劉 佳, 楊克巍, 姜 江, 夏博遠(yuǎn)

(國防科技大學(xué)系統(tǒng)工程學(xué)院, 湖南 長沙 410073)

0 引 言

隨著科技水平的不斷提高和信息技術(shù)的快速發(fā)展,為傳統(tǒng)的武器裝備系統(tǒng)設(shè)計(jì)和研制提出了以下3個(gè)新要求。

(1) 系統(tǒng)的復(fù)雜性指數(shù)級(jí)增高。復(fù)雜性是復(fù)雜系統(tǒng)的典型特征,隨著系統(tǒng)和項(xiàng)目復(fù)雜性的增加,對(duì)系統(tǒng)工程的需求也隨之增加。由于技術(shù)的快速發(fā)展、知識(shí)的快速更新和環(huán)境的快速變化,復(fù)雜性以指數(shù)形式增加了系統(tǒng)組件之間沖突的可能性,因此也增加了設(shè)計(jì)的不可靠性。在這種情況下,復(fù)雜性不僅包含工程系統(tǒng),還包含邏輯上的人工數(shù)據(jù)組織。同時(shí),由于尺度的增加以及設(shè)計(jì)中涉及的數(shù)據(jù)、變量或字段數(shù)量的增加,系統(tǒng)可能變得更加復(fù)雜。

(2) 需求的動(dòng)態(tài)性變化。在傳統(tǒng)的系統(tǒng)工程研究過程中,期望在系統(tǒng)分析階段對(duì)所有需求進(jìn)行盡可能完善的分析,定義和表征系統(tǒng)和子系統(tǒng)及其之間的相互作用是系統(tǒng)工程的目標(biāo)之一。智能化技術(shù)的引入,改變了原有系統(tǒng)工程的固有流程,使得系統(tǒng)建設(shè)各個(gè)階段的需求呈現(xiàn)出動(dòng)態(tài)性特征。一方面,系統(tǒng)的復(fù)雜性增加,使得系統(tǒng)分析階段難以對(duì)所有的需求進(jìn)行充分分析,指數(shù)增長的復(fù)雜性使得系統(tǒng)方案需要不斷進(jìn)行調(diào)整,引發(fā)需求的動(dòng)態(tài)變化;另一方面,與傳統(tǒng)的瀑布或“V”型研發(fā)模式相比,新的螺旋式模式更強(qiáng)調(diào)在不斷開發(fā)過程中系統(tǒng)性能的改進(jìn),從而降低不斷增加的分析評(píng)估所消耗的資源與時(shí)間成本,因而產(chǎn)生了在改進(jìn)過程中系統(tǒng)需求的持續(xù)性變化。此外,由于環(huán)境和技術(shù)的快速變化,使得系統(tǒng)的目標(biāo)和任務(wù)具有相對(duì)不確定性,由此產(chǎn)生的需求變化也具有持續(xù)、動(dòng)態(tài)等特點(diǎn)。

(3) 響應(yīng)的快速性要求。智能化技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用推廣,要求大幅縮短經(jīng)典系統(tǒng)工程的許多進(jìn)程周期,尤其是針對(duì)動(dòng)態(tài)性變化的多種需求,從系統(tǒng)整體性的角度而言,也要求系統(tǒng)表現(xiàn)出任務(wù)的快速響應(yīng)特征。首先,要利用智能化技術(shù)使得系統(tǒng)開發(fā)中的原型系統(tǒng)設(shè)計(jì)和構(gòu)建的進(jìn)程加快,從而可以快速響應(yīng)動(dòng)態(tài)變化的系統(tǒng)需求。其次,要求縮短測(cè)試周期,使得系統(tǒng)方案能夠得到快速的驗(yàn)證和評(píng)估。第三,由于信息技術(shù)的深度融合帶來的系統(tǒng)綜合程度高度集成,對(duì)經(jīng)典系統(tǒng)工程基于文檔的開發(fā)模式產(chǎn)生了顛覆,比如現(xiàn)在提出的將武器裝備“試驗(yàn)鑒定評(píng)估”技術(shù)“左移”的策略,都是對(duì)傳統(tǒng)系統(tǒng)工程設(shè)計(jì)開發(fā)模式提出改進(jìn)要求的表現(xiàn)。

現(xiàn)有的與武器裝備系統(tǒng)設(shè)計(jì)有關(guān)的文獻(xiàn)研究大都是圍繞模型驅(qū)動(dòng)的武器裝備體系層面展開的。文獻(xiàn)[1]通過對(duì)作戰(zhàn)能力和作戰(zhàn)效能進(jìn)行區(qū)分從而提出了一種武器裝備體系作戰(zhàn)能力評(píng)估的框架。文獻(xiàn)[2]基于體系貢獻(xiàn)率對(duì)武器裝備體系的評(píng)估方法展開了詳盡綜述,強(qiáng)調(diào)評(píng)估裝備對(duì)體系貢獻(xiàn)的力量。文獻(xiàn)[3-4]分別從能力需求的視角對(duì)武器裝備體系結(jié)構(gòu)的建模和評(píng)估提供了一種新思想。文獻(xiàn)[5]詳細(xì)介紹了武器裝備效能評(píng)估指標(biāo),并對(duì)其關(guān)系進(jìn)行了分析,從而構(gòu)建裝備的指標(biāo)體系。文獻(xiàn)[6]通過構(gòu)建任務(wù)-能力之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,對(duì)面向使命任務(wù)的武器裝備體系能力間的關(guān)聯(lián)關(guān)系進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[7-9]分別就武器裝備試驗(yàn)領(lǐng)域中的作戰(zhàn)試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)、試驗(yàn)鑒定指標(biāo)建立和評(píng)估體系構(gòu)建展開了研究。從上述文獻(xiàn)可以看出,目前相關(guān)研究大致可以分為以下幾類:武器裝備體系的結(jié)構(gòu)建模、方案設(shè)計(jì)、指標(biāo)體系構(gòu)建、能力評(píng)估等。

但是為了應(yīng)對(duì)上述3個(gè)智能化要求,基于模型的系統(tǒng)工程(mode based systems engineering, MBSE)方法必須融入數(shù)據(jù)的作用，不能僅聚焦于對(duì)整個(gè)武器裝備體系層面的分析和研究,要下沉到單裝備系統(tǒng)的總體設(shè)計(jì)上來。一方面,對(duì)系統(tǒng)底層設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)和把握,能夠更加準(zhǔn)確地得到該裝備對(duì)能力需求的滿足度;另一方面,系統(tǒng)的總體設(shè)計(jì)不再停留在概念設(shè)計(jì)階段,將論證往下更加推進(jìn)一步,落到系統(tǒng)初步設(shè)計(jì)上,可以為系統(tǒng)后面的詳細(xì)設(shè)計(jì)提供更加有力的論證依據(jù)。

武器裝備系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)是復(fù)雜系統(tǒng)總體設(shè)計(jì)中的關(guān)鍵一環(huán),同時(shí)參數(shù)估計(jì)的效率和精確度對(duì)系統(tǒng)的總體設(shè)計(jì)產(chǎn)生重要的影響。綜述近三年國內(nèi)外有關(guān)系統(tǒng)設(shè)計(jì)參數(shù)估計(jì)的文獻(xiàn),一部分是對(duì)輸入輸出的數(shù)值噪聲進(jìn)行處理從而實(shí)現(xiàn)估計(jì)結(jié)果精度的提高,如文獻(xiàn)[10-11]中使用的卡爾曼濾波方法。其中絕大部分文獻(xiàn)都是借助現(xiàn)有計(jì)算能力的迅速提升而開展的純數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)方法,通過對(duì)大量輸入數(shù)據(jù)的預(yù)處理、使用智能優(yōu)化算法構(gòu)建參數(shù)估計(jì)模型、對(duì)算法進(jìn)行改進(jìn)從而提高模型的估計(jì)精度,如文獻(xiàn)[12]中使用的是多目標(biāo)遺傳算法,文獻(xiàn)[13]中的研究是基于粒子群算法,甚至文獻(xiàn)[14]中引入了強(qiáng)化學(xué)習(xí)的方法。這些方法都是依賴于大量數(shù)據(jù)集的支撐,而本文的研究重點(diǎn)是考慮到在武器裝備系統(tǒng)總體設(shè)計(jì)初期,缺少充足數(shù)據(jù)的支持,尤其是對(duì)于精確度高的數(shù)據(jù),實(shí)驗(yàn)成本高且獲取難度大。針對(duì)上述問題,本文開展了對(duì)基于多保真度代理模型的單裝備系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)的方法研究,旨在解決面對(duì)該種數(shù)據(jù)缺乏的情況,仍能保證系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)的精確度和快速響應(yīng)的要求。

1 多保真度代理模型

1.1 代理模型

代理模型[15]是一種用來獲取一組獨(dú)立變量與系統(tǒng)響應(yīng)之間某種近似關(guān)系的統(tǒng)計(jì)技術(shù),是試驗(yàn)設(shè)計(jì)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)和最優(yōu)化技術(shù)的一種綜合應(yīng)用。其基本思想是用一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)關(guān)系近似替代真實(shí)曲面函數(shù),從而提高計(jì)算效率。設(shè)計(jì)變量和響應(yīng)輸出的關(guān)系可以表示為

(1)

代理模型技術(shù)的實(shí)質(zhì)是以擬合精度或預(yù)測(cè)能力為約束,利用近似技術(shù)對(duì)離散數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸或插值的數(shù)學(xué)模型,通過有限的已知點(diǎn)響應(yīng)構(gòu)造近似函數(shù)表達(dá)式對(duì)未知區(qū)域進(jìn)行預(yù)測(cè)。通常用來近似替代在分析和優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中比較復(fù)雜和費(fèi)時(shí)的數(shù)值分析的數(shù)學(xué)模型,圖1為代理模型的構(gòu)建過程。

圖1 代理模型構(gòu)建過程

目前常用的代理模型近似技術(shù)包括:響應(yīng)面模型(response surface model, RSM)[16]、徑向基函數(shù)(radial basis function， RBF)[17]、Kriging插值法[18]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(artificial neural networks, ANN)[19]、支持向量機(jī)(support vector machine, SVM)[20]等。

1.2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法

試驗(yàn)設(shè)計(jì)[21]作為代理模型技術(shù)的重要一環(huán),為代理模型技術(shù)提供了科學(xué)、經(jīng)濟(jì)的試驗(yàn)方案,使樣本點(diǎn)能夠按照不同的要求分布在參數(shù)設(shè)計(jì)空間中,更為有效地反映系統(tǒng)輸入?yún)?shù)與輸出響應(yīng)之間的復(fù)雜函數(shù)關(guān)系。構(gòu)建代理模型的第一步是選擇樣本點(diǎn)[22],即需要用試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法來決定初始化空間內(nèi)樣本點(diǎn)的位置。試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法的主要目的在于對(duì)整個(gè)設(shè)計(jì)變量空間進(jìn)行樣本點(diǎn)的高效選取,使有限的樣本點(diǎn)盡可能反映出設(shè)計(jì)變量空間變化特性[23]。進(jìn)一步說,就是通過選取最少的樣本點(diǎn),使獲取的關(guān)于未知設(shè)計(jì)空間的信息最大化。目前的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法大致分為兩類:經(jīng)典試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法和現(xiàn)代試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法[24]。經(jīng)典試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法包括全因子設(shè)計(jì)、中心組合設(shè)計(jì)、D-最優(yōu)設(shè)計(jì)、Box-Behnken設(shè)計(jì)等。這些方法主要用于實(shí)驗(yàn)室安排儀器實(shí)驗(yàn)中,以減少實(shí)驗(yàn)隨機(jī)誤差?，F(xiàn)代試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法以正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)、蒙特卡羅抽樣、拉丁超立方設(shè)計(jì)、均勻設(shè)計(jì)為主要代表,是為確定性的計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)發(fā)展需要而產(chǎn)生的,主要采用“空間填充”的思想。目前,常用的現(xiàn)代試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法有:蒙特卡羅抽樣、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)、均勻設(shè)計(jì)和拉丁超立方抽樣[25](Latin hypercube sampling,LHS)。

本文設(shè)計(jì)的多保真度代理模型方法擬采用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法是LHS方法。LHS[26]是一種在現(xiàn)代試驗(yàn)設(shè)計(jì)中比較流行的能夠?qū)Υ笮蛥?shù)設(shè)計(jì)空間中進(jìn)行均勻高效采樣的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法,受到基于計(jì)算機(jī)仿真分析設(shè)計(jì)領(lǐng)域的廣泛研究與關(guān)注。LHS方法約束隨機(jī)地生成均勻樣本點(diǎn),通過控制樣本點(diǎn)的位置,避免抽樣點(diǎn)在小領(lǐng)域內(nèi)重合。LHS的基本原理是如果在設(shè)計(jì)空間內(nèi)抽n個(gè)樣本點(diǎn),那么就把m個(gè)隨機(jī)設(shè)計(jì)變量的抽樣范圍都分成等距離或等概率的n個(gè)區(qū)間,然后對(duì)于每個(gè)變量分別在每個(gè)區(qū)間隨機(jī)取一個(gè)值,這樣對(duì)于每個(gè)變量就有對(duì)應(yīng)的n個(gè)水平值,然后將m組的n個(gè)變量值隨機(jī)組合配對(duì)就構(gòu)成了n個(gè)樣本點(diǎn)。對(duì)于每個(gè)設(shè)計(jì)變量來說,n個(gè)樣本點(diǎn)一定分別落在其每個(gè)小區(qū)間中,因而得到的實(shí)際抽樣點(diǎn)就會(huì)等概率地分散在整個(gè)設(shè)計(jì)空間中。LHS法不僅具有有效的空間填充能力,還能夠擬合非線性響應(yīng)。與其他現(xiàn)代試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法中另一常用的正交試驗(yàn)法相比,在同樣的采樣點(diǎn)數(shù)目下LHS設(shè)計(jì)可以研究更多的樣本點(diǎn)組合[27]。LHS方法不限制問題的維數(shù)、樣本數(shù)目的多少,因?yàn)長HS方法產(chǎn)生的樣本點(diǎn)可以確保其代表向量空間中的所有部分并且具有相當(dāng)大的隨意性。同時(shí),LHS方法還具有樣本記憶功能,抽樣效率高,能夠避免重復(fù)抽取已經(jīng)抽過的樣本點(diǎn),并且對(duì)于分布在抽樣空間邊界處的樣本點(diǎn)也能保證使其參與抽樣[28]。因此，拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法可以保證在抽樣較少的情況下獲得較高的計(jì)算精度。

1.3 多保真度問題描述

多保真度問題可以描述為:對(duì)于一個(gè)m維問題,要想獲得一個(gè)難以評(píng)估的函數(shù)(計(jì)算成本大或者函數(shù)響應(yīng)值難以獲取)y1的預(yù)測(cè)值,可以通過借助一個(gè)易于評(píng)估的函數(shù)(計(jì)算成本低或者函數(shù)響應(yīng)值容易得到)y2的響應(yīng)結(jié)果,以及函數(shù)y1上的幾個(gè)樣本點(diǎn)值進(jìn)行預(yù)測(cè)。首先需要對(duì)不同保真度的樣本空間(高保真度樣本空間S1,低保真度樣本空間S2)進(jìn)行采樣,得到

S1=(x1,1,x1,2,…,x1,n1)T∈Rn1×m

(2)

S2=(x2,1,x2,2,…,x2,n2)T∈Rn2×m

(3)

式中，n1是高保真度數(shù)據(jù)的采樣數(shù)量;n2是低保真度數(shù)據(jù)的采樣數(shù)量。在實(shí)際情況中,精確度高的高保真度采樣點(diǎn)的響應(yīng)值計(jì)算復(fù)雜性高、計(jì)算耗時(shí)長導(dǎo)致難以獲取,甚至在有些情況下受客觀原因的限制無法獲得大量的高保真度數(shù)據(jù),而低保真度采樣點(diǎn)的響應(yīng)值沒有精度要求的約束,其獲取的途徑有很多,比如通過經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)、基本原理公式、快速建模仿真軟件等[29],所以獲取成本相對(duì)較低,容易獲取。由此可見,高保真度數(shù)據(jù)的獲取難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于低保真度數(shù)據(jù)的獲取難度,因此通常情況下,n2?n1。

接著,通過獨(dú)立的不同復(fù)雜性的計(jì)算途徑分別獲取高、低保真度的采樣點(diǎn)響應(yīng)值:

y1=[y1(x1,1),y1(x1,2),…,y1(x1,n1)]∈Rn1

(4)

y2=[y2(x2,1),y2(x2,2),…,y2(x2,n2)]∈Rn2

(5)

因此,該問題的輸入就是低保真度數(shù)據(jù)集(S2,y2)和高保真度數(shù)據(jù)集(S1,y1),輸出目標(biāo)是得到高保真函數(shù)y2。有了該函數(shù),給出任意參數(shù)樣本點(diǎn),都能快速得到該樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的高保真響應(yīng)值。通過上述方法得到的函數(shù)響應(yīng)值不僅計(jì)算成本低、響應(yīng)快、而且數(shù)據(jù)精度高。

2 基于多保真度代理模型的參數(shù)估計(jì)方法

2.1 多保真度代理模型構(gòu)建流程

多保真度代理模型的構(gòu)建流程如圖2所示。

圖2 多保真度代理模型構(gòu)建流程

具體可分為以下6個(gè)步驟。

步驟 1使用試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法從初始化參數(shù)空間中進(jìn)行低保真度數(shù)據(jù)的樣本采樣。

步驟 2通過低保真度數(shù)值分析獲得低保真樣本點(diǎn)的響應(yīng)值,從而得到一組低保真數(shù)據(jù)集。

步驟 3基于低保真度數(shù)據(jù)集構(gòu)建低保真代理模型。

步驟 4再次使用試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法從初始化參數(shù)空間中進(jìn)行高保真度數(shù)據(jù)的樣本采樣。

步驟 5通過使用復(fù)雜的高保真數(shù)值分析獲得高保真度數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)的響應(yīng)值,從而獲得一組高保真度數(shù)據(jù)集(高保真數(shù)據(jù)集的數(shù)量遠(yuǎn)低于低保真數(shù)據(jù)集)。

步驟 6通過輸入一組高保真度數(shù)據(jù)集,在步驟3構(gòu)建的低保真度代理模型的基礎(chǔ)上建立多保真度代理模型。該多保真度代理模型就可以用來預(yù)測(cè)初始化參數(shù)空間中任意一點(diǎn)的響應(yīng)值,快速且精確。

2.2 基于原始Kriging構(gòu)建低保真度代理模型

Kriging[30]是一種基于統(tǒng)計(jì)理論的插值技術(shù),是以已知樣本信息的動(dòng)態(tài)構(gòu)造為基礎(chǔ)充分考慮到變量在空間的相關(guān)特征,建立對(duì)象問題的近似函數(shù)關(guān)系來模擬某一點(diǎn)未知信息的代理模型方法,是一種基于隨機(jī)過程的估計(jì)方差最小的無偏估計(jì)模型。Kriging模型與其他常用代理模型的區(qū)別在于,該模型不僅能給出對(duì)未知函數(shù)的預(yù)估值,還能給出預(yù)估值的誤差估計(jì)。Kriging模型對(duì)非線性函數(shù)具有良好的近似能力和獨(dú)特的誤差估計(jì)功能。

Kriging模型是一種插值模型,其插值結(jié)果是由已知樣本函數(shù)響應(yīng)值的線性加權(quán)[31],即

(6)

式中,ω(i)是加權(quán)系數(shù)。

基于式(6)的描述,只要給出加權(quán)系數(shù)ω=[ω(1)，ω(2)，…，ω(n)]T的表示式,就可以得出設(shè)計(jì)空間中任意樣本點(diǎn)的預(yù)估值。為了求出加權(quán)系數(shù),傳統(tǒng)Kriging模型引入統(tǒng)計(jì)學(xué)假設(shè)[32]:將未知函數(shù)看成是某個(gè)高斯靜態(tài)隨機(jī)過程的具體實(shí)現(xiàn),即對(duì)于任意位置x,對(duì)應(yīng)的函數(shù)響應(yīng)值y(x)被一個(gè)隨機(jī)函數(shù)Y(x)替代,y(x)只是Y(x)可能的結(jié)果之一。該靜態(tài)隨機(jī)過程寫成:

Y(x)=β0+Z(x)

(7)

式中,β0是全局趨勢(shì)模型,表示Y(x)的數(shù)學(xué)期望值,是一個(gè)未知常數(shù);Z(·)是均值為0,方差為σ2(σ2(x)≡σ2),協(xié)方差為cov[z(x),z(x′)]=σ2R(x,x′)的靜態(tài)隨機(jī)過程;R(x,x′)是空間相關(guān)函數(shù)，該函數(shù)只與空間中兩點(diǎn)之間的歐式距離有關(guān)。

傳統(tǒng)Kriging模型要尋找最優(yōu)加權(quán)系數(shù)ω(i),須使得均方差(mean squared error,MSE)最小[29],即

(8)

同時(shí)根據(jù)無偏估計(jì)要求,還須滿足:

(9)

經(jīng)求解,得到傳統(tǒng)Kriging模型的預(yù)估值為

(10)

式中,

β0=(FTR-1F)-1FTR-1ys

(11)

同時(shí)也能得到傳統(tǒng)Kriging模型預(yù)估值的MSE估計(jì)為

(12)

對(duì)于一個(gè)有m個(gè)設(shè)計(jì)變量的優(yōu)化問題,假定需要建立未知性能函數(shù)y:Rm→R(目標(biāo)函數(shù)或約束函數(shù))對(duì)設(shè)計(jì)變量x=[x1,x2,…,xm]T∈Rm的近似模型。

基于上述問題描述,首先需要選擇如拉丁超立方采樣等試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法,在設(shè)計(jì)空間中進(jìn)行抽樣得到n個(gè)樣本:

S=[x(1),x(2),…,x(n)]T∈Rn×m

(13)

這n個(gè)樣本點(diǎn)也可以看作是n個(gè)設(shè)計(jì)方案。接著,需要對(duì)這n個(gè)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行數(shù)值分析(計(jì)算流體力學(xué)或者計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)),從分析結(jié)果中得到n個(gè)函數(shù)響應(yīng)值:

ys=[y(1),y(2),…,y(n)]T=[y(x(1)),y(x(2)),…,y(x(n))]T∈Rn

(14)

要為高保真函數(shù)建立代理模型,首先需要為低保真函數(shù)建立一個(gè)代理模型,用于后面的輔助預(yù)測(cè)。根據(jù)前文對(duì)傳統(tǒng)Kriging模型方法的介紹,將對(duì)低保真函數(shù)的隨機(jī)過程響應(yīng)值定義為

Ylf(x)=β0,lf+Zlf(x)

(15)

式中,β0,lf是未知常數(shù);Zlf(x)是靜態(tài)隨機(jī)過程。按照前文介紹的建立Kriging模型的方法,基于低保真數(shù)據(jù)集(Slf,ys,lf)建立傳統(tǒng)Kriging模型。在擬合出Kriging模型后,由于F=[1,1,…,1]T,可參照式(10)將低保真函數(shù)在任意未知點(diǎn)x的預(yù)估值寫為

(16)

式中,

(17)

其中，Rlf∈Rnlf×nlf是由所有已知樣本點(diǎn)之間的函數(shù)值組成的“相關(guān)矩陣”;I∈Rnlf是單位列向量;rlf∈Rnlf由未知點(diǎn)與所有已知樣本點(diǎn)之間的相關(guān)關(guān)系組成的“相關(guān)向量”。

2.3 基于改進(jìn)Kriging構(gòu)建多保真度代理模型

(18)

(19)

參照傳統(tǒng)Kriging模型的求解過程,可以將改進(jìn)Kriging模型的預(yù)估值寫為

(20)

除此以外,改進(jìn)Kriging模型還給出了預(yù)估值的MSE:

(21)

不論是在建立傳統(tǒng)Kriging代理模型還是改進(jìn)Kriging代理模型的過程中,代表已知樣本點(diǎn)函數(shù)之間相關(guān)性和已知樣本點(diǎn)與未知樣本點(diǎn)之間相關(guān)性的“相關(guān)矩陣”和“相關(guān)矢量”的構(gòu)造都與“相關(guān)函數(shù)”的選擇和計(jì)算有關(guān)。這里考慮到滿足高斯假設(shè)和計(jì)算簡(jiǎn)便的要求[34],建議采用一類三次樣條函數(shù),其形式為

(22)

式中,

(23)

假設(shè)采樣數(shù)據(jù)是根據(jù)高斯過程分布的,采樣點(diǎn)的響應(yīng)值被認(rèn)為是相關(guān)的隨機(jī)函數(shù),其對(duì)應(yīng)的似然函數(shù)為

(24)

比例因子β0和過程方差σ2的最優(yōu)估計(jì)值可解析求出,但均由未知超參數(shù)θ=[θ1,θ2,…,θm]決定。

β0(θ)=(FTR-1F)-1FTR-1ys

(25)

(26)

將式(25)和式(26)代入到式(24)中,取對(duì)數(shù),優(yōu)化問題就轉(zhuǎn)化為求解:

ln[L(θ)]=-nlnσ2(θ)-ln|R(θ)|

(27)

由于無法解析求出θ的最優(yōu)值,就需要采用數(shù)值優(yōu)化算法,模型參數(shù)θ的求解目標(biāo)為

(28)

由此可以得出,θ是該代理模型優(yōu)化的關(guān)鍵參數(shù)。θ最優(yōu)值選取的好壞會(huì)直接影響該模型的效果和精度。考慮到遺傳算法與其他的一般優(yōu)化算法的不同之處,在于其他算法往往是先選定一個(gè)初始值,然后再進(jìn)行迭代,最終選出最優(yōu)解,但是這樣得到的最優(yōu)解,其最優(yōu)性很有可能被限制在局部范圍內(nèi),而遺傳算法會(huì)預(yù)先選擇一個(gè)初始值集合,對(duì)一群初始值進(jìn)行迭代,最終再選出最優(yōu)解,這種選擇方法相對(duì)其他算法在最優(yōu)解的選擇范圍上更大,更有利于尋找全局最優(yōu)解[35]。因此，建議使用遺傳算法對(duì)模型參數(shù)θ最優(yōu)值進(jìn)行求解。由于現(xiàn)有文獻(xiàn)中對(duì)遺傳算法的基本原理和算法流程都有詳盡地說明,這里就不對(duì)其進(jìn)行展開敘述。

3 應(yīng)用研究

為了驗(yàn)證所提出的系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)方法,應(yīng)用研究選擇飛機(jī)這一單航空裝備系統(tǒng)設(shè)計(jì)為示例進(jìn)行分析。首先給出模型的數(shù)據(jù)輸入,這里包括低保真度和高保真度兩種不同保真度數(shù)據(jù),接著借助建立的多保真度代理模型對(duì)采樣點(diǎn)的響應(yīng)值進(jìn)行求解,然后對(duì)求解結(jié)果進(jìn)行說明分析,最后引入了幾個(gè)模型評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)一步地驗(yàn)證該系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)方法的有優(yōu)越性。

飛機(jī)系統(tǒng)總體設(shè)計(jì)的主要參數(shù)包括翼載荷、推重比和最大升力系數(shù)[36]。由于翼載荷和推重比主要是通過對(duì)飛機(jī)自身重力、機(jī)翼面積和發(fā)動(dòng)機(jī)種類的選擇決定的,因此該示例著重研究最大升力系數(shù)這一主要參數(shù)。飛機(jī)的升力系數(shù)主要由飛機(jī)的機(jī)翼提供,即要求飛機(jī)的升力系數(shù)就是求飛機(jī)機(jī)翼的升力系數(shù),而機(jī)翼的升力系數(shù)是通過對(duì)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)來改變的,在機(jī)翼面積、展弦比、后掠角等一般參數(shù)確定的情況下,機(jī)翼彎度的改變將對(duì)機(jī)翼氣動(dòng)特性產(chǎn)生重大的影響[37],機(jī)翼彎度是產(chǎn)生升力的最基本要素。飛機(jī)機(jī)翼的彎度是指機(jī)翼剖面的彎曲程度,具體是指中弧線與翼弦之間的距離[38],平直翼的機(jī)翼彎度一般為零。綜合以上分析,將本示例研究的自變量定為機(jī)翼彎度,因變量是最大升力系數(shù)。

3.1 模型數(shù)據(jù)輸入

示例研究實(shí)驗(yàn)中,首先需要對(duì)低保真樣本點(diǎn)進(jìn)行抽樣,采用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法是LHS方法,樣本機(jī)翼彎度變量的抽樣范圍是(20 cm, 40 cm),采樣點(diǎn)數(shù)為10。由于LHS方法是歸一化的,將抽樣結(jié)果轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的抽樣區(qū)間,采樣得到的10個(gè)點(diǎn)是38 cm, 27 cm, 29 cm, 22 cm, 36 cm, 33 cm, 25 cm, 31 cm, 20 cm, 35 cm。然后,本文將使用建模仿真工具作為低保真數(shù)值分析程序,計(jì)算時(shí)間很快,得到一組低保真點(diǎn)及其響應(yīng)值(機(jī)翼彎度和及其對(duì)應(yīng)的最大升力系數(shù)),具體數(shù)值如表1所示。

表1 低保真度樣本點(diǎn)及響應(yīng)值

同樣,采樣LHS方法在區(qū)間(20 cm, 40 cm)中進(jìn)行高保真樣本點(diǎn)采樣,由于獲取高保真樣本點(diǎn)響應(yīng)值的成本高,因此只選取5個(gè)采樣點(diǎn)2 cm, 25 cm, 30 cm, 33 cm, 38 cm。本文獲取高保真點(diǎn)響應(yīng)值的計(jì)算程序是求飛機(jī)氣動(dòng)特性的專業(yè)求解器,由于這種求解器一般都不是開源的,且計(jì)算耗時(shí)較長。得到一組高保真樣本點(diǎn)及其響應(yīng)值(機(jī)翼彎度及其對(duì)應(yīng)的最大升力系數(shù)),具體數(shù)值如表2所示。

表2 高保真度樣本點(diǎn)及響應(yīng)值

3.2 模型求解

本文實(shí)驗(yàn)主要分為兩步,首先是輸入經(jīng)過采樣得到的10對(duì)低保真數(shù)據(jù)組,構(gòu)造低保真度代理模型;再輸入經(jīng)過采樣得到的5對(duì)高保真數(shù)據(jù)組,在前一步構(gòu)造的低保真度代理模型的基礎(chǔ)上得到最終的多保真度代理模型。通過兩次數(shù)據(jù)輸入,完成兩部分實(shí)驗(yàn),可以得到基于保真度代理模型的參數(shù)預(yù)測(cè)結(jié)果。本文的研究中是想要求得機(jī)翼彎度在任意一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的最大升力系數(shù)響應(yīng)值,因此通過運(yùn)行編寫的算法程序,可以求解機(jī)翼彎度在(20 cm, 40 cm)內(nèi)每一點(diǎn)的響應(yīng)值,代碼運(yùn)行時(shí)間即結(jié)果計(jì)算時(shí)間是秒級(jí),可見算法結(jié)果響應(yīng)十分迅速。為了將實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,同時(shí)還分別采用低保真數(shù)值分析程序和高保真數(shù)值分析程序?qū)C(jī)翼彎度在(20 cm, 40 cm)中的其他點(diǎn)的響應(yīng)值補(bǔ)充完整,這里基本可以將高保真數(shù)值分析得到的響應(yīng)結(jié)果真實(shí)值來進(jìn)行對(duì)比。這樣就獲得了3組機(jī)翼彎度在(20 cm, 40 cm)區(qū)間中的全數(shù)據(jù)集:低保真度數(shù)據(jù)、高保真度數(shù)據(jù)和通過本文算法實(shí)驗(yàn)得到的多保真度數(shù)據(jù),每組數(shù)據(jù)的自變量都是機(jī)翼彎度,因變量是最大升力系數(shù)。因此，以機(jī)翼彎度為橫坐標(biāo),最大升力系數(shù)為縱坐標(biāo)作圖,得到圖3中的3條曲線。其中,黑色圓點(diǎn)代表的是低保真度數(shù)據(jù)結(jié)果,橙色三角形代表的是高保真度數(shù)據(jù)結(jié)果,藍(lán)色方塊就是本文實(shí)驗(yàn)的預(yù)測(cè)結(jié)果,即多保真度數(shù)據(jù)結(jié)果。圖3中5個(gè)醒目的綠色方表示第二步實(shí)驗(yàn)中輸入的5對(duì)高保真度數(shù)據(jù)。這5個(gè)點(diǎn)多保真度預(yù)測(cè)曲線和高保真度數(shù)據(jù)結(jié)果曲線的交點(diǎn),并且觀察圖3可見橫坐標(biāo)即機(jī)翼彎度從30 cm開始到40 cm,多保真度代理模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與高保真度數(shù)據(jù)結(jié)果十分接近,兩條曲線的擬合效果很好。同時(shí),從圖3中也能夠很明顯地看出由于大部分低保真數(shù)據(jù)結(jié)果都是基于數(shù)值統(tǒng)計(jì)或者經(jīng)驗(yàn)公式等粗糙的數(shù)值分析程序快速求得的,導(dǎo)致與真實(shí)數(shù)據(jù)(即高保真度數(shù)據(jù)結(jié)果)相比,差距略大。

圖3 不同保真度模型的估計(jì)值結(jié)果

3.3 結(jié)果評(píng)價(jià)與分析

顯然,本文研究問題想要得到的結(jié)果估計(jì)模型是一個(gè)回歸模型,而不是一個(gè)分類模型,因此本文選擇均方根誤差(root mean square error, RMSE)、最大差值(max error, MAX)和R-平方值這3個(gè)常用的回歸模型性能評(píng)價(jià)指標(biāo)[39]作為評(píng)價(jià)本文求解結(jié)果模型好壞的指標(biāo)。

(29)

(30)

(31)

以高保真度數(shù)據(jù)為真實(shí)數(shù)據(jù)作對(duì)照(即RMSE=0,MAX=0,R2=1),分別計(jì)算低保真度數(shù)據(jù)模型和多保真度代理模型的上述3個(gè)指標(biāo)值,得到結(jié)果如表3所示。

表3 模型性能指標(biāo)結(jié)果值

由表3的結(jié)果可以看出,多保真度代理模型的4項(xiàng)指標(biāo)的表現(xiàn),無論是整體精度還是局部精度都是優(yōu)于低保真度數(shù)據(jù)的。尤其是多保真度預(yù)測(cè)模型的R-平方值為0.986,幾乎接近1,說明模型擬合效果很好,而低保真度數(shù)據(jù)的R-平方值只有0.086,擬合效果不盡人意。

4 結(jié) 論

針對(duì)由信息技術(shù)的快速發(fā)展給復(fù)雜系統(tǒng)設(shè)計(jì)和研制帶來的一系列智能化要求:復(fù)雜性激增、需求動(dòng)態(tài)性變化、響應(yīng)的快速性;并且,系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)又是武器裝備系統(tǒng)設(shè)計(jì)研制中的重要一環(huán),同時(shí)又考慮到不同保真度數(shù)據(jù)獲取難度差異的情況,本文提出了一種基于多保真度代理模型的參數(shù)估計(jì)方法。該方法首先基于傳統(tǒng)Kriging模型對(duì)低保真度數(shù)據(jù)建立代理模型,然后將該模型作為全局趨勢(shì)模型,再基于改進(jìn)的Kriging模型插入高保真度數(shù)據(jù)建立多保真度代理模型,得到同時(shí)滿足高精度和高效率雙重要求的參數(shù)估計(jì)方法。最后以飛機(jī)機(jī)翼系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的最大升力系數(shù)參數(shù)估計(jì)問題為例,驗(yàn)證了所提出的方法在裝備設(shè)計(jì)研制中的可行性和有效性。

值得一提的是,雖然低保真度數(shù)據(jù)計(jì)算方便且快捷,相對(duì)于高保真度數(shù)據(jù)獲取難度占明顯優(yōu)勢(shì),甚至有時(shí)不僅僅是因?yàn)橛?jì)算耗時(shí)成本高,還包括一些客觀原因致使高保真度數(shù)據(jù)的獲取難度大且獲取數(shù)量少,因此想要獲取全樣本點(diǎn)的高保真度響應(yīng)值耗費(fèi)巨大成本,在有些情況下是不可能完成的。但是通過本文給出的基于多保真度代理模型參數(shù)估計(jì)方法,所需輸入的數(shù)據(jù)獲取難度僅僅等于多個(gè)低保真度數(shù)據(jù)獲取難度加上少量高保真度獲取難度(重點(diǎn)是可實(shí)現(xiàn)的且可行性高),就可以獲取十分接近真實(shí)數(shù)據(jù)的精度和擬合效果,可見性價(jià)比十分高。同時(shí)也為一些特殊情況:無法獲得采樣空間中所有點(diǎn)的高保真度數(shù)據(jù)響應(yīng)值但是想要獲取高精度的結(jié)果響應(yīng)值提供了一種解決辦法,即揭示了在實(shí)際情況下用來指導(dǎo)武器裝備總體設(shè)計(jì)的作用和意義,為裝備系統(tǒng)設(shè)計(jì)人員在研制總體設(shè)計(jì)方案時(shí)面對(duì)動(dòng)態(tài)性的需求提供了可操作、科學(xué)性且能夠快速響應(yīng)的方法支撐。