周 娟,殷浩林,黃宇杭

(中國計量大學 質量與安全工程學院,浙江 杭州 310018)

六方軸因其具有良好的力學性能以及傳動特性,常用作于深井泵的轉軸[1]。六方軸的直線度直接影響著水泵的整體工作性能[2],直線度誤差較大時會導致泵體劇烈振動,降低水泵的運作性能,甚至產(chǎn)生安全事故。隨著科學技術水平的提高,水泵企業(yè)愈來愈注重滿足高精度、高效率的需求。因此,如何提升六方軸直線度誤差的評定精度與評定效率是亟待解決的問題。

目前,使用較為廣泛的六方軸直線度誤差測量方法為人工打表測量。這種方法比較依賴操作工的技術能力,需要花費大量培訓成本,測量效率較低,且測量精度無法得到保證。因此,相關學者對六方軸直線度的測量方法進行了大量研究。文獻[3]和文獻[4]采用計算機視覺技術、圖像識別與處理技術測量直線度誤差,該方法對于零件和CCD相機之間的相對位置精度要求較高,測量系統(tǒng)的裝配成本較高。文獻[5]利用激光位移傳感器并結合光學三角法進行位移測量,該方法測量精度較高,但所使用的激光傳感器需要通過導軌進行位置變換,容易產(chǎn)生較大誤差,若采用高精度導軌則會增加成本。文獻[6]提出了一種基于全站儀自由設站法的直線度測量方法,該方法采用兩端點連線法評定直線度誤差,魯棒性較差。文獻[7]對軸截面法進行了改進,提升了軸截面法測量軸直線度的精度,但只能對一個軸界面進行測量,無法反映整根軸的直線度誤差情況。文獻[8]采用滑臺結構使測量元件進行軸向移動,從而測量軸類零件直線度,該方法只能測量某一軸向截面上的直線度誤差,且滑臺精度要求較高。文獻[9]提出了一種基于最小二乘圓的圓柱體零件直線度誤差評定方法,并將軸的中心線偏移情況可視化。

本文基于多項式曲線擬合方法,提出了一種六方軸直線度誤差評定方法。通過位移傳感器測量六方軸各外表面的撓度偏移情況,將采集數(shù)據(jù)傳輸至計算機并進行運算處理,經(jīng)由多項式擬合獲得整根六方軸的中心線偏移情況,最后將曲線合成并計算得出六方軸直線度誤差。該方法提升了六方軸直線度誤差評定的效率,且保證了一定的精度。

1 測量方法與原理簡介

基于對六方軸直線度誤差測量的需求,本文提供了一種六方軸直線度測量機。本文所設計的六方軸直線度測量系統(tǒng)結構,通過左右兩端所設置的回轉測量模塊夾持待測六方軸,雙側裝夾可以減小軸心偏移矢量坐標的定位誤差;位移傳感器等距分布在待測六方軸下方采集數(shù)據(jù),傳感器通過固定裝置定位,從而提高采集數(shù)據(jù)的精確性。系統(tǒng)總體結構主要包括:氣動三爪卡盤、兩通旋轉接頭、位移傳感器及其支撐裝置、同步帶、感應開關、氣缸、伺服電機。

在實際測量時,兩通旋轉接頭接有通氣管,氣閥通氣動作可以控制氣爪元件抓取待測六方軸,并通過氣缸推進其至檢測工位;通過軟件控制旋轉驅動電機帶動氣爪元件夾持六方軸進行旋轉,卡盤中的三個槽對應六方軸等相鄰角度的三個外表面;每當卡槽經(jīng)過感應開關時會產(chǎn)生感應信號,控制器在接受感應信號后發(fā)送檢測指令使位移傳感器進行數(shù)據(jù)采集。

由于位移傳感器所采集的數(shù)據(jù)僅是六方軸每一外表面上的相對位移量,無法直接獲取直線度誤差,因此需要通過坐標轉換的方式將位移傳感器所采集的數(shù)據(jù)轉換為六方軸截面中心點的三維坐標,以此來計算六方軸直線度誤差。(需要通過相對面數(shù)據(jù)相減求解每組相對面方向上的撓度偏移量,經(jīng)坐標轉換為采樣點所在截面實際中心點的二維坐標,以便后續(xù)進行多項式曲線擬合)

將六邊形的六個外表面按順序編號為1至6依次標記,則標號為1的外表面與標號為4的外表面相對。同理,外表面2與5相對,外表面3與6相對。假設三組相對面方向定義為方向A,方向B,方向C。

以外表面1與4所對應的方向A為例,側頭測量動作示意圖如圖1。

圖1 測頭測量動作示意圖Figure 1 Schematic diagram of probe measuring action

位移傳感器所讀取數(shù)據(jù)分別為δ1和δ4,以第1面的撓度數(shù)據(jù)δ1作為基準,第4面的撓度數(shù)據(jù)δ4相對于δ1所產(chǎn)生的變化即為方向A上的偏移量,該偏移量Δ可表示為

(1)

可建立A、B、C三方向及x、y方向的復合坐標系如圖2。

圖2 截面中心點偏移復合坐標系示意圖Figure 2 Composite coordinate system diagram of center point migration of section

軸心O′的位置可使用兩種不同的方式進行描述,分別為O′(δA,δB,δC)及O′(δx,δy)。若記點O′到坐標原點O的距離為δO′,則兩組不同的坐標之間的關系可用如下公式來表達:

δA=sinθ·δO′=δy,

(2)

(3)

(4)

將上式轉換為矩陣形式為

(5)

記:

(6)

矩陣H的廣義逆矩陣如下:

(7)

則(δx,δy)可表示為

(8)

(9)

通過上式計算可獲得所有測量點相對于理想六方軸中心線的偏移位置坐標,并以此建立xyz三維坐標系如圖三。

圖3 六方軸xyz三維坐標系Figure 3 Hexagonal axis xyz three-dimensional coordinate system

將點分別投影到xz平面與yz平面上,再通過曲線擬合技術取得六方軸在xz方向和yz方向的總體偏移情況,根據(jù)后續(xù)相應公式即可計算六方軸的直線度誤差。

2 多項式曲線擬合測量算法

多項式曲線擬合方法廣泛應用于軸類零件的直線度誤差測量,當測量點較少時也可求解整根軸的中心線偏移情況。

2.1 總體算法思路

計算機在讀取位移傳感器所測得的數(shù)據(jù)后,首先需要對數(shù)據(jù)進行預處理。預處理的主要目的是將所測量的原始數(shù)據(jù)轉化為x和y方向上的偏移量,這兩個偏移量即可與測量點位置z組合成為xyz三維坐標系。

接下來將三維問題轉化為二維問題進行求解。對xz和yz兩個平面上的點進行多項式擬合,分別得到x=h(z)和y=g(z),則可獲取六方軸在這兩個投影面上的中心線偏移情況。若兩個多項式函數(shù)都沒有發(fā)生過擬合情況,可通過其計算六方軸直線度誤差;若在過擬合檢測與殘差檢測中出現(xiàn)異常情況,如測量直線度誤差數(shù)值過大或殘差分布異常等現(xiàn)象,則重新進行測量。

總體算法流程圖如下圖所示:

圖4 整體算法流程圖Figure 4 Flow chart of overall algorithm

2.2 多項式擬合原理

完成采樣點的數(shù)據(jù)采集后,需要對其進行多項式曲線擬合,最終計算出直線度誤差。

根據(jù)泰勒定理,假設六方軸中心曲線是一個無窮多項式:

y=f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn。

(10)

其中,a0,a1,…,an為每一項的系數(shù)。

式(10)中,x為傳感器所處的位置,9個傳感器同時進行測量,一共可獲得11組數(shù)據(jù)(加上夾持端);而y是隨著采樣點位置變化而變化的中心線偏移量。將一組采集數(shù)據(jù)定義為(xi,yi)(i=1,2,…,11),求解y=f(x)的一個近似表達式y(tǒng)=g(x),計算公式如下:

(11)

根據(jù)最小二乘法原理,令(xi,yi)(i=1,2,…,11)對擬合函數(shù)y=g(x)的偏差平方和δ達到最小,計算公式如下:

(12)

將11組數(shù)據(jù)代入式(11)中,則可得:

(13)

記:

(14)

(15)

(16)

根據(jù)式(14)、(15)、(16),將式(13)轉換為:Cα=γ。建立正規(guī)方程:

CTCα=CTγ。

(17)

該正規(guī)方程為aj(j=1,2,3,…,n)的線性方程組。若系數(shù)行列式|CTC|不為0,則可求得方程組(13)的位移最優(yōu)近似解,使得y=g(x)的偏差平方和δ取得最小并求解該擬合函數(shù)。

由六方軸直線度檢測原理可知,x1,x2,…,x9互不相同,式(16)矩陣C的秩為n+1,則CTC非奇異,說明方程組(13)的解存在且唯一。

2.3 直線度誤差評定方法

常用的平面直線度評定方法有兩端連線法、最小二乘法和最小包容區(qū)域法[10],這三種方法都依據(jù)采樣點到基準軸線的上下偏離值之和|hmax-hmin|來表示直線度誤差[11]。如圖5。

圖5 直線度判定示意圖Figure 5 Schematic diagram of straightness evaluation

根據(jù)上述兩個多項式函數(shù)確定六方軸中心線與基準軸線的最大、最小偏差值,計算公式如下:

(18)

其中,S(z)本質上是一個符合函數(shù),可表示為S(h,g)。對于第一個采樣點而言,其增量可表示為

ΔS=S(z1)-S(z0)。

(19)

根據(jù)微分定理,式(19)可表示為

ΔS≈dS=S(z0)′(z1-z0)。

(20)

則有

(21)

根據(jù)式(21)可得到所有采樣點處函數(shù)值的推廣函數(shù):

(22)

其中,z為連續(xù)變化的數(shù),則k可取無窮大,而在計算機處理此函數(shù)時,無法對無限多個z進行分析,因此需要借助微元差分的思想對上式進行處理。通過設置k的數(shù)量來控制z的數(shù)量。軸的長度為500 mm,若設置k為500,則說明是以1 mm為步長進行分析,以此類推。本文設置k為5 000,使計算機在保證效率的情況下盡可能分析更多的點。將第一個分析點表示為

(23)

則S(0)的下一項可表示為

(24)

選取其中最大的數(shù)值S(z)max為六方軸中心線相對于基準軸線的最大偏移量,最終六方軸的直線度誤差可表示為

Φ=2maxS(z)。

(25)

2.4 多項式擬合過擬合情況分析

多項式曲線擬合是基于最小二乘原理求解擬合函數(shù)值與樣本點之間的偏差平方和,若擬合次數(shù)不夠高,則會出現(xiàn)大多數(shù)樣本點不在擬合曲線上的情況,擬合精度無法得到保證;若擬合次數(shù)過高則會出現(xiàn)過擬合的現(xiàn)象,如圖6。

圖6 多項式擬合出現(xiàn)的過擬合情況Figure 6 Overfitting of the polynomial fitting

當出現(xiàn)過擬合時,雖然擬合曲線盡可能經(jīng)過所有樣本點,但與基準軸線之間會出現(xiàn)偏差過大的情況,有時會達到精確值的10倍以上。此時,輸出的直線度誤差不具備任何參考價值。

當擬合次數(shù)較低時,擬合曲線往往不能準確反映整體六方軸直線度,因此在部分情況下會出現(xiàn)曲線上的點比樣本點更加接近基準軸線,導致最終輸出的直線度誤差是一個較小的值。

在實際擬合過程中,隨著擬合次數(shù)的增加,擬合曲線更加光滑,通過比較得出擬合次數(shù)為4～6次時為最佳。圖7為擬合次數(shù)分別為4、5、6時的擬合曲線。

圖7 擬合次數(shù)4、5、6次曲線放大比較Figure 7 Amplitude comparison of 4th、5th、6th degree polynomial fitting

如圖7所示,4次擬合曲線與5、6次擬合曲線有顯著偏差,5次擬合曲線與6次擬合曲線基本重合。因此,在多項式擬合中,5次擬合與6次擬合的效果基本相同的。為了盡可能減少發(fā)生過擬合的情況,使用5次多項式獲取擬合曲線。若最終獲得的直線度誤差數(shù)值明顯過大,則說明存在隱性過擬合的現(xiàn)象,需要查看具體擬合曲線;若具體擬合曲線震蕩幅度過大,則需要減少擬合次數(shù),重新進行擬合。

2.5 擬合準確性分析

在排除過擬合這種極端情況后,需要對擬合曲線進行分析,采用擬合優(yōu)度來表示擬合結果的準確性。

擬合優(yōu)度的計算公式如下:

(26)

其中,ESS為回歸平方和,TSS為總體平方和,二者計算公式如下:

(27)

(28)

若擬合優(yōu)度R越接近于1,說明擬合的準確性越高;反之則越低。一般擬合優(yōu)度R高于0.9時,則認為此次擬合的準確性較高,且擬合結果可信度較高。

此外,還可以用殘差圖分析法對擬合情況進行分析。殘差是因變量的觀測值與回歸方程求出的預測值之差,其表示為

(29)

在作殘差圖前需要將殘差進行標準化計算,以便判斷異常點位置,計算公式如下:

(30)

其中,sei為第i個殘差的標準差,其計算公式如下:

(31)

使用標準化殘差繪制ei-xi殘差圖可輕松辨別2σ內的數(shù)據(jù)(數(shù)據(jù)落在2σ范圍內的概率為95%),落在2σ外的數(shù)據(jù)則會被判定為異常數(shù)據(jù),需要對該點進行重新測量,再使用重新測量的數(shù)據(jù)進行二次擬合,獲得更加準確的直線度誤差數(shù)值。

3 結果及討論

實驗儀器為六方軸直線度測量機,如圖8。

圖8 六方軸直線度測量機Figure 8 Hexagonal axis straightness measuring machine

本次測量使用9個傳感器,并外加2個靠近裝夾端的傳感器,以便消除裝夾端處氣爪的回轉誤差。使用這11組采樣點的偏移數(shù)據(jù)進行多項式曲線擬合,并計算直線度誤差。

傳感器采集的各測量點位移數(shù)據(jù)如表1。

表1 六方軸直線度測量結果Table 1 Results of hexagonal axis straightness measurement

在六方軸直線度測量系統(tǒng)中可獲得各測量點處軸心分布、軸心極坐標以及整體軸曲線情況如圖9、圖10。

圖9 各采樣點軸心坐標分布情況Figure 9 Result of Measurement system coordinate position interface

圖10 六方軸中心線擬合結果Figure 10 Result of three directions axial displacement of the hexagonal axis

為驗證直線度誤差測量結果的準確性,本文使用更高精度的三坐標測量儀(CMM)對同一根六方軸的直線度進行測量,所使用CMM型號為Innova Classic。相關文獻指出[13],在測量軸類零件直線度時,掃描密度為2 p/mm(每毫米兩個測量點)時即可獲得較為精準的測量值,因此本文在使用CMM進行測量時也采用這一測量方案。采用CMM進行重復10次測量消除隨機誤差,最終獲得該六方軸的直線度誤差數(shù)值為3.938 1 mm。

根據(jù)表1的測量結果,分別對xoz平面和yoz平面進行多項式擬合操作,得到擬曲線如圖11、12。

圖11 xoz平面多項式擬合結果Figure 11 Result of polynomial fitting in the xoz direction

圖12 yoz平面多項式擬合結果Figure 12 Result of polynomial fitting in the yoz direction

兩個方向上的偏移數(shù)據(jù)如表2。

表2 xz方向與yz方向直線度誤差數(shù)值Table 2 Straightness error value of xz direction and yz direction

根據(jù)上述測量結果可判定該六方軸的直線度誤差為4.006 9 mm,即Φ=2maxS(z)=4.006 9 mm。

繪制殘差圖如圖13、圖14。

圖13 xoz平面擬合殘差圖Figure 13 Residual diagram of xz-direction

圖14 yoz平面擬合殘差圖Figure 14 Residual diagram of yz-direction

由上述殘差圖可知,所有殘差點都落在了2σ范圍內,結合表2中的擬合優(yōu)度,表明此次擬合結果有較高的準確性和可信度。

在軸類零件直線度的曲線擬合中,除多項式擬合外,較為常用的便是樣條插值擬合[14]。所謂樣條插值,即給定某些特定點,構造樣條曲線或對其進行曲面插值。在樣條插值方面,分段低次樣條插值計算簡便、穩(wěn)定性高、收斂性較好,且易于計算機實現(xiàn),但只能保證各段曲線在連接處的連續(xù)性,不能保證整條曲線的光滑性[15];而三次樣條插值提高了函數(shù)曲線的光滑性,更加符合軸類零件的實際形狀。因此,本文選擇使用三次樣條插值進行擬合對比。多項式擬合與樣條插值擬合曲線對比如圖15。

圖15 兩種擬合曲線對比Figure 15 Comparison of two kinds of fitting curves

二者實驗結果對比如表3。

表3 兩種曲線擬合方式結果對比Table 3 Comparison of the results of two curve fitting methods

如圖14和表3所示,多項式擬合所得該六方軸直線度誤差為4.006 9 mm,三次樣條插值擬合所得直線度誤差為4.032 1 mm。

多項式擬合與三次樣條插值擬合是兩種截然不同的擬合方式,二者得出的直線度誤差之間存在一定的差別,因此在一定的工況下選擇不同的擬合方式將影響最終直線度誤差的準確度。

多項式擬合所得出的結果更接近CMM的測量結果。由于三次樣條插值擬合必然會經(jīng)過測量點,且兩點之間所插入的曲線為三次曲線,所以擬合出來的曲線距離基準軸線的最大值會大于最大偏離點的偏離距離,則最終獲得的直線度測量結果是偏大的。

使用六方軸直線度測量機及三坐標測量儀對十根不同的六方軸進行了直線度誤差的測量,實驗結果如表4。

表4 十根六方軸直線度測量結果Table 4 Measurement results of ten hexagonal axis straightness

上述實驗結果表明:多項式擬合所得直線度誤差與CMM測量結果的相對誤差小于5%,說明該方法能較為準確地評定六方軸直線度誤差。

4 結 語

本文提供了一種基于多項式擬合的六方軸直線度誤差評定方法,并對該方法進行了實驗驗證,得出了以下結論:

1) 該方法通過位移傳感器測量六方軸個外表面的撓度位移數(shù)據(jù),并將數(shù)據(jù)傳輸至計算機,計算機通過數(shù)據(jù)預處理、多項式曲線擬合、擬合曲線合成最終輸出六方軸直線度誤差測量結果;

2) 本文對多項式擬合的過擬合情況及準確度判定進行了討論,當擬合次數(shù)為5次時擬合曲線效果較好,且發(fā)生過擬合情況的概率較低,并結合擬合優(yōu)度和殘差圖分析方法對擬合曲線準確度進行了分析;

3) 本文對評定方法進行了實驗驗證,將實驗結果與CMM測量結果進行了對比,證明了該方法具有較高的測量精度。