廣東省東莞高級(jí)中學(xué) (523128) 劉心華

習(xí)題課是高中數(shù)學(xué)課的主要課型之一.新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)提出高中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)培養(yǎng)好數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng)，其基本框架是以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心.習(xí)題是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的平臺(tái)，“看過(guò)問(wèn)題三百個(gè)，不會(huì)解題也會(huì)問(wèn)”.新課標(biāo)要求在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)合適的情境和問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言描述問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問(wèn)題.在問(wèn)題解決的過(guò)程中，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

橢圓是圓錐曲線部分所學(xué)的第一種曲線，橢圓及其幾何性質(zhì)研究的內(nèi)容、方式及方法，對(duì)進(jìn)一步研究雙曲線和拋物線及其幾何性質(zhì)，起到一個(gè)示范作用．

以下橢圓的習(xí)題課教學(xué)設(shè)計(jì)，從一道課本習(xí)題入手，探求問(wèn)題解法并對(duì)其進(jìn)行變式引申，讓學(xué)生掌握一類(lèi)焦點(diǎn)三角形問(wèn)題的解答，幫助學(xué)生理解橢圓的幾何性質(zhì)及一般解題方法和規(guī)律，發(fā)展能力，感悟思想，積累經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

1、創(chuàng)設(shè)情景、引入新課

設(shè)計(jì)意圖：這是原人教版《數(shù)學(xué)》選修2-1習(xí)題2.2A組第6題，本節(jié)課把它作為典型探究性問(wèn)題，是因?yàn)樵擃}可把與橢圓焦點(diǎn)有關(guān)的性質(zhì)、面積問(wèn)題的處理方法等知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，問(wèn)題處于知識(shí)的交匯點(diǎn)上，學(xué)生入手容易.

2、自主探究、合作學(xué)習(xí)

教師用幾何畫(huà)板展示本題的圖形，學(xué)生獨(dú)立思考嘗試解答問(wèn)題，教師巡視，指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)作圖、找關(guān)鍵詞理解題意，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言翻譯轉(zhuǎn)化問(wèn)題的條件和結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生用多種方法解題，指導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)小組內(nèi)進(jìn)行交流、討論．

設(shè)計(jì)意圖：多媒體展示本題的圖形，引導(dǎo)學(xué)生自主獲取資源，為學(xué)生解決問(wèn)題提供直觀，為學(xué)生探索規(guī)律啟發(fā)思路，增強(qiáng)學(xué)生作圖、識(shí)圖、用圖的意識(shí)，熟悉題目的條件與結(jié)論，正確理解題意，尋找解法，提升數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng).

3、成果展示、匯報(bào)交流

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生1的解法應(yīng)該也是大多數(shù)同學(xué)的解法，在解析幾何中，點(diǎn)通常用坐標(biāo)來(lái)表示，要求點(diǎn)的坐標(biāo)就要根據(jù)條件列出其坐標(biāo)滿足的兩個(gè)方程組成的方程組．點(diǎn)在橢圓上，其坐標(biāo)滿足橢圓方程是顯而易見(jiàn)的，關(guān)鍵是列出另一個(gè)方程．由于S△PF1F2=1，聯(lián)想三角形面積的計(jì)算公式，就可列出一個(gè)方程，從而求解，問(wèn)題的解答體現(xiàn)了坐標(biāo)法和方程思想的運(yùn)用．

是否還有其他解法呢？有學(xué)生嘗試在焦點(diǎn)三角形中運(yùn)用正余弦定理及面積公式求解：

師生探討：學(xué)生2是在焦點(diǎn)三角形中，通過(guò)正余弦定理及面積公式求解，思路是可行的，做不下去的原因是沒(méi)有找到θ角與P點(diǎn)縱坐標(biāo)間的關(guān)系，下面一起來(lái)尋找問(wèn)題解決方法：

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生2是在焦點(diǎn)三角形中運(yùn)用正余弦定理及面積公式求解問(wèn)題，幾何法的特點(diǎn)明顯，問(wèn)題解決對(duì)三角函數(shù)運(yùn)算能力要求較高，顯然這種解法比學(xué)生1方法要復(fù)雜，比較兩種解法可以感受到坐標(biāo)法的簡(jiǎn)潔性.反思學(xué)生2解法之所以復(fù)雜，其中一個(gè)主要因素是∠F1PF2的大小對(duì)解題的影響，如果∠F1PF2是一個(gè)特殊角，比如∠F1PF2=90°，情況會(huì)怎么樣呢？于是設(shè)計(jì)如下的變式問(wèn)題.

學(xué)生解答并展示學(xué)生的解答如下：

設(shè)計(jì)意圖：解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題要明確以|F1F2|為直徑的圓與橢圓的位置關(guān)系，用幾何畫(huà)板展示，當(dāng)b、c大小關(guān)系變化時(shí)，驗(yàn)證圓與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化情況．觀察當(dāng)點(diǎn)P在不同的橢圓弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠F1PF2的大小變化情況，于是有下面的問(wèn)題：

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)變式問(wèn)題2是讓學(xué)生明確橢圓中的焦點(diǎn)三角形中有關(guān)角的問(wèn)題常用處理方法，可以運(yùn)用平面向量數(shù)量積的方法，也可運(yùn)用正(余)弦定理的方法.橢圓上的點(diǎn)對(duì)兩焦點(diǎn)的張角以橢圓短軸端點(diǎn)最大，這一結(jié)論的推導(dǎo)需要學(xué)生有較強(qiáng)的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

4、高考鏈接、本質(zhì)變式

(1)(2018全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ文)已知F1、F2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，則C的離心率為( ).

設(shè)計(jì)意圖：習(xí)題課要引發(fā)學(xué)生的體驗(yàn)學(xué)習(xí)，教師要確定通過(guò)什么樣的內(nèi)容來(lái)提升發(fā)展學(xué)生，即提供恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)材料，習(xí)題課中引入高考真題能很好地縮短了教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的心理距離，更為具體，也更具操作性和活動(dòng)性.

5、拓展延伸、遷移應(yīng)用

(1)(2019年高考全國(guó)Ⅰ卷理科10)已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0),F2(1,0)，過(guò)F2的直線與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|，則C的方程為( ).

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}(1)比前面的變式問(wèn)題要復(fù)雜，需在橢圓焦點(diǎn)三角形中轉(zhuǎn)化兩個(gè)等式，結(jié)合橢圓定義找到|AF1|=|AF2|的等量關(guān)系，由|AF2|=2|F2B|得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.問(wèn)題設(shè)計(jì)要考慮學(xué)生對(duì)解析幾何中通性通法的掌握程度，問(wèn)題解決可以幫助學(xué)生提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科核心素養(yǎng).

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}(2)雖然不是焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，但問(wèn)題解決的方法與思路完全可以借鑒前面的焦點(diǎn)三角形問(wèn)題，所以有下面的方法一與方法二，這是習(xí)題課教學(xué)中的遷移應(yīng)用.把一個(gè)看似未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾個(gè)已經(jīng)具備的經(jīng)驗(yàn)可以解決的問(wèn)題，是數(shù)學(xué)常規(guī)解題策略，這個(gè)任務(wù)不可能一蹴而就，但可以水滴石穿，進(jìn)一步的挖掘，可以讓問(wèn)題簡(jiǎn)單化，應(yīng)用價(jià)值就更高，看似一小步，其實(shí)一大步.

學(xué)生14：(方法二)設(shè)焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)M(x,y)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)N，則N(x,0)故tan∠AMB=tan(∠AMN+∠BMN)=

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}(3)的焦點(diǎn)三角形中涉及到角平分線的長(zhǎng)度問(wèn)題，在焦點(diǎn)三角形中運(yùn)用正(余)弦定理、角平分線定理、面積公式等入手，解決看似有一定困難，但若將問(wèn)題中的長(zhǎng)度全部轉(zhuǎn)化為角度，運(yùn)用三角函數(shù)的變換求解，問(wèn)題很快得以解決.教師要基于教學(xué)目的去設(shè)計(jì)并引導(dǎo)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)活動(dòng)與學(xué)習(xí)進(jìn)程，提供這樣的教學(xué)材料，能更好地促進(jìn)學(xué)生解題活動(dòng)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

設(shè)計(jì)意圖：習(xí)題課的問(wèn)題設(shè)計(jì)，要引發(fā)學(xué)生的積極思考和數(shù)學(xué)活動(dòng)，教師不要因?qū)W生學(xué)習(xí)困難就降低難度，教師的作用就是要幫助學(xué)生成為教學(xué)的主體，主動(dòng)去挑戰(zhàn)困難、克服困難，促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，從現(xiàn)有水平主動(dòng)積極地走向未來(lái)水平.

6、歸納總結(jié)、分層作業(yè)

(5)結(jié)合本節(jié)課的探究性問(wèn)題，請(qǐng)自編一道“改變條件或改變結(jié)論”(特殊化、一般化)的變式問(wèn)題．

設(shè)計(jì)意圖：作業(yè)是習(xí)題課的自然延伸，教師在布置作業(yè)時(shí)要尊重學(xué)生的差異，找準(zhǔn)學(xué)生學(xué)習(xí)的最近發(fā)展區(qū)，優(yōu)化設(shè)計(jì)階梯式分層作業(yè)，讓不同層次學(xué)生選擇，達(dá)到相應(yīng)單元的學(xué)業(yè)要求，同時(shí)更深層次地喚醒學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的需要，實(shí)現(xiàn)不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.

三、教學(xué)反思

本節(jié)習(xí)題課設(shè)計(jì)了環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題鏈，充分體現(xiàn)了以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)理念.從一道課本習(xí)題引入新課，引導(dǎo)學(xué)生自主探究合作學(xué)習(xí),鼓勵(lì)學(xué)生充分發(fā)表自己的感受和見(jiàn)解，讓學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中充分參與課堂活動(dòng).變式問(wèn)題1比課本習(xí)題入手更容易，學(xué)生可以從更多的角度切入解題，讓不同水平的學(xué)生思維都動(dòng)起來(lái).變式問(wèn)題2的設(shè)計(jì)讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)學(xué)生自己的思維活動(dòng)進(jìn)一步將符號(hào)化的知識(shí)打開(kāi)，將靜態(tài)的知識(shí)激活，全身心地體驗(yàn)問(wèn)題豐富的內(nèi)涵與意義.高考鏈接本質(zhì)變式題組的設(shè)計(jì)是讓學(xué)生再次經(jīng)歷問(wèn)題解決的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，讓學(xué)生與自己正在學(xué)習(xí)的內(nèi)容之間建立一種緊密的聯(lián)系，通過(guò)解題活動(dòng)去把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，發(fā)展著學(xué)生的思維品質(zhì)，提升學(xué)生的核心素養(yǎng). 拓展延伸遷移應(yīng)用題組的設(shè)計(jì)抓住了知識(shí)生長(zhǎng)點(diǎn)，又扣住了問(wèn)題的本質(zhì)，有濃濃的數(shù)學(xué)問(wèn)味.在習(xí)題課教學(xué)活動(dòng)中，遷移應(yīng)用是對(duì)本質(zhì)變式的印證與檢驗(yàn)，有聯(lián)想才能有遷移，有結(jié)構(gòu)才能去應(yīng)用.歸納總結(jié)分層作業(yè)設(shè)計(jì)了必做題與選做題，必做題由易到難、結(jié)構(gòu)由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、要求由低到高，學(xué)生人人都有會(huì)做的題，個(gè)個(gè)都有信心去嘗試，給不同層次的學(xué)生創(chuàng)造了成功的機(jī)會(huì).