唐韻，劉力維

(南京理工大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南京210094)

1.引言

重試排隊(duì)系統(tǒng)在我們的日常生活中無(wú)處不在，并且學(xué)者對(duì)它的研究已經(jīng)非常廣泛，但大部分都是利用隨機(jī)過(guò)程或動(dòng)態(tài)規(guī)劃技術(shù)進(jìn)行系統(tǒng)性能分析，而較少?gòu)慕?jīng)濟(jì)學(xué)角度進(jìn)行研究.文[1]對(duì)已有的重試排隊(duì)系統(tǒng)的研究方法和成果進(jìn)行了總結(jié).文[2]利用嵌入馬爾科夫鏈和母函數(shù)的方法研究了一種批到達(dá)重試排隊(duì)系統(tǒng)，求得了重試軌道中隊(duì)長(zhǎng)的分布，進(jìn)而得到各性能指標(biāo).文[3]研究了帶有恒定重試率的單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)的顧客最優(yōu)策略和最大社會(huì)收益.文[4]針對(duì)不可見(jiàn)情形和可見(jiàn)情形的經(jīng)典單服務(wù)臺(tái)重試排隊(duì)系統(tǒng)，研究了顧客均衡策略和社會(huì)最優(yōu)的止步策略.文[5]針對(duì)局域網(wǎng)的應(yīng)用研究了帶有恒定重試率和延遲休假的M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)，得到了顧客進(jìn)入系統(tǒng)的納什均衡策略和社會(huì)價(jià)格最優(yōu)策略.文[6]研究了帶有恒定重試率和N策略的M/M/1 排隊(duì)系統(tǒng)，分析了顧客行為和社會(huì)收益最大問(wèn)題.文[7]在文[6] 的基礎(chǔ)上研究了帶有啟動(dòng)時(shí)間的情形.文[8]研究了帶有恒定重試率和工作假期的單服務(wù)臺(tái)排隊(duì)系統(tǒng)，分析了顧客均衡策略和社會(huì)最優(yōu)策略.

因?yàn)橄到y(tǒng)高昂的建設(shè)成本和運(yùn)行成本，現(xiàn)實(shí)生活中的很多服務(wù)系統(tǒng)會(huì)采用某些策略來(lái)控制系統(tǒng)的啟動(dòng)和關(guān)閉，其中N策略應(yīng)用得十分廣泛.文[9]第一次在M/M/1系統(tǒng)中提到了N策略的概念.之后，文[10-12]用了幾種不同的方法研究了這種控制策略.值得注意的是N策略雖然在經(jīng)典排隊(duì)系統(tǒng)中已經(jīng)被研究，但是從經(jīng)濟(jì)學(xué)角度來(lái)研究它的文獻(xiàn)還比較少.文[13]針對(duì)不可見(jiàn)情形和可見(jiàn)情形，研究了帶有N 策略和假期的排隊(duì)系統(tǒng)的顧客均衡策略和社會(huì)最優(yōu)策略.文[14]將文[13] 拓展為帶有異類(lèi)顧客的情形.文[15]針對(duì)部分可見(jiàn)情形，研究了假期排隊(duì)系統(tǒng)的顧客策略行為和社會(huì)最優(yōu)問(wèn)題.

另外，在許多排隊(duì)模型中會(huì)假設(shè)服務(wù)臺(tái)完全可靠，但很明顯這種假設(shè)是不符合實(shí)際的，因?yàn)榉?wù)臺(tái)在服務(wù)顧客時(shí)可能會(huì)發(fā)生損壞且需要立即維修的情況無(wú)法被忽視，這就是帶有不可靠服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng).帶有不可靠服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)模型可以應(yīng)用于計(jì)算機(jī)通信系統(tǒng)和機(jī)械生產(chǎn)制造系統(tǒng)中，機(jī)器可能因工作時(shí)間過(guò)長(zhǎng)或某些自身原因發(fā)生故障，則不得不停止服務(wù)，直至維修結(jié)束才能繼續(xù)進(jìn)行服務(wù).文[16]最早研究服務(wù)臺(tái)可能發(fā)生故障的排隊(duì)系統(tǒng)，并得到了相關(guān)數(shù)量指標(biāo).文[17]研究了M/G/1不可靠服務(wù)排隊(duì)系統(tǒng)，并首次給出了該系統(tǒng)的可靠性分析.文[18]針對(duì)完全可見(jiàn)情形和幾乎可見(jiàn)情形，研究了一個(gè)帶有故障和維修期的M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)并得到顧客的均衡策略.文[19]在文[18]的基礎(chǔ)上得出當(dāng)隊(duì)長(zhǎng)信息不可見(jiàn)時(shí)顧客遵循混合均衡止步策略.文[20]又將以上結(jié)果推廣到離散不可靠服務(wù)排隊(duì)系統(tǒng)中，給出了顧客的個(gè)體最優(yōu)均衡策略.文[21]研究了帶有服務(wù)中斷的認(rèn)知無(wú)線(xiàn)電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，在該系統(tǒng)中主級(jí)用戶(hù)的出現(xiàn)會(huì)導(dǎo)致次級(jí)用戶(hù)的服務(wù)中斷.文[22]針對(duì)隊(duì)長(zhǎng)可見(jiàn)情形和不可見(jiàn)情形，研究了帶有災(zāi)難到達(dá)的M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)的納什均衡和社會(huì)最優(yōu)止步策略.文[23]研究了不可靠Mn/G/1排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)加入策略，其中顧客的到達(dá)率依賴(lài)于系統(tǒng)中的顧客數(shù).

本文主要研究: 帶有N策略和不可靠服務(wù)臺(tái)且擁有恒定重試率的M/M/1排隊(duì)系統(tǒng).現(xiàn)在重試排隊(duì)系統(tǒng)在工業(yè)工程和商業(yè)管理上的應(yīng)用非常廣泛.例如呼叫中心的管理模式: 如果代理商在客戶(hù)打進(jìn)電話(huà)時(shí)有空，則將立即為來(lái)電服務(wù)，如果發(fā)現(xiàn)所有服務(wù)臺(tái)都忙，則客戶(hù)必須掛斷電話(huà)，并在隨機(jī)時(shí)間后重試.在現(xiàn)代服務(wù)系統(tǒng)中，呼叫中心可以在客戶(hù)到達(dá)時(shí)給他提供一些系統(tǒng)信息，例如，預(yù)期的等待時(shí)間和服務(wù)臺(tái)狀態(tài)，客戶(hù)可以根據(jù)可用的信息及其預(yù)期收益來(lái)決定是否加入系統(tǒng).我們?cè)诖嘶A(chǔ)上還考慮了N策略和不可靠服務(wù)臺(tái)的情況，使得該模型具有更廣的應(yīng)用領(lǐng)域和現(xiàn)實(shí)意義.

2.模型描述

我們考慮一個(gè)帶有N策略和不可靠服務(wù)臺(tái)且擁有恒定重試率的M/M/1排隊(duì)系統(tǒng).顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)為參數(shù)為λ的泊松過(guò)程.如果到達(dá)的顧客發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺(tái)處于空閑狀態(tài)，則他會(huì)立即被服務(wù)，在服務(wù)臺(tái)前面沒(méi)有等待空間，如果到達(dá)的顧客發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺(tái)處于繁忙狀態(tài)，則他可能會(huì)加入虛擬的重試軌道，實(shí)際上，這些軌道中的顧客可以被看作“等待顧客”，當(dāng)服務(wù)臺(tái)處于空閑狀態(tài)時(shí)，服務(wù)臺(tái)會(huì)根據(jù)FCFS規(guī)則從“等待名單”中選擇顧客進(jìn)行服務(wù)，“等待顧客”的重試時(shí)間間隔服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布，但是如果在這個(gè)過(guò)程中有新的顧客到達(dá)系統(tǒng)，則“等待顧客”的重試將會(huì)被打斷，服務(wù)臺(tái)會(huì)對(duì)新到達(dá)的顧客進(jìn)行服務(wù).我們假設(shè)服務(wù)時(shí)間服從相互獨(dú)立且參數(shù)為μ的指數(shù)分布.服務(wù)臺(tái)在服務(wù)一名顧客時(shí)會(huì)因?yàn)樗竭_(dá)“壽命”極限而損壞，服務(wù)臺(tái)的“壽命”服從參數(shù)為γ的指數(shù)分布.如果服務(wù)臺(tái)發(fā)生損壞，則它會(huì)被立即送去維修，且正在被服務(wù)的顧客需要等待服務(wù)臺(tái)被修好，然后完成他的剩余服務(wù)，維修時(shí)間服從參數(shù)為α的指數(shù)分布，另外，服務(wù)臺(tái)在被修好以后和新的一樣，我們假設(shè)服務(wù)臺(tái)在損壞的時(shí)候，新到達(dá)的顧客不會(huì)選擇加入系統(tǒng)(包括重試軌道).當(dāng)服務(wù)臺(tái)處于休眠狀態(tài)時(shí)，它不會(huì)為顧客提供任何服務(wù)，直到重試軌道中的顧客數(shù)達(dá)到給定的閾值N(N ≥1)，服務(wù)臺(tái)被啟動(dòng)，其啟動(dòng)時(shí)間可忽略不計(jì).當(dāng)服務(wù)臺(tái)被啟動(dòng)以后，它會(huì)為所有的顧客提供窮盡服務(wù)，在這之后，排隊(duì)系統(tǒng)會(huì)變空，服務(wù)臺(tái)會(huì)再次進(jìn)入休眠狀態(tài).我們假設(shè)到達(dá)時(shí)間間隔、服務(wù)時(shí)間、重試時(shí)間間隔、服務(wù)臺(tái)“壽命”和維修時(shí)間相互獨(dú)立.

新顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的瞬間會(huì)決定加入系統(tǒng)或者止步.每一位顧客在完成服務(wù)后會(huì)獲得回報(bào)R，并且他們?cè)谙到y(tǒng)中的逗留期間(包括排隊(duì)等待和被服務(wù)期間)的單位費(fèi)用為C.假設(shè)每位顧客都是風(fēng)險(xiǎn)中立的且想自己的收益最大化，如果服務(wù)后得到的回報(bào)比逗留期間的費(fèi)用大，則顧客會(huì)選擇加入系統(tǒng)，如果服務(wù)后得到的回報(bào)等于或小于逗留期間的費(fèi)用，則顧客會(huì)選擇止步.我們假設(shè):

其中最后一項(xiàng)表示不可靠排隊(duì)系統(tǒng)的廣義服務(wù)時(shí)間(見(jiàn)文[17])，這能夠保證到達(dá)的顧客發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺(tái)處于空閑狀態(tài)會(huì)選擇加入系統(tǒng).我們進(jìn)一步假設(shè)顧客一旦做出進(jìn)入系統(tǒng)的決定則不能反悔，即不能中途選擇退出; 如果顧客決定止步也不能再次返回系統(tǒng).

對(duì)于所研究的排隊(duì)系統(tǒng)，定義{I(t)，N(t)，t ≥0}表示在時(shí)刻t時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)，其中I(t)表示服務(wù)臺(tái)的狀態(tài)(0 : 休眠，1 : 繁忙，2 : 空閑，3 : 損壞)，N(t) 表示表示軌道中的顧客數(shù).很明顯，隨機(jī)過(guò)程{I(t)，N(t)，t ≥0} 在狀態(tài)空間{(0，i)，0 ≤i ≤N -1;(1，j)，j ≥0;(2，k)，k ≥1，(3，n)，n ≥0} 上為一個(gè)連續(xù)時(shí)間馬爾科夫鏈.

在這篇文章中，主要研究幾乎不可見(jiàn)的情形，即到達(dá)的顧客只知道服務(wù)臺(tái)的狀態(tài).在這個(gè)規(guī)則下顧客到達(dá)瞬間選擇加入系統(tǒng)的概率就依賴(lài)于服務(wù)臺(tái)當(dāng)前的狀態(tài)I(t)，我們假設(shè)當(dāng)顧客在發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺(tái)狀態(tài)為i時(shí)均以相同的策略以概率qi(i = 0，1，2，3)加入系統(tǒng)，即有效均衡到達(dá)率λi=λqi(i=0，1，2，3)，這說(shuō)明λi≤λ.

因?yàn)榧僭O(shè)條件(2.1)的存在，則當(dāng)顧客到達(dá)系統(tǒng)時(shí)發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺(tái)處于空閑狀態(tài)，他肯定會(huì)選擇加入系統(tǒng)，這意味著λ2=λ，又因?yàn)榧僭O(shè)服務(wù)臺(tái)在損壞時(shí)，到達(dá)的顧客不會(huì)加入系統(tǒng)(包括重試軌道)，即λ3=0，所以，在這兩種情況下，顧客的決策行為是確定的，不受其它顧客決策行為所影響的.因此，只需要研究當(dāng)服務(wù)臺(tái)狀態(tài)處于I(t)=0，1時(shí)(0: 休眠，1: 繁忙)，到達(dá)顧客的決策行為.本文中，通過(guò)I(t)=0，1時(shí)顧客的均衡到達(dá)率來(lái)研究顧客的決策行為.該排隊(duì)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)存在當(dāng)且僅當(dāng)(見(jiàn)文[3，24]):

其系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移率如圖2.1所示.

圖2.1 系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移率圖

3.均衡到達(dá)率

在這一節(jié)里，我們研究在幾乎不可見(jiàn)的情形下顧客的均衡到達(dá)率.令{p(0，i)，0 ≤i ≤N-1;p(1，j)，j ≥0;p(2，k)，k ≥1;p(3，n)，n ≥0}馬爾科夫鏈{I(t)，N(t)，t ≥0}的穩(wěn)態(tài)分布.則相應(yīng)的母函數(shù)定義如下:

其中|z|≤1.我們得到如下初步結(jié)果.

引理3.1對(duì)于帶有N策略和不可靠服務(wù)臺(tái)且擁有恒定重試率的M/M/1 排隊(duì)系統(tǒng)，若給定到達(dá)率(λ0，λ1，λ，0)，則服務(wù)臺(tái)狀態(tài)i=0，1，2，3 的穩(wěn)態(tài)概率分別如下:

而且我們還可以得到如下等式:

其中:

證穩(wěn)態(tài)分布的平衡方程如下:

由(3.11)可以得到:

所以:

由(3.16)很容易可以得到:

由(3.12)和(3.13)可以得到:

將(3.19)帶入上式可以得到:

由(3.10)、(3.14)、(3.15)和(3.17)可以得到:

再聯(lián)立(3.21)和(3.22)可以得到:

最后，由(3.19)可以得到:

從(3.18)、(3.23)、(3.24)和(3.25)可以看到P0(z)、P1(z)、P2(z)和P3(z)均可以用p(0，0)來(lái)表示，再根據(jù)歸一性，就可以計(jì)算出:

另外，通過(guò)對(duì)(3.18)、(3.23)、(3.24)和(3.25)分別對(duì)z求一階導(dǎo)，然后取z =1，就可以得到(3.5)、(3.6)、(3.7)和(3.8).

設(shè)T(0，j)，1 ≤j ≤N -1，T(1，j)，j ≥0，T(2，j)，j ≥1，和T(3，j)，j ≥0分別表示一名標(biāo)記顧客處于重試軌道中第j個(gè)位置，且服務(wù)臺(tái)狀態(tài)為i=0，1，2，3 的逗留時(shí)間.我們可以得到如下引理.

引理3.2對(duì)于帶有N策略和不可靠服務(wù)臺(tái)且擁有恒定重試率的M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)，若一名標(biāo)記顧客處于重試軌道中第j個(gè)位置，且服務(wù)臺(tái)狀態(tài)為i = 0，1，2，3，則他的預(yù)期逗留時(shí)間分別為:

證通過(guò)分析我們可以得到如下等式:

(3.30)式表示不可靠排隊(duì)系統(tǒng)的廣義服務(wù)時(shí)間(見(jiàn)文[17]).若一名標(biāo)記顧客處于重試軌道中的第j個(gè)位置且服務(wù)臺(tái)處于1狀態(tài)，則他的預(yù)期逗留時(shí)間由以下幾部分組成，首先他需要等待一段時(shí)間，這段時(shí)間表示接下來(lái)有新顧客到達(dá)并加入系統(tǒng)、正在被服務(wù)的顧客完成服務(wù)以及服務(wù)臺(tái)損壞三者中有一個(gè)事件先發(fā)生的時(shí)間，且它服從參數(shù)為λ1+μ+γ的指數(shù)分布.若接下來(lái)以概率發(fā)生第一個(gè)事件，則該標(biāo)記顧客的預(yù)期逗留時(shí)間變?yōu)門(mén)(1，j); 若接下來(lái)以概率發(fā)生第二個(gè)事件，則該標(biāo)記顧客的預(yù)期逗留時(shí)間變?yōu)門(mén)(2，j); 若接下來(lái)以概率發(fā)生第三個(gè)事件，則該標(biāo)記顧客的預(yù)期逗留時(shí)間變?yōu)門(mén)(3，j)，通過(guò)上述分析，我們得到(3.31).利用相同的分析方法，我們可以得到(3.32)、(3.33)和(3.34).

接下來(lái)，將(3.33)和(3.34)帶入(3.31)，可以得到:

再結(jié)合(3.30)，可以得到(3.27):

最后利用(3.27)，再經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算，我們可以很容易得到(3.26)、(3.28) 和(3.29).

通過(guò)引理3.1和引理3.2，可以得到如下定理:

定理3.1對(duì)于帶有N策略和不可靠服務(wù)臺(tái)且擁有恒定重試率的M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)，若給定到達(dá)率(λ0，λ1，λ，0)，則一個(gè)標(biāo)記顧客到達(dá)瞬間發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺(tái)處于0狀態(tài)或1狀態(tài)并選擇加入系統(tǒng)的平均預(yù)期逗留時(shí)間分別為:

證設(shè)W0(k)示重試軌道中有k個(gè)顧客且服務(wù)臺(tái)處于0 狀態(tài)，一名顧客選擇加入系統(tǒng)的預(yù)期逗留時(shí)間.很容易可以看出W0(k)可以用T(0，k+1) 來(lái)表示，即:W0(k) = T(0，k+1) =可由(3.26)得到.另設(shè)P(k|0)表示服務(wù)臺(tái)處于0狀態(tài)且重試軌道中有k個(gè)顧客的條件概率，即因此，一個(gè)標(biāo)記顧客到達(dá)瞬間發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺(tái)處于0狀態(tài)并選擇加入系統(tǒng)的平均預(yù)期逗留時(shí)間為:

再由引理3.1我們就可以得到(3.36).同樣的一個(gè)標(biāo)記顧客到達(dá)瞬間發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺(tái)處于1狀態(tài)且重試軌道中有k個(gè)顧客并選擇加入系統(tǒng)的條件概率和平均預(yù)期逗留時(shí)間分別為:

其中，P1(1)由引理3.1可得，T(1，k+1)由引理3.2可得.因此，一個(gè)標(biāo)記顧客到達(dá)瞬間發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺(tái)處于1狀態(tài)并選擇加入系統(tǒng)的平均預(yù)期逗留時(shí)間為:

再次由引理3.1我們就可以得到(3.37).

從定理3.1很容易可以看出，平均預(yù)期逗留時(shí)間W0(或W1)是獨(dú)立于λ1(或λ0)的，所以我們可以分別得到相應(yīng)的均衡到達(dá)率(唯一均衡或多元均衡).而且，在接下來(lái)的定理3.2可以發(fā)現(xiàn)擁擠偏好(FTC)情形和擁擠厭惡(ATC)情形在某些情況下是存在的.

定理3.2對(duì)于帶有N策略和不可靠服務(wù)臺(tái)且擁有恒定重試率的M/M/1排隊(duì)系統(tǒng)，當(dāng)服務(wù)臺(tái)處于休眠狀態(tài)(i=0)時(shí)，顧客均衡到達(dá)率如下:

當(dāng)服務(wù)臺(tái)處于繁忙狀態(tài)(i=1)時(shí)，顧客均衡到達(dá)率如下:

其中，

證首先，一名顧客到達(dá)時(shí)發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺(tái)處于休眠狀態(tài)，止步總是一種均衡策略，因?yàn)槿绻渌蓄櫩途x擇止步，則服務(wù)臺(tái)永遠(yuǎn)不會(huì)被激活，那么對(duì)于標(biāo)記顧客來(lái)說(shuō)此時(shí)止步是最好的選擇.所以，λe=0總是一個(gè)均衡到達(dá)率且與R無(wú)關(guān).

我們現(xiàn)在來(lái)考慮當(dāng)標(biāo)記顧客到達(dá)時(shí)發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺(tái)處于休眠狀態(tài)的正的均衡到達(dá)率.根據(jù)收益函數(shù)的結(jié)構(gòu)，標(biāo)記顧客選擇加入系統(tǒng)的凈收益等于他完成服務(wù)獲得的獎(jiǎng)勵(lì)R與逗留總花費(fèi)之差，所以根據(jù)定理3.1，我們可以得到標(biāo)記顧客預(yù)期凈收益為:

我們可以看出，S0(λ0)是關(guān)于λ0∈[0，λ] 嚴(yán)格單調(diào)遞增的，所以，我們可以得到如下幾個(gè)結(jié)論:

同樣的，根據(jù)定理3.1，如果一名到達(dá)顧客發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺(tái)處于繁忙狀態(tài)且決定加入系統(tǒng)，他的預(yù)期凈收益為:

另外，(3.39)的證明過(guò)程同上述(3.38)的證明過(guò)程.

注3.1因?yàn)镾1(λ1)是關(guān)于λ1∈[0，λ]的減函數(shù)，一方面，當(dāng)顧客到達(dá)率為λ1且λ1＞時(shí)，若標(biāo)記顧客到達(dá)并選擇加入系統(tǒng)，則他的預(yù)期凈收益為負(fù)值，因此，此時(shí)標(biāo)記顧客的唯一最優(yōu)決策是止步(λ1=0)，另一方面，當(dāng)顧客到達(dá)率為λ1且λ1＜時(shí)，若標(biāo)記顧客到達(dá)并選擇加入系統(tǒng)，則他的預(yù)期凈收益為正值，因此，此時(shí)標(biāo)記顧客的唯一最優(yōu)決策是加入(λ1=λ).上述分析表明了: 標(biāo)記顧客的最優(yōu)決策是關(guān)于其它顧客所采用決策的減函數(shù)，即: 其它顧客的到達(dá)率越高，則標(biāo)記顧客的最優(yōu)到達(dá)率越低，這是擁擠厭惡(ATC)情形，所以至少存在一個(gè)均衡到達(dá)率.另外要注意唯一均衡到達(dá)率λ′1是穩(wěn)定的，因?yàn)閃1是關(guān)于λ1∈[0，λ]的增函數(shù)，所以顧客到達(dá)率λ1的增加會(huì)使得平均預(yù)期逗留時(shí)間的增加，這樣就會(huì)導(dǎo)致選擇加入系統(tǒng)的顧客變少，所以顧客到達(dá)率λ1的增加就會(huì)得到遏制，因此唯一均衡到達(dá)率就會(huì)逐漸趨于一個(gè)穩(wěn)定的值.同樣的，我們很容易可以看出來(lái)S0(λ0)是關(guān)于λ0∈[0，λ]的增函數(shù)，應(yīng)用上述相同的分析方法，可以得到它對(duì)應(yīng)的是擁擠偏好(FTC)情形，所以多元均衡到達(dá)率可能存在且均衡到達(dá)率是不穩(wěn)定的.

4.社會(huì)收益

社會(huì)收益等于所有顧客預(yù)期凈收益之和，所以要求社會(huì)最優(yōu)到達(dá)率，需要將所有顧客看作一個(gè)整體并且使得社會(huì)收益最大化.首先，我們給出社會(huì)收益函數(shù)S(λ0，λ1) 的表達(dá)式，然后尋找使它最大化的參數(shù)(服務(wù)臺(tái)處于0狀態(tài)時(shí)的社會(huì)最優(yōu)到達(dá)率)和(服務(wù)臺(tái)處于1狀態(tài)時(shí)的社會(huì)最優(yōu)到達(dá)率).

定理4.1社會(huì)收益函數(shù)表達(dá)式如下:

其中，P0(1)、P1(1)和P2(1)由引理3.1可得，W0和W1由定理3.1可得.

證如果λ0= 0，則服務(wù)臺(tái)永遠(yuǎn)處于休眠狀態(tài)，不會(huì)被激活，所以此時(shí)社會(huì)收益為0，得到(4.1)第一部分; 如果λ00，根據(jù)社會(huì)收益的定義，社會(huì)收益函數(shù)等于所有顧客的預(yù)期凈收益之和，即:

得到(4.1)的第二部分.

注4.1通過(guò)計(jì)算，可以得到這說(shuō)明當(dāng)服務(wù)臺(tái)處于休眠狀態(tài)且顧客到達(dá)時(shí)間間隔趨于無(wú)窮大的時(shí)候，社會(huì)收益會(huì)為負(fù)值.這種現(xiàn)象可以從管理者的角度理解，當(dāng)顧客到達(dá)率為無(wú)窮小的時(shí)候，管理者關(guān)閉系統(tǒng)是最好的選擇.

注4.2當(dāng)θ →∞時(shí)，即重試時(shí)間趨于0，這個(gè)時(shí)候我們所研究的系統(tǒng)可以看作是一個(gè)帶有N策略和不可靠服務(wù)臺(tái)的M/M/1排隊(duì)系統(tǒng).

因?yàn)榍蟮肧(λ0，λ1)的表達(dá)式非常復(fù)雜，通過(guò)傳統(tǒng)的計(jì)算很難得到相應(yīng)的結(jié)果，所以，在后一節(jié)中我們采用粒子群優(yōu)化算法(PSO)得到和的值.

PSO算法最先由Kennedy和Eberhart在1995年提出，它有精度高、收斂速度快等特點(diǎn)，使用它我們不需要對(duì)目標(biāo)函數(shù)做太多的分析，可以很容易找到全局最優(yōu)解，這些特性剛好是我們所需要的，下面就簡(jiǎn)單介紹一下PSO 算法的要點(diǎn).

首先，需要設(shè)置如下幾個(gè)參數(shù): 最大迭代次數(shù)、目標(biāo)函數(shù)的自變量個(gè)數(shù)和粒子的最大速度，其中每個(gè)粒子只具有兩種屬性: 速度和位置，速度代表粒子移動(dòng)的快慢，位置代表粒子移動(dòng)的方向.開(kāi)始時(shí)位置信息會(huì)設(shè)置為整個(gè)搜索空間，并且會(huì)在速度區(qū)間和搜索空間上隨機(jī)初始化粒子的速度和位置，然后不斷迭代更新粒子的速度和位置，同時(shí)得到每個(gè)粒子的最優(yōu)解(個(gè)體極值)，再?gòu)倪@些個(gè)體極值中找到一個(gè)最優(yōu)解稱(chēng)為本次全局最優(yōu)解，將它再與歷史最優(yōu)進(jìn)行比較，不斷更新，最后，就能得到我們所需要的全局最優(yōu).

速度和位置更新公式如下:

其中，ω稱(chēng)為慣性因子，較大時(shí)，算法全局尋優(yōu)能力強(qiáng)，局部尋優(yōu)能力弱，較小時(shí)，算法全局尋優(yōu)能力弱，局部尋優(yōu)能力強(qiáng)，所以，通過(guò)調(diào)整ω的大小，可以對(duì)算法全局尋優(yōu)能力和局部尋優(yōu)能力進(jìn)行調(diào)節(jié).c1和c2稱(chēng)為加速常數(shù)，前者稱(chēng)為每個(gè)粒子的個(gè)體學(xué)習(xí)因子，后者稱(chēng)為每個(gè)粒子的社會(huì)學(xué)習(xí)因子.pid表示第i個(gè)變量的個(gè)體極值的第d維，pgd表示全局最優(yōu)解的第d維.

本文中，我們?cè)O(shè)置ω =0.9，c1=c2=2，粒子數(shù)S =100，最大迭代次數(shù)M =2000.盡管迭代次數(shù)不夠大，但重復(fù)了6次發(fā)現(xiàn)結(jié)果幾乎一樣.

5.數(shù)值結(jié)果

本節(jié)中，我們主要基于PSO算法研究不同參數(shù)(N，R，θ，μ，α，γ)對(duì)社會(huì)收益函數(shù)S(λ0，λ1)的影響，導(dǎo)出了的數(shù)值最優(yōu)解進(jìn)而得到然后再對(duì)系統(tǒng)性能指標(biāo)的敏感性進(jìn)行分析.

圖5.1 社會(huì)最優(yōu)到達(dá)率()和社會(huì)收益S()關(guān)于N的變化(λ=1，μ=θ =3，α=γ =1，R=8，C =2)

綜上所述: 如果社會(huì)管理者想得到一個(gè)較高的社會(huì)收益，他就必須設(shè)置N為一個(gè)相對(duì)較小的值.我們?cè)趫D5.1(b)中可以看到，當(dāng)N = 1 時(shí)，社會(huì)收益達(dá)到最大值，也就是說(shuō)，當(dāng)一名顧客到達(dá)時(shí)發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺(tái)處于休眠狀態(tài)并選擇加入系統(tǒng)，系統(tǒng)就會(huì)被立即激活，這種情況下系統(tǒng)的社會(huì)收益達(dá)到最大值.

圖5.2 社會(huì)最優(yōu)到達(dá)率()和社會(huì)收益S()關(guān)于R的變化(λ=1，μ=θ =3，α=γ =1，N =4，C =2)

圖5.2(b)顯示: 當(dāng)R = 1，2，3，4，5，6時(shí)，S() = 0，當(dāng)R ＞6時(shí)，S變?yōu)檎登抑饾u變大.

綜上所述: 后到顧客帶來(lái)的正收益將彌補(bǔ)早到顧客的損失，所以從整體來(lái)看，所有顧客的社會(huì)收益都是正值，因此，如果社會(huì)管理者想要獲得一個(gè)較高的社會(huì)收益，他需要設(shè)定一個(gè)相對(duì)較大的R，鼓勵(lì)更多的顧客選擇加入系統(tǒng).

圖5.3 社會(huì)最優(yōu)到達(dá)率和社會(huì)收益關(guān)于θ的變化(λ=1，μ=3，α=γ =1，N =4，R=8，C =2)

綜上所述: 社會(huì)管理者如果想獲得一個(gè)較大的社會(huì)收益，則他需要設(shè)定相對(duì)較大的θ.

圖5.4 社會(huì)最優(yōu)到達(dá)率()和社會(huì)收益S()關(guān)于μ的變化(λ=1，θ =3，α=γ =1，N =4，R=8，C =2)

綜上所述: 若社會(huì)管理者希望系統(tǒng)被激活以后有更多的顧客選擇加入系統(tǒng)，以獲得較高的社會(huì)收益，他需要設(shè)置μ＞2.4.

圖5.5 社會(huì)最優(yōu)到達(dá)率(，)和社會(huì)收益S(，)關(guān)于α的變化(λ=1，μ=θ =3，γ =1，N =4，R=8，C =2)

綜上所述: 若社會(huì)管理者希望獲得較高的社會(huì)收益，他需要設(shè)置α ＞0.6.

圖5.6 社會(huì)最優(yōu)到達(dá)率(，)和社會(huì)收益S(，)關(guān)于γ 的變化(λ=1，μ=θ =3，α=1，N =4，R=8，C =2)

綜上所述: 若社會(huì)管理者希望獲得較高的社會(huì)收益，則他必須保證服務(wù)臺(tái)的“質(zhì)量”，使服務(wù)臺(tái)“壽命”盡可能的長(zhǎng).