路群 劉莉芳

【摘要】? 極限概念是大學生學習微積分的一個難點，主要是對抽象的ε-N，ε-δ，ε-X，G-δ，G-X語言的理解.本文結(jié)合筆者在教學過程中的一些體會，對極限的引入、直觀定性描述與定量描述的教學方法進行探討.

【關鍵詞】? 初等函數(shù);極限;ε-δ語言

高等數(shù)學是高等院校特別是高等理工科院校開設的一門重要基礎課程，它的主要研究對象是初等函數(shù)，包括初等函數(shù)的連續(xù)性、可導性、可微性及可積性.這其中有一個很重要的描述變量變化趨勢的概念——極限，它是微積分的靈魂，貫穿微積分學習的始終，不管上述函數(shù)的哪一個性質(zhì)，都不能離開極限（不同式子的極限問題）.極限概念的理解是大學生學習微積分的一個難點，即便學生在中學階段對它已經(jīng)有了初步直觀的了解，在大學階段也會對它望而生畏，主要是因為對抽象的數(shù)學定義的理解是個難點.本文結(jié)合筆者在教學過程中的一些體會進行探討.

一、極限概念的引入

極限問題是伴隨著實際問題產(chǎn)生的，而不是憑空捏造出來的.求瞬時速度、切線、曲邊梯形的面積等都會用到極限概念.數(shù)學家劉徽“割圓術”的思想即“割之彌細，所失彌小.割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，可以說極限問題來源于生活并服務于生活.

微積分的精髓在于以簡單代替復雜，以不變（常量）代替變（變量），通過局部近似，在不斷加細的過程中得到所要求的量.

二、極限的通俗定義或定性描述

對于一些簡單的數(shù)列或者函數(shù)，其因變量隨自變量變化的規(guī)律同學們并不陌生.如數(shù)列an=? （-1）n/n? ，當n越來越大時，an越來越接近0;又如同學們都很熟悉的函數(shù)f（x）=x2，當x充分接近3時，f（x）越來越接近9，當x朝x軸的兩側(cè)越跑越遠時，函數(shù)值就會越來越大，而且要多大就有多大;再如函數(shù)g（x）=? 1/?x? ，當x充分接近0時，函數(shù)值的絕對值也會越來越大，換言之，曲線上的點會偏離x軸，而且這種偏離要多遠就有多遠，當x朝x軸的兩側(cè)越跑越遠時，函數(shù)值越來越接近0.這種描述就是極限的通俗定義或者定性描述.

三、極限的定量描述

極限的定性描述對學生來說不難理解，并且能對一些較為簡單的函數(shù)“感受”到它的極限值是多少.但對于較為復雜的函數(shù)，想要直觀地看出它的規(guī)律，恐怕不是一件簡單的事情.這就要求我們從更科學的角度，以更為嚴格的數(shù)學語言來判斷極限，這也是大學生在學習這一部分內(nèi)容的過程中遇到的難點.

在考慮自變量變化過程中因變量的變化規(guī)律時，不妨從誤差估計角度入手，比如金屬圓盤受熱脹冷縮因素影響，面積會發(fā)生變化，如果要讓面積（因變量）在一定誤差范圍內(nèi)變化，圓盤的半徑（自變量）應該在什么范圍內(nèi)變化.換言之，如果知道因變量的變化范圍，能否知道自變量的變化范圍.

四、結(jié)論

本文對極限定義的教學進行了探討，讓學生在學習該內(nèi)容時首先明確要解決的任務（總目標），然后才是如何具體去實現(xiàn)解決問題的過程，加深對這一抽象定義的理解，為后續(xù)的微積分學習打下堅實的基礎.

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