黃佳偉，魯鐵定，魯春陽，劉 盈

(1.東華理工大學(xué)測(cè)繪工程學(xué)院，330013，南昌；2.河南城建學(xué)院測(cè)繪與城市空間信息學(xué)院，467036，河南，平頂山；3.井岡山大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，343009，江西，吉安)

0 引言

作為近地空間環(huán)境的重要組成部分，電離層對(duì)無線電通信、導(dǎo)航，衛(wèi)星定位和遙感、遙測(cè)等有著重要的影響[1]。建立電離層總電子含量(Total Electric Contents，TEC)預(yù)測(cè)模型不僅為研究電離層的時(shí)空變化規(guī)律提供模型基礎(chǔ)，也對(duì)研究地震異常探測(cè)等具有重要意義[2-3]。目前，國(guó)內(nèi)外對(duì)電離層TEC值的預(yù)測(cè)根據(jù)時(shí)間長(zhǎng)短可分為長(zhǎng)期預(yù)測(cè)和短期預(yù)測(cè)。長(zhǎng)期預(yù)測(cè)主要有利用TEC觀測(cè)數(shù)據(jù)構(gòu)建經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ秃蛥⒖茧婋x層模型，如本特(Bent)模型、國(guó)際參考電離層模型IRI、克羅布歇(Klobuchar)模型等，其中以Klobuchar模型應(yīng)用最廣[1,4]。短期預(yù)測(cè)主要分為經(jīng)典數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)法和人工智能法，具體包括時(shí)間序列分析法、灰色預(yù)測(cè)模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等[5-8]。如陳鵬等利用時(shí)間序列分析的方法對(duì)TEC數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)，預(yù)測(cè)效果較好[5]。胡勇等提出將灰色理論運(yùn)用于電離層預(yù)測(cè)當(dāng)中，結(jié)果表明預(yù)測(cè)效果可行[6]。李淑慧等利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建提前一天的TEC預(yù)報(bào)模型，結(jié)果表明預(yù)報(bào)模型可以反映不同季節(jié)的TEC變化特征[7]。然而電離層時(shí)空變化的復(fù)雜性給預(yù)報(bào)帶來一定的影響，直接使用模型預(yù)測(cè)TEC數(shù)據(jù)無法達(dá)到滿意的預(yù)報(bào)精度[8]。本文引入經(jīng)驗(yàn)小波變換(Empirical Wavelet Transform，EWT)對(duì)電離層TEC數(shù)據(jù)進(jìn)行分解，結(jié)合BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Back Propagation Network)建立EWT-BP組合預(yù)測(cè)模型，以提高預(yù)報(bào)精度。

1 算法原理

1.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Artificial Neural Network，ANN)是在現(xiàn)代神經(jīng)科學(xué)研究成果的基礎(chǔ)上提出的技術(shù)。它的基本處理單位為神經(jīng)元，將大量的神經(jīng)元以各種方式連接來建立非線性神經(jīng)系統(tǒng)，處理各種復(fù)雜的數(shù)據(jù)。其中，在處理多維函數(shù)逼近、復(fù)雜模式識(shí)別和非線性時(shí)間序列預(yù)測(cè)等問題時(shí)，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到最廣泛的應(yīng)用。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Back Propagation Network)又稱反向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，最早由Rumelhart和McClelland等科學(xué)家于1986年提出，因其具有較強(qiáng)的非線性映射能力和柔性的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，在非線性時(shí)間序列預(yù)測(cè)方面的應(yīng)用較為廣泛[9]。圖1為3層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖，從圖1中可以看出BP網(wǎng)絡(luò)是由輸入層、隱含層和輸出層3部分組成的，其中隱含層可以有一層或多層。相鄰層次的神經(jīng)元之間實(shí)現(xiàn)全連接，而獨(dú)立層次的神經(jīng)元之間無任何連接。

圖1 3層BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建可分兩步過程進(jìn)行，即信號(hào)的前向傳播和誤差的反向傳播，通過不斷調(diào)整神經(jīng)元之間的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)(權(quán)值和閾值)，使實(shí)際輸出逼近期望輸出，達(dá)到最小誤差均方差，其具體步驟如下[9]。

1.1.1 信號(hào)的前向傳播 選擇一組數(shù)據(jù)訓(xùn)練樣本，將其分為輸入數(shù)據(jù)和期望的輸出數(shù)據(jù)；輸入數(shù)據(jù)從輸入層進(jìn)入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，經(jīng)過隱含層逐層處理后作用于輸出層，經(jīng)過非線性變換產(chǎn)生輸出信號(hào)；計(jì)算網(wǎng)絡(luò)輸出和期望輸出的誤差函數(shù)，若誤差滿足目標(biāo)要求，則網(wǎng)絡(luò)建立成功，否則進(jìn)入反向傳播過程。

1.1.2 誤差的反向傳播 反向傳播時(shí)，將輸出誤差通過隱含層向輸入層逐層反轉(zhuǎn)，將誤差分?jǐn)偨o各層的所有神經(jīng)元，已從各層收集的誤差信號(hào)作為調(diào)整權(quán)值和閾值的依據(jù)。通過不斷修正輸入層與隱含層的權(quán)值和閾值以及隱含層和輸出層的權(quán)值和閾值，使誤差函數(shù)沿梯度方向下降，直到整個(gè)訓(xùn)練樣本的誤差達(dá)到要求為止。

誤差函數(shù)[10]可表達(dá)為：

(1)

(2)

式中：p為數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，k為迭代次數(shù)，tl為期望輸出，Ol為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)現(xiàn)行輸出，ek為單個(gè)數(shù)據(jù)誤差函數(shù)，E為總體誤差函數(shù)。

1.2 經(jīng)驗(yàn)小波變換

經(jīng)驗(yàn)小波變換(Empirical Wavelet Transform，EWT)是Gilles[11]及其團(tuán)隊(duì)于2013年提出的一種基于信號(hào)頻譜劃分的信號(hào)處理新方法。與EMD缺乏嚴(yán)格的理論支撐不同，EWT依靠小波分析理論框架，根據(jù)信號(hào)自身性質(zhì)產(chǎn)生基函數(shù)。其核心思想是根據(jù)信號(hào)頻譜劃分結(jié)果建立小波濾波器組，來提取信號(hào)的不同模態(tài)[12]。

圖2 傅里葉頻譜劃分

經(jīng)驗(yàn)尺度函數(shù)可表達(dá)為：

(3)

經(jīng)驗(yàn)小波函數(shù)可表達(dá)為：

(4)

其中τn和β(x)可表達(dá)為：

(5)

重構(gòu)的原始信號(hào)可表達(dá)為：

(6)

經(jīng)驗(yàn)小波分解的模態(tài)可定義為：

(7)

(8)

1.3 EWT-BP組合模型的建立

圖3為EWT-BP模型算法流程圖。

圖3 EWT-BP算法流程圖

將EWT算法應(yīng)用到電離層TEC數(shù)據(jù)處理當(dāng)中，首先利用EWT將不同位置處的TEC時(shí)間序列進(jìn)行分解，得到不同模態(tài)分量的子時(shí)間序列，再利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)不同分量進(jìn)行預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果疊加得到最終預(yù)測(cè)值。具體步驟如下。

1)利用EWT將TEC時(shí)間序列x(t)分解為一個(gè)經(jīng)驗(yàn)尺度分量f0，代表信號(hào)整體變化趨勢(shì)，k個(gè)經(jīng)驗(yàn)小波分量fi，代表信號(hào)不同頻域特征，即：

(9)

2)對(duì)分解后的經(jīng)驗(yàn)尺度分量和經(jīng)驗(yàn)小波分量分別建立BP網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，疊加分量預(yù)測(cè)結(jié)果得到最終TEC預(yù)測(cè)值。為減小疊加誤差對(duì)最終TEC值的影響，因其信號(hào)能量主要集中在經(jīng)驗(yàn)尺度分量和前2個(gè)經(jīng)驗(yàn)小波分量，只取EWT分解的經(jīng)驗(yàn)尺度分量f0和經(jīng)驗(yàn)小波分量f1和f2，其結(jié)果不會(huì)對(duì)預(yù)測(cè)效果產(chǎn)生太大影響[13]。以IGS中心發(fā)布的TEC值作對(duì)比數(shù)據(jù)，采用日平均相對(duì)精度P和均方根誤差RMSE作為評(píng)定預(yù)測(cè)效果的指標(biāo)，可表達(dá)為：

P=1-|It-I|/I

(10)

(11)

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

提取IGS中心提供的2010年電離層格網(wǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，參照文獻(xiàn)[8]，分別選取年積日為1～30、101～130、201～230和301～330 的4個(gè)不同時(shí)間段低緯(a.15°N，125°E)、中緯(b.45°N，60°W；c.45°N，125°E)、高緯(d.75°N，125°E)的TEC時(shí)間序列進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，每個(gè)時(shí)間段的年積日個(gè)數(shù)為30。將前24 d的數(shù)據(jù)作為輸入，第25天的數(shù)據(jù)作為輸出，組成訓(xùn)練樣本，第2天到第25天的數(shù)據(jù)作為輸入，來預(yù)測(cè)第26天的數(shù)據(jù)，以此類推，預(yù)測(cè)后5 d的數(shù)據(jù)，后5 d的數(shù)據(jù)作為真實(shí)值來檢測(cè)模型預(yù)測(cè)效果。

以年積日201～230時(shí)間段為例進(jìn)行具體分析，對(duì)比分析EWT-BP組合模型和單一BP模型的預(yù)測(cè)效果。圖4為年積日226～230的4個(gè)不同地理位置2種模型的TEC預(yù)測(cè)結(jié)果與TEC真實(shí)值對(duì)比圖。其中橫坐標(biāo)為5 d內(nèi)預(yù)測(cè)歷元的個(gè)數(shù)，時(shí)間間隔為2 h；縱坐標(biāo)為TEC值，單位為TECU的個(gè)數(shù)，1 TECU=1016e/m2。圖4結(jié)果顯示，相對(duì)于單一BP模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，EWT-BP模型預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)值更加吻合，預(yù)測(cè)誤差更小，表明EWT-BP模型能夠更好地反映電離層TEC的變化特征，預(yù)測(cè)效果更優(yōu)。

圖4 不同地理位置2種模型的預(yù)報(bào)TEC值對(duì)比圖

表1從整體上反映了2種模型的殘差誤差分布情況。從表1可以看出，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)報(bào)的5 d內(nèi)平均殘差絕對(duì)值小于1個(gè)TECU占比為66.8%，平均殘差絕對(duì)值大于3個(gè)TECU占比為6.4%；而EWT-BP模型預(yù)報(bào)的5 d內(nèi)平均殘差絕對(duì)值小于1個(gè)TECU占比為79.7%，平均殘差絕對(duì)值大于3個(gè)TECU占比為2%。結(jié)果表明，組合模型的預(yù)測(cè)效果整體上要優(yōu)于單一模型的預(yù)測(cè)效果，與圖4結(jié)果相符。

表1 BP模型和EWT-BP模型的殘差絕對(duì)值Δ(以TECU為單位計(jì)數(shù))分類百分比/%

表2給出了不同地理位置的誤差情況對(duì)比表。從表2中可以看出，同一地理位置，EWT-BP模型預(yù)測(cè)的相對(duì)精度普遍要比單一BP模型的相對(duì)精度要高，均方根誤差普遍比單一BP模型的均方根誤差要小，結(jié)果表明經(jīng)驗(yàn)小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)效果要優(yōu)于單一神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)效果。同一經(jīng)度，均方根誤差隨著緯度的增加而減小，相對(duì)精度則未體現(xiàn)相同的變化趨勢(shì)，其與不同位置處的TEC值大小相關(guān)。同一緯度不同經(jīng)度間誤差變化不明顯。

表2 不同地理位置5 d內(nèi)平均預(yù)測(cè)誤差情況對(duì)比表

表3為4個(gè)時(shí)段誤差情況對(duì)比表，表3中顯示BP模型預(yù)測(cè)的平均相對(duì)精度為90.2%，均方根誤差為1.3；而EWT-BP模型預(yù)測(cè)的平均相對(duì)精度為93.2%，均方根誤差為0.83。整體結(jié)果表明，EWT-BP模型的預(yù)測(cè)效果優(yōu)于單一BP模型的預(yù)測(cè)效果。

表3 4個(gè)時(shí)段平均預(yù)測(cè)誤差情況對(duì)比表

3 結(jié)論

采用IGS中心提供的電離層格網(wǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了EWT-BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)的有效性，并與單一BP模型預(yù)測(cè)效果進(jìn)行對(duì)比分析得出以下結(jié)論。

1)利用EWT對(duì)電離層TEC時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行分解，對(duì)分解的各分量進(jìn)行BP預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)結(jié)果疊加得到最終TEC值，并與TEC真實(shí)值進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果表明，EWT-BP預(yù)測(cè)模型能夠有效地反映電離層TEC的變化特征。

2)對(duì)比單一神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，組合模型預(yù)測(cè)的平均相對(duì)精度提高了3%，均方根誤差減小了0.47，表明組合模型的預(yù)測(cè)效果更優(yōu)。

本文將經(jīng)驗(yàn)小波變換運(yùn)用到非線性時(shí)間序列當(dāng)中，給類似特征的時(shí)間序列預(yù)測(cè)提供了一個(gè)新思路。但是電離層復(fù)雜多變的時(shí)空特性給模型預(yù)測(cè)帶來一定困難，此外神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)模型主觀性強(qiáng)的缺點(diǎn)也有待進(jìn)一步解決。建立一個(gè)預(yù)測(cè)精度更高，穩(wěn)定性更強(qiáng)的電離層預(yù)測(cè)模型還有待進(jìn)一步的研究。

致謝：感謝IGS中心提供的電離層TEC數(shù)據(jù)！