慕 嘉 董積發(fā)

西北民族大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 甘肅 蘭州 730000

引言

極限思想已有非常悠久的歷史,例如,我國著名數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)就利用了極限思想。由于極限的重要性,一直以來都備受學(xué)者的關(guān)注[1－6]。本文在這些基礎(chǔ)上,繼續(xù)系統(tǒng)總結(jié)計(jì)算函數(shù)極限的十種主要方法。這些方法的多樣性及靈活性容易導(dǎo)致學(xué)生不會(huì)求極限或張冠李戴地使用錯(cuò)誤。因此本文分析及總結(jié)各種方法的使用范圍和注意事項(xiàng),并且在分析歸納中給出說明和易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)。

1 函數(shù)極限求值的十二種教學(xué)方法

2．1 利用函數(shù)極限的定義求極限的教學(xué)方法 函數(shù)極限的ε－δ定義[1]是比較經(jīng)典的函數(shù)極限定義方式,相比其他的定義形式,這種方法量化的尺度更為精確,直接刻畫了函數(shù)與其極限之間的逼近程度。

在這種方法的使用方面,要給學(xué)生強(qiáng)調(diào)主要用于證明函數(shù)的極限。并且在證明過程中,首先要讓函數(shù)和極限值之間的距離小于任給的正數(shù)ε,然后根據(jù)自變量的變化趨勢(shì)求出相應(yīng)的δ或M等關(guān)鍵參數(shù)值。

2．2 利用夾逼原理求極限的教學(xué)方法 需要給學(xué)生說明這種方法適合于最初只能估計(jì)范圍,而不能直接用函數(shù)極限運(yùn)算法則來計(jì)算的題目。而且在使用這種方法時(shí),需要一定的經(jīng)驗(yàn),保證放大或縮小得適當(dāng),而不能出現(xiàn)放大和縮小的式子極限不存在、不容易計(jì)算或不相等而無法使用本方法的情況。

2．3 利用兩個(gè)重要極限求極限的教學(xué)方法 關(guān)于這個(gè)方法,需要給學(xué)生強(qiáng)調(diào)適合于能轉(zhuǎn)化為兩個(gè)重要極限的題型。關(guān)于第一個(gè)重要極限,需要注意x的位置可替換為其他形式的變量,但變化趨勢(shì)一定是趨于0;關(guān)于第二個(gè)重要極限的位置也可替換為其他形式的變量,但變化趨勢(shì)一定是趨于無窮。這些方法看似簡單,學(xué)生卻非常容易只看函數(shù)形式不管自變量變化趨勢(shì)而使用錯(cuò)誤,所以需要強(qiáng)化訓(xùn)練以熟練正確地運(yùn)用。

2．4 利用變量替換求極限的教學(xué)方法 為了將極限式中未知的函數(shù)極限變量刪繁化簡,或者將所求極限轉(zhuǎn)化為已知的函數(shù)極限,有時(shí)可以使用變量替換方法。但給學(xué)生要強(qiáng)調(diào)的是利用變量替換后必須由難化易,否則沒有意義。

2．5 利用等價(jià)無窮小代換求極限的教學(xué)方法 等價(jià)無窮小代換求極限是極限計(jì)算題中常用又比較特殊的方式。在計(jì)算極限時(shí),首先第一步都應(yīng)該判斷下可否用這個(gè)方法將原題簡化。因?yàn)樗皇且活惪梢酝耆鉀Q問題的方法,它的作用是“化簡”。因此利用等價(jià)無限小代換常常與其它求極限的方式搭配使用。但熟悉地掌握運(yùn)用等價(jià)無窮小進(jìn)行化簡求極限是必備的技能,為此首先要求學(xué)生熟記常用的等價(jià)無窮小,另外要正確使用:無窮小作為乘除形式出現(xiàn)時(shí)才可替換,以加減形式出現(xiàn)時(shí)不能替換,以免使用不當(dāng)引起錯(cuò)誤。

2．6 利用連續(xù)定義求極限的教學(xué)方法 這里需要給學(xué)生強(qiáng)調(diào),這種方法適用于函數(shù)在自變量的極限點(diǎn)處連續(xù)的情形,如果是無窮,則指的是自變量在變化過程中連續(xù)。有些很復(fù)雜的函數(shù)利用別的極限求值方法會(huì)非常麻煩,但如果滿足本方法的要求,則處理起來會(huì)簡單很多。

2．7 利用導(dǎo)數(shù)定義求極限的教學(xué)方法 這種方法適合于可轉(zhuǎn)化為一點(diǎn)處函數(shù)值增量與自變量增量之比的極限值的有限次四則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算的題型,增量的形式并不拘泥于課本中導(dǎo)數(shù)定義中的形式,只要大小相當(dāng)就可以。所以深刻理解導(dǎo)數(shù)定義,并能靈活地應(yīng)用是該方法的關(guān)鍵。

2．8 利用洛必達(dá)法則求極限的教學(xué)方法 這種方法可適用于及∞－∞、0．∞、00、1∞、∞0型等可以轉(zhuǎn)化為前兩種情形的題型。在考慮利用洛必達(dá)法之前先要檢測(cè)下題目是否可用等價(jià)無窮小代換或其他方法的方法來簡化,并且如果分子導(dǎo)數(shù)與分母導(dǎo)數(shù)之比的極限不存在,這時(shí)不能得出原式極限不存在的結(jié)論,而應(yīng)該使用其他方法解決。

2．9 利用麥克勞林公式求極限的教學(xué)方法 在求函數(shù)極限的問題中,洛必達(dá)法則是比較有效的一種方法,但當(dāng)式子很繁雜的時(shí)候,使用洛必達(dá)法則可能會(huì)直接導(dǎo)致計(jì)算量增大,這時(shí)可以直接利用第一麥克勞林展開式加以解決。另外需要在計(jì)算無窮小過程中特別注意對(duì)高階無窮小的函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算和處理[7]。

2．10 利用含參變量積分求極限的教學(xué)方法 這里的方法主要有:可以運(yùn)用含參變量積分的連續(xù)性計(jì)算積分的極限,或者利用夾逼原理計(jì)算積分的極限,或者利用含參變量積分的中值定理求積分的極限,或者利用洛必達(dá)積分法則求積分的極限,或者利用歐拉積分定律求極限,或者利用極限的定義求極限等。

在此以利用含參變量積分的連續(xù)性定理求極限來說明其應(yīng)用技巧。如果被積函數(shù)連續(xù),那么可以通過使用含參變量積分的函數(shù)連續(xù)性定律求得函數(shù)的極限。如果被積的函數(shù)不連續(xù),但是極限仍然存在,則我們可以通過補(bǔ)充或者連續(xù)改變被積函數(shù)的極限值使得被積的函數(shù)連續(xù)后,最后再使用含參變量積分的連續(xù)性定理計(jì)算函數(shù)極限的值。在求含參變量的積分過程當(dāng)中,已學(xué)的各種含參變量方法原則上都可以適用,但不同的地方就是這里我們需要充分運(yùn)用含參變量積分的各種基本性質(zhì)及變量積分定理來靈活處理題目。