基于錐形刀具的螺旋錐齒輪齒頂?shù)估饧庸し抡嫜芯?/h1>
2021-02-01 03:05:50卞博洪榮晶
輕工學報 2021年1期
卞博，洪榮晶
南京工業(yè)大學 機械與動力工程學院，江蘇 南京 211800
0 引言
螺旋錐齒輪因承載力高、傳動平穩(wěn)，被廣泛應用于飛機、車輛、工程機械等傳動系統(tǒng)中[1-2].螺旋錐齒輪在切削加工過程中，齒面和齒頂常常會有毛刺、飛邊等“棱”出現(xiàn)，在劇烈工況下，會產(chǎn)生噪聲、沖擊及齒面快速疲勞破壞等現(xiàn)象[3-5]，因此對齒頂?shù)估饧夹g的研究非常重要.
發(fā)達工業(yè)國家在齒輪倒棱技術上有較為成熟的經(jīng)驗，SAMPUTENSILI公司生產(chǎn)的SM2TA擠棱機以擠棱工藝加工熱前未淬硬齒輪的齒廓棱線部分；日本山陽研制的五軸雙曲面齒輪倒棱機，自動化程度較高且易操作[6]；K.M.Ribbeck等[7]在刀盤上安裝多把刀具，通過刀盤與工件旋轉(zhuǎn)完成螺旋錐齒輪的倒棱加工.國內(nèi)部分學者對倒棱問題也進行了研究，徐彥偉等[8]提出了采用錐形砂輪實現(xiàn)弧齒錐齒輪大輪齒頂?shù)估?；李佳等[9]提出了旋分倒棱技術，該方法需要1個平移和3個旋轉(zhuǎn)運動聯(lián)動；魏巍等[10]提出的盤形刀具的弧齒錐齒輪齒頂?shù)估饧庸し椒?，可同時加工兩邊倒棱，但形狀誤差較大，達0.5 mm.劉景成[11]提出采用盤狀銑刀的弧齒錐齒輪單邊倒棱加工方法，加工精度可達0.07 mm，但該方法僅適用于大輪.上述研究大多以雙邊倒棱為基礎，著重提高倒棱效率，對于倒棱精度的重視不夠.鑒于此，本文擬以小輪為對象，提出基于錐形刀具的螺旋錐齒輪齒頂?shù)估饧庸し椒?，即通過建立齒頂棱線方程，設置倒棱參數(shù)，對錐形刀具軌跡進行求解計算，從而實現(xiàn)倒棱大小的靈活控制，同時提高倒棱精度.
1 齒頂棱線方程的建立
1.1 錐形刀具倒棱加工原理
螺旋錐齒輪形體復雜，但根據(jù)成型原理，可將螺旋錐齒輪看作是由一個個齒形截面(見圖1)銜接構成的，所有截面均垂直于齒向曲線，因為齒頂棱線依據(jù)齒向線生成，所以這些截面近似垂直于齒頂棱線.
錐形刀具倒棱加工，實質(zhì)上是指刀具切削側(cè)刃沿齒頂做切削運動的加工.錐形刀具在進行倒棱加工時，刀具走向與齒頂棱線密切相關，其軌跡求解流程為：根據(jù)垂直于齒頂棱線的齒形截面對倒棱參數(shù)進行計算，得出刀具倒棱加工軌跡.因計算的需要，應首先對齒頂棱線方程[12]進行求解.
1.2 齒頂棱線方程的推導
本文以一對螺旋錐齒輪副的小輪為例來研究倒棱加工.由文獻[13]可知，其齒頂棱線方程為
圖1 齒形截面Fig.1 Tooth section
①
其中，Lx為齒線上任一點錐距，hax為棱線任一點齒頂高，δ為節(jié)錐角，t為齒線任一點轉(zhuǎn)角，PC為節(jié)錐頂點與頂錐頂點的距離.
1.3 齒頂棱線方程的驗證
取一對螺旋錐齒輪副的小輪參數(shù)并創(chuàng)建模型，進行齒頂棱線和后續(xù)倒棱的計算和驗證.螺旋錐齒輪參數(shù)分別為：齒數(shù)15，大端模數(shù)6，外錐距95.29 mm，節(jié)錐角28.18°，壓力角20°，螺旋角39.87°，齒頂高4.2 mm，齒根高5.4 mm.在UG中根據(jù)基本參數(shù)構建的螺旋錐齒輪三維模型如圖2所示.
提取三維模型中一條齒頂棱線的30個點(即圖2所示模型上的棱線點集)，在Matlab中與式①齒頂線方程進行比對，齒頂棱線方程驗證結果如圖3所示.由圖3可以看出，齒頂棱線方程與三維模型中棱線提取的數(shù)據(jù)點基本重合，說明螺旋錐齒輪齒頂棱線參數(shù)方程與理論模型誤差不大，可以作為后續(xù)刀具軌跡計算的依據(jù).
2 刀具軌跡求解
2.1 局部坐標系原點與各軸矢量計算
將齒輪軸心線與坐標軸重合，使得給定主坐標系位于螺旋錐齒輪上頂部中心，且Z軸與軸心線一致.根據(jù)齒頂棱線分割的離散點，得出與離散點相同數(shù)量的棱線法平面，設離散點為O2(x0,y0,z0),對應齒頂棱線方程自變量t0，棱線法平面為P，則法平面方程[14]為
圖2 螺旋錐齒輪三維模型Fig.2 3D model of spiral bevel gear
x′(t0)·(x-x0)+y′(t0)·(y-y0)+
z′(t0)·(z-z0)=0
該法平面的法矢量v2=[x′(t0),y′(t0),z′(t0)]為局部坐標系的Y坐標軸矢量，法截面P與Z軸交點及矢量如圖4所示，其中法平面與螺旋錐齒輪軸線的交點O1即為所求的局部坐標系原點，該點在主坐標系中的坐標為O1(0,0,w)，根據(jù)平面與直線的交點關系，求得：
點O1與離散點連成的直線矢量作為局部坐標系的Z坐標軸矢量v3[x0,y0,z0-w]，因坐標系三矢量兩兩垂直，所以
因v1有無窮多解，可選取其中一個v1=[1，b,c]作為X軸矢量.
2.2 當量齒輪齒廓齒頂角度求解
圖3 齒頂棱線方程驗證結果Fig.3 Verification results of tooth top ridge equation
由于當量齒輪齒廓齒頂角度θ并不是一個定值，故它會隨著倒棱大小的改變而作微小改變.為提高刀具軌跡的精度，需要求解齒廓頂角θ與倒棱大小參數(shù)Ld1和Ld2之間的關系.而大多螺旋錐齒輪齒頂?shù)估馍疃仍?.2～0.5 mm之間，這遠遠小于齒輪的尺寸，所以齒頂?shù)估庑螤羁煽醋饕粋€三角形，即弧線近似為直線，根據(jù)漸開線與圓的性質(zhì)，可由螺旋錐齒輪的基本參數(shù)和給定的倒棱長度，求出齒廓頂角θ.螺旋錐齒輪當量齒輪參數(shù)如圖6所示.在圖6的坐標系下，齒頂角求解過程如下.
圖4 法截面P與Z軸交點及矢量Fig.4 Intersection point and vector of normal section P and Z axis
圖5 單齒截面與倒棱參數(shù)Fig.5 Single tooth section and chamfer parameters
1)首先求解漸開線與齒頂圓的交點坐標，根據(jù)漸開線方程計算得O3坐標：
O3=[x3,y3]=[Rj·sinα0-Rj·α0·cosα0,Rj·cosα0+Rj·α0·sinα0]
2)根據(jù)弧長Ld1和Ld2可以計算出點H和點G的坐標，計算可得
H=[xh,yh]=
[x3·cosφ-y3·sinφ,x3·sinφ+y3·cosφ]
G=[xg,yg]=
[Rj·sinσ-Rj·σ·cosσ,Rj·cosσ+Rj·σ·sinσ]
3)聯(lián)立O3，H，G這3點的坐標即可求出齒頂角，即
圖6 螺旋錐齒輪當量齒輪參數(shù)Fig.6 Equivalent gear parameters of spiral bevel gear
②
2.3 刀位點在副坐標系的坐標求解
刀位點與刀軸矢量如圖7所示，其中，O2為倒棱曲線上離散點，在副坐標系下坐標為[0,0,r]，倒棱形狀可看成三角形，線段O2D可看成與X2軸平行，O2D=Ld1，O2C=Ld2，設定刀具角度為δ，刀尖露出長度BC=Lt.根據(jù)平面幾何關系，求出刀位點B和刀軸矢量上A的坐標.
先求出三角形的內(nèi)角：
③
據(jù)此可以求出γ角：
④
其中
⑤
根據(jù)式②—⑤，可以得出B點和A點的坐標分別為
B=[-lBE,0,r-lO2E]=
[-lBO2·sinγ,0,r-lBO2·cosγ]
圖7 刀位點與刀軸矢量Fig.7 Tool point and tool axis vector
2.4 坐標轉(zhuǎn)換
將副坐標系下的刀位點坐標轉(zhuǎn)換為主坐標系下的坐標，以便于生成加工代碼.
首先將副坐標系各軸矢量轉(zhuǎn)換為單位矢量，轉(zhuǎn)換后單位矢量為v11=[ux,uy,uz]，v21=[mx,my,mz]，v31=[nx,ny,nz].設某點在主坐標系下坐標為(x,y,z)，在副坐標系下坐標為(xf,yf,zf)，副坐標系坐標原點為O1(0,0,w)，據(jù)此可以構建一個如下的線性方程組：
因此，副坐標系點轉(zhuǎn)為主坐標系坐標的轉(zhuǎn)換矩陣為
A，B兩點在主坐標系下的坐標可由轉(zhuǎn)換矩陣T求出：
AZ=T·AT
⑥
BZ=T·BT
⑦
由一個個刀尖點BZ組成刀尖軌跡.
刀軸矢量為
⑧
由式⑥—⑧即可確定刀具軌跡.
3 仿真實驗與結果分析
為檢驗本文提出的倒棱加工方法的有效性，進行了仿真實驗.通過對仿真模型數(shù)據(jù)的提取，計算出法截面和齒頂棱線與倒棱邊界線交點之間的距離，并與倒棱大小參數(shù)進行比對分析.
3.1 倒棱參數(shù)設置與仿真步驟
設置3組倒棱參數(shù)：Ld1=Ld2=0.3 mm；Ld1=0.2 mm，Ld2=0.3 mm；Ld1=0.3 mm，Ld2=0.2 mm.錐形刀具參數(shù)為Φ4×90°×50×3F，刀尖露出長度Lt=0.5 mm.在Matlab中，根據(jù)式⑥—⑧編寫由齒頂棱線離散點轉(zhuǎn)換為倒棱刀位點和刀軸矢量的程序，并后置處理得到數(shù)控加工代碼，而后在數(shù)控機床加工仿真軟件VERICUT平臺上建立倒棱加工仿真模型，即可進行仿真.
在軟件VERICUT中導入機床模型文件，在機床轉(zhuǎn)臺位置添加齒輪模型(齒輪模型參數(shù)見1.3)，并設置坐標系統(tǒng)csys(0，0，0).然后添加錐形刀刀具模型，刀具編號設置為1，控制點設置為刀尖，在添加數(shù)控仿真代碼后，進行加工仿真.倒棱切削模型如圖8所示，其中倒棱切削位置兩端的曲線為倒棱邊界線.將VERICUT切削模型導出，在UG中打開并提取兩端倒棱仿真邊界曲線.
3.2 誤差評價指標與結果分析
UG中的倒棱仿真邊界曲線與齒頂棱線如圖9所示，其中，中間曲線為輪齒右側(cè)齒頂棱線，兩端為倒棱仿真邊界曲線.在齒頂棱線上均勻分布20個離散點，以這些離散點確定齒頂棱線法平面，法平面與兩端倒棱邊界線相交得到
圖8 倒棱切削模型Fig.8 Chamfer cutting model
位于同一法平面的點U和L.將點U與點T之間的空間距離設為齒頂距離Dd1，T點與L點之間的空間距離設為齒面距離，倒棱形狀誤差可由如下公式進行定義：
e=max(|Dd1-Ld1|,|Dd2-Ld2|)
根據(jù)設置的3組倒棱參數(shù)進行仿真并比對，倒棱形狀誤差結果如圖10所示.由圖10可以看出，3組不同參數(shù)的倒棱的形狀誤差最大值皆出現(xiàn)在齒頂中部，而向兩端的形狀誤差都是呈逐漸變小的趨勢，說明倒棱刀具軌跡在齒頂中部的形狀誤差最大，在齒頂上下兩端的形狀誤差最??；3組倒棱形狀誤差均不大，最大形狀誤差≤0.05 mm，遠小于文獻[10-11]的誤差，說明錐形刀具倒棱確實提高了倒棱精度，且在刀位點和刀軸矢量方程中調(diào)整倒棱大小參數(shù)可靈活控制倒棱大小.本文方法中錐形刀具強度高、壽命長，具有成本低、耐用度高的優(yōu)點，且該方法可在通用五軸機床上實現(xiàn)，無需專用機床，加工靈活性較高.
圖9 倒棱仿真邊界曲線與齒頂棱線Fig.9 Chamfer simulation boundary line and tooth crest line
圖10 倒棱形狀誤差結果Fig.10 Result of chamfer shape error
4 結語
本文提出基于錐形刀具的螺旋錐齒輪齒頂?shù)估饧庸し椒?，根?jù)齒頂棱線方程和倒棱參數(shù)的設置，對錐形刀具的刀位點和刀軸矢量進行了公式推導，進而求解刀具加工軌跡.仿真結果表明，在3組不同倒棱參數(shù)下，倒棱的形狀誤差不超過 0.05 mm，切實提高了倒棱精度，且倒棱大小可根據(jù)刀具軌跡方程進行調(diào)整，驗證了本文倒棱方法控制倒棱大小的精確性和靈活性.本文以小輪為研究對象，補足了單邊倒棱只研究大輪而忽視小輪的不足，得出的倒棱加工刀位計算公式，為下一步倒棱自動編碼軟件的開發(fā)提供了理論依據(jù).
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發(fā)達工業(yè)國家在齒輪倒棱技術上有較為成熟的經(jīng)驗，SAMPUTENSILI公司生產(chǎn)的SM2TA擠棱機以擠棱工藝加工熱前未淬硬齒輪的齒廓棱線部分；日本山陽研制的五軸雙曲面齒輪倒棱機，自動化程度較高且易操作[6]；K.M.Ribbeck等[7]在刀盤上安裝多把刀具，通過刀盤與工件旋轉(zhuǎn)完成螺旋錐齒輪的倒棱加工.國內(nèi)部分學者對倒棱問題也進行了研究，徐彥偉等[8]提出了采用錐形砂輪實現(xiàn)弧齒錐齒輪大輪齒頂?shù)估?；李佳等[9]提出了旋分倒棱技術，該方法需要1個平移和3個旋轉(zhuǎn)運動聯(lián)動；魏巍等[10]提出的盤形刀具的弧齒錐齒輪齒頂?shù)估饧庸し椒?，可同時加工兩邊倒棱，但形狀誤差較大，達0.5 mm.劉景成[11]提出采用盤狀銑刀的弧齒錐齒輪單邊倒棱加工方法，加工精度可達0.07 mm，但該方法僅適用于大輪.上述研究大多以雙邊倒棱為基礎，著重提高倒棱效率，對于倒棱精度的重視不夠.鑒于此，本文擬以小輪為對象，提出基于錐形刀具的螺旋錐齒輪齒頂?shù)估饧庸し椒?，即通過建立齒頂棱線方程，設置倒棱參數(shù)，對錐形刀具軌跡進行求解計算，從而實現(xiàn)倒棱大小的靈活控制，同時提高倒棱精度.
1 齒頂棱線方程的建立
1.1 錐形刀具倒棱加工原理
螺旋錐齒輪形體復雜，但根據(jù)成型原理，可將螺旋錐齒輪看作是由一個個齒形截面(見圖1)銜接構成的，所有截面均垂直于齒向曲線，因為齒頂棱線依據(jù)齒向線生成，所以這些截面近似垂直于齒頂棱線.
錐形刀具倒棱加工，實質(zhì)上是指刀具切削側(cè)刃沿齒頂做切削運動的加工.錐形刀具在進行倒棱加工時，刀具走向與齒頂棱線密切相關，其軌跡求解流程為：根據(jù)垂直于齒頂棱線的齒形截面對倒棱參數(shù)進行計算，得出刀具倒棱加工軌跡.因計算的需要，應首先對齒頂棱線方程[12]進行求解.
1.2 齒頂棱線方程的推導
本文以一對螺旋錐齒輪副的小輪為例來研究倒棱加工.由文獻[13]可知，其齒頂棱線方程為
圖1 齒形截面Fig.1 Tooth section
①
其中，Lx為齒線上任一點錐距，hax為棱線任一點齒頂高，δ為節(jié)錐角，t為齒線任一點轉(zhuǎn)角，PC為節(jié)錐頂點與頂錐頂點的距離.
1.3 齒頂棱線方程的驗證
取一對螺旋錐齒輪副的小輪參數(shù)并創(chuàng)建模型，進行齒頂棱線和后續(xù)倒棱的計算和驗證.螺旋錐齒輪參數(shù)分別為：齒數(shù)15，大端模數(shù)6，外錐距95.29 mm，節(jié)錐角28.18°，壓力角20°，螺旋角39.87°，齒頂高4.2 mm，齒根高5.4 mm.在UG中根據(jù)基本參數(shù)構建的螺旋錐齒輪三維模型如圖2所示.
提取三維模型中一條齒頂棱線的30個點(即圖2所示模型上的棱線點集)，在Matlab中與式①齒頂線方程進行比對，齒頂棱線方程驗證結果如圖3所示.由圖3可以看出，齒頂棱線方程與三維模型中棱線提取的數(shù)據(jù)點基本重合，說明螺旋錐齒輪齒頂棱線參數(shù)方程與理論模型誤差不大，可以作為后續(xù)刀具軌跡計算的依據(jù).
2 刀具軌跡求解
2.1 局部坐標系原點與各軸矢量計算
將齒輪軸心線與坐標軸重合，使得給定主坐標系位于螺旋錐齒輪上頂部中心，且Z軸與軸心線一致.根據(jù)齒頂棱線分割的離散點，得出與離散點相同數(shù)量的棱線法平面，設離散點為O2(x0,y0,z0),對應齒頂棱線方程自變量t0，棱線法平面為P，則法平面方程[14]為
圖2 螺旋錐齒輪三維模型Fig.2 3D model of spiral bevel gear
x′(t0)·(x-x0)+y′(t0)·(y-y0)+
z′(t0)·(z-z0)=0
該法平面的法矢量v2=[x′(t0),y′(t0),z′(t0)]為局部坐標系的Y坐標軸矢量，法截面P與Z軸交點及矢量如圖4所示，其中法平面與螺旋錐齒輪軸線的交點O1即為所求的局部坐標系原點，該點在主坐標系中的坐標為O1(0,0,w)，根據(jù)平面與直線的交點關系，求得：
點O1與離散點連成的直線矢量作為局部坐標系的Z坐標軸矢量v3[x0,y0,z0-w]，因坐標系三矢量兩兩垂直，所以
因v1有無窮多解，可選取其中一個v1=[1，b,c]作為X軸矢量.
2.2 當量齒輪齒廓齒頂角度求解
圖3 齒頂棱線方程驗證結果Fig.3 Verification results of tooth top ridge equation
由于當量齒輪齒廓齒頂角度θ并不是一個定值，故它會隨著倒棱大小的改變而作微小改變.為提高刀具軌跡的精度，需要求解齒廓頂角θ與倒棱大小參數(shù)Ld1和Ld2之間的關系.而大多螺旋錐齒輪齒頂?shù)估馍疃仍?.2～0.5 mm之間，這遠遠小于齒輪的尺寸，所以齒頂?shù)估庑螤羁煽醋饕粋€三角形，即弧線近似為直線，根據(jù)漸開線與圓的性質(zhì)，可由螺旋錐齒輪的基本參數(shù)和給定的倒棱長度，求出齒廓頂角θ.螺旋錐齒輪當量齒輪參數(shù)如圖6所示.在圖6的坐標系下，齒頂角求解過程如下.
圖4 法截面P與Z軸交點及矢量Fig.4 Intersection point and vector of normal section P and Z axis
圖5 單齒截面與倒棱參數(shù)Fig.5 Single tooth section and chamfer parameters
1)首先求解漸開線與齒頂圓的交點坐標，根據(jù)漸開線方程計算得O3坐標：
O3=[x3,y3]=[Rj·sinα0-Rj·α0·cosα0,Rj·cosα0+Rj·α0·sinα0]
2)根據(jù)弧長Ld1和Ld2可以計算出點H和點G的坐標，計算可得
H=[xh,yh]=
[x3·cosφ-y3·sinφ,x3·sinφ+y3·cosφ]
G=[xg,yg]=
[Rj·sinσ-Rj·σ·cosσ,Rj·cosσ+Rj·σ·sinσ]
3)聯(lián)立O3，H，G這3點的坐標即可求出齒頂角，即
圖6 螺旋錐齒輪當量齒輪參數(shù)Fig.6 Equivalent gear parameters of spiral bevel gear
②
2.3 刀位點在副坐標系的坐標求解
刀位點與刀軸矢量如圖7所示，其中，O2為倒棱曲線上離散點，在副坐標系下坐標為[0,0,r]，倒棱形狀可看成三角形，線段O2D可看成與X2軸平行，O2D=Ld1，O2C=Ld2，設定刀具角度為δ，刀尖露出長度BC=Lt.根據(jù)平面幾何關系，求出刀位點B和刀軸矢量上A的坐標.
先求出三角形的內(nèi)角：
③
據(jù)此可以求出γ角：
④
其中
⑤
根據(jù)式②—⑤，可以得出B點和A點的坐標分別為
B=[-lBE,0,r-lO2E]=
[-lBO2·sinγ,0,r-lBO2·cosγ]
圖7 刀位點與刀軸矢量Fig.7 Tool point and tool axis vector
2.4 坐標轉(zhuǎn)換
將副坐標系下的刀位點坐標轉(zhuǎn)換為主坐標系下的坐標，以便于生成加工代碼.
首先將副坐標系各軸矢量轉(zhuǎn)換為單位矢量，轉(zhuǎn)換后單位矢量為v11=[ux,uy,uz]，v21=[mx,my,mz]，v31=[nx,ny,nz].設某點在主坐標系下坐標為(x,y,z)，在副坐標系下坐標為(xf,yf,zf)，副坐標系坐標原點為O1(0,0,w)，據(jù)此可以構建一個如下的線性方程組：
因此，副坐標系點轉(zhuǎn)為主坐標系坐標的轉(zhuǎn)換矩陣為
A，B兩點在主坐標系下的坐標可由轉(zhuǎn)換矩陣T求出：
AZ=T·AT
⑥
BZ=T·BT
⑦
由一個個刀尖點BZ組成刀尖軌跡.
刀軸矢量為
⑧
由式⑥—⑧即可確定刀具軌跡.
3 仿真實驗與結果分析
為檢驗本文提出的倒棱加工方法的有效性，進行了仿真實驗.通過對仿真模型數(shù)據(jù)的提取，計算出法截面和齒頂棱線與倒棱邊界線交點之間的距離，并與倒棱大小參數(shù)進行比對分析.
3.1 倒棱參數(shù)設置與仿真步驟
設置3組倒棱參數(shù)：Ld1=Ld2=0.3 mm；Ld1=0.2 mm，Ld2=0.3 mm；Ld1=0.3 mm，Ld2=0.2 mm.錐形刀具參數(shù)為Φ4×90°×50×3F，刀尖露出長度Lt=0.5 mm.在Matlab中，根據(jù)式⑥—⑧編寫由齒頂棱線離散點轉(zhuǎn)換為倒棱刀位點和刀軸矢量的程序，并后置處理得到數(shù)控加工代碼，而后在數(shù)控機床加工仿真軟件VERICUT平臺上建立倒棱加工仿真模型，即可進行仿真.
在軟件VERICUT中導入機床模型文件，在機床轉(zhuǎn)臺位置添加齒輪模型(齒輪模型參數(shù)見1.3)，并設置坐標系統(tǒng)csys(0，0，0).然后添加錐形刀刀具模型，刀具編號設置為1，控制點設置為刀尖，在添加數(shù)控仿真代碼后，進行加工仿真.倒棱切削模型如圖8所示，其中倒棱切削位置兩端的曲線為倒棱邊界線.將VERICUT切削模型導出，在UG中打開并提取兩端倒棱仿真邊界曲線.
3.2 誤差評價指標與結果分析
UG中的倒棱仿真邊界曲線與齒頂棱線如圖9所示，其中，中間曲線為輪齒右側(cè)齒頂棱線，兩端為倒棱仿真邊界曲線.在齒頂棱線上均勻分布20個離散點，以這些離散點確定齒頂棱線法平面，法平面與兩端倒棱邊界線相交得到
圖8 倒棱切削模型Fig.8 Chamfer cutting model
位于同一法平面的點U和L.將點U與點T之間的空間距離設為齒頂距離Dd1，T點與L點之間的空間距離設為齒面距離，倒棱形狀誤差可由如下公式進行定義：
e=max(|Dd1-Ld1|,|Dd2-Ld2|)
根據(jù)設置的3組倒棱參數(shù)進行仿真并比對，倒棱形狀誤差結果如圖10所示.由圖10可以看出，3組不同參數(shù)的倒棱的形狀誤差最大值皆出現(xiàn)在齒頂中部，而向兩端的形狀誤差都是呈逐漸變小的趨勢，說明倒棱刀具軌跡在齒頂中部的形狀誤差最大，在齒頂上下兩端的形狀誤差最??；3組倒棱形狀誤差均不大，最大形狀誤差≤0.05 mm，遠小于文獻[10-11]的誤差，說明錐形刀具倒棱確實提高了倒棱精度，且在刀位點和刀軸矢量方程中調(diào)整倒棱大小參數(shù)可靈活控制倒棱大小.本文方法中錐形刀具強度高、壽命長，具有成本低、耐用度高的優(yōu)點，且該方法可在通用五軸機床上實現(xiàn)，無需專用機床，加工靈活性較高.
圖9 倒棱仿真邊界曲線與齒頂棱線Fig.9 Chamfer simulation boundary line and tooth crest line
圖10 倒棱形狀誤差結果Fig.10 Result of chamfer shape error
4 結語
本文提出基于錐形刀具的螺旋錐齒輪齒頂?shù)估饧庸し椒?，根?jù)齒頂棱線方程和倒棱參數(shù)的設置，對錐形刀具的刀位點和刀軸矢量進行了公式推導，進而求解刀具加工軌跡.仿真結果表明，在3組不同倒棱參數(shù)下，倒棱的形狀誤差不超過 0.05 mm，切實提高了倒棱精度，且倒棱大小可根據(jù)刀具軌跡方程進行調(diào)整，驗證了本文倒棱方法控制倒棱大小的精確性和靈活性.本文以小輪為研究對象，補足了單邊倒棱只研究大輪而忽視小輪的不足，得出的倒棱加工刀位計算公式，為下一步倒棱自動編碼軟件的開發(fā)提供了理論依據(jù).
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