常 林，閆恪濤，王 陳，孫 濤，于瀛潔*

（1. 上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，上海200444；2. 復(fù)旦大學(xué) 應(yīng)用經(jīng)濟(jì)學(xué)博士后流動(dòng)站，上海200433；3. 浦發(fā)銀行博士后科研工作站，上海200002）

1 引 言

光學(xué)表面的精確測(cè)量對(duì)于量化和評(píng)估高精度光學(xué)元件具有重要意義［1］。光學(xué)干涉測(cè)量是一種高精度平面測(cè)量方法，其測(cè)量精度可以達(dá)到納米級(jí)［2-3］。隨著測(cè)量技術(shù)及儀器的發(fā)展，多表面透明透鏡的一次性非接觸式測(cè)量成為研究熱點(diǎn)。目前，被廣泛應(yīng)用的測(cè)量方式是通過(guò)硬件壓電陶瓷干涉儀采集干涉圖，對(duì)透明平板非檢測(cè)面涂抹消光材料以抑制多表面反射信號(hào)，而后經(jīng)清洗和旋轉(zhuǎn)，再對(duì)另一表面進(jìn)行測(cè)量［4-5］。這種測(cè)量方法的缺陷十分明顯：使用硬件干涉儀無(wú)法實(shí)現(xiàn)多表面干涉信號(hào)的特異性區(qū)分，即各表面信號(hào)的移相值與干涉頻率是相同的，不存在差異性，因此無(wú)法通過(guò)算法進(jìn)行區(qū)分；其次，被測(cè)件表面在涂抹和清洗消光材料時(shí)，被測(cè)件表面容易造成損傷，因此也無(wú)法一次性獲得多表面信號(hào)。

De Groot 提出了一種能夠?qū)崿F(xiàn)單表面干涉圖相位求解的算法，該方法使用不同幀序數(shù)下干涉圖的系數(shù)加權(quán)計(jì)算即可得到被測(cè)件表面的相位分布信息［6］。Wang 等人發(fā)展了一種先進(jìn)迭代算法，基于最小二乘原理可以計(jì)算出被測(cè)件干涉信息中的調(diào)制度和初始相位等信息，但是沒(méi)有考慮多表面干涉情形［7］。Hibino 等人提出一種使用特征多項(xiàng)式根系數(shù)分布作為采樣窗，從而進(jìn)行離散傅里葉變換對(duì)目標(biāo)信號(hào)進(jìn)行提取的移相算法，但是這種算法的采樣窗計(jì)算較為復(fù)雜，只能使用近似的分段擬合窗函數(shù)，并且受采樣定理的限制，此系列算法只能求解固定腔長(zhǎng)和厚度相對(duì)比值下的干涉信息［8］。

基于波長(zhǎng)移相技術(shù)的干涉儀和相關(guān)算法近年來(lái)得到了發(fā)展。該技術(shù)通過(guò)波長(zhǎng)可調(diào)諧激光器對(duì)輸出波長(zhǎng)的精確控制進(jìn)行移相操作，基于不同干涉位置的被測(cè)表面在相同波長(zhǎng)調(diào)諧量的條件下可以實(shí)現(xiàn)數(shù)值不同的移相，使得各干涉信號(hào)具有不同的相移頻率，從而為信號(hào)的分離提供基礎(chǔ)。在移相算法中，可應(yīng)用于多表面干涉測(cè)量的主要有兩類(lèi)，一類(lèi)是基于離散傅里葉變換的加權(quán)多步算法，另外一類(lèi)是迭代最小二乘算法。加權(quán)多步移相算法通過(guò)時(shí)域加權(quán)實(shí)現(xiàn)各表面干涉信號(hào)的分離，從而獲得初始相位分布，完成表面重建。但是這種算法需要精確地計(jì)算干涉頻率，對(duì)線(xiàn)性移相的要求較高，當(dāng)波長(zhǎng)調(diào)諧線(xiàn)性程度不高時(shí)則無(wú)法完成相位解調(diào)。

本文基于最小二乘原理，提出一種能夠應(yīng)用于多表面干涉測(cè)量的最小二乘迭代算法，并且考慮多次反射條紋，進(jìn)一步提高求解精度。該算法在處理多表面干涉條紋時(shí)能夠獲得精確結(jié)果，并且通過(guò)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的搭建進(jìn)一步驗(yàn)證了它在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中的有效性。

2 干涉測(cè)量原理

2.1 多表面干涉測(cè)量原理

使用波長(zhǎng)移相干涉儀對(duì)多表面被測(cè)件進(jìn)行測(cè)量時(shí)，因?yàn)楦鞅粶y(cè)表面與參考面之間的光程差不同，各表面的干涉頻率是不同的，并且可以量化分析。通過(guò)移相算法求解出干涉信號(hào)中的初始相位，可以重建各被測(cè)面的形貌分布［9］。通過(guò)干涉儀采集的干涉圖中，各表面所反射的信號(hào)會(huì)重疊地分布在條紋圖中，因此使用傳統(tǒng)算法直接對(duì)條紋圖進(jìn)行分離是不可能的，必須根據(jù)各干涉條紋之間不同的干涉頻率進(jìn)行信號(hào)分離，從而得到目標(biāo)信號(hào)的初始相位等關(guān)鍵信息。以單表面干涉為例，每一個(gè)像素點(diǎn)的光強(qiáng)照度可以表示為：

其中 δ ( x，y，t )為干涉圖在t 時(shí)刻的移相值。干涉光強(qiáng)I ( x，y，t ) 可以利用CCD 相機(jī)采集，移相步長(zhǎng)通常作為已知或可測(cè)得的主動(dòng)控制變量，式（1）中只有I0(x，y)，b(x，y)，θ(x，y)（分別對(duì)應(yīng)干涉光強(qiáng)、調(diào)制度和初始相位）3 個(gè)未知數(shù)，故理論上需要采集3 幅或者3 幅以上的干涉條紋圖即可求 出 待 測(cè) 表 面 的 初 始 相 位 。 其 中δ(x，y，t)=2πvi(x，y)t，vi為移相頻率，該頻率與其光程差有關(guān)［10］。

圖1 多表面檢測(cè)信號(hào)頻率示意圖Fig. 1 Frequency diagram of multi-surface signals

在圖1 中，vi(x，y) 中i=1，2，3，4，分別代表前表面信號(hào)、后表面信號(hào)、厚度變化信號(hào)和二次反射信號(hào)（寄生條紋）；T代表被測(cè)件的平均厚度，h代表前表面到達(dá)參考鏡之間的距離，數(shù)值上等同于干涉腔長(zhǎng)。使用最小二乘迭代多算法時(shí)，通常忽略二次反射信號(hào)，本文將次信號(hào)納入求解，以提高求解精度。

2.2 最小二乘迭代移相算法

通過(guò)干涉儀對(duì)多表面透明平行平板進(jìn)行形貌測(cè)量時(shí)，各表面信息與參考面之間均會(huì)產(chǎn)生干涉。與此同時(shí)，基于傳統(tǒng)的計(jì)算方法，如果要進(jìn)一步精確地分析各干涉信息的具體組成和恢復(fù)表面形貌，必須考慮寄生條紋對(duì)于計(jì)算結(jié)果的影響。

基于上述分析，本文基于最小二乘法提取各表面的干涉信息，并且分析各誤差對(duì)于分離結(jié)果的影響。在工業(yè)CCD 相機(jī)采集到的干涉圖中，不僅存在各干涉信息混疊的復(fù)雜信號(hào)，還有背景光強(qiáng)和系統(tǒng)采集和處理過(guò)程中引入的噪聲。本文通過(guò)移相過(guò)程中的每一幀減去第一幀的方法進(jìn)行降噪，目的在于最大程度地減少噪聲信息對(duì)結(jié)果的影響［11］。考慮多表面干涉混合信息，得到的各點(diǎn)光強(qiáng)如下：

其中i=1，2，3，4，在此分別表示前表面、后表面、厚度以及寄生條紋干涉信息。

使用波長(zhǎng)移相干涉儀進(jìn)行移相操作時(shí)，通過(guò)改變激光波長(zhǎng)達(dá)到相位變化的目的。當(dāng)波長(zhǎng)發(fā)生改變時(shí)，相應(yīng)的相位變化可以通過(guò)對(duì)波長(zhǎng)變化進(jìn)行表示，仍以厚度變化信號(hào)為例，其第k幀的總相位值以σ1(k) 表示，為簡(jiǎn)化描述，坐標(biāo)不再列出。

式中：λ0為起始調(diào)諧波長(zhǎng)，Δλ為單次波長(zhǎng)調(diào)諧量。移相時(shí)波長(zhǎng)發(fā)生線(xiàn)性變化，相位的變化呈現(xiàn)非線(xiàn)性。對(duì)式（3）進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)可得：

式（4）中，χ進(jìn)行泰勒展開(kāi)的最高冪次，k次移相后，相位的變化量為：

根據(jù)式（5）可以量化分析移相過(guò)程中的非線(xiàn)性誤差。 當(dāng)起始調(diào)節(jié)波長(zhǎng)λ0= 632.8 nm，腔長(zhǎng)h= 0.1 m，波長(zhǎng)調(diào)諧量Δλ= 10-4nm。若移相值第一項(xiàng)δ1(k)≈π/2，則第二項(xiàng)的移相值是第一項(xiàng)移相值的kΔλ/λ0≈1.58 × 10-7k倍，也就是說(shuō)第二項(xiàng)非線(xiàn)性移相遠(yuǎn)小于第一項(xiàng)的值，因此測(cè)量時(shí)忽略第二項(xiàng)及更高次項(xiàng)。 那么式（4）可以改寫(xiě)為：

以上即為波長(zhǎng)移相干涉技術(shù)的相位調(diào)諧原理。由于澤尼克多項(xiàng)式和光學(xué)檢測(cè)中觀測(cè)到的像差多項(xiàng)式的形式是相近的，因而常用它來(lái)描述波前特性［5-6］。

在實(shí)際測(cè)量時(shí)，需要精確求取前表面、后表面和厚度的變化，從而重建和表征前后表面的形貌分布和厚度均勻性等參數(shù)。此處的厚度變化信號(hào)指的是被測(cè)件前后表面上，去除被測(cè)件的平均厚度T 后，一束平行光所穿過(guò)的前后兩點(diǎn)之間的距離。因此，通過(guò)算法重建的前表面、后表面和厚度變化的微觀分布均可被視作平面大小與被測(cè)件表面相同而厚度很薄的微元。本文使用的計(jì)算方法所求取的二次反射信號(hào)在實(shí)際干涉波面重建中的作用是有限的，但是可以通過(guò)將該信號(hào)從其他信號(hào)中進(jìn)行剝離，來(lái)進(jìn)一步提高前后表面和厚度變化信號(hào)的求解精度。

當(dāng)考慮被測(cè)件的多表面干涉信息對(duì)于結(jié)果的影響時(shí)，應(yīng)當(dāng)精確分析被測(cè)面之間多次反射的寄生信號(hào)。此處主要考慮在材料表面二次反射光束與參考面反射光束形成的干涉信號(hào)?；谧钚《嗽順?gòu)建如下方程［12］：

在進(jìn)行移相時(shí)，需要考慮所使用的干涉儀的最大調(diào)諧范圍以及采樣點(diǎn)的分布，理論上可以通過(guò)減小移相值和增加采集幀數(shù)來(lái)提高求解精度。但是與此同時(shí)，更小的移相步距意味著對(duì)波長(zhǎng)調(diào)諧激光器的調(diào)諧精度要求更高，更多的采集幀數(shù)會(huì)提高測(cè)量成本和增加采集過(guò)程中納入誤差的可能性，因此需要謹(jǐn)慎選取移相值。基于采樣定理分析，選取的移相值應(yīng)當(dāng)大于等于π/2，此時(shí)基頻信號(hào)滿(mǎn)足香農(nóng)定理。在初始值的選取方面，如果所選取的初始值與真實(shí)值之間的偏離過(guò)大，則會(huì)致使計(jì)算精度降低，甚至導(dǎo)致算法失效。因此在預(yù)估移相值的初始值時(shí)，使用腔長(zhǎng)值（h）和被測(cè)件的光學(xué)厚度（n1T，n1為被測(cè)件的材料折射率）對(duì)移相值進(jìn)行估計(jì)，當(dāng)基頻信號(hào)的移相值為π/2時(shí)，則根據(jù)光程關(guān)系，前表面信號(hào)為( h/n1T ) π/2，后表面信號(hào)為( h/n1T + 1 ) π/2。

按照式（7）～（10）的迭代計(jì)算方法，設(shè)定移相值為π/5，考慮計(jì)算精度和實(shí)現(xiàn)成本，迭代次數(shù)（也即干涉圖幀數(shù)）設(shè)為21，通過(guò)澤尼克多項(xiàng)式模擬波面，充分考慮寄生條紋對(duì)于多表面干涉系統(tǒng)的影響，得到的初始干涉條紋如圖2 所示。

圖2 包含寄生條紋的初始干涉圖Fig. 2 Initial interferogram with parasitic fringes

為了分析寄生條紋對(duì)整體計(jì)算結(jié)果的影響，本文首先使用不考慮寄生條紋的原始計(jì)算方法對(duì)上述包含多表面干涉信息的模型進(jìn)行計(jì)算（即省去包含寄生項(xiàng)的部分），解相結(jié)果如圖3 所示。

圖3 原始算法的分離結(jié)果Fig. 3 Separation result of original algorithm

從圖3 可以看出，原始算法的解相結(jié)果較差。為了更好地分析解相結(jié)果，原始分離算法得到的復(fù)原值與真值的殘余誤差如圖4 所示。

通過(guò)圖4 可以看出，原始算法的誤差較大。因此，對(duì)存在寄生條紋的干涉系統(tǒng)進(jìn)行精確檢測(cè)時(shí)，必須考慮寄生項(xiàng)。 本文基于移相值的精確計(jì)算，提出最小二乘的拓展計(jì)算方法，考慮寄生條紋的光程與腔長(zhǎng)的關(guān)系，將移相系數(shù)與光程差相聯(lián)系，納入算法的設(shè)計(jì)過(guò)程以后，再次計(jì)算式（7）～式（10），可以得到各干涉信號(hào)的解相結(jié)果，如圖5 所示。

圖4 原始算法分離結(jié)果的殘差Fig. 4 Residual of separation result of original algorithm

圖5 考慮寄生條紋的算法分離結(jié)果Fig. 5 Separated results of algorithm considering parasitic fringes

通過(guò)上述計(jì)算，各信號(hào)的殘余誤差如圖6所示。

圖6 考慮寄生條紋的算法殘余誤差Fig. 6 Residual errors of algorithm considering parasitic fringes

通過(guò)如圖6 所示的殘余誤差結(jié)果可以明顯地看到算法分離結(jié)果具有很高的精度。由此可知：基于傳統(tǒng)算法分析，在不考慮寄生條紋的情況下對(duì)多表面干涉系統(tǒng)進(jìn)行解相和恢復(fù)，結(jié)果誤差較大，不能很好地分離各表面信息。若綜合考慮移相值和各表面光程系數(shù)的不同，把寄生條紋對(duì)算法結(jié)果的影響納入算法設(shè)計(jì)中，可以得到較為精確的測(cè)量結(jié)果，能夠很好地解相和分離各干涉信號(hào)，證明了所設(shè)計(jì)的算法的有效性。

為充分考量所述算法的魯棒性和適用范圍，本文對(duì)所述算法在不同移相值以及不同移相誤差下的結(jié)果進(jìn)行了分析。移相值對(duì)于移相算法而言是至關(guān)重要的，決定著算法精度，因此應(yīng)當(dāng)綜合考慮移相值設(shè)定對(duì)于結(jié)果的影響。將不同的移相值帶入算法設(shè)計(jì)過(guò)程并且進(jìn)行循環(huán)迭代，取各結(jié)果的解相均方根值（Root Mean Square，RMS）作為觀察值，如圖7 所示。

圖7 不同移相值下的RMS 結(jié)果Fig. 7 RMS results under different phase shift values

在干涉儀實(shí)際工作過(guò)程中，由于環(huán)境的誤差以及激光器本身誤差的存在，移相值并非每一步都符合設(shè)計(jì)值，因此若綜合判定算法的魯棒性，應(yīng)當(dāng)觀察存在移相誤差時(shí)算法的結(jié)果。以厚度變換信號(hào)為例，當(dāng)被測(cè)板較薄時(shí)，該信號(hào)被選取為基頻信號(hào)，其他干涉信號(hào)均可以用該信號(hào)的不同頻次來(lái)表示。 定義移相值的一階誤差如下：

其中：ε是一階移相誤差，δ1(x，y，k)是第k次的設(shè)定基礎(chǔ)頻率信號(hào)的移相值。將式（11）帶入迭代過(guò)程，計(jì)算解相結(jié)果的RMS 分布如圖8 所示。

分析結(jié)果可知，所述最小二乘算法綜合考慮了二次反射寄生條紋對(duì)于結(jié)果的影響，能夠準(zhǔn)確地解相以及提取多表面干涉信息，可以精確、完整地恢復(fù)樣品表面形貌，滿(mǎn)足高精度測(cè)量需求。同時(shí)，所述算法對(duì)于移相誤差具有較好的魯棒性，能夠很好地應(yīng)用于移相誤差較大的情形，進(jìn)一步證明了該算法的有效性。

圖8 不同移相誤差下的RMS 結(jié)果Fig. 8 RMS results under different phase shift errors

3 實(shí) 驗(yàn)

為驗(yàn)證所述算法的有效性，實(shí)驗(yàn)使用Fizeau干涉儀和New port 激光器，干涉儀原理如圖9所示。

圖9 波長(zhǎng)移相干涉儀原理Fig. 9 Schematic diagram of wavelength phase-shift interferometer

使用上述干涉儀與激光器，被測(cè)件的平均厚度T=10 mm、折射率n1=1. 52，腔長(zhǎng)h=145 mm，中心波長(zhǎng)為632. 8 nm，移相步距為π/2，移相總步數(shù)為21，計(jì)算結(jié)果如圖10 所示。

圖10 初始干涉圖和最小二乘算法的解相結(jié)果Fig. 10 Initial interferogram and calculated results of least square algorithm

通過(guò)上述結(jié)果可以看出，基于最小二乘原理的解相算法可以得到精確的解相結(jié)果，并且能夠準(zhǔn)確地求取寄生條紋，將傳統(tǒng)算法中（包括加權(quán)多步算法）被隱藏的二次反射寄生項(xiàng)進(jìn)行準(zhǔn)確提取，該算法不受腔長(zhǎng)分布的限制，可以實(shí)現(xiàn)任意腔長(zhǎng)下的測(cè)量。但是也應(yīng)注意，該算法需要對(duì)誤差進(jìn)行綜合分析和抑制，其計(jì)算難度主要在于初始值的選取，若初始值選取不當(dāng)則得不到精確結(jié)果。

4 結(jié) 論

本文闡述了基于最小二乘的多表面干涉信息提取算法，在該算法的設(shè)計(jì)過(guò)程中，考慮前表面二次反射信號(hào)，并且對(duì)比了原始算法及改進(jìn)算法的計(jì)算結(jié)果和精度，分析了在不同的移相值和移相誤差下的最小二乘算法RMS 值。 結(jié)果表明，所述算法對(duì)移相誤差具有較好的魯棒性，可以應(yīng)對(duì)高精度測(cè)量情形?？紤]二次反射信號(hào)的迭代最小二乘算法的理論精度可以達(dá)到0. 3 nm，但是當(dāng)在同等條件下不考慮二次反射信號(hào)時(shí)，其理論精度為10 nm，并且通過(guò)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)求解得到的初始相位分布清晰，無(wú)雜波干擾，分離結(jié)果較為準(zhǔn)確。

傳統(tǒng)加權(quán)多步采樣算法的特點(diǎn)在于：能夠根據(jù)各信號(hào)分布的頻率不同從而進(jìn)行時(shí)域傅里葉采樣，算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程較為便捷，但是要符合一定的腔長(zhǎng)系數(shù)條件，否則無(wú)法實(shí)現(xiàn)分離。而最小二乘算法則不需要嚴(yán)格地遵守腔長(zhǎng)系數(shù)設(shè)置條件，可以在任意腔長(zhǎng)下進(jìn)行測(cè)量，但是初始值的預(yù)估對(duì)結(jié)果的影響較大，并且計(jì)算量較大，若初始值預(yù)估不精確則解相不一定收斂。 因此，根據(jù)實(shí)驗(yàn)條件和測(cè)量要求的不同，要綜合考慮當(dāng)前測(cè)量條件、誤差和精度，選擇合適的算法及測(cè)量方案。