劉 洋， 解大鵬， 李春紅

(1.合肥師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 安徽 合肥 230601；2.淮陰師范學院 學報編輯部, 江蘇 淮安 223001)

0 引言

近年來,分數(shù)階微分方程引起了廣泛的關注．分數(shù)階微分方程和帶有p-Laplacian算子的微分方程成為很多數(shù)學工作者的研究熱點，并取得了許多研究成果[1-8]．Chai研究了如下帶有p-Laplacian算子的分數(shù)階微分方程邊值問題[5]

Tian等運用Krasnosel’skii不動點定理，得到了如下帶有p-Laplacian算子的分數(shù)階微積分的邊值問題正解的存在性[6]

Tian等運用不動點定理，得到了以下帶有p-Laplacian算子的分數(shù)階微積分邊值問題的正解[7]

其中φp(s)=|s|p-2s,p>1,α∈(1,2],0<β≤α-1,ξ,η∈(0,1),a,b∈[0,∞)，并且1-aξα-β-1>0, 1-bp-1ηγ-1>0,f∈C([0,1]×R+,R+),Dα，Dβ，Dγ是Riemann-Liouville分數(shù)階方程導數(shù)．

Han等借助p-Laplacian算子, 得到了如下分數(shù)階微分方程邊值問題的正解存在性[8]

基于上述結果，本文研究以下帶有p-Laplacian算子的分數(shù)階四點邊值問題

(1)

1 預備知識和引理

引理1 假設y∈C[0,1],則分數(shù)階邊值問題

(2)

證明易知，問題(2)的通解為

由問題(2)的邊值條件知，C2=C3=0,

故

引理2 假設w∈C[0,1], 則分數(shù)階邊值問題

(3)

證明易知，問題(3)等價于

由問題(3)的邊值條件知，C2=0且

故

引理3G(t,s)有如下性質：

(i) 當(t,s)∈[0,1]×[0,1]時，0≤G(t,s)≤G(1,s);

(ii) 當(t,s)∈I×(0,1)=(1/4,3/4)×(0,1)時，G(t,s)≥(1/4)α-1G(1,s).

因此，當(t,s)∈[0,1]×[0,1]時,

故，當(t,s)∈[0,1]×[0,1]時,0≤G(t,s)≤G(1,s).

故，當(t,s)∈I×(0,1)=(1/4,3/4)×(0,1)時,

引理4H(t,s)有如下性質：

(ii) 當(t,s)∈I×(0,1)=(1/4,3/4)×(0,1)時，H(t,s)≥φ(s)H11(s,s)，

其中

故，當(t,s)∈I×(0,1)=(1/4,3/4)×(0,1)時，

2 主要結果

為了方便,引入以下記號：

定理1 若存在兩個正數(shù)r1,r2使得r1

(B1) 當(t,u)∈[0,1]×[0,r1]時，f(t,u)≥φ(r1N4α-1);

(B2) 當(t,u)∈[0,1]×[0,r2]時，f(t,u)≤φ(r2M).

則分數(shù)階四點邊值問題(1)至少存在一個正解u,并且滿足r1≤‖u‖≤r2.

證明首先證明算子T:K→K是全連續(xù)的,事實上由G,H,f的連續(xù)性可知T:K→K是連續(xù)的.對于(t,s)∈(1/4,3/4)×(0,1),u∈K, 由引理3知

這意味著T(K)?K.故應用Arzela-Ascoli定理易證算子T:K→K是全連續(xù)的.

下面我們令Ω1={u∈K:‖u‖≤r1},那么對于u∈?Ω1, 由引理3,引理4及(B1)知

故，當u∈?Ω1時, ‖Tu‖≥‖u‖.

令Ω2={u∈K:‖u‖≤r2},那么對于u∈?Ω2,由引理3,引理4及(B2)知

因此，對于u∈?Ω2,‖Tu‖≤‖u‖.

綜上,由Krasnosel’skii不動點定理可知,分數(shù)階四點邊值問題(1)至少存在一個正解u, 并且滿足r1≤‖u‖≤r2.(證畢)