泉州海洋職業(yè)學(xué)院 福建 泉州 362700

一 、引言

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)，進而作出函數(shù)的圖象，其一般步驟如下[1-2]：

第一步，確定函數(shù)f(x)的定義域及函數(shù)所具有的某些特性(如奇偶性、周期性等)，并求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)f′(x)和二階導(dǎo)數(shù)f″(x)；

第二步，求出一階導(dǎo)數(shù)f′(x)和二階導(dǎo)數(shù)f″(x)在函數(shù)定義域內(nèi)的全部零點，并求出函數(shù)f(x)的間斷點及f′(x)和f″(x)不存在的點，用這些點把函數(shù)的定義域劃分成幾個部分區(qū)間；

第三步，確定在這些部分區(qū)間內(nèi)f′(x)和f″(x)的符號，并由此確定函數(shù)圖形的升降、凹凸和拐點；

第四步，確定函數(shù)圖形的水平漸近線、鉛直漸近線以及其他變化趨勢；

第五步，算出f′(x)和f″(x)的零點以及不存在的點所對應(yīng)的函數(shù)值，定出圖形上相應(yīng)的點；為了把圖形描繪得更準(zhǔn)確些，有時還需要補充一些點，然后結(jié)合第三、四步中得到的結(jié)果，聯(lián)結(jié)這些點畫出函數(shù)f(x)的圖形。

但是，對于有些函數(shù)來說，第二步中“求出一階導(dǎo)數(shù)f′(x)和二階導(dǎo)數(shù)f″(x)在函數(shù)定義域內(nèi)的全部零點”并不容易，甚至無法實現(xiàn)，因此用上述辦法就無法作出這類函數(shù)的圖象。如果通過其它方式，能探索出函數(shù)的某些特性，據(jù)此，也可作出函數(shù)的圖象。

二、研究函數(shù)，x∈(-∞，1)的性態(tài)并作出其圖象

第一步，函數(shù)f(x)在(-∞，1)上有定義，連續(xù)，可導(dǎo)，f(0)=0，f′(x)=

第二步，令f′(x)=0，即，此乃超越方程，不好求解，故f(x)的駐點不好求。但通過觀察容易發(fā)現(xiàn)x=0是此方程的一個根，即x=0是函數(shù)f(x)的一個駐點，其它駐點未知。令f″(x)=0，即0，此方程也是超越方程，不好求解，故f(x)的拐點也不好求出。為此，用已知的駐點x=0將函數(shù)f(x)的定義域劃分為(-∞，0)和(0，1)兩個區(qū)間。

第三步，在區(qū)間(-∞，0)上，f′(x)和f″(x)的符號不好判斷，它們的零點也不好求出。在區(qū)間(0，1)內(nèi)，易證f′(x)＜0，f″(x)＜0，故f(x)在(0，1)內(nèi)下降而且是凸的。

下面研究f(x)在區(qū)間(a，b)上的性態(tài)。由f(x)在(a，b)上的連續(xù)性，可導(dǎo)性，故f(x)在(a，b)上是一段光滑的連續(xù)曲線，并且曲線的變化趨勢從單調(diào)下降連續(xù)光滑地變?yōu)樯仙匠浞纸咏谠c。在此過程中，曲線由凸弧變?yōu)榘蓟∮肿優(yōu)橥够。磿霈F(xiàn)2個拐點，設(shè)拐點的橫坐標(biāo)分別為x1和x2(令x1＜x2)，并且在凹弧段會出現(xiàn)一條水平切線，設(shè)其切點橫坐標(biāo)為x3，則x1＜x3＜x2，即函數(shù)f(x)會有第2個駐點x3。

第五步，根據(jù)前四步分析的結(jié)論，作出函數(shù)f(x)的圖象。

作為檢驗，用matlab畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖1和圖2所示，數(shù)字仿真的結(jié)果完全符合上述的分析。本例中，雖然a，b，x1，x2，x3的準(zhǔn)確位置未知，但可以判定它們的確存在，如圖2所示。

圖1 函數(shù)f(x)的圖象

圖2 函數(shù)f(x)局部放大后的圖象

三、結(jié)論

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的有力工具，通過導(dǎo)數(shù)可以刻劃函數(shù)的性態(tài)，進而為函數(shù)作圖提供依據(jù)。當(dāng)函數(shù)的駐點、拐點不容易獲得時，可以通過判斷其存在性，為函數(shù)作圖提供幫助。