費振南，范讓林，馮程程，殷 芳

（北京科技大學機械工程學院，北京 100083）

1 引言

剛?cè)狁詈隙囿w動力學可以解決剛體和柔性體耦合系統(tǒng)大范圍運動的動力學問題，相比于多剛體動力學，進一步考慮了柔性體的變形對剛體運動和系統(tǒng)運動的影響，是多剛體動力學的發(fā)展與延伸。剛?cè)狁詈隙囿w動力學能夠考慮柔性體彈性變形對物體運動的影響，在航空航天[1-4]和車輛[5-6]動力學領域應用較為廣泛，同時也應用于故障診斷[7]和疲勞分析[8-9]。

相比通過ANSYS 等有限元軟件進行瞬態(tài)工況的強度分析，剛?cè)狁詈夏Ｐ妥咏Y(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法因縮減了求解規(guī)模，導致其分析耗時較短。

某衛(wèi)星成像儀在火箭發(fā)射過程中受到隨機、正弦掃頻和沖擊激勵，當該子系統(tǒng)分別受到這三種激勵時，分析該子系統(tǒng)主體結(jié)構(gòu)的強度?；诟倪MCraig-Bampton 方法，用有限元法將成像儀主體結(jié)構(gòu)離散柔性化，并將依附于主體結(jié)構(gòu)之上的其他附件視為剛體，結(jié)合多體動力學理論，建立系統(tǒng)的剛?cè)狁詈夏Ｐ?。分析成像儀在多工況振動激勵下，主體結(jié)構(gòu)等效應力最大的位置，并根據(jù)模態(tài)參與因子優(yōu)化結(jié)構(gòu)，降低最大等效應力，使其滿足強度要求，并滿足總質(zhì)量限值。

2 子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法

2.1 子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法的步驟

用有限元對柔性多體系統(tǒng)建模，其優(yōu)越性在于任何復雜系統(tǒng)均可用恰當?shù)挠邢迒卧M集進行模擬。為了避免系統(tǒng)通過直接采用節(jié)點坐標描述柔性體而產(chǎn)生的龐大自由度數(shù)，在滿足工程精度的條件下，引入結(jié)構(gòu)動力學的模態(tài)綜合技術，通過模態(tài)坐標作為廣義坐標縮減系統(tǒng)方程的自由度，降低求解規(guī)模。

子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法繁多，但分析步驟大致相同[10]。首先將整體系統(tǒng)分割成若干個子結(jié)構(gòu)，建立子結(jié)構(gòu)的模態(tài)集和模態(tài)坐標。子結(jié)構(gòu)ψ 模態(tài)集主要包含主模態(tài)φn、約束模態(tài)ψc和附著模態(tài)ψa，一般表示為：ψ＝［φnψcψa］。

子結(jié)構(gòu)物理坐標與模態(tài)坐標之間的關系式為：

式中：u—物理坐標；p—模態(tài)坐標。

其次，利用子結(jié)構(gòu)界面的連接關系產(chǎn)生協(xié)調(diào)方程，建立各子結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系，通過坐標變換矩陣S 把所有子結(jié)構(gòu)各自獨立的模態(tài)坐標p 變換到系統(tǒng)廣義坐標q 下：

從而得到系統(tǒng)在廣義坐標下的動力學方程。最后求得該動力學方程的解，經(jīng)過式（1）和式（2）兩次坐標變換，返回到物理坐標u，求得所需的解。

2.2 改進的 Craig-Bampton 法

各種模態(tài)綜合法的共同特征是在保留子結(jié)構(gòu)主模態(tài)的同時，再增補各種靜力相關模態(tài)，構(gòu)成一個完備的模態(tài)參數(shù)與系統(tǒng)的綜合；主要差別是選取的靜力相關模態(tài)的不同以及由于界面約束形式不同而導致二次坐標變換矩陣S 的不同。

固定界面模態(tài)綜合法中Craig-Bampton 模態(tài)分析法不適用于部件有大范圍剛體運動的情況[11]，且得到的分支模態(tài)集不能與頻率相對應，難以進行動力學分析。在Virtual.lab Motion 中采用改進的Craig-Bampton 法，以適用于多體動力學系統(tǒng)仿真。其選擇的是分支模態(tài)集，包含固定界面的子結(jié)構(gòu)保留主模態(tài)與對全部界面坐標的約束模態(tài)。改進前后的模態(tài)坐標之間的關系，如式（3）所示。改進后的物理坐標與模態(tài)坐標之間的關系，如式（4）所示。

式中：s—模態(tài)階數(shù)；r—改進后的模態(tài)坐標；Ns=［n1L ns］—所需前s 階頻率對應的正則化模態(tài)；ψ—傳統(tǒng)Craig-Bampton方法求得的分支模態(tài)集；φ—正交Craig-Bampton 模態(tài)。固定界面模態(tài)綜合法將子結(jié)構(gòu)組裝成整體時，需滿足界面位移協(xié)調(diào)條件和界面力的平衡條件。

3 剛?cè)狁詈戏治隽鞒膛c模型建立

3.1 剛?cè)狁詈蟿恿W分析流程

圖1 剛?cè)狁詈戏治隽鞒蘁ig.1 Process of Rigid-Flexible Coupling Analysis

通過Virtual.Lab Motion 模塊建立結(jié)構(gòu)的多剛體動力學模型，在Hypermesh 中對主體結(jié)構(gòu)進行網(wǎng)格劃分，建立有限元模型。將網(wǎng)格模型導入將動力學模型中，使主體結(jié)構(gòu)變?yōu)槿嵝泽w，設置連接點，并通過Flexible Body Design 模塊調(diào)用MSC Nastran 進行模態(tài)分析，最后進行剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動力學分析，具體建模流程，如圖1 所示。

3.2 剛?cè)狁詈夏Ｐ偷慕?/h3>

衛(wèi)星通過四個支承結(jié)構(gòu)與成像儀子系統(tǒng)連接，并傳遞加速度激勵，如圖2（a）所示。成像儀系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)復雜，與眾多電子元件和機械結(jié)構(gòu)相連。在建立多剛體動力學模型時，將內(nèi)部其他附件視為剛體，并根據(jù)連接關系施加各附件與主體結(jié)構(gòu)之間的運動副。在有限元軟件中離散主體結(jié)構(gòu)時，需根據(jù)主體結(jié)構(gòu)與各剛體連接點和接觸面設置RBE2 單元。

結(jié)構(gòu)材料為 2A12，材料參數(shù)為：E=68000MPa，μ=0.33，ρ＝2.78×10-9t/mm-3，σ0.2≈256MPa，σb≈410MPa，如圖2（b）所示。主體結(jié)構(gòu)有限元模型共有237640 個單元，73166 個節(jié)點。

圖2 子系統(tǒng)多剛體模型及主體結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.2 Multi Rigid Body Model of Substructure and Finite Element Model of Major Structure

將成像儀主體結(jié)構(gòu)視為子結(jié)構(gòu)，并做柔性化處理，設置剛體和柔性體的連接點與自由度，調(diào)用MSCNastran 求解結(jié)構(gòu)的Craig-Bampton 模態(tài)，去除前六階剛體模態(tài)參數(shù)，得到結(jié)構(gòu)的分支模態(tài)集。

模態(tài)阻尼設為0.05，以加速度激勵信號作為驅(qū)動施加在成像儀主體結(jié)構(gòu)與衛(wèi)星的連接點處，應用子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法進行剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)的動力學分析。

圖3 隨機激勵時域信號Fig.3 Time Domain Signal of Random Excitation

在衛(wèi)星與成像儀連接點處施加三種激勵，如圖3～圖5 所示。三種激勵的頻率成分各不相同。將各工況激勵依次施加在連接點的X、Y、Z 方向，獲取三種工況下的主體結(jié)構(gòu)最大等效應力與其位置，進行結(jié)構(gòu)強度校核。

圖5 沖擊激勵時域信號Fig.5 Time Domain Signal of Impact

4 仿真結(jié)果分析

圖6 X 向沖擊激勵下結(jié)構(gòu)等效應力云圖Fig.6 Von Mises Stress Cloud Image of Structure Under X Impact Excitation

圖7 隨機激勵下結(jié)構(gòu)等效應力曲線Fig.7 Von Mises Stress Curve Under the Random Excitation

通過衛(wèi)星主體結(jié)構(gòu)在三種工況下的von Mises 應力云圖，綜合判斷結(jié)構(gòu)最大等效應力的位置，并以該位置周圍若干節(jié)點等效應力的平均值衡量等效應力大小。分析結(jié)果表明，三種工況下的結(jié)構(gòu)最大等效應力位置均在前支承的2 個螺栓連接處，以X 向沖擊工況下某時刻結(jié)構(gòu)的等效應力云圖為例，如圖6 所示。各工況作用下最大等效應力，如圖7～圖9 所示。

圖8 正弦掃頻激勵下結(jié)構(gòu)等效應力曲線Fig.8 Von Mises Stress Curve under Sine Sweep Excitation

圖9 沖擊激勵下結(jié)構(gòu)等效應力曲線Fig.9 Von Mises Stress Curve Under Impact Excitation

根據(jù)以下各工況結(jié)構(gòu)等效應力結(jié)果可知，各工況的X 和Y向激勵下的最大等效應力大于Z 向激勵；隨機與正弦掃頻工況的等效應力小于屈服極限，滿足強度要求；但沖擊工況下X 和Y 向等效應力結(jié)果遠大于材料的屈服極限，在工作狀態(tài)下成像儀主體結(jié)構(gòu)會發(fā)生失效，不滿足強度要求。

5 基于模態(tài)參與因子的結(jié)構(gòu)強度優(yōu)化

圖10 X 和Y 向沖擊激勵下最大模態(tài)參與因子Fig.10 Maximum MPF Under X and Y Impact Excitation

當成像儀受到加速度激勵時，可以通過模態(tài)參與因子（MPF：Modal Participation Factors）衡量各階模態(tài)參與結(jié)構(gòu)響應的大小。該優(yōu)化過程以降低成像儀結(jié)構(gòu)體在沖擊工況下的最大等效應力為優(yōu)化目標，以最大模態(tài)參與因子的模態(tài)振型位移大小為約束條件。具體方法為通過增強結(jié)構(gòu)在該階模態(tài)的局部剛度，減小結(jié)構(gòu)在響應中變形，進而降低等效應力。基于剛?cè)狁詈夏Ｐ头治鼋Y(jié)果，X 和Y 向沖擊工況下主體結(jié)構(gòu)最大等效應力不滿足屈服強度的要求，提取兩次分析中結(jié)構(gòu)的MPF 最大的模態(tài)，得到該階模態(tài)的MPF 隨時間變化曲線，如圖10 所示。由圖可知，X 向沖擊激勵作用時，第6、7 階模態(tài)參與因子較大；Y 向沖擊激勵作用時，第5 階模態(tài)參與因子較大。

模態(tài)振型，如圖11、圖12 所示。主體結(jié)構(gòu)第6、7 階模態(tài)振型主要為結(jié)構(gòu)前支承X 向變形，第5 階模態(tài)振型主要為結(jié)構(gòu)前支承Y 向變形。據(jù)此可知，在X、Y 向沖擊工況作用下，由于結(jié)構(gòu)前支承X 和Y 向抗彎剛度不足和與衛(wèi)星連接點過少，導致結(jié)構(gòu)局部抗彎剛度不足，使前支承在響應過程中變形較大，進而導致前支承與衛(wèi)星連接的螺栓孔處等效應力超過材料的屈服極限，不滿足強度要求。

圖11 第6 和7 階模態(tài)振型Fig.11 The 6th and 7th Modal Shapes

圖12 第5 階模態(tài)振型Fig.12 The 5th Modal Shape

根據(jù)模態(tài)振型可知，增加支承結(jié)構(gòu)的剛度可減小結(jié)構(gòu)在激勵響應中的變形，提升結(jié)構(gòu)強度。增加連接前支承X 向厚度和連接點個數(shù)，可增加其抗彎剛度和連接剛度，減小結(jié)構(gòu)最大等效應力，結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果，如圖13 所示。

圖13 優(yōu)化后的主體結(jié)構(gòu)Fig.13 The Optimized Major Structure

將優(yōu)化后的主體結(jié)構(gòu)重新進行離散化，并建立成像儀剛?cè)狁詈夏Ｐ停M行各工況下的動力學分析，提取主體結(jié)構(gòu)的最大等效應力及位置，得到其等效應力隨時間變化曲線。由分析結(jié)果可知，優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)強度的最大等效應力位置不變。對比優(yōu)化前后最大等效應力，如圖14 所示。由圖可知，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)在沖擊激勵作用下的最大等效應力大幅降低，并在整個沖擊過程中均小于屈服應力，處于安全區(qū)間，滿足強度要求。

圖14 優(yōu)化前后最大等效應力對比Fig.14 Maximum Von Mises Stress Comparison of Structure Before and After Optimization

6 結(jié)論

（1）基于Virtual.Lab Motion 的剛?cè)狁詈隙囿w動力學模型，利用子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法，分析結(jié)構(gòu)在動態(tài)環(huán)境下的強度，該方法能夠考慮系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的運動對結(jié)構(gòu)變形的影響，仿真邊界條件接近真實狀態(tài)，分析結(jié)果更加準確且有效。

（2）對于不滿足強度要求的工況，基于模態(tài)參與因子進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，通過比較該工況下的模態(tài)參與因子大小，提取參與系統(tǒng)響應最大的模態(tài)，增加該階模態(tài)振型最大變形處的結(jié)構(gòu)剛度，減小其變形幅度，進而有效降低最大應力，使結(jié)構(gòu)滿足強度要求。