來 鑫，李云飛，鄭岳久，王晶晶，孫 濤，周 龍

（上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093）

前言

鋰離子電池由于其能量密度高、壽命長、環(huán)境友好等優(yōu)點(diǎn)，作為動力源在新能源汽車中得到廣泛應(yīng)用［1-2］。為保證鋰電池安全可靠工作，設(shè)計了電池管理系統(tǒng)對鋰電池進(jìn)行實(shí)時監(jiān)控與管理，而電池狀態(tài)估計是電池管理系統(tǒng)的基礎(chǔ)和核心。由于鋰電池的動態(tài)非線性特性，近年來對鋰電池的荷電狀態(tài)（state of charge，SOC）、功率狀態(tài)（state of power，SOP）、健康狀態(tài)（state of health，SOH）等狀態(tài)的準(zhǔn)確估計已成為學(xué)術(shù)熱點(diǎn)和工程難點(diǎn)。國內(nèi)外關(guān)于鋰電池狀態(tài)估計的研究成果非常豐富，這些研究大多是以鋰電池模型為基礎(chǔ)的。鋰電池模型包括電化學(xué)模型、等效電路模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型等，其中等效電路模型由于結(jié)構(gòu)簡單、精度較高等優(yōu)點(diǎn)被廣泛采用。文獻(xiàn)［3］從精度、復(fù)雜度、穩(wěn)定性和魯棒性等多個維度比較了11種等效電路模型，結(jié)果表明2階RC模型是較理想的選擇。SOP 估計的主要方法包括基于Map 圖和基于電池模型的動態(tài)估計方法，而基于電池模型的SOP估計大多基于1階與2階RC模型［4-7］。

無論是SOC 還是SOP估計，都須以電池的SOCOCV曲線作為標(biāo)準(zhǔn)來對模型參數(shù)進(jìn)行辨識和端電壓估計。例如，目前廣泛采用的基于擴(kuò)展卡爾曼濾波算法（extended Kalman filter，EKF）［8］的SOC 估計算法中，需要SOC-OCV 曲線作為標(biāo)定參數(shù)，端電壓作為反饋信號，對SOC估計值進(jìn)行閉環(huán)修正；在SOP估計中，端電壓的準(zhǔn)確性直接影響SOP 估計的精度。因此，準(zhǔn)確的SOC-OCV 曲線對提高狀態(tài)估計的精度至關(guān)重要。目前，確定SOC-OCV 曲線的方法有很多。常用的方法是基于混合脈沖功率（hybrid pulse power characterization，HPPC）測試，該方法的基本流程是將電池放電到測試點(diǎn)后，將電池充分靜置，用上位機(jī)測得此測試點(diǎn)處的OCV，并以此循環(huán)下去。該方法在測試點(diǎn)得到的OCV 很準(zhǔn)確，但是耗時嚴(yán)重，一個21 個測試點(diǎn)的HPPC 測試大約需要89 h。為了節(jié)省時間，一般先在離散測試點(diǎn)（如每隔10%SOC）做HPPC 測試，而其他SOC 對應(yīng)的OCV 采用分段線性插值法獲得。但是，插值得到的OCV 并不符合電池的特性（特別在低SOC 區(qū)域OCV 曲線的非線性嚴(yán)重）。而小電流恒流放電法測量OCV 曲線是連續(xù)測量，但由于電池沒有被靜置造成準(zhǔn)確性不足。不準(zhǔn)確的SOC-OCV 曲線會導(dǎo)致辨識得出的等效電路模型的模型參數(shù)不準(zhǔn)確，從而影響電池端電壓估計和電池狀態(tài)估計的準(zhǔn)確性。

針對HPPC 測試獲得SOC-OCV 曲線在非測試點(diǎn)特別是低SOC區(qū)域由于非線性嚴(yán)重帶來的精度不足問題，本文中提出了一種SOC-OCV 曲線優(yōu)化方法。該方法融合HPPC 方法得出的OCV 曲線在測試點(diǎn)的精確性與小電流恒流放電法得出的OCV 曲線在趨勢上的準(zhǔn)確性，利用粒子群優(yōu)化算法（particle swarm optimization，PSO）對SOC-OCV 曲線進(jìn)行優(yōu)化。并據(jù)此對等效電路模型參數(shù)進(jìn)行辨識和端電壓全SOC 區(qū)域估計。以優(yōu)化的SOC-OCV 曲線作為基礎(chǔ)，在NEDC 動態(tài)工況下利用EKF 算法對鋰電池的SOC 進(jìn)行全局估計。試驗(yàn)表明，整個SOC 區(qū)域內(nèi)的SOC 估計誤差都在2%以內(nèi)，驗(yàn)證了所提出的SOCOCV曲線優(yōu)化方法的有效性。

1 鋰離子電池模型與動態(tài)工況試驗(yàn)

1.1 鋰電池建模

鋰離子電池模型是其狀態(tài)估計的基礎(chǔ)。模型的選取要考慮模型的精度和復(fù)雜度等因素的影響。由于電化學(xué)模型涉及內(nèi)部反應(yīng)機(jī)理，模型復(fù)雜，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用需要大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，目前都不適合鋰離子電池狀態(tài)的在線估計。等效電路模型具有模型簡單、物理意義清晰、模型精度較高等優(yōu)點(diǎn)［9］，而2 階RC 模型是常用的等效電路模型，因此，本文中采用2 階RC 模型來描述電池的動態(tài)特性。2階RC等效電路模型如圖1所示。

圖1 2階RC模型示意圖

圖1 中，UOCV為理想電壓源；R0為歐姆內(nèi)阻；R1和R2為極化內(nèi)阻；C1和C2為極化電容；I為流經(jīng)歐姆內(nèi)阻的電流；U1和U2為極化內(nèi)阻的端電壓；端電壓為Ut，時間常數(shù)τ1= R1C1，τ2= R2C2。根據(jù)電路原理，2階RC模型的數(shù)學(xué)方程如下：

1.2 鋰離子電池動態(tài)工況試驗(yàn)

本文中以某公司標(biāo)稱容量為72.8 A·h 的三元軟包電池作為試驗(yàn)對象，該電池參數(shù)如表1 所示。電池試驗(yàn)平臺由上位機(jī)、電池測試系統(tǒng)、恒溫箱等組成，如圖2 所示。上位機(jī)監(jiān)測軟件可實(shí)時記錄電池電流電壓等信息。本文中的試驗(yàn)均在25 ℃環(huán)境下進(jìn)行。

表1 試驗(yàn)電池的基本參數(shù)

圖2 電池試驗(yàn)平臺

首先對電池進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)容量測試，取3 次循環(huán)后的平均容量作為該電池的標(biāo)準(zhǔn)容量。然后對電池進(jìn)行HPPC 測試［10］。首先將電池置于25 ℃環(huán)境下恒流恒壓充滿，擱置3 h，然后以1C 倍率進(jìn)行恒流放電，放電時間為30 s，擱置40 s；接著以1C 倍率進(jìn)行恒流充電，充電時間為30 s，擱置30 min，最后以1/3C 恒流放電18 min，擱置3 h。以此為一個循環(huán)。本文中通過11 個脈沖循環(huán)的HPPC 測試獲得每隔10%SOC的OCV 值，再將各OCV 值進(jìn)行分段線性插值，得到SOC-OCV 曲線，如圖3（a）所示。最后，進(jìn)行放電倍率為1/30C 的恒流放電試驗(yàn)。當(dāng)放電倍率較小時，內(nèi)阻對曲線的影響較小，由此可得到全SOC 區(qū)域上的SOC-OCV曲線，如圖3（b）所示。

圖3 不同方法得到的SOC-OCV曲線

為了對等效電路模型的參數(shù)進(jìn)行辨識，并驗(yàn)證所提出OCV 曲線優(yōu)化方法的有效性，開展了25 ℃環(huán)境溫度下的新標(biāo)歐洲循環(huán)測試（new European driving cycle，NEDC）動態(tài)工況試驗(yàn)。試驗(yàn)過程如下：首先在25 ℃環(huán)境溫度下將電池以恒流恒壓方式充滿，然后對電池進(jìn)行NEDC 動態(tài)工況試驗(yàn)。NEDC動態(tài)工況下試驗(yàn)得到的電壓變化如圖4所示。

圖4 NEDC動態(tài)工況下電池電壓變化

2 SOC-OCV曲線優(yōu)化原理與結(jié)果

2.1 SOC-OCV曲線優(yōu)化原理

HPPC 測試所得到的SOC-OCV 曲線在測試點(diǎn)具有很高的精度，但得出的OCV 是離散的，測試點(diǎn)的多少直接影響SOC-OCV 曲線的全局精度。而且，HPPC測試需要較長時間，因此一般采用的方法是通過等SOC 間隔測試獲得OCV，其他SOC 點(diǎn)處的OCV通過線性插值得到。但是，這種線性插值得到的OCV 并不能反映電池的特性，特別是在低SOC 區(qū)域OCV 變化率很大。而小電流恒流方法得出的OCV曲線是連續(xù)變化的，但是由于電池持續(xù)放電而沒有得到充分靜置，所以存在精確性不足的問題。本文中融合以上兩種方法的優(yōu)點(diǎn)，提出一種基于PSO 算法的SOC-OCV曲線優(yōu)化方法。

所提出的SOC-OCV 曲線優(yōu)化算法的原理如圖5 所示，該算法的基本過程是：首先，在全SOC 區(qū)域內(nèi)對電池進(jìn)行HPPC 測試（每隔10%取一個測試點(diǎn)）和小電流（1/30C）恒流放電測試，這樣就分別得到了兩條SOC-OCV 曲線。然后，將小電流恒流放電測試得到的SOC-OCV 曲線進(jìn)行平移和優(yōu)化，優(yōu)化的目標(biāo)是使平移后的SOC-OCV 曲線與HPPC 測試的SOCOCV曲線在所有測試點(diǎn)的誤差之和最小。優(yōu)化時分別以小電流恒流放電得到的SOC 和OCV 為自變量，使其沿x軸和y軸方向平移得到優(yōu)化的SOC和OCV。優(yōu)化后的SOC與OCV的表達(dá)式分別為

式中：s 和u 分別為優(yōu)化后的SOC 和OCV；s1和u1分別為小電流恒流放電得到的SOC 和OCV；w1和w2為加權(quán)系數(shù)；C為常量。

式（4）和式（5）中，w1?C 和w2?C 為平移量，常量C 的取值理論上并無限制，只會影響w1和w2的大小，本文中C 取-2.37。因此，優(yōu)化SOC-OCV 曲線的關(guān)鍵是求取最優(yōu)的加權(quán)系數(shù)w1和w2，這實(shí)際上是一個最優(yōu)化問題，優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為

式中：G 為所求的優(yōu)化SOC-OCV 曲線在11 個HPPC測試點(diǎn)的OCV 和SOC 誤差之和；D1(i)與D2(i)的表達(dá)式分別如式（7）和式（8）所示。

式中：s(i)和sHPPC(i)分別為第i 個測試點(diǎn)處優(yōu)化后和HPPC 測試的SOC；u(i)和uHPPC(i)分別為第i 個測試點(diǎn)處優(yōu)化后和HPPC測試得出的OCV。

圖5 SOC-OCV曲線優(yōu)化示意圖

2.2 PSO算法

本文中采用PSO 算法對于如式（6）所示的優(yōu)化問題進(jìn)行求解。在PSO 算法中，由粒子表示的潛在解通過跟蹤最優(yōu)粒子飛過問題空間，在D 維搜索空間中，由n 個粒子組成群，其中第i 個粒子位置

表示為D 維向量Xid=(xi1，xi2，...，xiD)T，其速度表示為Vid=(vi1，vi2，...，viD)T，單 個 極 值 表 示 為 Pid=(pi1，pi2，...，piD)T，群極值表示為Pgd=(pg1，pg2，...，pgD)T，迭代過程中的粒子速度與位置更新之間存在如下關(guān)系［11］：

式中：ω 為慣性權(quán)重；d=1，2，…，D；i=1，2，…，n；k 為當(dāng)前迭代次數(shù)；c1、c2為加速度系數(shù)；r1、r2為服從（0，1）內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

PSO 算法的計算流程如表2 所示。PSO 與常用的遺傳算法（genetic algorithm，GA）一樣，都是隨機(jī)搜索算法，但是PSO 是一種更加高效的并行搜索算法，并且它能變速度搜索，避免了復(fù)雜的遺傳操作，所以PSO比GA具有更高的求解效率，在工程中得到了廣泛應(yīng)用。

表2 PSO算法的計算流程

2.3 SOC-OCV曲線優(yōu)化結(jié)果

利用PSO 算法對1.2 節(jié)中HPPC 測試得出的SOC-OCV 曲線進(jìn)行優(yōu)化。優(yōu)化得出的w1和w2分別為0.001 1 和-0.003 6。優(yōu)化得出的SOC-OCV 曲線如圖6所示?？梢钥闯觯蒆PPC 測試點(diǎn)線性插值得出的OCV 曲線比較簡單，但在非測試點(diǎn)的線性插值并不滿足電池的非線性特性，特別是在低SOC 區(qū)域內(nèi)誤差較大。另外，對HPPC 測試點(diǎn)進(jìn)行樣條插值或擬合得到OCV曲線也是常用的方法。

圖6 3種方法得出的OCV曲線對比

采用三次樣條插值得到的OCV 曲線如圖6中的虛線所示，可以看出該方法得出的OCV 曲線也同樣不滿足電池的非線性特征。經(jīng)過優(yōu)化后的OCV 曲線不僅具有在HPPC 測試點(diǎn)的準(zhǔn)確性，而且在非測試點(diǎn)符合電池的非線性特性（特別是在低SOC 區(qū)域）。為避免繁瑣，僅對線性插值方法得到的OCV曲線與優(yōu)化方法獲得的OCV曲線進(jìn)行對比。

3 等效電路模型端電壓估計

為了驗(yàn)證所提出的OCV 曲線優(yōu)化方法的有效性，本文中對動態(tài)工況下等效電路模型的端電壓進(jìn)行估計。在端電壓估計之前，須在動態(tài)工況下對等效電路模型的模型參數(shù)進(jìn)行辨識與優(yōu)化。由1.1 節(jié)的2階RC模型可知，須辨識的參數(shù)有6個，分別為充放電歐姆內(nèi)阻R0_cha與R0_dch、極化內(nèi)阻R1與R2和時間常數(shù)τ1與τ2。本文中采用PSO 算法對這6 個參數(shù)進(jìn)行全SOC區(qū)域辨識與優(yōu)化。優(yōu)化的目標(biāo)是模型端電壓和試驗(yàn)端電壓的均方根誤差（root mean square error，RMSE）最小，即

模型參數(shù)辨識結(jié)果如表3 所示?？梢钥闯鲈谡麄€SOC區(qū)域內(nèi)，除了SOC＜10%的區(qū)域，RMSE均小于5 mV，說明辨識得出的模型參數(shù)具有很高的精度。

為了驗(yàn)證優(yōu)化的OCV 曲線和辨識得出模型的有效性，在NEDC 動態(tài)工況下對全SOC 區(qū)域的2 階RC 模型端電壓進(jìn)行估計，并對基于優(yōu)化OCV 與基于HPPC 測試估計出的模型端電壓進(jìn)行比較，結(jié)果如圖7 所示。圖8 為兩種方法得出的OCV 曲線下模型端電壓估計的RMSE。從圖7 與圖8 可知，與HPPC 測試法相比，基于優(yōu)化OCV 曲線得出的模型端電壓在高SOC 區(qū)域（SOC>80%）和低SOC 區(qū)域（SOC＜20%）具有更高的精度（特別在低SOC 區(qū)域），在其他SOC 區(qū)域兩種方法得出的模型精度相當(dāng)。

表3 參數(shù)辨識結(jié)果

圖7 NEDC動態(tài)工況下模型端電壓對比

4 基于優(yōu)化SOC-OCV 曲線的SOC估計

4.1 擴(kuò)展卡爾曼濾波器

常用于SOC 估計的算法包括龍貝格觀測器［12］、滑膜觀測器［13］、卡爾曼濾波系列算法［14］、粒子濾波算法［15］等。其中EKF 算法除具有卡爾曼濾波算法精度高、魯棒性好等優(yōu)點(diǎn)外，還具有適用非線性系統(tǒng)的優(yōu)點(diǎn)，近年來在SOC 估計中得到廣泛應(yīng)用?；贓KF 的SOC 估計原理示意圖見圖9，先對SOC 利用安時積分法進(jìn)行預(yù)估，再將預(yù)估值作為2 階RC 模型的輸入，計算出模型誤差，最后對SOC預(yù)估值進(jìn)行反饋修正。

圖8 NEDC動態(tài)工況下端電壓的RMSE

圖9 基于EKF的SOC估計原理示意圖

對于一個動態(tài)非線性系統(tǒng)，一般可以用以下狀態(tài)空間模型進(jìn)行描述：

對如圖1 所示的2 階RC 等效電路模型，結(jié)合安時積分法，以SOC、U1、U2作為狀態(tài)變量，充放電電流I 作為輸入量，端電壓Ut作為輸出量，得到離散化的狀態(tài)空間方程：

式中：Δt 為采樣周期；C0為電池容量；UOCV為開路電壓；wk和vk分別為電流、電壓的測量噪聲。

在此模型的基礎(chǔ)上，采用EKF 算法估計電池的SOC，EKF 算法的初始化和迭代估計方程如表4所示。

表4 EKF算法的迭代方程［8］

4.2 NEDC動態(tài)工況下SOC全局估計試驗(yàn)結(jié)果

根據(jù)上述辨識的2 階RC 模型參數(shù)和優(yōu)化的OCV 曲線，利用EKF 算法對全SOC 區(qū)域的SOC 進(jìn)行估計，并比較本文中所述的3 種OCV 曲線下的SOC估計結(jié)果，如圖10 所示?？梢钥闯鲈贜EDC 動態(tài)工況下：（1）基于小電流恒流放電的SOC 估計精度在除低SOC 區(qū)域外均差于另外兩種方法；（2）基于優(yōu)化的OCV 曲線的SOC 誤差在整個SOC 區(qū)間內(nèi)都小于2%，特別是在低SOC 區(qū)域取得滿意的估計精度；（3）基于HPPC 方法的OCV 曲線的SOC 估計誤差在全SOC 區(qū)域內(nèi)的某些區(qū)域（20%＜SOC＜60%）稍小于基于優(yōu)化OCV 的SOC 估計誤差，但是兩者誤差在0.5%以內(nèi)，并且在其它區(qū)域內(nèi)基于優(yōu)化OCV的SOC估計精度優(yōu)勢明顯（尤其在低SOC 區(qū)域）。因此，通過試驗(yàn)可以得出以下結(jié)論：經(jīng)過優(yōu)化的OCV 曲線能更好地描述電池的非線性特征，并能有效解決HPPC測試得出的OCV 曲線在高SOC 區(qū)域和低SOC 區(qū)域精度不足的問題。另外，利用EKF 算法對全SOC 區(qū)域的SOC 進(jìn)行估計，結(jié)果表明：基于優(yōu)化OCV 曲線的SOC估計具有優(yōu)異的全局精度。

圖10 NEDC動態(tài)工況下SOC估計

5 結(jié)論

本文中結(jié)合HPPC 測試法和小電流恒流放電法的優(yōu)點(diǎn)，提出了一種基于PSO 算法的OCV 曲線優(yōu)化算法，并據(jù)此對2 階RC 模型的模型參數(shù)進(jìn)行了辨識，在此基礎(chǔ)上利用EKF 算法對SOC 進(jìn)行了全區(qū)域估計，得出的結(jié)論如下。

（1）優(yōu)化后的OCV 曲線既具有HPPC 測試法在測試點(diǎn)的精度，在非測試點(diǎn)也能保持良好的非線性，而且能在整個SOC 區(qū)域上反映電池的非線性特性，具有較高的全局精度。

（2）模型參數(shù)辨識結(jié)果表明，與HPPC 測試法和小電流恒流放電法相比，基于優(yōu)化OCV 曲線估計得出的模型端電壓在高SOC區(qū)域和低SOC區(qū)域具有明顯的精度優(yōu)勢。在低SOC 區(qū)域，基于優(yōu)化OCV 曲線得到的模型誤差僅為基于HPPC 法得到的模型誤差的一半。

（3）NEDC 動態(tài)工況下的全區(qū)域SOC 估計結(jié)果表明，采用本文中所提出的優(yōu)化OCV 曲線能提高低SOC 區(qū)域和高SOC 區(qū)域的SOC 估計精度，在全SOC區(qū)域SOC估計誤差能保持在2%以內(nèi)。