◇ 山東 王永宗

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點、難點知識,涉及的問題類型較多,其中雙變量函數(shù)問題在各類測試以及高考中出現(xiàn)頻率較高．部分學(xué)生難以在短時間內(nèi)找到解題思路,解題效率較低．授課中為使學(xué)生掌握雙變量函數(shù)問題的處理方法,教師應(yīng)做好相關(guān)題型的匯總,并在課堂上為學(xué)生講解例題的解題思路,使其掌握該類問題的解題技巧,促進學(xué)生解題水平的提升．

1 引入?yún)?shù)

部分雙變量函數(shù)問題需要引入新的參數(shù),構(gòu)建新的函數(shù),借助導(dǎo)數(shù)知識對新的函數(shù)進行研究,包括單調(diào)性、最值等．要注意的是構(gòu)建新函數(shù)時需要找準參數(shù)的取值范圍．

例1已知若f(m)＝g(n)成立,則n－m的最小值為( )．

解析

很多學(xué)生解答該題時僅僅知道將m,n的值代入,但卻不知道接下來該怎么處理．教學(xué)中應(yīng)注重給予學(xué)生啟發(fā),引導(dǎo)學(xué)生引入?yún)?shù)k,構(gòu)建關(guān)于k的函數(shù),而后討論新函數(shù)的單調(diào)性,找到其最小值．

2 等價轉(zhuǎn)化

等價轉(zhuǎn)化是解決雙變量函數(shù)問題的重要方法之一．為使學(xué)生掌握等價轉(zhuǎn)化的技巧,教學(xué)中既要注重為學(xué)生講解恒成立問題與存在性問題之間的區(qū)別,又要列出常見的等價轉(zhuǎn)化方法,使學(xué)生深入理解．

例2已知函數(shù)f(x)＝(x＋1)3e－x＋1,g(x)＝(x＋1)2＋a,若存在x1,x2∈R,使得f(x2)＞g(x1),則實數(shù)a的取值范圍為________．

解析

讀題可知,該問題為存在性問題,可將問題轉(zhuǎn)化為fmax(x)≥gmin(x),此時只要求出兩個函數(shù)的最大值與最小值即可．對函數(shù)f(x)進行求導(dǎo)得f′(x)＝3(x＋1)2e－x＋1－(x＋1)3e－x＋1＝(x＋1)2e－x＋1(－x＋2),由f′(x)＝0,解得x＝－1或x＝2．當x＜2時,f′(x)＞0,f(x)單調(diào)遞增；當x＞2時,f′(x)＜0,f(x)單調(diào)遞減,則．由二次函數(shù)知識可得gmin(x)＝g(－1)＝a．因此a的取值范圍為

3 分離參數(shù)

求解參數(shù)范圍的問題常采用分離參數(shù)法,在解決雙變量函數(shù)問題時也可使用．

例3已知函數(shù)(a為常數(shù))有兩個極值點．

(1)求實數(shù)a的取值范圍；

(2)設(shè)f(x)的兩個極值點分別為x1,x2,若不等式f(x1)＋f(x2)＜λ(x1＋x2)恒成立,求λ的最小值．

解析

(1)通過求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個正根問題,不難求出a的取值范圍為(4,＋∞)．

綜上,λ的最小值為l n4－3．