歐陽柏平, 肖勝中

(1.廣州華商學院 數據科學學院,廣東 廣州 511300;2.廣東農工商職業(yè)技術學院 科研處,廣東 廣州 510507)

0 引言

考慮非線性非局部拋物方程解的初邊值問題

(1)

同時假設a(x),f(s),g(ζ)滿足條件

a(x)>0, 01,a1>0,s>0,

0≤g(ζ)≤bζq,b>0,ζ≥0,q>1。

(2)

方程(1)可以用來描述物理學中多孔介質力學、流體力學、氣體流量、熱傳導和生物種群理論等反應擴散問題[1-3]。自Payne[4]對有關拋物方程解的爆破現(xiàn)象進行開創(chuàng)性研究之后,短短幾十年間,出現(xiàn)了大量文獻研究拋物方程和拋物系統(tǒng)解的爆破問題。起初,學者們主要是針對帶局部項的爆破問題,其涉及的邊界條件主要集中在齊次邊界條件(比如Dirichlet條件和Neumann條件)以及Robin邊界條件[5-9],考慮的空間維數也集中在R3上。之后,有學者研究在非線性邊界條件下以及系數依賴于時間的解的爆破問題[10-18]。其他有關偏微分方程(比如高階的柯西問題)爆破問題研究可參考文獻 [19-22]。近來發(fā)現(xiàn)很多非局部項的數學模型比局部項的數學模型更具有實際意義。而許多局部項的數學理論和數學方法不再適用于非局部項的數學模型,需要尋求解決非局部項的數學模型的理論和方法。目前有關非局部項的拋物方程和拋物系統(tǒng)的研究主要是在Robin邊界條件和齊次Dirichlet邊界條件下進行[23-24]。在有關爆破發(fā)生時爆破時間界估計的問題中,研究爆破發(fā)生時解的爆破時間上界的方法很多,而關于爆破時間下界的辦法卻有限且困難。

文獻 [23]研究了半線性反應-擴散問題得到在適當的條件下解的全局性以及解的爆破時間的上下界。受文獻 [23]的啟發(fā),本文研究問題(1)-(2)下解的爆破現(xiàn)象。

目前,有關空變系數的非局部拋物方程在非線性邊界條件下解的爆破時間下界估計的研究成果相對較少。其難點是如何構造一個恰當的能量函數,使得在非線性條件下高維空間上找到空變系數對爆破問題解的影響。對此,本文采用修正的微分不等式技巧以及Sobolev嵌入不等式方法,導出在高維空間上非線性條件下爆破發(fā)生前提下解的爆破時間下界估計。

1 爆破時間的下界

本節(jié)需要用到Sobolev不等式[25]

(3)

其中C=C(n,Ω)是一個與n和Ω有關的Sobolev嵌入常數。

定義輔助函數

(4)

建立如下定理:

定理假設u(x,t)是問題(1)-(2)在有界凸區(qū)域Ω的經典非負解,則(4)式中定義的能量滿足微分不等式

φ′(t)≤K1φ(x)+K2φ(x)ξ+K4,

由此可得爆破時間t*的下界為

其中K1,K2,K4,ξ將在后面定義。

為證明上述定理,首先證明下面的引理。

引理假設u(x,t)是問題(1)-(2)在有界凸區(qū)域Ω的經典非負解,則(4)式中定義的能量滿足

引理的證明運用散度定理,首先對(4)式求導數得

(5)

對于(5)式第一項,由散度定理和(2)式,有

(6)

n為?Ω的單位外法向量。

對于(6)式右邊第一項,取

由H?lder不等式和楊氏不等式,有

(7)

對于(6)式第二項,由H?lder不等式和楊氏不等式,有

(8)

其中ε1是在后面會定義的正數。

對于(6)式第三項,由H?lder不等式和楊氏不等式,有

(9)

其中ε2是在后面會定義的正數。

聯(lián)立(6)式-(9)式,得

(10)

聯(lián)立(5)和(10)式,有

(11)

對于(11)式右邊第五項,取

由H?lder不等式及(3)式,得到

(12)

ε3是在后面會定義的正數。

(13)

聯(lián)立(11)式-(13)式,得

(14)

對于(14)式右邊第一項,取

由H?lder不等式及(3)式,得到

(15)

其中ε4是在后面會定義的正數。

又由(13)式,可得

(16)

其中ε5是在后面會定義的正數。

(17)

由(14)式和(17)式,得

(18)

K2=2(σr3+(σr4+σa1λ2)x12)+λ6+σa1λ3,

K3=2(σr3+(σr4+σa1λ2)x12)λ7+(σr5+σa1λ4),

選擇合適的ε1,ε2,ε3,ε4,使得K3=0,于是(18)式可化為

φ′(t)≤K1φ(x)+K2φ(x)ξ+K4,

(19)

(20)

引理得證。

定理的證明由引理,對(20)式積分可得

(21)

定理得證。

本文是在古典意義下研究的解的爆破問題,其結論對于在Neumann邊界條件下的弱解的情況也是成立的。