李自強(qiáng)

(唐山職業(yè)技術(shù)學(xué)院 機(jī)電工程系， 河北 唐山 063000)

0 引言

電機(jī)作為機(jī)械動(dòng)力之源，電機(jī)的振動(dòng)直接影響設(shè)備的運(yùn)行安全、產(chǎn)品的精度及噪聲的產(chǎn)生等. 因此電機(jī)振動(dòng)問題受到了廣泛關(guān)注. 電機(jī)的結(jié)構(gòu)部件轉(zhuǎn)子和定子的弱非線性振動(dòng)研究已有許多成果,其中關(guān)于對(duì)轉(zhuǎn)子、定子系統(tǒng)振動(dòng)影響因素研究較多[1-4]，關(guān)于電機(jī)端蓋結(jié)構(gòu)的振動(dòng)研究文獻(xiàn)很少.電機(jī)端蓋作為電機(jī)主要結(jié)構(gòu)之一，其振動(dòng)將對(duì)電機(jī)的使用性能造成直接影響.熊煥國(guó)等將電機(jī)端蓋離散為若干有限的單元進(jìn)行分析，并將理論一階頻率與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比，得出轉(zhuǎn)子臨界轉(zhuǎn)速受端蓋低階固有頻率影響[5]； 侯朝勝根據(jù)電機(jī)端蓋的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)將其簡(jiǎn)化為薄板圓環(huán)，建立其多種約束條件作用下的振動(dòng)微分方程，并對(duì)其超諧共振進(jìn)行分析，但其未考慮強(qiáng)非線性對(duì)系統(tǒng)的影響[6]. 文[7]建立載荷對(duì)稱端蓋的動(dòng)力學(xué)方程，考慮強(qiáng)非線性參數(shù)對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)的影響，并進(jìn)行了數(shù)值分析.

基于上述原因，本文在文[7]的基礎(chǔ)建立結(jié)構(gòu)對(duì)稱的電機(jī)端蓋在受載不對(duì)稱情況下的振動(dòng)模型，考慮強(qiáng)非線性參數(shù)對(duì)定子、轉(zhuǎn)子與端蓋耦合振動(dòng)的影響，通過改進(jìn)的MLP法[7]得到定常解，分析系統(tǒng)的一次解析解，并通過不同相關(guān)參數(shù)分析對(duì)電機(jī)端蓋的振動(dòng)影響. 研究結(jié)果對(duì)電機(jī)的減振、避振設(shè)計(jì)具有實(shí)際意義.

1 電機(jī)端蓋動(dòng)力學(xué)方程建立

圖1 電機(jī)端蓋結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

圖1為結(jié)構(gòu)對(duì)稱的電機(jī)端蓋結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，將其簡(jiǎn)化為圓環(huán)薄板，其振動(dòng)基本方程為動(dòng)態(tài)卡門偏微分方程[8],即：

(1)

(2)

電機(jī)端蓋的約束特點(diǎn)為內(nèi)、外邊緣固定夾緊，因此邊界條件為：

(3)

應(yīng)用伽遼金(Galerkin)法，將振動(dòng)方程的撓度函數(shù)進(jìn)行空間和時(shí)間分離，即設(shè)定軸承端蓋的瞬時(shí)撓度為：

W(ξ,t)=hu(t)w(ξ)

(4)

式中：h為板厚，u(t)是僅關(guān)于時(shí)間t的無量綱變量函數(shù)，由振動(dòng)控制方程給出. 在qcosωt激勵(lì)作用下，設(shè)振型試函數(shù)w(ξ)為無量綱的自然數(shù)項(xiàng)冪函數(shù)[8]，即：

w(ξ)=c0+c2ξ+c2ξ2+c3ξ3+ξ4

(5)

將式(5)代入式(4)，再進(jìn)行求偏導(dǎo)運(yùn)算得：

(6)

由電機(jī)端蓋邊緣固定夾緊的邊界條件和端蓋厚度h與關(guān)于時(shí)間t的無量綱函數(shù)u(t)，兩者不能恒為零，則在電機(jī)端蓋外邊緣固定夾緊時(shí)，即在(ξ=1)有[8]：

(7)

同理考慮軸承端蓋內(nèi)邊緣夾緊固定(ξ=0.41)時(shí)邊界條件：

(8)

聯(lián)立以上兩組邊界條件方程解得：

c0=0.3247；c2=-2.8312；c4=5.6883；c6=-4.1818.

將解代回式(5)后再代入式(2)解得：

(9)

將式(9)式和(4)代入式(1)得：

(10)

式中：

(2c2+6c3ξ1+12ξ2)

應(yīng)用伽遼金(Galerkin)法消除殘余值[9]：

(11)

計(jì)算得電機(jī)端蓋在結(jié)構(gòu)對(duì)稱受載不對(duì)稱情況下的非線性振動(dòng)控制方程：

(12)

2 強(qiáng)非線性主共振分析

根據(jù)電機(jī)端蓋系統(tǒng)振動(dòng)方程非線性項(xiàng)可知該系統(tǒng)為強(qiáng)非線性系統(tǒng)，采用處理強(qiáng)非線性方程的改進(jìn)MLP法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析，同時(shí)考慮頻率和相位變化關(guān)系令τ=ωt-θ，并設(shè)K=Fcosθ，H=Fsinθ，則式(12)可化解為：

(13)

因微小的同頻外激勵(lì)就能使系統(tǒng)產(chǎn)生共振，所以可將激勵(lì)小參數(shù)化進(jìn)行分析：

(14)

令ω2有關(guān)于ε的展開的級(jí)數(shù)關(guān)系：

(15)

引入變換參數(shù)：

(16)

由式(15)可得：

(17)

將式(17)代入式(15)有：

(18)

利用泰勒公式對(duì)式(18)進(jìn)行展開得：

(19)

設(shè)u(τ)可展開為關(guān)于α級(jí)數(shù)形式：

u(τ)=u0(τ)+αu1(τ)+α2u2(τ)+…

(20)

將式(15)～(20)代入是式(14)中得：

(21)

將式(21)展開并比較關(guān)于α的次冪得:

關(guān)于α0

(22)

關(guān)于α1

(23)

設(shè)關(guān)于方程α0的解的形式有：

u0(τ)=Acosτ+Bsinτ

(24)

將式(24)代入式(23)可得：

(25)

式(25)中的NST為不長(zhǎng)期存在項(xiàng)，提取永年項(xiàng)并令其等于零有：

(26a)

(26b)

已知H2+K2=F2，再令A(yù)2+B2=a2，讓式(26a)與(26b)平方相加并整理得：

(27)

式(27)為電機(jī)端蓋系統(tǒng)的強(qiáng)非線性主共振響應(yīng)方程.

3 電機(jī)端蓋一次近似解析分析

式(24)是系統(tǒng)在周期力作用下的0階近似解，電機(jī)端蓋在應(yīng)用時(shí)通過緊固螺釘固定在電機(jī)機(jī)身上，因此考慮其實(shí)際工作情況，將邊界條件設(shè)置為：

(28)

式中的a取值范圍0.001～0.005 m.

解得關(guān)于α0方程的解為：

u0(τ)=acosτ

(29)

將其代入式(23)解關(guān)于一次冪式得：

(30)

式中C1，C2是待定系數(shù)，u1(τ)是對(duì)u(τ)的修正的派生解，故令其初始條件都為零，即：

(31)

解u1(τ)得：

(32)

所以系統(tǒng)振動(dòng)的一次近似解為：

(33)

電機(jī)端蓋參數(shù)為：c=0.001；ρ=7 800 kg/m3；r2=0.11 m；h=0.008 m；ν=0.33；E=2.1×1011Pa；q=5 N；k=1 373.1；λ=4.3191；D=Eh3/12(1-ν2)=10 056 Pa·m3.

當(dāng)電機(jī)端蓋在一定的振動(dòng)幅值及其約束范圍之內(nèi)時(shí)，選取振幅a為0.002 m時(shí)，通過數(shù)值仿真軟件計(jì)算得振動(dòng)方程解析解的時(shí)間響應(yīng)曲線如圖2所示.由圖2中電機(jī)端蓋主共振系統(tǒng)0階和1階近似解曲線可以看出，振動(dòng)幅值隨階次的增長(zhǎng)有明顯升高，同時(shí)1階曲線有較明顯的滯后性.

圖2 振動(dòng)方程解析解的時(shí)間響應(yīng)曲線

4 數(shù)值分析

將參數(shù)代入式(27)并對(duì)其進(jìn)行數(shù)值計(jì)算與分析，參數(shù)選取參考解析解時(shí)所給參數(shù). 可以得到系統(tǒng)在不同外激勵(lì)q、阻尼c、厚度h和外半徑r2作用下的幅頻響應(yīng)曲線，如圖3所示.通過分析明顯可見在單一參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)的共振區(qū)間和振幅都有較大變化.圖3a為外激勵(lì)在q=0.5 N和q=0.8 N作用下的幅頻響應(yīng)曲線，隨著外激勵(lì)力的增大，系統(tǒng)的共振區(qū)間也隨之增寬，外界激勵(lì)的改變對(duì)系統(tǒng)的共振影響主要體現(xiàn)在振動(dòng)區(qū)域增大. 圖3b為不同阻尼c作用下的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線，阻尼增大振幅減小，可有效緩解系統(tǒng)振動(dòng). 圖3c為端蓋結(jié)構(gòu)參數(shù)厚度h變化的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線，端蓋厚度的變化對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)曲線有明顯影響，隨著端蓋厚度是增加，振動(dòng)響應(yīng)曲線向右偏置，同時(shí)振幅也有所降低. 圖3d為結(jié)構(gòu)參數(shù)外半徑r2對(duì)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線影響曲線，當(dāng)端蓋的外半徑r2越大時(shí)，在同等條件和激勵(lì)下振動(dòng)幅值越大，系統(tǒng)的非線性越顯著.

圖3 系統(tǒng)在不同外激勵(lì)q、阻尼c、厚度h和外半徑r2作用下的幅頻響應(yīng)曲線

5 結(jié)論

通過動(dòng)態(tài)卡門方程和伽遼金法建立電機(jī)端蓋的強(qiáng)非線性振動(dòng)方程，應(yīng)用改進(jìn)的MLP法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行理論分析，利用數(shù)值分析軟件通過參數(shù)帶入解出其周期幅頻響應(yīng)曲線，得出振動(dòng)幅值隨階次的增長(zhǎng)有明顯升高，同時(shí)高階曲線有較明顯的滯后性. 同時(shí)通過對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)方程進(jìn)行分析，在不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化時(shí)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線有明顯變化，結(jié)構(gòu)參數(shù)變化得到的幅頻響應(yīng)曲線符合實(shí)際振動(dòng)規(guī)律.因此，可以為優(yōu)化電機(jī)端蓋結(jié)構(gòu)尺寸提供理論依據(jù).