吳玉敏,劉麗敏
(中國石油大學勝利學院 基礎(chǔ)科學學院,山東 東營 257000)
眾所周知,傳染病對中國社會帶來了重要的影響,幾十年來,人們一直認為傳染病在宿主中的傳播主要是通過病毒顆粒。最早,在文獻[1],[2]中,Nowak,Bonhoeffer等針對已感染細胞、健康細胞和游離病毒三者的相互作用生態(tài)關(guān)系,建立了具有“病毒-細胞”感染方式的模型,他們建立的模型較好地反應(yīng)了宿主細胞與病毒之間的相互作用,故成為了常用的基本模型[3]。然而,文獻[4]的研究表明,感染細胞可以通過接觸方式感染健康細胞。文獻[5]建立了“細胞-細胞”感染方式的HIV-1模型,并對模型的穩(wěn)定性性質(zhì)進行了研究,得到了保證各平衡點穩(wěn)定的條件。筆者綜合考慮細胞-細胞感染和病毒-細胞之間感染的兩種感染方式,建立了病毒感染模型,并對模型的平衡點的穩(wěn)定性進行了嚴格的分析。
(1) 病毒感染健康的細胞之后,健康的細胞變?yōu)橐迅腥镜募毎?
(2) 已感染的細胞和健康的細胞接觸,健康的細胞轉(zhuǎn)變?yōu)橐迅腥镜募毎?
(3) 新的細胞以常數(shù)率產(chǎn)生;
(4) 未感染的細胞、已感染的細胞、病毒粒子成比例死亡。
構(gòu)建病毒傳播流程,如圖1所示:
圖1 病毒傳播流程圖
這里x(t)表示t時刻未感染的細胞的濃度,y(t)表示t時刻已感染的細胞的濃度,v(t)表示t時刻病毒離子的濃度,s,m,β,β1,b,r,δ均為常數(shù),且大于0,s表示新的細胞的產(chǎn)生率,m表示健康的細胞的死亡率,β表示細胞的感染率,β1表示病毒的感染率,b表示感染細胞的死亡率,r表示死亡細胞溶解產(chǎn)生病毒的產(chǎn)生率,δ表示病毒被清除的速率。
建立下列細胞-細胞和病毒-細胞感染方式的病毒感染模型
(1)
假設(shè)模型(1)滿足以下初值條件
x(0)>0,y(0)≥0,v(0)≥0.
(2)
易知具有初值條件(2)的模型(1)的解是恒為正的。
定義基本再生數(shù)為
證明:根據(jù)平衡點的求解方法,解代數(shù)方程組
當y≠0,v≠0時,由ry-δv=0得
(3)
將式(3)代入βxy+β1xv-by=0得
(4)
因為v≠0,所以有
(5)
模型(1)的雅可比矩陣為
定理2當R0≤1時,E0是局部穩(wěn)定的,否則是不穩(wěn)定的。
證明:模型(1)在E0處的雅可比矩陣為
即
(6)
當R0≤1,即bmδ≥βsδ+β1sr時,可得
因此λ2<0,λ3<0,此時無病平衡點是局部穩(wěn)定的。
證明:模型(1)在E1處的雅可比矩陣為
則特征多項式
|λE-J(E1)|=(λ+δ)[(λ+m+βy*+β1v*)(λ+b)-(λ+m)βx*]=0
(7)
可得λ=-δ,或
λ2+Aλ+B=0
(8)
其中
A=mR0+b-βx*,B=mbR0-mβx*.
定理4 當R0≤1時,E0是全局漸近穩(wěn)定的。
證明:構(gòu)造Lyapunov函數(shù)
顯然,對于模型(1)的正解,V(t)>0,且
故由Lasalls不變集原理可知,當R0≤1時,E0是全局漸近穩(wěn)定的。
證明:構(gòu)造Lyapunov函數(shù)
從而有
V′(t)≤(s+mx*+by*+kδv*)-(mx*+βx*y*)y0-
這里
又因為當R0<1-4β1b2δ(sr-b)時
4sδb2-(4sbβδ+4β1b2)x*+(bδ-βδx*)2v*=
為了驗證文中幾個定理的正確性,考慮以下模型,進行數(shù)值模擬。
根據(jù)建立的模型(1),選取s=0.5,β=0.1,δ=0.2,β1=0.1,r=0.2,m=0.4,b=0.4,得到模型(9)
(9)
計算可知R0=0.625,于是模型(9)滿足定理4的條件,所以模型(9)的無病平衡點E0是全局漸近穩(wěn)定的。利用Matlab軟件,進行數(shù)值模擬,得到圖2,圖2支持這一結(jié)論。
圖2 模型(9)數(shù)值模擬
選取s=0.4,β=0.6,δ=0.95,β1=0.9,r=0.85,m=0.5,b=0.75,得到模型 (10)
(10)
通過圖2可以看出,即使初始狀態(tài)有人群被感染,疾病最終也會消失。圖3說明短時間內(nèi)感染人數(shù)達到峰值,然后慢慢減少,最后穩(wěn)定在地方病平衡點處。
圖3 模型(10)數(shù)值模擬
(1)利用代數(shù)的方法,計算得到了系統(tǒng)無病平衡點和地方病平衡點。