馬艷如，王 青，胡昌華，周志杰，梁小輝

(1. 北京航空航天大學(xué)自動化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191；2. 火箭軍工程大學(xué)導(dǎo)彈工程學(xué)院，西安 710025)

0 引 言

近年來，隨著航空航天技術(shù)的發(fā)展，運載火箭成為人類進入太空的重要工具，承擔(dān)任務(wù)種類愈加復(fù)雜，承載載荷愈發(fā)多樣[1]。例如，中國的長征系列運載火箭和美國NASA的Ares系列運載火箭、美國太空探索技術(shù)公司(SpaceX)獵鷹系列運載火箭等[2]，承擔(dān)發(fā)射不同地球軌道衛(wèi)星和載人飛船的任務(wù)。發(fā)射任務(wù)一旦失敗，不僅會帶來巨大的經(jīng)濟損失，還會影響其戰(zhàn)略、軍事、外交等[3]。然而，運載火箭發(fā)射失敗的主要原因是控制精度不夠和機械故障等。因此，在如此耗資巨大和復(fù)雜的系統(tǒng)中，提高系統(tǒng)的控制精度和在故障下仍能保持良好的控制性能顯得尤為重要。滑?？刂埔蚱鋵ν饨绺蓴_和不確定參數(shù)具有強魯棒性、快速全局收斂特性和對建模誤差不敏感等特性。廣泛應(yīng)用于機器人控制、化工控制和航空航天等領(lǐng)域[4-6]。傳統(tǒng)滑?？刂撇捎镁€性滑模面，不具備有限時間收斂特性[7]，而非奇異終端滑?？刂撇坏軐崿F(xiàn)有限時間收斂，而且改進了傳統(tǒng)的終端滑模控制存在控制輸入趨于無窮大的問題，成為當(dāng)前研究熱點，并取得了一定成果。

非奇異終端滑?？刂品椒ㄔ诤教炱骺刂品矫嫒〉昧嗽S多成果[8-12]。文獻[8-12]考慮模型不確定性和外部干擾的情況對控制器進行設(shè)計；不同之處在于文獻[8]構(gòu)造了固定時間擴張狀態(tài)觀測器，用于估計外部干擾和不確定狀態(tài)的總擾動，設(shè)計了一種新的非奇異快速終端滑模面，并根據(jù)總擾動的估計和提出的滑模面設(shè)計了相應(yīng)的固定時間控制器。文獻[9]重點解決具有未知邊界擾動的撓性航天器有限時間姿態(tài)控制問題。文獻[10]針對航天器姿態(tài)跟蹤控制問題提出一種復(fù)合控制器。該控制器由非奇異終端滑模法的反饋控制和基于有限時間擾動觀測器的補償項組成。文獻[11]設(shè)計了非奇異快速終端滑模動態(tài)輸出反饋控制器，僅利用角速度和角度信息實現(xiàn)有限時間快速姿態(tài)穩(wěn)定。文獻[12]在反步法中最后一步設(shè)計了終端滑?？刂品?，以保證有限時間收斂。眾多文獻[13-15]對更為復(fù)雜的模型控制問題作了研究。文獻[13]針對存在模型不確定性的再入飛行器提出了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的固定時間終端滑模控制律，引入飽和函數(shù)以避免奇異性問題。自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于估計飛行器的不確定性，從而在不犧牲魯棒性的情況下減輕了顫動。文獻[14]基于非奇異終端滑模技術(shù)和徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)計了航天器編隊飛行多目標(biāo)姿態(tài)跟蹤魯棒控制器。魯棒控制器由徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和自適應(yīng)控制器組成，并根據(jù)非奇異終端滑模有限時間收斂特性，提出了一種徑向基網(wǎng)絡(luò)在線學(xué)習(xí)算法，提高其逼近效率。文獻[15]將非奇異終端滑?？刂婆c自適應(yīng)方法相結(jié)合，自適應(yīng)更新律用于估計各種不確定性的邊界。

與上述方法不同，本文提出了一種新型非奇異終端滑?？刂圃O(shè)計方法，將應(yīng)用于單輸入單輸出(SISO)系統(tǒng)的終端滑模方法[16]擴展到多輸入多輸出(MIMO)非線性系統(tǒng)，且考慮系統(tǒng)在執(zhí)行器卡死故障下的控制。首先，本文針對存在執(zhí)行器卡死故障的運載火箭姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)設(shè)計了一種新型終端滑模面，基于李雅普諾夫函數(shù)證明系統(tǒng)能在有限時間到達滑模面。而對于奇異問題，本文修改了奇異區(qū)域的控制律。當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)到達滑模面后，原點是該系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定點。能較快實現(xiàn)運載火箭姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)的控制。

本文對存在執(zhí)行器卡死故障的運載火箭姿態(tài)控制跟蹤問題進行研究。首先對運載火箭姿態(tài)控制系統(tǒng)進行動力學(xué)建模；在此基礎(chǔ)上考慮未知干擾和執(zhí)行器故障建立系統(tǒng)模型，執(zhí)行器故障主要考慮執(zhí)行機構(gòu)卡死故障，將干擾和執(zhí)行器故障視為廣義干擾，并將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為一種多輸入多輸出系統(tǒng)，該系統(tǒng)為三個獨立的二階單輸入單輸出微分方程。利用非奇異終端滑?？刂萍夹g(shù)，實現(xiàn)了故障下的運載火箭姿態(tài)角非線性跟蹤控制，同時保證運載火箭的控制精度。

1 系統(tǒng)動力學(xué)模型

圖1 運載火箭發(fā)動機布局尾視圖

(1)

(2a)

(2b)

對于某大型運載火箭，忽略彈性模態(tài)，并將燃油晃動和氣動力矩考慮到干擾中，建立其旋轉(zhuǎn)運動模型：

(3)

式中：J=diag(Jxx,Jyy,Jzz)∈R3×3為運載火箭的轉(zhuǎn)動慣量矩陣；ω=[ωx,ωy,ωz]T為角速度；矩陣κ定義為：

(4)

式中:u為控制輸入向量；ufault為執(zhí)行器故障輸入矩陣；D=[Dx,Dy,Dz]T為干擾向量。

式(3)中的控制輸入力矩u由6個發(fā)動機擺動產(chǎn)生。其中，控制力矩為：

(5)

式中:R=3 m和r=1 m分別為助推發(fā)動機中心和芯級發(fā)動機中心到運載火箭箭體x軸的距離。XR為發(fā)動機噴嘴到火箭頂端的距離；XZ為質(zhì)心位置；P為每個發(fā)動機的推力。將式(1)代入式(5)，可得：

u=Bδ

(6)

式中:B為輸入矩陣，其中

(7)

C=Pdiag(-4R,-2(XR-XZ),-2(XR-XZ))。

根據(jù)慣性坐標(biāo)系與機體坐標(biāo)系之間的關(guān)系，可以得到運載火箭姿態(tài)運動方程為：

(8)

式中:Ω=[φ,φ,θ]T，φ為滾轉(zhuǎn)角，φ為偏航角，θ為俯仰角。其中，Z(Ω)的定義為：

(9)

根據(jù)式(1)～(9)，建立運載火箭動力學(xué)模型：

(10)

式(10)中的第一項對時間微分，可得：

(11)

由式(10)可得：

(12)

(13)

式中:f(x)∈R3，G(x)∈R3×3，d∈R3。其中，上述三項的定義為：

(14)

令xr為運載火箭姿態(tài)角參考信號，即xr=[φr,φr,θr]T，φr,φr,θr分別為滾轉(zhuǎn)角、偏航角和俯仰角參考信號。定義系統(tǒng)誤差信號：

(15)

為簡化閉環(huán)跟蹤控制系統(tǒng)問題，給出下述假設(shè)條件。

假設(shè)1[17]. 在任意t>0時刻，令λ=(ufault+D)，并定義λ′=[|λ1|, |λ2|, |λ3|]T，且廣義干擾λ′均有上屆λup，其中λup∈R3，定義λ′≤λup,即|λi|<λiup,i=1,2,3。

假設(shè)2[16]. 控制輸入向量δ(t)∈L2空間，即δ(t)在任何有限時間內(nèi)的積分均有界。

假設(shè)3[17]. 姿態(tài)角指令參考信號xr和其前二階導(dǎo)數(shù)均可得到且有界。

本文的控制目標(biāo)為設(shè)計控制器δ(t)使得滿足上述假設(shè)條件的運載火箭姿態(tài)系統(tǒng)(10)能在有限時間跟蹤到期望值，并且有良好的控制精度，即：

(16)

2 非奇異終端滑?？刂破髟O(shè)計

(17)

對于式(17)所描述的系統(tǒng)，本文設(shè)計了一種非奇異終端滑?？刂破鳎瑢崿F(xiàn)對火箭姿態(tài)角的快速跟蹤。首先介紹本文在設(shè)計控制器時所用到的引理。

設(shè)計如下終端滑模面：

s=v2+c1v1+c2sigβ(v1)

(18)

式中：s=[s1,s2,s3]T∈R3,0<β<1。其中定義c1v1=c1[v11,v12,v13]T,且c1,c2滿足c1,c2>0，sigβ(v1)=[sigβ(v11), sigβ(v12), sigβ(v13)]T,定義sigβ(x)=|x|βsgn(x)，其中，符號函數(shù)sgn(x)定義為：

并令：

h′(v1)=c1v1+c2sigβ(v1)

(19)

由式(19)可知：limz→0h′(z)=0。

(20)

由式(20)可知，V1>0,并對V1求導(dǎo)可得：

-zT(t)(c1z(t)+c2sigβ(z(t)))=

-c1zT(t)z(t)-c2zT(t)sigβ(z(t))=

(21)

定理1. 對于運載火箭姿態(tài)控制系統(tǒng)(10)，如果假設(shè)1～3都成立，根據(jù)式(18)所設(shè)計的終端滑模控制律保證該系統(tǒng)在有限時間內(nèi)跟蹤參考信號，控制律如下：

δ=δeq+δd

(22)

(23)

證. 首先選取如下李雅普諾夫候選函數(shù)：

(24)

(25)

將式(22)和(23)代入式(25)可得：

(26)

將式(26)代入可得：

(27)

由引理1，系統(tǒng)可在有限時間到達滑模面s=0，假設(shè)到達滑模面時間為Tr。由式(18)可得：

(28)

由此可知，可以利用定理1所提出的控制律實現(xiàn)運載火箭姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)有限時間收斂。

(29)

綜上所述，下面給出非奇異終端控制律：

(30)

3 仿真校驗

本文以文獻[17]中運載火箭姿態(tài)控制系統(tǒng)為例，校驗所提出的非奇異終端滑?？刂品桨傅挠行浴＿\載火箭總飛行時間為160 s，每個發(fā)動機的推力為P=1200000 N，轉(zhuǎn)動慣量(Jxx,Jyy,Jzz)和火箭在質(zhì)心位置Xz是時間的線性函數(shù)，表1給出了具體參數(shù)。初始姿態(tài)角為x1(0)=[-0.1, 10.1, 79.9]T。姿態(tài)控制系統(tǒng)的參考信號xir，i=1,2,3分別為：

式中:ω1,2=0.1,ω3=0.05,ζ1,2,3=1,p1,3=0.2,p2=0.4。本文設(shè)置助推發(fā)動機2在初始時刻卡死，且卡死角度為5°，之后助推發(fā)動機2擺角保持常數(shù)不變。圖2～4為運載火箭故障下姿態(tài)角跟蹤軌跡。其中，圖2為滾轉(zhuǎn)角跟蹤軌跡；圖3為偏航角跟蹤軌跡；圖4為俯仰角跟蹤軌跡。由圖2～4可知，通過設(shè)計的非奇異終端滑?？刂坡桑梢员ＷC姿態(tài)角能夠跟蹤控制指令。圖5為姿態(tài)角跟蹤誤差，姿態(tài)角初始值存在一定的誤差，隨著時間變化，誤差逐漸減小，并在穩(wěn)態(tài)時誤差角小于0.02°，由此可知運載火箭姿態(tài)角控制精度較好。此外，由圖5可知，偏航角和俯仰角誤差角度為0時，其導(dǎo)數(shù)不為0，即本文的奇異區(qū)域，本文通過修改該區(qū)域的控制律避免奇異問題的出現(xiàn)。且與文獻[17]對比，本文設(shè)置的故障角度較大，但最終誤差角相比更小，具有更高的控制精度。圖6為整角速度ω=[ωx,ωy,ωz]T的變化曲線。圖7為助推發(fā)動機擺角變化曲線，由圖7可知，初始時刻助推發(fā)動機2卡死，擺角保持在5°不變，系統(tǒng)穩(wěn)定之后，助推發(fā)動機1、3、4的擺角不為0，保持在某個常數(shù)。圖8為芯級發(fā)動機擺角變化曲線，由圖可知，當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定后，芯級發(fā)動機的擺角同樣保持在某個不為0的常數(shù)。即當(dāng)某個發(fā)動機發(fā)生故障如卡死故障時，本文所設(shè)計的控制律借助其余助推發(fā)動機和芯級發(fā)動機來平衡該故障帶來的影響。由圖2～4可知，運載火箭發(fā)動機發(fā)生故障后，姿態(tài)角仍能較好跟蹤參考信號。因此，本文提出的基于非奇異終端滑?？刂撇呗钥梢钥刂乒收舷逻\載火箭姿態(tài)跟蹤系統(tǒng)，且具有良好的控制精度。

表1 運載火箭仿真中的參數(shù)Table 1 Parameter of launch vehicle used in numerical simulations

圖2 滾轉(zhuǎn)角跟蹤軌跡

圖3 偏航角跟蹤軌跡

圖4 俯仰角跟蹤軌跡

圖5 姿態(tài)角跟蹤誤差

圖6 角速度變化曲線

圖7 助推發(fā)動機偏轉(zhuǎn)角度曲線

圖8 芯級發(fā)動機偏轉(zhuǎn)角度曲線

4 結(jié) 論

本文研究了考慮外部干擾和執(zhí)行器卡死故障的運載火箭姿態(tài)跟蹤控制問題，將執(zhí)行器卡死故障視為廣義干擾，在此基礎(chǔ)上設(shè)計了基于李雅普諾夫函數(shù)的非奇異終端滑?？刂坡?。所設(shè)計的控制律使得系統(tǒng)閉環(huán)軌跡快速到達滑模面并在滑模面上收斂到零。本文通過修改奇異區(qū)域的控制律，避免出現(xiàn)奇異問題。所設(shè)計的控制律實現(xiàn)了故障情況下對運載火箭姿態(tài)角精確跟蹤的控制目標(biāo)，通過仿真可以進一步校驗所得到的結(jié)論。