劉 清 胡典順 張莘鈿

(華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院 430079)

1 問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn).國際PISA測試在對閱讀素養(yǎng)、數(shù)學(xué)素養(yǎng)及科學(xué)素養(yǎng)進(jìn)行界定時，指出這三大素養(yǎng)代表了學(xué)生在某一領(lǐng)域的能力.因此素養(yǎng)是抽象的，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)也不容易直接根據(jù)其內(nèi)涵進(jìn)行測評.在實際操作中，對于一道試題難度的統(tǒng)計，教研者一般采取該試題的通過率(客觀題)或平均得分率(簡答題)來作為該試題的難度.這樣的計算方法得到的試題難度與學(xué)生的解答情況密切相關(guān)，甚至可以認(rèn)為該試題的難度由學(xué)生決定，但是一道試題的難度應(yīng)該是由它自身所決定，因此上述統(tǒng)計方法存在較大的誤差.鮑建生提出的綜合難度模型用于刻畫試題的綜合難度，得到了國內(nèi)許多專家學(xué)者的認(rèn)可，他指出，一道數(shù)學(xué)題的綜合難度主要由以下五個難度因素來體現(xiàn)：探究、背景、運算、推理以及知識含量[2].不僅如此，為了更直觀地體現(xiàn)其難度，他對上述五個主要難度因素進(jìn)行水平劃分，并對每一級水平賦值，依此描繪出刻畫試題難度的雷達(dá)圖，根據(jù)雷達(dá)圖分析課程綜合難度.

核心素養(yǎng)的測評是以區(qū)分度為主要依據(jù)的，而區(qū)分度與難度又有重要聯(lián)系[3]，所以考慮試題難度和核心素養(yǎng)之間的有機(jī)聯(lián)系.在實際命題過程中既要注重核心素養(yǎng)的嵌入也要把控試題難度，以達(dá)到提高試題區(qū)分度和考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的雙重目標(biāo).本文基于2019年高考數(shù)學(xué)全國卷理科卷，建立綜合素養(yǎng)水平的概念，試圖探討一道試題所蘊含的核心素養(yǎng)與其難度的關(guān)系，并基于結(jié)果得出相應(yīng)的啟示.

2 建立綜合素養(yǎng)水平概念

2.1 數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力評價指標(biāo)框架

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》提出了六大核心素養(yǎng)，分別是數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析，對這六大核心素養(yǎng)進(jìn)行了三級水平劃分.然而，在對具體數(shù)學(xué)試題進(jìn)行劃分操作中，由于理論的抽象性，很難進(jìn)行判定該試題的核心素養(yǎng)水平.對于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的描述，喻平對六個數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的三級水平劃分給出了六個核心素養(yǎng)三級水平的操作性定義，為試題核心素養(yǎng)水平的實踐性劃分提供了簡便易行的方法[4].具體內(nèi)容見表1.

表1 數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力評價指標(biāo)框架

2.2 綜合素養(yǎng)水平概念的構(gòu)建

表2 核心素養(yǎng)水平表

根據(jù)計算公式，得到該組試題的綜合素養(yǎng)水平為3.

2.3 案例分析

基于全國卷高考數(shù)學(xué)試題的參考答案中，選擇題和填空題沒有給出詳細(xì)解答步驟，所以對試題核心素養(yǎng)水平的劃分將分為兩部分，對于給出參考答案的解答題，將根據(jù)答案進(jìn)行劃分核心素養(yǎng)水平；對于省略具體解答步驟只提供參考答案的選擇題和填空題，將盡可能少地采用特殊技巧，更多地采取一般方法解答，按照上述表格給出的操作性定義，以答案為依據(jù)對試題的核心素養(yǎng)水平進(jìn)行劃分.

下面以2019年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ第17題為例，對其作核心素養(yǎng)水平劃分.

因為0°

表3 17題核心素養(yǎng)水平表

3 試題綜合難度的量化計算

為了更客觀地反映試題難度，本文選擇了鮑建生提出的試題綜合難度模型，模型的構(gòu)建方法如下所述.

鮑建生認(rèn)為，數(shù)學(xué)題的綜合難度由以下五個難度因素來體現(xiàn)：探究、背景、運算、推理以及知識含量[2].不僅如此，他將這五個難度因素進(jìn)行了水平劃分，如下表所示.

表4 綜合難度因素的水平劃分

在經(jīng)過等級變量賦值后，根據(jù)模型計算公式得到五個難度因素量化后的取值，由此構(gòu)建五邊形，根據(jù)五邊形來分析題目的綜合難度.為了使得本文的探究清晰明了，所以對綜合難度作進(jìn)一步量化，即采用計算五邊形的“面積”作為綜合難度的一個數(shù)值體現(xiàn).如圖1，若五個因素的判定值分別為x1，x2，x3，x4，x5，那么該五邊形的面積計算公式是

本文中取sin 72°≈0.95.

圖1 綜合難度五邊形

例如，經(jīng)過分析計算，得到一組試題的五個難度因素取值分別為2，3，4，5，6，那么由此構(gòu)建的五邊形如圖2所示，它的“面積”為38.為了盡可

能減少誤差，所以在接下來的數(shù)據(jù)統(tǒng)計和分析中，用于刻畫試題綜合難度的五個因素都按圖1順序進(jìn)行計算其“面積”.

圖2 綜合難度五邊形

4 基于2019年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷(理科)的綜合素養(yǎng)水平和試題綜合難度分析

本研究采用增加樣本數(shù)量的方法，增加研究

結(jié)果的可信度，因此選取2019年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷理科卷(以下我們不再對所討論的試卷一一標(biāo)明)共三份試卷，根據(jù)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力評價指標(biāo)框架以及綜合難度因素的水平劃分表來進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計，分別計算綜合素養(yǎng)水平和試題綜合難度，進(jìn)行比較分析.由于全國卷中的第22題與第23題屬于選做題，不同省市的考生根據(jù)選學(xué)內(nèi)容進(jìn)行相應(yīng)選擇，從而沒有相對的統(tǒng)一性.因此，下述分析將對全國卷中的第22題與第23題不予以討論.

4.1 以2019年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷為例的綜合素養(yǎng)水平和試題綜合難度具體分析

根據(jù)喻平提出的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力評價指標(biāo)框架[4]，得到2019年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力評價雙向細(xì)目表，并在右側(cè)計算綜合素養(yǎng)水平，見表5，其中d代表綜合素養(yǎng)水平.

表5 2019年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力評價雙向細(xì)目表

從表中可以看到，“√”分布的密集度大致分為三個部分，即第1題至第12題，第13題至第16題以及第17題至第21題，也就是選擇題、填空題和解答題.對比最右側(cè)計算得到的綜合素養(yǎng)水平，在每個部分內(nèi)，綜合素養(yǎng)水平相應(yīng)的開始有增大的趨勢.根據(jù)傳統(tǒng)教學(xué)觀念，選擇題部分最后兩題、填空題最后兩題以及解答題最后兩題，一般都會是壓軸題，難度較大，區(qū)分度較高，而綜合素養(yǎng)水平的變化趨勢與這相吻合.下面根據(jù)鮑建生的試題綜合難度模型對全國Ⅰ卷進(jìn)行綜合難度分析，并計算每道題的五邊形“面積”，見表6.

表6 2019年全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題綜合難度雙向細(xì)目表

從表中可以看到，在選擇題部分、填空題部分以及解答題部分，五邊形的“面積”有三個最大值，分別出現(xiàn)在第12題、第16題以及第20題，而且在每個部分內(nèi)，五邊形的“面積”都是呈現(xiàn)出增大的趨勢，這和表6所得出的綜合素養(yǎng)水平的變化趨勢相一致，為了能夠更加直觀地體現(xiàn)綜合素養(yǎng)水平和試題綜合難度的變化，現(xiàn)在將題目號作為橫坐標(biāo)，每個題目的綜合素養(yǎng)水平以及對應(yīng)的五邊形“面積”作為縱坐標(biāo)，繪制折線圖，得到圖3.

圖3 全國Ⅰ卷試題綜合素養(yǎng)水平和試題綜合難度對比圖

從圖中可以看到，2019年高考數(shù)學(xué)全國Ⅰ卷試題的綜合素養(yǎng)水平和試題綜合難度曲線的變化趨勢大致相同，所體現(xiàn)出來的峰值的位置也幾乎相同，低谷位置也大致相同，沒有明顯的異常值.由此可以看出，分選擇題、填空題、解答題三個部分來看，全國Ⅰ卷的試題難度都遵循由低到高的規(guī)律，相比較而言，難度較大的題目往往出現(xiàn)在選擇題后兩題、填空題后兩題以及解答題后兩題.

4.2 全國Ⅱ、Ⅲ卷綜合素養(yǎng)水平和試題綜合難度分析

重復(fù)上述數(shù)據(jù)統(tǒng)計和分析的步驟，得到全國Ⅱ、Ⅲ卷的試題綜合素養(yǎng)水平和試題綜合難度對比圖，見圖4和圖5.

圖4 全國Ⅱ卷綜合素養(yǎng)水平與綜合難度對比圖

圖5 全國Ⅲ卷綜合素養(yǎng)水平與綜合難度對比圖

從圖4中可以看到，用于刻畫試題綜合難度的“面積”曲線仍然顯示出三個峰值，它們出現(xiàn)在第12題，第16題以及第20題，與全國Ⅰ卷的峰值位置相同；雖然綜合素養(yǎng)水平曲線的峰值不大，但是和“面積”曲線的峰值位置大致一致.兩條曲線相對比，可以看出存在兩個異常點，即15題以及18題，除此之外，變化的大致趨勢一致.在圖5中，用于刻畫試題綜合難度的“面積”曲線顯示出四個峰值，它們是第8題、第12題、第15題以及第20題；試題綜合難度曲線只有兩個峰值，第12題、第16題，異常點出現(xiàn)在第8題、第18題以及第21題，除此之外，兩條折線變化趨勢也相一致.由此可以看出，全國Ⅱ卷與全國Ⅲ卷的試題難度所遵循的分布規(guī)律與全國Ⅰ卷相同.而對于圖4、圖5中顯示的異常點，有可能是誤差所導(dǎo)致的.在本項研究中的數(shù)據(jù)統(tǒng)計和分析中，存在如下幾個誤差.(1)在對2019年高考數(shù)學(xué)全國卷進(jìn)行核心素養(yǎng)水平劃分以及分析全國卷的數(shù)學(xué)試題綜合難度雙向細(xì)目表時，但是依然會存有主觀因素所導(dǎo)致的誤差；(2)為了給試題綜合難度進(jìn)行量化，在計算五邊形的“面積”時，對sin 72°采取了近似值的辦法，且固定了五個因素的排列順序，因而也會存在一定誤差.

5 結(jié)論與啟示

5.1 結(jié)論

三個折線圖都無一例外的顯示出了三個高峰，分別出現(xiàn)在選擇題最后兩題其中之一，填空題最后兩題其中之一以及解答題倒數(shù)第二題，體現(xiàn)了全國卷壓軸題的位置.因此可以看出，全國卷的命題設(shè)置采用的是由簡到難，難度循序漸進(jìn)的方式，有利于考生合理安排做題順序和考試時間，發(fā)揮正常水平.同時，由折線圖可以看到，綜合素養(yǎng)水平與試題綜合難度兩者的變化趨勢大致相同，這說明一道試題所考查的綜合素養(yǎng)水平與它的難度應(yīng)該有著密切聯(lián)系.除去由于主觀因素的所導(dǎo)致的誤差，從圖中可以看出，一般而言，綜合素養(yǎng)水平越高的試題，其難度也越高；反之，綜合素養(yǎng)水平越低，則該試題的難度越低.

5.2 啟示

(1)把控試題難度，提高試卷區(qū)分度

任子朝指出，通常的高考試卷并不一定每道題都具有高區(qū)分度，但測試諸如理解、掌握、綜合運用和靈活運用等高層次的思維活動時，要有高區(qū)分度的試題.根據(jù)上述分析，可以看到2019年高考數(shù)學(xué)全國卷試題綜合難度曲線以及綜合素養(yǎng)水平曲線的高峰一般是選擇題最后兩題，填空題最后兩題以及解答題最后兩題，這些題作為壓軸題必須具有較好的區(qū)分度，才能達(dá)到人才選拔的目的.壓軸題的難度較大，要平衡整體試卷難度，應(yīng)當(dāng)在其他題目適當(dāng)降低難度.從本研究結(jié)果可以知道，綜合素養(yǎng)水平與試題綜合難度有著密切的聯(lián)系，兩者變化趨勢幾乎一致，因而，在試卷命制中，把控試題的難度可以考慮從以下兩個方面入手：變化試題所蘊含的核心素養(yǎng)個數(shù)或者試題所蘊含的核心素養(yǎng)的水平級數(shù).對于非壓軸題，可以考慮綜合少數(shù)核心素養(yǎng)并將水平級數(shù)控制在二級以內(nèi)，而對于壓軸題，可以提高其綜合性，一道試題蘊含多個核心素養(yǎng)且適當(dāng)提高核心素養(yǎng)的水平.

(2)理解核心素養(yǎng)內(nèi)涵，豐富核心素養(yǎng)的操作性定義

核心素養(yǎng)是抽象的概念，很多專家學(xué)者都在研究其內(nèi)涵，試圖提出其更具操作性的定義.喻平基于知識理解，知識遷移以及知識創(chuàng)新層面對核心素養(yǎng)進(jìn)行三級水平劃分；彭艷貴等人從宏觀和微觀兩個維度描述核心素養(yǎng)的內(nèi)涵[5].萬變不離其宗，不論何種操作性定義，都應(yīng)當(dāng)回歸核心素養(yǎng)本質(zhì).厘清目前已有文獻(xiàn)對核心素養(yǎng)的研究，作為借鑒，在其基礎(chǔ)上探索、豐富，明確理論與實踐相結(jié)合的理念，以核心素養(yǎng)的內(nèi)涵以及核心素養(yǎng)提出的目的為根本出發(fā)點，制定有效的試題，分析現(xiàn)實中對普遍學(xué)生核心素養(yǎng)的測評情況，以此在實踐中修正并豐富核心素養(yǎng)的操作性定義，如此循環(huán)，不斷完善，才能逐步提高核心素養(yǎng)測評體系的質(zhì)量.

(3)分析試題欠缺之處，加強(qiáng)核心素養(yǎng)測評體系的實踐性

在核心素養(yǎng)成為趨勢的大環(huán)境下，根據(jù)核心素養(yǎng)合理命制試題愈發(fā)重要.根據(jù)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力評價指標(biāo)框架進(jìn)行分析試卷試題，可以發(fā)現(xiàn)試卷的欠缺之處.以2019年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ為例，可以看出其蘊含的邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模以及直觀想象這四大核心素養(yǎng)居多，而數(shù)學(xué)抽象和數(shù)據(jù)分析這兩大核心素養(yǎng)涉及較少，這不利于學(xué)生的學(xué)習(xí)能力全面發(fā)展.加強(qiáng)對大規(guī)模教育考試的評價有利于提高考試的科學(xué)性，而試題難度以及區(qū)分度對提高考試的質(zhì)量沒有實質(zhì)性的幫助[3].考試不應(yīng)被認(rèn)為只是評估、診斷或人才選拔的工具，它也應(yīng)是核心素養(yǎng)測評體系的重要實踐.作為教研人員，在分析學(xué)生考試情況時，不應(yīng)看重學(xué)生分?jǐn)?shù)的高低，而應(yīng)更注重學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展情況.對學(xué)生的核心素養(yǎng)發(fā)展情況的分析，不僅可以作為修正核心素養(yǎng)測評體系的指標(biāo)，也可以豐富核心素養(yǎng)融入試卷的實踐經(jīng)驗.