徐夢(mèng)豪，嚴(yán)蘭蘭

(東華理工大學(xué)理學(xué)院，330013，南昌)

0 引言

Bernstein多項(xiàng)式具有很多獨(dú)特的性質(zhì)，正因?yàn)槿绱?，以Bernstein多項(xiàng)式作為基函數(shù)的Bézier方法擁有許多良好的特性。這使得Bézier方法自產(chǎn)生開始，便受到了來自工業(yè)界和計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(CAGD)學(xué)術(shù)界的廣泛青睞[1]。雖然優(yōu)點(diǎn)眾多，但任何造型方法都不可能十全十美。Bézier方法的不足主要體現(xiàn)在2個(gè)方面：首先，Bézier曲線曲面的形狀由其控制頂點(diǎn)唯一確定，當(dāng)需要對(duì)形狀進(jìn)行修改的時(shí)候，唯一的辦法是調(diào)整控制頂點(diǎn)，重新計(jì)算曲線曲面上的點(diǎn)。這種方式不僅操作起來不方便，而且如果控制頂點(diǎn)是來自實(shí)物的精確測(cè)量點(diǎn)，那么修改控制頂點(diǎn)本身就是勉為其難。另外，雖然Bézier方法可以表示靈活多變的自由曲線曲面，但卻無法精確表示部分常見的初等解析曲面，只能采用近似表達(dá)，帶來的后果是會(huì)引起設(shè)計(jì)誤差，使原本簡(jiǎn)單的問題變得異常復(fù)雜。

對(duì)于Bézier方法的上述2個(gè)不足，有理Bézier方法在一定程度上能夠克服，但有理方法自身又有其不足。例如：微分、積分等運(yùn)算比較復(fù)雜，不恰當(dāng)?shù)臋?quán)因子可能會(huì)破壞參數(shù)化。為了揚(yáng)長(zhǎng)避短，在保留Bézier方法優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，避開上述這些不足，構(gòu)造新的造型方法成為CAGD中的熱點(diǎn)研究主題之一。

Bézier方法包括Bézier曲線、四邊域張量積Bézier曲面、三角域Bernstein-Bézier曲面，這三者都面臨著上述對(duì)于固定控制頂點(diǎn)形狀無法調(diào)整的不便，以及無法給出除拋物線(面)以外的二次曲線(面)的精確表達(dá)的不足。

相對(duì)于曲面而言，曲線的結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，因此討論更方便。已有眾多文獻(xiàn)專門圍繞Bézier曲線的不足加以改進(jìn)。改進(jìn)的途徑主要有2種：1)通過構(gòu)造含參數(shù)的基函數(shù)，來實(shí)現(xiàn)不改變控制頂點(diǎn)也能修改曲線形狀的目標(biāo)[2-3]；2)通過在非多項(xiàng)式空間中構(gòu)造合適的基函數(shù)，來實(shí)現(xiàn)無需有理形式也能精確表示二次曲線的目標(biāo)[4-5]。四邊域上的Bézier曲面是采用張量積方法構(gòu)造的，因此其采用的是與Bézier曲線完全一致的單變量Bernstein多項(xiàng)式作為基函數(shù)。這樣一來，只要實(shí)現(xiàn)了對(duì)Bézier曲線的改進(jìn)，也就同時(shí)實(shí)現(xiàn)了對(duì)四邊域張量積Bézier曲面的改進(jìn)。但由于三角域Bézier曲面并非張量積形式，其采用的是雙變量Bernstein多項(xiàng)式作為基函數(shù)，所以要實(shí)現(xiàn)對(duì)三角域Bézier曲面的改進(jìn)，需要獨(dú)立地構(gòu)造基函數(shù)。現(xiàn)有文獻(xiàn)中，對(duì)Bézier曲線做改進(jìn)研究的較多，對(duì)三角域Bézier曲面做改進(jìn)研究的相對(duì)較少。

梳理國(guó)內(nèi)外圍繞三角域Bézier曲面的不足進(jìn)行改進(jìn)研究的文獻(xiàn), 根據(jù)其采用的基函數(shù)所在的空間將它們分為兩大類。

第1類：依然在代數(shù)多項(xiàng)式空間中構(gòu)造基函數(shù)，但基函數(shù)中融入了參數(shù)。例如文獻(xiàn)[6-7]構(gòu)造了3次雙變量多項(xiàng)式基函數(shù)，定義了分別含3個(gè)、6個(gè)形狀參數(shù)，且取特殊參數(shù)時(shí)都可以退化為2次三角域Bézier曲面的新曲面；文獻(xiàn)[8-9]分別構(gòu)造了3次、4次雙變量多項(xiàng)式基函數(shù)，定義了分別含3個(gè)、1個(gè)形狀參數(shù)，且取特殊參數(shù)時(shí)都可以退化為3次三角域Bézier曲面的新曲面；文獻(xiàn)[10-11]都構(gòu)造了n次雙變量多項(xiàng)式基函數(shù)，定義了分別含1個(gè)、多個(gè)形狀參數(shù)，且取特殊參數(shù)時(shí)都可以退化為n次三角域Bézier曲面的新曲面；文獻(xiàn)[12]構(gòu)造了n+1次雙變量多項(xiàng)式基函數(shù)，定義了含多個(gè)形狀參數(shù)，且取特殊參數(shù)時(shí)可以退化為n次三角域Bézier曲面的新曲面；采用遞推的方式，在初始3次雙變量多項(xiàng)式基函數(shù)的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[13]構(gòu)造了n+1次基函數(shù)，在初始4次雙變量多項(xiàng)式基函數(shù)的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[14-15]都構(gòu)造了n+2次基函數(shù)，文獻(xiàn)[13-15]中的曲面都含1個(gè)形狀參數(shù)，且取特殊參數(shù)時(shí)都可以退化為n次三角域Bézier曲面。

第2類：在非代數(shù)多項(xiàng)式空間中構(gòu)造基函數(shù)。例如在三角多項(xiàng)式空間中，文獻(xiàn)[16]和[17]分別對(duì)2次、3次三角域Bézier曲面做出了改進(jìn)，文獻(xiàn)[18-19]在對(duì)3次三角域Bézier曲面做出改進(jìn)的同時(shí)還引入了3個(gè)形狀參數(shù)，文獻(xiàn)[16-19]中曲面的邊界曲線可以是圓弧、橢圓弧；在指數(shù)函數(shù)和多項(xiàng)式函數(shù)的混合空間中，文獻(xiàn)[20]構(gòu)造了含3個(gè)形狀參數(shù)，且取特殊參數(shù)時(shí)可以退化為3次三角域Bézier曲面的新曲面；同樣是在三角多項(xiàng)式空間，文獻(xiàn)[21]構(gòu)造了一種結(jié)構(gòu)較為特殊的三角域Bézier曲面，其每張曲面片由19個(gè)控制頂點(diǎn)定義，該曲面可以精確表示球面。

得益于所融入的形狀參數(shù)，由文獻(xiàn)[6-15]定義的曲面不僅繼承了傳統(tǒng)Bernstein-Bézier曲面的基本性質(zhì)，而且都可以實(shí)現(xiàn)不改變控制頂點(diǎn)，僅通過調(diào)整形狀參數(shù)來修改形狀的目標(biāo)，因此這些新曲面使用起來更加靈活、方便。由于文獻(xiàn)[16-17,21]構(gòu)造的曲面都未引入形狀參數(shù)，因此它們都并不具備形狀可調(diào)性。雖然文獻(xiàn)[16-19,21]構(gòu)造的曲面定義于三角多項(xiàng)式空間，具備表示部分2次曲面的潛能，但只有文獻(xiàn)[17]討論了球面的表示。

考慮到代數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)在所有函數(shù)類型中計(jì)算最簡(jiǎn)單，且基于代數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)的曲線曲面易于向CAGD中的傳統(tǒng)造型曲線曲面轉(zhuǎn)化，因此在構(gòu)造新曲線曲面時(shí)，若能保持調(diào)配函數(shù)類型為代數(shù)多項(xiàng)式，且新方法在保留傳統(tǒng)曲線曲面基本性質(zhì)的同時(shí)，還能獲取一些新的性質(zhì)，則不失為好的方法。

在工程實(shí)際中，低次曲線曲面的使用頻率較高，因此本文選擇3次三角域Bézier曲面作為改進(jìn)對(duì)象。通過在控制頂點(diǎn)中融入?yún)?shù)，定義了含3個(gè)形狀參數(shù)的新曲面，取特殊參數(shù)時(shí)可以退化為3次三角域Bézier曲面。對(duì)曲面的G1光滑拼接條件以及幾何迭代算法進(jìn)行了討論，并對(duì)迭代算法的斂散性進(jìn)行了分析。

1 曲面及其性質(zhì)

1.1 曲面構(gòu)造過程

給定三角域D={(u,v,w)|u,v,w≥0,u+v+w=1}，以及呈三角陣列的控制頂點(diǎn)Vijk(i+j+k=3)∈3，可定義一張三角域上的3次Bézier曲面

曲面r(u,v,w)具備凸包性、角點(diǎn)插值性以及輪換對(duì)稱性；由邊界控制頂點(diǎn)確定的Bézier曲線構(gòu)成了曲面的邊界曲線；由角點(diǎn)和與之相鄰的2個(gè)控制頂點(diǎn)張成的平面為曲面在角點(diǎn)處的切平面。

注意到在控制頂點(diǎn)Vijk(i+j+k=3)給定的情況下，曲面r(u,v,w)的形狀唯一確定。下面分析如何在頂點(diǎn)Vijk中融入形狀參數(shù)，從而定義具有形狀可調(diào)性的三角域曲面r*(u,v,w)，同時(shí)保持r*(u,v,w)與r(u,v,w)的角點(diǎn)一致，并且角點(diǎn)切平面相同。

為此，定義曲面r*(u,v,w)如下：

r*(u,v,w)=B300V300+B030V030+B003V003+

B111V111+B210[αV210+(1-α)V300]+B120[αV120+(1-α)V030]+B021[βV021+(1-β)V030]+B012[βV012+(1-β)V003]+B102[γV102+(1-γ)V003]+B201[γV201+(1-γ)V300]

(1)

其中u,v,w∈D，參數(shù)α,β,γ∈(0,1]。

將r*(u,v,w)記作

(2)

也就是將r*(u,v,w)當(dāng)作常規(guī)的3次三角域Bézier曲面來看待，其控制頂點(diǎn)如下：

(3)

1.2 調(diào)配函數(shù)及其性質(zhì)

(4)

(5)

其中參數(shù)α,β,γ∈(0,1]。

(6)

(7)

其中轉(zhuǎn)換矩陣為

1)退化性。取α=β=γ=1，含參數(shù)的調(diào)配函數(shù)退化成雙變量3次Bernstein基函數(shù)。

4)輪換對(duì)稱性。當(dāng)α=β=γ時(shí)，有

6)角點(diǎn)導(dǎo)數(shù)。對(duì)i+j+k=3，有

7)線性無關(guān)性。若參數(shù)α,β,γ∈(0,1]，則含參數(shù)的調(diào)配函數(shù)之間是線性無關(guān)的。

證明：假設(shè)

(8)

其中xijk∈。將式(5)代入式(8)并整理，得到

x300B300+x030B030+x003B003+x111B111+[αx210+(1-α)x300]B210+[αx120+(1-α)x030]B120+

[βx021+(1-β)x030]B021+[βx012+(1-β)x003]B012+[γx102+(1-γ)x003]B102+[γx201+(1-γ)x300]B201=0。

由于普通的雙變量3次Bernstein基函數(shù)之間是線性無關(guān)的，因此有

注意到α,β,γ≠0，故方程組的解為xijk=0，i+j+k=3，這表明bijk(i+j+k=3)線性無關(guān)。

1.3 曲面性質(zhì)

根據(jù)調(diào)配函數(shù)的性質(zhì)，并結(jié)合曲面r*(u,v,w)的表達(dá)式，不難推出形狀可調(diào)三角域曲面的下列性質(zhì)。

1)凸包性。曲面r*(u,v,w)完全落在其控制網(wǎng)格形成的凸包內(nèi)部。

2)幾何不變性與仿射不變性。曲面r*(u,v,w)的形狀直接取決于其控制頂點(diǎn)以及參數(shù)α、β和γ的取值，與坐標(biāo)系的選擇無關(guān)；對(duì)曲面進(jìn)行仿射變換，其結(jié)果與對(duì)控制網(wǎng)格進(jìn)行同樣的變換后所確定的曲面完全一致。

3)角點(diǎn)插值性?？刂凭W(wǎng)格的3個(gè)角點(diǎn)都落在曲面r*(u,v,w)上，具體地，有r*(1,0,0)=V300，r*(0,1,0)=V030，r*(0,0,1)=V003。

4)角點(diǎn)切平面。在角點(diǎn)(1,0,0)處，曲面的切平面由點(diǎn)V300、V210和V201張成；在角點(diǎn)(0,1,0)處的切平面由點(diǎn)V030、V120和V021張成；在角點(diǎn)(0,0,1)處的切平面由點(diǎn)V003、V012和V102張成。

5)邊界曲線。曲面上w=0的邊界曲線由邊界控制頂點(diǎn)Vij0(i+j=3)與式(6)所示函數(shù)組定義的曲線；曲面上u=0的邊界曲線由控制頂點(diǎn)V0jk(j+k=3)與式(6)所示函數(shù)組(將參數(shù)α改為β)定義的曲線；曲面上v=0的邊界曲線由控制頂點(diǎn)Vi0k(i+k=3)與式(6)所示函數(shù)組(將參數(shù)α改為γ)定義的曲線。由于函數(shù)組bi(i=0,1,2,3)具有全正性，因此邊界曲線具備保形性。

6)形狀可調(diào)性。在控制頂點(diǎn)Vijk(i+j+k=3)給定的情況下，可通過改變參數(shù)α、β和γ的值來調(diào)整曲面形狀。

1.4 參數(shù)對(duì)曲面形狀的影響

首先，由曲面邊界曲線性質(zhì)可知，當(dāng)α保持不變時(shí)，對(duì)應(yīng)w=0的邊界曲線固定不變(比較圖1(a)～圖1(d))；當(dāng)β不變時(shí)，對(duì)應(yīng)u=0的邊界曲線不變(比較圖1(b)、圖1(c)、圖1(e)和圖1(f)或圖1(d)和圖1(g))；當(dāng)γ不變時(shí)，對(duì)應(yīng)v=0的邊界曲線不變(比較圖1(b)、圖1(e)和圖1(f)或圖1(d)和圖1(g))。

另外，由表達(dá)式(4)可知，曲面r*(u,v,w)為控制頂點(diǎn)Vijk(i+j+k=3)的加權(quán)線性組合，點(diǎn)Vijk處的權(quán)重為bijk。而由式(5)可知，函數(shù)b300關(guān)于α和γ單調(diào)遞減，b210和b120關(guān)于α單調(diào)遞增；函數(shù)b030關(guān)于α和β單調(diào)遞減，b021和b012關(guān)于β單調(diào)遞增；函數(shù)b003關(guān)于β和γ單調(diào)遞減，b102和b201關(guān)于γ單調(diào)遞增。因此當(dāng)α增加時(shí)，點(diǎn)V210和V120的權(quán)重增加，點(diǎn)V300和V030的權(quán)重減小，曲面對(duì)應(yīng)w=0的邊界曲線隨α的增加而逼近以V210和V120為端點(diǎn)的線段，隨著這條邊界曲線的變化，整張曲面也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的改變(對(duì)比圖1(b)、圖1(e)和圖1(f))。增加β(比較圖1(c)和圖1(d))或增加γ時(shí)的效果類似。當(dāng)α、β和γ中有2個(gè)同時(shí)增加時(shí)，就有對(duì)應(yīng)的2條邊界曲線發(fā)生明顯改變，例如當(dāng)α固定，β和γ同時(shí)增加時(shí)的效果可以比較圖1(a)、圖1(b)和圖1(d)。當(dāng)α、β和γ三者同時(shí)增加時(shí)，3條邊界曲線均發(fā)生明顯改變，整張曲面對(duì)控制網(wǎng)格的逼近程度會(huì)不斷增加，可以通過比較圖1(a)、圖1(e)和圖1(g)來觀察效果。

在固定控制頂點(diǎn)的前提下，圖1展示了通過調(diào)整參數(shù)生成的形狀各不相同的三角域曲面。

(a)參數(shù) 參數(shù)

與現(xiàn)有的形狀可調(diào)三角域曲面相比，這里定義的形狀可調(diào)三角域曲面具有如下優(yōu)點(diǎn)：1)在賦予曲面形狀調(diào)整靈活度的同時(shí)，并沒有增加調(diào)配函數(shù)的多項(xiàng)式次數(shù)；2)邊界曲線具有對(duì)邊界控制頂點(diǎn)的保形性；3)曲面中含有的形狀調(diào)整參數(shù)數(shù)量達(dá)到了同等條件下的最大值，因此具有最佳的形狀調(diào)整靈活度。

2 曲面拼接

雖然含參數(shù)的調(diào)配函數(shù)依然為代數(shù)多項(xiàng)式，計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，但由于引入了參數(shù)，所以其表達(dá)比Bernstein基函數(shù)要復(fù)雜一些。這樣一來，直接分析形狀可調(diào)三角域曲面的拼接問題，雖然在理論上是可行的，但是實(shí)際操作起來具有一定的困難。為了降低分析的難度，依據(jù)3次三角域Bézier曲面的拼接理論，以及形狀可調(diào)三角域曲面與3次三角域Bézier曲面之間的關(guān)系，來分析形狀可調(diào)三角域曲面為實(shí)現(xiàn)光滑拼接應(yīng)滿足的條件。

2.1 3次三角域Bézier曲面的拼接

給出如下2張3次三角域Bézier曲面：

其中u,v,w∈D。當(dāng)

(9)

時(shí)，r1(0,v,w)=r2(0,v,w)，兩曲面具有公共的對(duì)應(yīng)u=0的邊界曲線。為使曲面沿公共邊界G1連續(xù)，須滿足[19-21]

(10)

其中ξ和η為任意因子。條件(10)可轉(zhuǎn)化為

(11)

根據(jù)式(9)、式(11)，可以推出3次三角域Bézier曲面的G1光滑拼接條件為

(12)

2.2 形狀可調(diào)三角域曲面的拼接

給出如下2張形狀可調(diào)三角域Bézier曲面：

(13)

其中u,v,w∈D，bijk(u,v,w;α1,β1,γ1)表示參數(shù)取α1、β1和γ1的調(diào)配函數(shù)，bijk(u,v,w;α2,β2,γ2)則取參數(shù)α2、β2和γ2。

(14)

由式(9)可知，當(dāng)

(15)

(16)

進(jìn)一步地，由式(11)可知，若

(17)

(18)

將式(16)代入式(18)并整理可得

(19)

其中O1=β1P012+(1-β1)P003，O2=β1P021+(1-β1)P030。

(a)參數(shù)(視角1)

3 曲面的幾何迭代算法

幾何迭代法[22]具有明確的幾何意義。這種方法始于一條曲線或者一張曲面，通過不斷地迭代調(diào)整曲線或曲面的控制頂點(diǎn)，讓最終生成的曲線或曲面要么插值、要么逼近最初所給的控制點(diǎn)列。

3.1 算法描述

構(gòu)造第1次迭代所生成的曲面

假設(shè)第n次迭代后得到的曲面為

為進(jìn)行第n+1次迭代，首先計(jì)算差向量

(20)

構(gòu)造第n+1次的迭代曲面

3.2 收斂性分析

按照3.1節(jié)中給出的迭代過程，不斷地進(jìn)行下去，將會(huì)生成一個(gè)曲面序列

為了分析迭代過程的收斂性，依據(jù)字典排序方法[23]，將含參數(shù)的調(diào)配函數(shù)按以下順序排列

b={b300,b210,b201,b120,b111,b102,b030,b021,b012,b003}

(21)

同步地，與控制頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)也依據(jù)字典排序方法進(jìn)行排列，并記

t={t300,t210,t201,t120,t111,t102,t030,t021,t012,t003}

(22)

由式(20)可得

(23)

記

則式(23)可用矩陣表示成Δ(n+1)=(I-C)Δ(n)，其中I為10階單位矩陣，C為調(diào)配函數(shù)(21)關(guān)于參數(shù)序列(22)的配置矩陣，即

圖3所示為：在球面上挑選10個(gè)點(diǎn)作為控制頂點(diǎn)，選擇相異的2組參數(shù)，執(zhí)行不同的迭代次數(shù)，得到的曲面結(jié)果。

將圖3中第1列和第2列的4張曲面分別進(jìn)行比較，不難看出，當(dāng)?shù)螖?shù)逐漸增加時(shí)，曲面逐漸變化到插值于給定點(diǎn)列的曲面。分別比較圖3中每一排的2張曲面，不難觀察出，參數(shù)取值越大，曲面與極限結(jié)果的插值曲面愈加接近。

(a)迭代0次：(左); α=β=γ=1(右) (b)迭代3次：(左); α=β=γ=1(右)

表1 迭代誤差

4 結(jié)束語

以3次三角域Bézier曲面作為研究對(duì)象，本文欲從形狀表示的靈活性這個(gè)角度對(duì)其進(jìn)行擴(kuò)展，在既沒有改變基函數(shù)的類型(與文獻(xiàn)[18-20]相比)，又沒有增加基函數(shù)的次數(shù)(與[6,7,9,12-15]相比)的前提下，賦予了曲面形狀可調(diào)性，這些特點(diǎn)與文獻(xiàn)[8,10-11]相同。本文給出的曲面含3個(gè)形狀參數(shù)，比只含1個(gè)形狀參數(shù)的文獻(xiàn)[10]能構(gòu)造出更加豐富的形狀。文獻(xiàn)[8]中的曲面和文獻(xiàn)[11]中n=3時(shí)的曲面一致，雖然也含3個(gè)形狀參數(shù)，但本文中的3個(gè)參數(shù)分別控制曲面的3條邊界，參數(shù)的變化引起邊界的變化進(jìn)而帶動(dòng)曲面形狀的改變，文獻(xiàn)[8,11]中的3個(gè)參數(shù)則沒有這種直觀的調(diào)控作用。為了構(gòu)造形狀可調(diào)的三角域曲面，現(xiàn)有文獻(xiàn)采用的方法基本相同，即先構(gòu)造帶有參數(shù)的調(diào)配函數(shù)，然后與控制頂點(diǎn)做線性組合，參數(shù)值改變時(shí)，參與計(jì)算的調(diào)配函數(shù)隨之改變，從而引起曲面形狀的變化。本文采用全新的思路，在控制頂點(diǎn)而非調(diào)配函數(shù)中融入?yún)?shù)，然后與常規(guī)的雙變量Bernstein基函數(shù)做線性組合，以構(gòu)造曲面。隨著參數(shù)取值的改變，參與計(jì)算的曲面控制頂點(diǎn)隨之變化，進(jìn)而帶動(dòng)曲面形狀的變化。這種方法從純幾何而非代數(shù)的角度出發(fā)，給出了可調(diào)曲面之所以形狀可調(diào)的直觀解釋，即控制頂點(diǎn)的改變引起曲面形狀的改變。

在討論形狀可調(diào)三角域曲面的光滑拼接條件時(shí)，為了降低分析的難度，先對(duì)常規(guī)3次三角域Bézier曲面的拼接條件進(jìn)行討論，再根據(jù)新曲面與3次三角域Bézier曲面之間的關(guān)系，得到形狀可調(diào)三角域曲面的G1光滑拼接條件，條件的幾何意義明確，這有利于手工確定與已有曲面光滑拼接的曲面控制頂點(diǎn)。

為了構(gòu)造視覺上插值于控制頂點(diǎn)的曲面，對(duì)文中構(gòu)造的形狀可調(diào)三角域曲面的幾何迭代算法做出了討論，對(duì)迭代算法的收斂性、收斂速度以及擬合誤差進(jìn)行了分析，這些理論分析結(jié)果為曲面的應(yīng)用打下了基礎(chǔ)。