市階段”. 中國股市的收益率水平和增長趨勢低于美國股市.

（2）標準差：中國股市發(fā)展時間較短，市場波動較為劇烈，風(fēng)險較大. 而美國股市較為成熟，發(fā)展時間較為久遠. 將標準差取絕對值比較其大小，可以看出SSEC的收益率標準差大于S&P500的收益率標準差，這代表SSEC 的波動水平高于S&P500 的波動水平，即中國股市的相對風(fēng)險大于美國股市的相對風(fēng)險.

（3）偏度：SSEC和S&P500收益率序列偏度均不為零，因此說明中國股市和美國股市的日對數(shù)收益率序列偏度等于零的正態(tài)分布的原假設(shè). 其中SSEC 的偏度值為-0.910 173，S&P500 的偏度值為-0.476 067，說明SSEC 和S&P500 的日收益率序列有一個長的左尾，即存在明顯的左偏現(xiàn)象. 此外，取SSEC 與S&P500 的日收益率序列的偏度絕對值，比較其大小關(guān)系，可以得到SSEC 的偏度絕對值大于S&P500的偏度絕對值，說明SSEC厚尾偏左更嚴重.

（4）峰度：從表1中可以看出，SSEC的峰度為5.901 274，S&P500的峰度為4.594 050，其峰度值均比3大，即超額峰度比0大，這說明SSEC與S&P500的峰度高于正態(tài)分布下序列的峰度，因此這2大股市均存在明顯的尖峰后尾特征.

通過對2大股票市場的股指日對數(shù)收益率的基本統(tǒng)計量的分析可以發(fā)現(xiàn)，中國股市與美國股市有一定的相似性，但也存在不同之處. 中國股市比美國股市的收益率分布相對集中，其分布列均顯著異于正態(tài)分布.

2.4 平穩(wěn)性檢驗

一般而言，在進行時間序列分析之前，應(yīng)先檢驗所使用的時間序列的平穩(wěn)性，否則就失去分析的意義. 下面使用ADF（Augmented Dickey-Fuller）檢驗對SSEC和S&P500收益率序列進行單位根檢驗.

表2 日對數(shù)收益率序列的ADF檢驗

表2中Augmented Dickey-Fuller 值是滯后階數(shù)100的值，括號中是對應(yīng)的p值. SSEC和S&P500的p值小于0.01，不存在單位根的原假設(shè)，所以SSEC和S&P500收益率序列均平穩(wěn).

2.5 ACF圖分析

自相關(guān)函數(shù)（Autocorrelation Function，ACF），它是用來描述2 個變量之間的相關(guān)程度的. 下面使用自相關(guān)函數(shù)ACF對收益率序列的自相關(guān)性進行分析.

圖7 SSEC收益率樣本ACF和SSEC收益率絕對值序列樣本ACF

圖8 S&P500收益率樣本ACF和S&P500收益率絕對值序列樣本ACF

在SSEC和S&P500對數(shù)收益率序列中，圖7與圖8的大部分值在置信區(qū)間內(nèi)上下跳躍，除幾個滯后項有較小相關(guān)性之外，無顯著序列前后相關(guān)性，而其對數(shù)收益率絕對值序列均有序列相關(guān)性. 因此，在條件期望模型中不需加入自相關(guān)序列.

2.6 ARCH效應(yīng)檢驗

ARCH 效應(yīng)檢驗用Liung-Box 統(tǒng)計量Q（m）檢驗與拉格朗日乘子（Lagrange Multiplier，LM）檢驗. 其表中的J-B值和χ2值均是滯后12階值.

表3 日對數(shù)收益率序列的J-B統(tǒng)計量檢驗

表4 日對數(shù)收益率序列的ARCH-LM檢驗

表3顯示，SSEC和S&P500的p值接近0，所以其具有較強的ARCH效應(yīng). 表4采用Engle的拉格朗日乘子法計算統(tǒng)計值χ2，對應(yīng)p值均小于2.2e-16，該檢驗再次說明，收益率拒絕殘差序列不存在ARCH效應(yīng)原假設(shè)，因而具有顯著的異方差性，可用GARCH模型進行擬合. SSEC和S&P500收益率序列均是非正態(tài)分布的，存在尖峰后尾的特性，收益率序列相對穩(wěn)定，殘差序列有ARCH 效應(yīng). 因此可采用VaR 模型和GARCH族模型，利用高斯分布和學(xué)生t分布進行建模分析.

2.7 模型建立

根據(jù)以上數(shù)據(jù)分析，說明中國股市和美國股市的收益率序列的分布都不是正態(tài)的，均存在尖峰厚尾性且收益率序列均較平穩(wěn)，殘差序列均存在ARCH效應(yīng). 而GARCH族模型恰好可以解決上述問題，許多實證研究都表明，GARCH族模型很適合對金融時間序列數(shù)據(jù)的波動性進行建模與估計波動性. 下面分別采用基于高斯分布和學(xué)生t分布的APARCH（1，1）模型和GARCH（1，1）模型建模，計算相應(yīng)的VaR值.GARCH（1，1）模型可以表達為

均值方程

方差方程

APARCH（1，1）模型可以表達為均值方程

方差方程

所以VaR值的計算過程是：先在高斯分布和學(xué)生t分布的假設(shè)下用GARCH（1，1）模型和APARCH（1，1）擬合；再通過擬合的模型估計條件期望μt+1和條件方差σt+1；最后，用公式VaRt+1=μt+1+Fα（εt）σt+1向前一步預(yù)測VaR值，其中Fα（εt）是εt服從分布的左α分位數(shù). 下表中，‘***’指在0.1%置信水平上顯著，‘**’指在1%置信水平上顯著，‘*’指在5%置信水平上顯著，‘·’指在10%置信水平上顯著.

表5 SSEC和S&P500的GARCH（1，1）模型系數(shù)及其p值

表6 SSEC和S&P500的APARCH（1，1）模型系數(shù)及其p值

2.8 VaR值計算結(jié)果的分析

下面通過R軟件計算出超前一步的均值和波動率，并計算出置信水平分別在95%，99%，99.9%下的接下來一個交易日的風(fēng)險價值.

表7 SSEC和S&P500在不同置信水平下的VaR均值

從預(yù)測結(jié)果可以看出，在不同的置信水平和分布下，SSEC的VaR均值普遍小于S&P500的VaR均值，這表明中國股市整體的風(fēng)險相對于美國股市整體的風(fēng)險低.

3 結(jié)論

本文選取中國股市的SSEC 和美國股市的S&P500 作為樣本數(shù)據(jù). 依托R 軟件，利用VaR 方法和GARCH族模型對中美股市的2個主要的股指進行實證分析. 目的是研究中美股市的波動性特征. 研究分析得到下面幾個結(jié)論：

（1）SSEC和S&P500的對數(shù)收益率序列具有尖峰后尾的特性且具有波動聚集現(xiàn)象，這表明中美股市的波動一般表現(xiàn)為在大的波動之后往往伴隨大的波動，而在較小的波動之后往往伴隨小的波動. 其中，SSEC的波動情況與S&P500的波動情況因時期的不同而有所差異，具體表現(xiàn)為SSEC從2010年至2015年是低波動周期其風(fēng)險較低，從2015 年至2016 年下半年是高波動周期其風(fēng)險較高，從2016 年下半年至2020年初又回到低波動周期其風(fēng)險較低. S&P500從2010年至2011年是低波動時期其風(fēng)險較低，緊接著在2012年出現(xiàn)高波動且持續(xù)時間較短其風(fēng)險較高，從2012年至2020年初是低波動周期其風(fēng)險較低.

（2）在日收益率均值上，SSEC的收益率序列的均值為負值，說明在此時期內(nèi)中國股市處于動蕩調(diào)整期，因此認定為“熊市階段”. 而S&P500的收益率序列均值為正值，說明在此時期內(nèi)美國股市處于波動上升期，因此認定為“牛市階段”. 同時也說明中國股市和美國股市的波動方向不同. 中國股市的收益率水平和增長趨勢低于美國股市. 從標準差的絕對值大小來分析，SSEC的收益率標準差大于S&P500的收益率標準差，這代表SSEC的波動水平高于S&P500的波動水平.

（3）SSEC和S&P500的對數(shù)收益率序列序列是平穩(wěn)的，具有顯著的相關(guān)性，而對數(shù)收益率序列具有序列相關(guān)性.

（4）SSEC和S&P500的對數(shù)收益率序列序列均具有顯著ARCH效應(yīng)，可通過GARCH模型和APARCH模型進行計算VaR.

（5）SSEC的VaR均值普遍小于S&P500的VaR均值，這表明中國股市整體的風(fēng)險低于美國股市整體的風(fēng)險.