南凱剛,閆如玉,李光明,房光強(qiáng),曹爭(zhēng)利,呂亮亮

(1.西安交通大學(xué) 科技與教育發(fā)展研究院，陜西 西安 710049；2.西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，陜西 西安 710049；3.西安交通大學(xué) 現(xiàn)代設(shè)計(jì)及轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710049;4.中國(guó)航天科技集團(tuán)有限公司 空間結(jié)構(gòu)與機(jī)構(gòu)技術(shù)實(shí)驗(yàn)室，上海 201100;5.上海宇航系統(tǒng)工程研究所 薄膜系統(tǒng)展開(kāi)室，上海 201100)

在無(wú)線通信、電子偵察、導(dǎo)航、遙感、深空探測(cè)及射電天文等眾多衛(wèi)星系統(tǒng)中，衛(wèi)星天線作為整個(gè)系統(tǒng)的一部分，是衛(wèi)星系統(tǒng)的“眼睛”和“耳朵”，起著決定性的作用。隨著空間技術(shù)的快速發(fā)展，各國(guó)對(duì)衛(wèi)星系統(tǒng)的高精度、多功能、大容量需求日益增加，衛(wèi)星天線逐漸朝著大型化、高精度、大折疊比方向發(fā)展。大型桁架天線具有尺寸大、質(zhì)量輕、支撐剛度大、折疊比大等諸多優(yōu)點(diǎn)，使其在航天領(lǐng)域備受關(guān)注。同時(shí)，大型桁架天線構(gòu)型復(fù)雜，節(jié)點(diǎn)、桿件、柔性索、鉸鏈等零部件眾多，導(dǎo)致影響其型面精度的誤差因素眾多，對(duì)其進(jìn)行精準(zhǔn)誤差分析的建模難度較大，而精確建模與分析技術(shù)對(duì)于可展開(kāi)天線的質(zhì)量保障尤為關(guān)鍵。

Hedgepeth采用逆頻率平方的方法，獲取了支撐結(jié)構(gòu)中桿件單元長(zhǎng)度誤差引起的天線結(jié)構(gòu)表面誤差[1]。Greene利用Monte Carlo仿真技術(shù)，分析了桿長(zhǎng)制造誤差對(duì)形面精度的影響[2]。Bittera探究了可展機(jī)構(gòu)強(qiáng)度和剛度對(duì)展開(kāi)過(guò)程的影響[3]。Bendiksen在研究動(dòng)剛度系數(shù)隨設(shè)計(jì)參數(shù)的變化趨勢(shì)后指出，間隙大小對(duì)動(dòng)剛度系數(shù)具有顯著影響[4]。 Mahaney等利用有限元法，分析了四面體桁架天線在GEO和LEO軌道的溫度場(chǎng)和熱變形[5]。丁建中等采用矩陣分塊建模方法，分析了鉸鏈間隙對(duì)SAR天線展開(kāi)精度的影響[6]。余德文等通過(guò)結(jié)構(gòu)等效轉(zhuǎn)換將空間可展機(jī)構(gòu)分為兩部分，分別基于閉環(huán)矢量與虛位移法推導(dǎo)了這兩部分的幾何精度模型，并通過(guò)線性疊加建立了空間可展機(jī)構(gòu)整體裝配誤差模型[7]。張志恒等基于整體有限元模型，在考慮關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)元件剛度和桿件彈性變形的情況下進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析[8]。洪學(xué)飛搭建了固定桁架結(jié)構(gòu)反射面、系繩與衛(wèi)星平臺(tái)三者組成的繩系系統(tǒng)，簡(jiǎn)化了可展天線在空間熱載荷影響下指向精度的計(jì)算過(guò)程[9]。杜劍明等針對(duì)多級(jí)展開(kāi)機(jī)構(gòu)，在建立運(yùn)動(dòng)學(xué)誤差傳遞模型的基礎(chǔ)上，提出了天線指向精度的區(qū)間概率分析方法，并進(jìn)行了靈敏度分析[10]。趙孟良等基于廣義逆矩陣?yán)碚?，提出了考慮彈性變形的可展機(jī)構(gòu)展開(kāi)分析方法，解決了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)時(shí)彈性變形的計(jì)算問(wèn)題[11]。

本文針對(duì)大型桁架天線裝配精度難以預(yù)測(cè)的情況，采用誤差等效建模方法對(duì)桁架天線裝配誤差進(jìn)行有限元仿真建模，在考慮縱梁桿長(zhǎng)制造誤差、斜拉索預(yù)緊力和鉸鏈間隙等因素下，預(yù)測(cè)桁架天線裝配變形情況，搭建一套模型測(cè)試臺(tái)，對(duì)仿真模型的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證；同時(shí)，以仿真結(jié)果為基礎(chǔ)對(duì)影響型面精度的誤差因素進(jìn)行敏感度分析，通過(guò)多元線性回歸擬合得到桁架天線單元體代理模型，并采用齊次變換法得到桁架天線的整體裝配誤差傳遞模型。

1 桁架天線單元體裝配誤差與裝配變形有限元仿真模型構(gòu)建

1.1 單元體有限元仿真模型構(gòu)建

大型桁架天線由空間周期單元體串聯(lián)而構(gòu)成，采用三角桁架布局，共36節(jié)單元體，展開(kāi)狀態(tài)的尺寸為3.2 m×100 m。展開(kāi)的單側(cè)桁架天線整體結(jié)構(gòu)如圖1所示。桁架天線單元體由縱梁、內(nèi)外隔板、斜拉索、陣面板、鉸鏈等組成(圖2)。桁架天線單元體(即單節(jié)桁架)的長(zhǎng)度為2.76 m。桁架節(jié)與節(jié)之間通過(guò)法蘭面連接，斜拉索從一個(gè)縱梁端面的中心連向?qū)欠较蚩v梁端面的中心，相鄰陣面板與隔板間通過(guò)板間鉸鏈連接。

圖1 展開(kāi)的單側(cè)桁架天線整體結(jié)構(gòu)

圖2 桁架天線單元體結(jié)構(gòu)

本文根據(jù)各零件結(jié)構(gòu)的不同特點(diǎn)，采用ANSYS軟件中不同的有限元單元進(jìn)行建模，例如細(xì)長(zhǎng)桿件縱梁采用BEAM188梁?jiǎn)卧?，薄板結(jié)構(gòu)的內(nèi)外隔板采用SHELL63殼單元等。建立的桁架天線單元體的有限元模型如圖3所示。

圖3 桁架天線單元體的有限元模型

桁架天線單元體的縱梁、內(nèi)外隔板與陣面板的材料均為復(fù)合材料。桁架天線結(jié)構(gòu)材料的力學(xué)性能參數(shù)如表1所示。

表1 桁架天線結(jié)構(gòu)材料的力學(xué)性能參數(shù)

有限元仿真模型的邊界條件為：在桁架天線與星體連接處的節(jié)點(diǎn)上施加全固定位移約束；除鉸鏈連接處外，其他各結(jié)構(gòu)連接均做剛性連接處理；對(duì)于模型中不同單元類(lèi)型的相互連接，采用節(jié)點(diǎn)耦合法做節(jié)點(diǎn)處所有自由度的耦合處理。

1.2 零件誤差與裝配誤差等效建模

1.2.1 縱梁桿長(zhǎng)

在有限元仿真模型中，將縱梁桿長(zhǎng)制造誤差等效為施加的熱變形，即讓溫度變化引起的變形量與制造誤差量相等?？蓪囟润w載荷施加到BEAM188梁?jiǎn)卧稀?/p>

1.2.2 鉸鏈及鉸鏈間隙

在桁架天線展開(kāi)狀態(tài)下，鉸鏈結(jié)構(gòu)處于鎖緊狀態(tài)，因其鎖緊剛度(主要是鉸鏈繞旋轉(zhuǎn)軸的扭轉(zhuǎn)剛度)對(duì)天線系統(tǒng)展開(kāi)狀態(tài)的型面精度影響較大，所以設(shè)計(jì)時(shí)需求出鉸鏈結(jié)構(gòu)的等效剛度?？捎肂EAM4-梁?jiǎn)卧獙?duì)鉸鏈進(jìn)行模擬，并將鉸鏈剛度值輸入梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃?，進(jìn)行計(jì)算。鉸鏈剛度實(shí)測(cè)值如表2所示。鉸鏈坐標(biāo)系X軸方向?yàn)殂q鏈旋轉(zhuǎn)軸。

表2 鉸鏈剛度實(shí)測(cè)值

鉸鏈間隙的等效建模采用間隙矢量模型來(lái)描述，設(shè)定矢量方向?yàn)殂q鏈軸套中心指向銷(xiāo)軸中心，矢量大小為鉸鏈軸套與軸中心的距離。本文在有限元仿真模型中用梁?jiǎn)卧獊?lái)模擬間隙矢量模型，并假設(shè)鉸鏈軸與軸套連續(xù)接觸不分離，即間隙梁?jiǎn)卧拈L(zhǎng)度為鉸鏈軸與軸套半徑之差；將間隙梁?jiǎn)卧姆较蛟O(shè)為由鉸鏈軸套中心指向鉸鏈軸與軸套可能的接觸點(diǎn)位置，通過(guò)釋放鉸鏈間隙梁?jiǎn)卧c鉸鏈連接節(jié)點(diǎn)處繞鉸鏈軸方向的自由度，來(lái)模擬間隙梁?jiǎn)卧@鉸鏈軸方向的自由轉(zhuǎn)動(dòng)。鉸鏈的間隙矢量模型如圖4所示。

圖4 鉸鏈的間隙矢量模型

1.2.3 斜拉索預(yù)緊力

對(duì)于斜拉索，本文用LINK10索單元進(jìn)行模擬，通過(guò)設(shè)置初始應(yīng)變值來(lái)等效輸入預(yù)緊力的值。

1.3 有限元仿真結(jié)果及裝配誤差敏感度分析

對(duì)所建立桁架天線單元體有限元模型進(jìn)行分析，得到了分析結(jié)果。由于該桁架天線為空間周期單元體串聯(lián)結(jié)構(gòu)，因此應(yīng)主要關(guān)注前后隔板的位姿變化情況。以前隔板為基準(zhǔn)，選取末端隔板三角形的3個(gè)頂點(diǎn)，作為主要關(guān)注的點(diǎn)P1,P2,P3，計(jì)算P1,P2,P3所在平面的法向量與坐標(biāo)軸X,Y,Z的夾角，并將它們分別記為α,β,γ，作為結(jié)果評(píng)判指標(biāo)。模型編號(hào)標(biāo)注如圖5所示。

圖5 模型編號(hào)標(biāo)注

為了探究斜拉索結(jié)構(gòu)與陣面板結(jié)構(gòu)對(duì)末端隔板位姿的影響，本文建立了不同的有限元仿真模型并對(duì)仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，從而選取準(zhǔn)確合適的仿真模型；建立了含斜拉索模型與不含斜拉索模型，以判斷斜拉索結(jié)構(gòu)對(duì)隔板位姿的影響程度。含斜拉索模型與不含斜拉索模型的仿真結(jié)果如圖6所示。

由圖6可看出，含斜拉索模型與不含斜拉索模型的仿真結(jié)果存在差異。因此，分析隔板位姿狀態(tài)時(shí)，有限元仿真模型中斜拉索結(jié)構(gòu)的影響不可忽略。

以同樣方法可判斷陣面板結(jié)構(gòu)對(duì)隔板位姿的影響程度。含陣面板模型與不含陣面板模型的仿真結(jié)果如圖7所示。

由圖7可看出，含陣面板模型與不含陣面板模型的仿真結(jié)果差異很小。因此，分析隔板位姿狀態(tài)時(shí)，可選取不含陣面板結(jié)構(gòu)的有限元仿真模型，以便在保證精度的同時(shí)提高分析計(jì)算效率。

(a) α對(duì)比

(b) β對(duì)比

(c) γ對(duì)比

(a) α對(duì)比

(b) β對(duì)比

(c) γ對(duì)比

1.4 桁架天線仿真模型驗(yàn)證試驗(yàn)

以上有限元仿真分析是在ANSYS環(huán)境下實(shí)現(xiàn)的，需要設(shè)計(jì)相應(yīng)的物理測(cè)試平臺(tái)來(lái)驗(yàn)證仿真模型的準(zhǔn)確性。本文通過(guò)測(cè)量一節(jié)單元體末端位姿狀態(tài)來(lái)驗(yàn)證仿真模型，并搭建了圖8所示的桁架天線型面精度測(cè)試臺(tái)。

圖 8 桁架天線型面精度測(cè)試臺(tái)

模型試件為原天線桁架結(jié)構(gòu)的7∶1等比縮小模型，材料均為鋁合金。試件一端的隔板固定在支撐座上，通過(guò)更換不同尺寸的縱梁來(lái)模擬縱梁桿長(zhǎng)制造誤差。采用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量末端隔板3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)的三維坐標(biāo)，并與仿真分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。關(guān)鍵點(diǎn)位移的試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果對(duì)比如圖9所示。

(a) 關(guān)鍵點(diǎn)的X向位移

(b) 關(guān)鍵點(diǎn)的Y向位移

(c) 關(guān)鍵點(diǎn)的Z向位移

通過(guò)圖9可以看到，試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果趨于一致，試驗(yàn)結(jié)果的最大絕對(duì)誤差為1.920 2 mm，總體平均誤差為0.539 3 mm，總體誤差均方根為0.729 9 mm，誤差在允許范圍之內(nèi)，試驗(yàn)結(jié)果可以驗(yàn)證有限元模型的有效性和準(zhǔn)確性。

2 誤差分析代理模型構(gòu)建

2.1 模型誤差與關(guān)鍵點(diǎn)位移的關(guān)聯(lián)關(guān)系分析

對(duì)不含陣面板的單元體有限元仿真模型中的幾何誤差與關(guān)鍵點(diǎn)位移進(jìn)行關(guān)聯(lián)關(guān)系分析，研究各誤差因素對(duì)末端隔板上關(guān)鍵點(diǎn)位移的影響，從而構(gòu)建以幾何誤差為輸入、關(guān)鍵點(diǎn)位移為輸出的桁架天線代理模型。

本文以末端隔板上關(guān)鍵點(diǎn)P1,P2,P3的X向、Y向、Z向位移為因變量，記為ui,vi,wi(i= 1,2,3)，其中i為末端隔板上第i個(gè)取樣點(diǎn);以3個(gè)縱梁桿長(zhǎng)誤差和4個(gè)斜拉索預(yù)緊力值為自變量，分別記為s1,s2,…,s7;控制單個(gè)誤差因素的變化，并取縱梁桿長(zhǎng)誤差為[-3 mm,+3 mm]，斜拉索預(yù)緊力值為[0, 30 N]，通過(guò)有限元仿真分析得到了關(guān)鍵點(diǎn)位移的響應(yīng)曲線。圖10所示為仿真模型輸入量縱梁桿長(zhǎng)誤差與輸出量關(guān)鍵點(diǎn)位移的關(guān)系。圖11所示為仿真模型輸入量斜拉索預(yù)緊力值與輸出量關(guān)鍵點(diǎn)位移的關(guān)系。

分析圖10、圖11可知，在單節(jié)單元體模型中，誤差因素在給定的取值范圍內(nèi)時(shí)，誤差因素與節(jié)點(diǎn)位移間都存在線性關(guān)系，模型輸入與輸出之間有很強(qiáng)的相關(guān)性，可采用多元線性回歸多項(xiàng)式構(gòu)建單節(jié)單元體代理模型。

2.2 單元體多元線性回歸代理模型構(gòu)建

試驗(yàn)設(shè)計(jì)(Design of Experiment,DOE)是通過(guò)科學(xué)安排試驗(yàn)方案來(lái)獲得最優(yōu)方案的一種數(shù)學(xué)方法。其目的是采用盡可能少的試驗(yàn)次數(shù)，獲取盡可能多的關(guān)于目標(biāo)與因素之間的信息。本文在構(gòu)建代理模型之前，通過(guò)DOE獲取樣本點(diǎn)，采用七因素七水平的正交試驗(yàn)方案。其七因素為7個(gè)誤差因素s1,s2，…,s7，七水平為誤差因素的取值集?？v梁桿長(zhǎng)誤差取值集為[-3 mm,-2 mm,-1 mm,0,1 mm,2 mm,3 mm]，預(yù)緊力取值集為[0,5 N,10 N,15 N,20 N,25 N,30 N]。獲取樣本點(diǎn)共49組。本文以其作為訓(xùn)練集，進(jìn)行了多元線性回歸分析。

(a) 縱梁1

(b) 縱梁2

(c) 縱梁3

(a) 斜拉索1

(b) 斜拉索2

(c) 斜拉索3

(d) 斜拉索4

逐步進(jìn)行線性回歸分析后，擬合的模型情況如表3所示，調(diào)整后R2值均接近于1。這說(shuō)明模型的擬合度較好；DW(德賓-沃森)值接近于2.0，可認(rèn)為樣本獨(dú)立。

表3 模型擬合情況

回歸方程待估系數(shù)的估計(jì)情況如表4所示。共線性統(tǒng)計(jì)VIF< 5，認(rèn)為變量之間不存在多重共線性，即變量之間不存在強(qiáng)關(guān)聯(lián)關(guān)系。標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)表明了自變量對(duì)因變量的影響程度。從表4可得出多元線性回歸模型各項(xiàng)待估系數(shù)，從而得到多元線性回歸方程。此處僅展示因變量u1的估計(jì)情況，其余因變量情況相同。

表4 回歸方程待估系數(shù)的估計(jì)情況

綜上所述，模型通過(guò)了F檢驗(yàn)和T檢驗(yàn)，有較高的擬合度，說(shuō)明模型擬合效果較好。由此可得到下列用于預(yù)測(cè)單節(jié)桁架天線末端隔板節(jié)點(diǎn)位移的代理模型：

u1=0.007+0.007s1+0.384s2-0.384s3-0.032s4+0.029s5+0.030s6-0.028s7；

v1=0.021-0.683s1+0.340s2+0.347s3-0.023s4-0.025s5+0.021s6+0.026s7；

w1=0.998s1-7.688×10-6s4-5.449×10-6s5-3.238×10-5s6-3.096×10-5s7；

u2=0.005+0.005s1+0.340s2-0.340s3-0.022s4+0.020s5+0.021s6-0.020s7；

v2=0.023-0.681s1+0.377s2+0.310s3-0.032s4-0.018s5+0.029s6+0.019s7；

w2=-2.526×10-5-0.002s1+1.002s2-0.002s3；

u3=0.005+0.005s1+0.340s2-0.340s3-0.022s4+0.020s5+0.021s6-0.020s7；

v3=0.019-0.685s1+0.303s2+0.385s3-0.015s4-0.032s5+0.014s6+0.034s7；

w3=-0.002s1-0.002s2+1.002s3。

其中：ui,vi,wi(i= 1,2,3)為末端隔板上第i個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)Pi的X向,Y向,Z向位移；s1,s2，…,s7分別為3個(gè)縱梁桿長(zhǎng)誤差和4個(gè)斜拉索的預(yù)緊力值。縱梁桿長(zhǎng)誤差為[-3 mm,+3 mm]，斜拉索預(yù)緊力取值范圍為[0,30 N]。在取值范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生100組模型誤差，通過(guò)分析得到仿真結(jié)果,將其作為測(cè)試集，可對(duì)代理模型的預(yù)測(cè)能力進(jìn)行驗(yàn)證。圖12所示為代理模型與仿真模型的分析結(jié)果對(duì)比。

圖12 代理模型與仿真模型的分析結(jié)果對(duì)比

由圖12可看出，代理模型分析結(jié)果與仿真模型分析結(jié)果的差異很小，曲線基本重合。這說(shuō)明可用所構(gòu)建代理模型代替原仿真模型，從而有效地節(jié)省計(jì)算時(shí)間，提高分析效率。

2.3 桁架天線整體裝配誤差傳遞

對(duì)于桁架天線整體來(lái)說(shuō)，誤差會(huì)通過(guò)各節(jié)單元體串聯(lián)傳遞積累，因而應(yīng)在單節(jié)單元體模型分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析桁架天線整體結(jié)構(gòu)的裝配誤差傳遞規(guī)律。

按圖13所示桁架天線誤差傳遞模型，在第一節(jié)單元體隔板下桿件中點(diǎn)處建立全局坐標(biāo)系O1-x1y1z1。其x1軸正向沿下桿方向并指向星體右側(cè)，y1軸正向位于隔板三角形平面內(nèi)并指向上頂點(diǎn)，z1軸正向由右手法則確定。此外，在桁架天線實(shí)際變形結(jié)構(gòu)(實(shí)際位置)的各單元體的隔板下桿件中點(diǎn)處依次建立局部坐標(biāo)系Oi-xiyizi(i=2,3,…,18)。各局部坐標(biāo)系與全局坐標(biāo)系O1-x1y1z1平行。

以各節(jié)單元體隔板下桿件中點(diǎn)作為誤差傳遞分析的關(guān)鍵點(diǎn)P。其中，桁架天線處于理想位置時(shí)關(guān)鍵點(diǎn)的編號(hào)為Pi(i=1,2,…,19)，而桁架天線處于實(shí)際位置時(shí)關(guān)鍵點(diǎn)的編號(hào)為Pi′(i=1,2,…,19)。第一節(jié)單元體原點(diǎn)O1與關(guān)鍵點(diǎn)P1、關(guān)鍵點(diǎn)P1′重合。

圖13 桁架天線誤差傳遞模型

設(shè)坐標(biāo)系Oi+1由Oi(i=1,2,…,17)沿其x軸、y軸、z軸分別平移xi,i+1,yi,,i+1,zi,,i+1，同時(shí)繞其x軸、y軸、z軸分別旋轉(zhuǎn)αi，,i+1,βi，,i+1,γi，,i+1得到，那么包含平移和旋轉(zhuǎn)的由坐標(biāo)系Oi到Oi+1的變換矩陣為T(mén)i,i+1。

Ti,i+1=R·Si

(1)

其中：

(2)

(3)

式中：[Δxi,Δyi,Δzi,Δαi,Δβi,Δγi]為第i節(jié)單元體上關(guān)鍵點(diǎn)P的姿態(tài)誤差；l為縱梁的名義桿長(zhǎng)。

因此，桁架天線第i節(jié)單元體上的關(guān)鍵點(diǎn)實(shí)際位置的坐標(biāo)滿足下列方程:

1θi+1=T1,2·...·Ti-1,i·iθi+1

(4)

式中：1θi+1為第i節(jié)單元體上的關(guān)鍵點(diǎn)Pi+1在全局坐標(biāo)系O1下的位移；iθi+1為第i節(jié)單元體上的關(guān)鍵點(diǎn)Pi+1在局部坐標(biāo)系Oi下的位移；Ti,i+1為由坐標(biāo)系Oi到Oi+1的變換矩陣。由此，可進(jìn)一步列出式子：

iθi+1=[Δxi,Δyi,Δzi]

(5)

把式(2)和式(3)代入式(4)中，整理并去掉高階微小量后可得：

(6)

至此，式(6)表達(dá)了桁架天線局部坐標(biāo)系下單元體姿態(tài)誤差與全局坐標(biāo)系下整體姿態(tài)誤差傳遞的函數(shù)關(guān)系，從而得到了桁架天線整體裝配誤差的分析代理模型。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文以大型桁架天線為例，通過(guò)誤差等效方法對(duì)其進(jìn)行仿真建模，分析不同仿真模型對(duì)重點(diǎn)關(guān)注結(jié)果的影響，得到了合理簡(jiǎn)化模型，實(shí)現(xiàn)了對(duì)有限元仿真模型的簡(jiǎn)化；基于仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差敏感度分析，并利用齊次變換法得出桁架天線整體裝配誤差傳遞代理模型，從而大大提高了大型桁架天線的裝配精度的預(yù)測(cè)效率，為大型桁架天線的零部件設(shè)計(jì)、裝配精度保障及型面精度調(diào)整等提供了理論支持。