唐鴻洋，陸青山

(內(nèi)蒙古大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010021)

2013年國(guó)際青年物理學(xué)家競(jìng)賽(IYPT)第7題為:請(qǐng)研究蠟燭熏黑一側(cè)內(nèi)壁的帶蓋玻璃罐子,經(jīng)交流電白熾燈照射時(shí)會(huì)發(fā)出“嗡嗡”聲的原理. 光致發(fā)聲(又稱作光聲效應(yīng))描述了物質(zhì)受到調(diào)幅光照射時(shí)產(chǎn)生聲音信號(hào)的現(xiàn)象[1-2]. 路峻嶺等[3]認(rèn)為產(chǎn)生聲音信號(hào)是因?yàn)榻蛔児饧ぐl(fā)了瓶中空氣柱的聲波共振模,用市電供電的白熾燈輻照時(shí)觀察不到該實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象. 趙杰等[4]認(rèn)為聲音信號(hào)強(qiáng)度與光通量成正比關(guān)系,但沒有給出詳細(xì)的理論解釋. 上述2項(xiàng)工作存在的共同問題是:沒有對(duì)聲音信號(hào)的波形及其頻譜進(jìn)行具體的研究;實(shí)驗(yàn)環(huán)境比較嘈雜,信噪比較低;以罐子內(nèi)空氣被加熱為理論基礎(chǔ),沒有考慮炭黑顆粒的熱脹冷縮擾動(dòng)空氣的影響. 本文應(yīng)用熱彈性振動(dòng)理論,構(gòu)建實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)及其物理和數(shù)學(xué)模型,利用Matlab進(jìn)行仿真,分析聲音信號(hào)波形及其頻譜特性,揭示該現(xiàn)象的物理機(jī)制.

1 炭黑的顯微結(jié)構(gòu)

通過幾何光學(xué)計(jì)算[5-7],顯微鏡景深約1 μm,這為觀察炭黑層顯微結(jié)構(gòu)提供了保證. 實(shí)驗(yàn)使用江西鳳凰牌生物顯微鏡,型號(hào)XSP-06,放大倍數(shù)為400倍. 用鑷子夾住蓋玻片,在蠟燭火焰尖上將其單面熏黑. 該黑灰即蠟燭燃燒不充分所形成的炭黑[8-9],樣品如圖1所示. 蓋玻片被熏黑后,將其放在載玻片上(炭黑層面向上)利用顯微鏡觀察炭黑的結(jié)構(gòu). 可見炭黑層基底緊密,越靠近表面,結(jié)構(gòu)越疏松.

圖1 短時(shí)間熏黑的玻璃片樣品

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

2.1 制作光聲轉(zhuǎn)換裝置

玻璃罐主要對(duì)炭黑層發(fā)出的微小聲音信號(hào)起回聲放大的作用,因此其體積不能太小. 經(jīng)過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,炭黑層必須熏在瓶子內(nèi)表面,且分布在一個(gè)側(cè)面,炭黑層厚度達(dá)到目視不透光. 與炭黑層相對(duì)的玻璃面要求潔凈透亮. 制作好的光聲轉(zhuǎn)換裝置實(shí)物如圖2所示. 在蓋子上打孔,孔徑以麥克風(fēng)收音孔為準(zhǔn),然后用膠帶將麥克風(fēng)粘緊. 光源選用200 W白熾燈泡.

(a)正視圖 (b)側(cè)視圖圖2 光聲轉(zhuǎn)換裝置

2.2 白熾燈電路

實(shí)驗(yàn)使用的電源是市電. 燈座開關(guān)有3擋,分別為白熾燈提供全波電壓、半波整流電壓以及開路斷電,電路圖如圖3所示.

圖3 電路圖

2.3 搭建實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)裝置如圖4所示. 使用智能手機(jī)錄制聲音信號(hào)，利用Matlab分析音頻文件. 由于實(shí)驗(yàn)中裝置溫度較高,注意導(dǎo)線不要接觸玻璃罐,防止絕緣層被燒熔.

圖4 實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖

3 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象

3.1 聲音信號(hào)

采集3 000 s聲音信號(hào)，如圖5所示,聲音信號(hào)強(qiáng)度不隨時(shí)間而發(fā)生明顯的改變,信號(hào)基本穩(wěn)定. 聲音信號(hào)的輕微波動(dòng)與實(shí)驗(yàn)時(shí)市電供電的電壓不穩(wěn)有關(guān).

圖5中縱坐標(biāo)只標(biāo)明了振幅,其具體數(shù)值由Matlab直接讀取手機(jī)的錄音文件得到,為電信號(hào)強(qiáng)度,實(shí)驗(yàn)中無法確定單位電信號(hào)對(duì)應(yīng)的聲音信號(hào)振動(dòng)幅度,但這不影響研究聲音信號(hào)衰減以及聲音信號(hào)的波形.

圖5 聲音信號(hào)

3.2 聲音信號(hào)的波形分析

圖6和圖7分別為全波電壓和半波整流電壓輸入時(shí)的聲音信號(hào)及其頻譜.

由圖6和圖7可見,全波電壓工作的光源照射光聲轉(zhuǎn)換裝置時(shí),人耳可聽見(即相對(duì)振幅最高的基頻率)100 Hz的聲音;而半波整流電壓工作的光源照射光聲轉(zhuǎn)換裝置時(shí),基頻率為50 Hz. 之所以會(huì)出現(xiàn)整流后頻率向低頻方向移動(dòng),主要原因?yàn)楣庠吹臒彷椛漕l率向低頻率移動(dòng).

(a)聲音信號(hào)

(b)頻譜圖圖6 全波電壓輸入時(shí)的聲音信號(hào)及其頻譜圖

(a)聲音信號(hào)

(b)頻譜圖圖7 半波整流電壓輸入時(shí)的聲音信號(hào)及其頻譜圖

全波電壓與半波整流電壓及其電功率波形如圖8所示. 光源的熱輻射功率P(t)主要取決于該時(shí)刻電壓值Ui(t)的平方與元件電阻R的比值. 市電供電的50 Hz正弦全波電壓做平方后,其功率函數(shù)的頻率為100 Hz;但半波整流后的電壓做平方后,其功率函數(shù)的頻率仍為50 Hz. 由于除電壓外,其他參量也隨時(shí)間變化,因此可從輻射源頭解釋聲音信號(hào)基頻向低頻移動(dòng)的原因,其他諧頻變化還要進(jìn)行更細(xì)致的建模討論與仿真模擬.

4 建模與仿真

(a)全波電壓波形 (b)半波整流電壓波形

(c)全波電壓功率波形 (d)半波整流電壓功率波形圖8 全波電壓與半波整流電壓及其電功率波形

4.1 物理模型

使用家用電源為白熾燈供電,白熾燈也是電-光(或電-熱輻射)轉(zhuǎn)換裝置. 熱輻射輸入光聲轉(zhuǎn)換裝置，輻射能量在其中轉(zhuǎn)換為罐子和炭黑層的內(nèi)能、聲音信號(hào)的聲能和向環(huán)境散發(fā)的熱能. 整個(gè)系統(tǒng)運(yùn)行(圖9)基于核心假設(shè):炭黑顆粒在周期性熱輻射下產(chǎn)生周期性熱脹冷縮發(fā)聲,炭黑顆粒始終與室溫有溫差使得該裝置得以持續(xù)運(yùn)行.

圖9 系統(tǒng)運(yùn)行圖

4.2 數(shù)學(xué)建模

家用電源Ui(t)為有效電壓值220 V、頻率50 Hz正弦交流電. 在本模型中設(shè)實(shí)際供電嚴(yán)格按照該標(biāo)準(zhǔn),沒有幅度波動(dòng).

對(duì)于白熾燈,忽略交流電對(duì)燈絲電阻RL的影響,熱輻射功率為

(1)

當(dāng)燈絲溫度約3 500 K,如圖10所示,燈絲溫度按照紅色曲線波動(dòng)時(shí),白熾燈工作在近線性區(qū),對(duì)外輻射能量變化如藍(lán)色曲線所示,兩曲線形狀相似.

圖10 燈絲溫度變化造成的輻射能量變化

盡管黑體輻射能量與溫度滿足Stefan-Boltzmann定律[10-11],但在此處近線性,可簡(jiǎn)化模型.

設(shè)固體膨脹系數(shù)為α,則

(2)

由式(2)可積分得V=V(T)在熱平衡時(shí)的理論表達(dá)式為

V=V0exp (αT).

(3)

因?yàn)闇囟葟腡=0 K積分,所以式(3)中V0是絕對(duì)零度時(shí)的固體體積,該數(shù)值大小并不重要,本研究主要關(guān)注體積隨時(shí)間的變化率,而聲音和該變化率同步變化[4].

周期性輻射源強(qiáng)度為W=W(t)入射光聲轉(zhuǎn)換裝置,裝置內(nèi)工作物質(zhì)炭黑總比熱容為C,為了簡(jiǎn)便,假設(shè)C為常量.

設(shè)炭黑的熱彈性形變并不是瞬間發(fā)生的,其熱彈性變化有弛豫系數(shù)ξ. 炭黑熱平衡時(shí),在溫度T1時(shí)體積為V1,在T2時(shí)體積為V2,設(shè)在某一時(shí)刻,炭黑溫度由T1瞬間變?yōu)門2,但體積變化不是瞬間完成的,設(shè)t時(shí)刻,其體積為Vt,滿足

(4)

假設(shè)環(huán)境溫度不變,光聲轉(zhuǎn)換裝置對(duì)環(huán)境的散熱符合傅里葉定律,

JQ=-κT.

(5)

其中，κ為熱傳導(dǎo)系數(shù). 式(5)簡(jiǎn)化為熱流JQ正比于炭黑層溫度與室溫T0的溫差ΔT，

JQ=-κΔT,

(6)

方便之后的運(yùn)算.

4.3 仿真結(jié)果

基于上述討論,針對(duì)光聲轉(zhuǎn)換過程,構(gòu)建了微分方程：

(7)

由電壓Ui隨時(shí)間變化確定熱輻射功率P隨時(shí)間變化,進(jìn)而確定溫度T和體積V隨時(shí)間變化. 由于初始條件復(fù)雜,算式之間存在耦合,因此直接使用Matlab數(shù)值求解. 仿真實(shí)驗(yàn)使用Matlab編程,只需取很小的時(shí)間步長(zhǎng)即可在短時(shí)間內(nèi)做誤差極小的仿真[12].

全波電壓輸入和半波整流電壓輸入的仿真結(jié)果如圖11和圖12所示. 圖11(c)和圖12(c)為熱輻射波形、裝置溫度和炭黑顆粒體積隨時(shí)間的變化情況. 由于熱輻射有效值大于零而且為周期性波動(dòng),根據(jù)熱傳導(dǎo)方程可得出：裝置溫度隨輻照時(shí)間負(fù)自然指數(shù)增長(zhǎng)且波動(dòng)[13]. 由于炭黑顆粒熱脹冷縮隨溫度變化存在弛豫，使得炭黑顆粒體積具有類似Logistic回歸[14]增長(zhǎng)的趨勢(shì). 由于炭黑顆粒周期性的熱脹冷縮擾動(dòng)空氣發(fā)出聲音信號(hào),因此聲音信號(hào)與炭黑顆粒周期性熱脹冷縮同步.

與實(shí)際測(cè)量的聲音信號(hào)波形和頻譜相比較,各個(gè)分頻率的頻率值及相對(duì)強(qiáng)度均保持不變,仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合得很好.

此外,由該模型得出的結(jié)果與工作電壓的波形有關(guān),而與其他物理量數(shù)值大小無關(guān),即在合理的條件下(例如比熱容必須大于零)設(shè)置數(shù)值,其頻譜圖的相對(duì)強(qiáng)度保持恒定,這也是在市電供電條件下做實(shí)驗(yàn)測(cè)得的聲音頻率都相同的原因——物理本質(zhì)并不會(huì)因?yàn)榫唧w數(shù)值選取而改變.

通過仿真可知,只要電源一直供電,最終導(dǎo)致炭黑顆粒體積始終發(fā)生周期性變化,這是系統(tǒng)聲音信號(hào)不會(huì)衰減的原因.

(a)聲音信號(hào)波形

(b)聲音信號(hào)頻譜

(c)熱輻射波形、裝置溫度和炭黑顆粒體積隨時(shí)間變化圖11 全波電壓的仿真結(jié)果

(a)聲音信號(hào)波形

(b)聲音信號(hào)頻譜

(c)熱輻射波形、裝置溫度和炭黑顆粒體積隨時(shí)間變化圖12 半波整流電壓的仿真結(jié)果

5 結(jié) 論

光通量、室溫一定時(shí),聲音信號(hào)強(qiáng)度不隨時(shí)間衰減. 炭黑層面積一定時(shí),光通量越大,聲音信號(hào)強(qiáng)度越大. 薄炭黑層光致發(fā)聲的原理是:白熾燈發(fā)出的光主要分布在紅外波段,具有強(qiáng)烈的熱效應(yīng). 白熾燈在交流電源作用下周期性加熱炭黑顆粒,導(dǎo)致其發(fā)生周期性的熱脹冷縮并擾動(dòng)罐子內(nèi)氣體發(fā)出聲音. 罐子主要起到回聲放大的作用.