陳運(yùn)泰 劉瑞豐

1）中國(guó)北京 100049 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)地球與行星科學(xué)學(xué)院

2）中國(guó)北京 100081 中國(guó)地震局地球物理研究所

3 震源區(qū)的應(yīng)力狀態(tài)

3.1 壓力軸、張力軸和零軸

以上分析表明，破裂面的取向與引起破裂的應(yīng)力狀態(tài)有關(guān).在巖石層內(nèi)，巖石處于高圍壓狀態(tài).如果以p1，p2，p3軸分別表示震源區(qū)在破裂前的主（張）應(yīng)力軸，那么破裂面（即斷層面）與最小主（張）應(yīng)力軸（最大主壓應(yīng)力軸，也就是p3軸）的夾角θ（圖19）隨內(nèi)摩擦系數(shù)μi的增大而減?。↘irby，1980）.

圖19 巖石破裂三軸應(yīng)力實(shí)驗(yàn)示意圖Fig.19 The diagram of triaxial stress experiment of rock fracture

地震時(shí)，沿?cái)鄬用驷尫帕艘欢ù笮?例如大小為p)的剪切應(yīng)力，這相當(dāng)于在與斷層面成45°和135°角的方向上釋放了數(shù)值上等于p的壓應(yīng)力(以P表示)和數(shù)值上也等于p的張應(yīng)力（以T表示）（Stauder，1962；Stein and Wysession，2003）.這點(diǎn)可以從應(yīng)力張量在不同坐標(biāo)系中的坐標(biāo)變換關(guān)系看出（圖20）.設(shè)在基矢量為ek的直角坐標(biāo)系xk（k=1，2，3）中，應(yīng)力張量S的分量為σkl，即

圖20 應(yīng)力張量在不同坐標(biāo)系中的分量(a) 坐標(biāo)原點(diǎn)重合的兩個(gè)不同的坐標(biāo)系xk (k =1,2,3)與′(i =1,2,3)；(b) 在原坐標(biāo)系xk中的 純剪切應(yīng)力σ13=σ31=p；(c)與純剪切應(yīng)力狀態(tài)相當(dāng)?shù)膹垜?yīng)力σ11′=p與壓應(yīng)力=-pFig.20 Components of stress tensor in different coordinate systems(a)Two different coordinate systems xk (k =1,2,3) and xi′(i=1,2,3) in which the coordinate origin coincides;(b)The shear stress in the original stress system σ13=σ31=p;(c)Tensile stress corresponding to pure shear stress state=p and compressive stress =p

而在基矢量為ei′的新的直角坐標(biāo)系xi′（i=1，2，3）中，應(yīng)力張量S可以表示為

式中，是應(yīng)力張量S在新的坐標(biāo)系中的分量，與σkl有以下坐標(biāo)變換關(guān)系

式中，γik是軸與xk軸的方向余弦，有

這表明在原點(diǎn)相同的兩個(gè)直角坐標(biāo)系中，應(yīng)力張量通過(guò)矩陣變換相聯(lián)系，即

式（77）表明，在不同的坐標(biāo)系中，表示同一應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力張量的分量是不同的.例如，設(shè)在坐標(biāo)系xk中，介質(zhì)處于以下所示的純剪切狀態(tài)，即除了

外，σkl的其余分量均等于零，并設(shè)新坐標(biāo)系xi′是由原坐標(biāo)系xk繞x2軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ后得到的[圖20(a)]，那么

從而[參見(jiàn)式（77）]有

如果θ=45°，則

這就是說(shuō)，在原坐標(biāo)系xk中，由σ13=σ31=p表示的純剪切應(yīng)力狀態(tài)[圖20(b)]，相當(dāng)于在由原坐標(biāo)系繞x2軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到的新坐標(biāo)系中由表示的應(yīng)力狀態(tài).也就是，在與x1軸成45°的方向上數(shù)值等于p的張應(yīng)力和在與x1軸成135°的方向上數(shù)值也等于p的壓應(yīng)力.并且，新坐標(biāo)系是主軸坐標(biāo)系，′軸是最大主（張）應(yīng)力軸，x2′軸是中間主應(yīng)力軸，′軸是最小主（張）應(yīng)力軸[圖20(c)].

地震發(fā)生時(shí)，沿?cái)鄬用驷尫帕舜笮閜的剪切應(yīng)力，即釋放了σ13=σ31=p的剪切應(yīng)力.根據(jù)以上分析，這就相當(dāng)于：在與x1軸成45°的方向上釋放了數(shù)值等于p的張應(yīng)力，即T=p；在與x1軸成135°的方向上釋放了數(shù)值也等于p的壓應(yīng)力，即P=-p.

由斷層面解容易求得壓應(yīng)力軸（簡(jiǎn)稱(chēng)壓力軸，pressure axis，P軸）、張應(yīng)力軸（簡(jiǎn)稱(chēng)張力軸，tension axis，T軸）與零軸（null axis）.為了避免與表示方向的北極（N）混淆，零軸簡(jiǎn)稱(chēng)為B軸.P軸和T軸應(yīng)當(dāng)位于如圖8所示的XY平面，并且分別與X軸和Y軸成45°角.B軸即XY平面的極軸，是斷層面與輔助面的交線，也是中間主應(yīng)力軸p2軸.P軸位于初動(dòng)是膨脹（-）的象限，T軸位于初動(dòng)是壓縮（+）的象限.由以上分析可知，P軸和T軸反映了地震前后震源區(qū)應(yīng)力狀態(tài)的變化，而不是震源區(qū)構(gòu)造應(yīng)力本身，它們和構(gòu)造應(yīng)力的最小主（張）應(yīng)力軸（最大主壓應(yīng)力軸）p3的方向以及最大主（張）應(yīng)力軸（最小主壓應(yīng)力軸）p1的方向都分別成（45°-θ）的角度.換句話說(shuō)，壓力軸或張力軸指的是偏應(yīng)力（deviatoric stresses），即實(shí)際的應(yīng)力減去流體靜應(yīng)力（hydrostatic stress）之后的主應(yīng)力軸.流體靜應(yīng)力亦稱(chēng)流體靜壓力，在當(dāng)前討論的問(wèn)題中，也就是靜巖壓（Jeffreys，1942，1976）.

由破裂面的取向和θ角的大小，有可能推斷破裂前震源區(qū)構(gòu)造應(yīng)力的主應(yīng)力軸p1，p2，p3的方向.P軸與p3軸成（45°-θ）的角度，T軸與p1軸也成同樣角度（圖21）.盡管P軸與p3軸，T軸與p1軸都偏離了（45°-θ）的角度，但是如圖22所示，因?yàn)橛袃蓚€(gè)可能的、共軛的斷層面，它們都與p3軸的方向成同樣角度.一般情況下，在每一個(gè)共軛面上發(fā)生破裂的概率是相同的，所以如果對(duì)一個(gè)地區(qū)許多地震的P軸方向和T軸方向分別作統(tǒng)計(jì)平均，就有可能獲得該地區(qū)構(gòu)造應(yīng)力p3軸和p1軸方向的圖像（Yamakawa，1971；Yamakawa and Takahashi，1977）.

圖21 地震發(fā)生時(shí)釋放的應(yīng)力的主軸與震源區(qū)構(gòu)造應(yīng)力的主軸之間的關(guān)系Fig.21 The relationship between the principal axis of the stress released during an earthquake and the principal axis of the tectonic stress in the focal area

圖22 兩個(gè)可能的、共軛的斷層面Fig.22 Two possible and conjugate fault planes

以上分析只適用于新斷層產(chǎn)生的情形.它表明，在巖石中產(chǎn)生了新的斷層的情形下，由地震波初動(dòng)符號(hào)的分布可以求得壓力軸P和張力軸T，它們分別是地震發(fā)生時(shí)釋放的應(yīng)力張量的主壓應(yīng)力軸和主張應(yīng)力軸，與構(gòu)造應(yīng)力主軸p3軸和p1軸有聯(lián)系，但不能簡(jiǎn)單地將P軸等同于p3軸、將T軸等同于p1軸.下面將進(jìn)一步說(shuō)明，在已經(jīng)存在斷層的情形下，因?yàn)樵跀鄬痈浇?，介質(zhì)的強(qiáng)度可能比其他地方低，所以可能沿著已經(jīng)存在的斷層摩擦滑動(dòng).因此，無(wú)論是在完整的巖石中發(fā)生新的破裂，還是沿著已有斷層發(fā)生摩擦滑動(dòng)，雖然都可以由地震波初動(dòng)求得釋放的應(yīng)力張量的主軸，即P軸和T軸，但是都不能簡(jiǎn)單地將P軸與p3軸、T軸與p1軸混為一談.

3.2 巖石的破裂與摩擦

破裂的安德遜理論表明，當(dāng)主應(yīng)力p1＞p2＞p3時(shí)，在以主應(yīng)力軸為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系（主軸坐標(biāo)系）中，剪切破裂面是通過(guò)中間主應(yīng)力軸并與最小主（張）應(yīng)力軸（p3）軸成θ角的平面[圖12(b)].若按照巖石力學(xué)習(xí)慣的規(guī)定，以壓應(yīng)力為正，以σ1＞σ2＞σ3依次表示最大、中間與最小主（壓）應(yīng)力軸，即

以σn和τ分別表示作用于法向?yàn)閚的破裂平面上的正（壓）應(yīng)力與剪切應(yīng)力，則與式（72）第一式相應(yīng)的作用于法向?yàn)閚的破裂平面上的剪切應(yīng)力為

其作用方向是沿著-l方向，l如式（71）所示

與式（72）第三式相應(yīng)的作用于該平面的正（壓）應(yīng)力為

正應(yīng)力σn=|pnn|=-pnn和剪切應(yīng)力τ=p=-pnl作為θ的函數(shù)如圖23所示.現(xiàn)在，我們用莫爾圓（Mohr’s circle）來(lái)表示正應(yīng)力和剪切應(yīng)力（Jaeger，1959，1962；Jaeger and Cook，1979）.在圖24中，以橫坐標(biāo)表示σn，以縱坐標(biāo)表示τ.圖中，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（(σ1+σ3)/2，0）.今以A點(diǎn)為圓心，以(σ1-σ3)/2為半徑畫(huà)一個(gè)圓.這個(gè)圓稱(chēng)為莫爾圓.若以2θ表示半徑AF與σn軸上的夾角，以順時(shí)針為正，那么莫爾圓上的F點(diǎn)的坐標(biāo)為(σn，τ)，剛好表示了法線方向n與σ3軸方向的夾角為θ的平面上的正應(yīng)力σn和剪切應(yīng)力τ.

圖23 作為角度θ的函數(shù)的正應(yīng)力σn（上圖）與剪切應(yīng)力τ（下圖）Fig.23 Normal stress,σn (upper panel) and shear stress,τ (lower panel) as functions of the angle θ

圖24 用莫爾圓表示正應(yīng)力σn與剪切應(yīng)力τFig.24 The expression of normal stress σn and shear stress τ by using Mohr’s circle

按壓應(yīng)力為正的規(guī)定，庫(kù)侖破壞準(zhǔn)則現(xiàn)在應(yīng)改寫(xiě)[參見(jiàn)式（45）或式（46）]為

在（σn，τ）平面上，庫(kù)侖破壞準(zhǔn)則是斜率為±μi，截距為±S的直線，稱(chēng)為破壞線（failure line）.破壞線有兩條，在圖25及以下有關(guān)破壞線的圖中，只繪出τ≥0的破壞線.破壞線與σn軸的夾角φ稱(chēng)為內(nèi)摩擦角（angle of internal friction），且φ以順時(shí)針為正.顯然

圖25 庫(kù)侖破壞準(zhǔn)則Fig.25 Coulomb failure criterion

當(dāng)莫爾圓與破壞線相切時(shí)便發(fā)生剪切破裂（圖25，圖26）.設(shè)圖25中的F點(diǎn)是莫爾圓與破壞線相切的點(diǎn)，則由圖可見(jiàn)，內(nèi)摩擦角φ與θ有如下所示關(guān)系

圖26 庫(kù)侖破壞準(zhǔn)則表示當(dāng)莫爾圓與破壞線相交時(shí)材料便發(fā)生剪切破裂.圖中表示當(dāng)最小主壓應(yīng)力σ3不變、最大主壓應(yīng)力由σ1增至σ1′的情形Fig.26 The Coulomb failure criterion represents that a material fractures when Mohr’s circle intersects with the failure line.The figure shows that when the minimum principal compressive stress σ3 is constant,the maximum principal compressive stress increases from σ1 to σ1′

所以

由此可以求得：當(dāng)發(fā)生剪切破裂時(shí)，θ滿(mǎn)足下列關(guān)系

這正是前面已經(jīng)得到的結(jié)果[式（60）].

庫(kù)侖—霍普金斯破壞準(zhǔn)則是庫(kù)侖破壞準(zhǔn)則的特殊情形，即無(wú)內(nèi)摩擦的情形.如圖27(a)所示，當(dāng)μi=0時(shí)，破壞線與σn軸平行，破裂面的法向與σ3軸的夾角θ=45°.作為舉例，圖27(b)表示，當(dāng)μi=1時(shí)，破裂面的法向更加靠近最小主壓應(yīng)力軸（最大主張應(yīng)力軸，即σ3軸），θ=22.5°；或者說(shuō)，破裂面（斷層面）更加靠近最大主壓應(yīng)力軸（最小主張應(yīng)力軸），即σ1軸，θ=22.5°.

圖27 破裂的庫(kù)侖—霍普金斯理論作為庫(kù)侖理論的特殊情形 (a) μi =0，θ =45°；(b) 當(dāng)內(nèi)摩擦系數(shù)μi =1時(shí)，破裂面的法向更加靠近最小主壓應(yīng)力軸（σ3軸），破裂面更加靠近最大主壓應(yīng)力軸（σ1軸），夾角均為22.5°Fig.27 Coulomb-Hopkins fracture theory as a special case of Coulomb theory (a) μi =0，θ =45°；(b) When the coefficient of internal friction is μi=1,the normal direction of the fracture surface is closer to the minimum principal pressure stress axis (σ3 axis),the fracture surface is closer to the maximum principal pressure stress axis (σ1 axis),and the angle is 22.5°

當(dāng)巖石沿著原先已存在的破裂面（斷層面）滑動(dòng)時(shí)，與庫(kù)侖準(zhǔn)則類(lèi)似，巖石要滑動(dòng)，需要克服摩擦力.摩擦力與接觸面（斷層面）的面積大小無(wú)關(guān).這個(gè)定律稱(chēng)為阿蒙頓斯（Amontons,Guillaume，1663—1705）第一定律（Amontons，1699）.在滑動(dòng)開(kāi)始前，作用于斷層面上的摩擦應(yīng)力與正（壓）應(yīng)力σn=|pnn|=-pnn成正比，比例系數(shù)稱(chēng)為靜摩擦系數(shù)（static friction coefficient）.只有當(dāng)作用于斷層面上的剪切應(yīng)力τ達(dá)到最大靜摩擦應(yīng)力μsσn時(shí)，斷層才開(kāi)始滑動(dòng)，也就是

式中，μs是最大靜摩擦系數(shù).上式稱(chēng)為阿蒙頓斯第二定律.斷層一旦開(kāi)始滑動(dòng)，摩擦系數(shù)變小，此時(shí)的摩擦系數(shù)稱(chēng)為動(dòng)摩擦系數(shù)（dynamic friction coefficient或kinetic friction coefficient）.

按照近代的摩擦理論（Bowden and Tabor，1950，1964）——摩擦的黏合理論（adhesion theory of friction），可對(duì)阿蒙頓斯定律作如下物理解釋.

所有材料的表面實(shí)際上都是高低起伏、凹凸不平的（圖28）.如圖28所示，當(dāng)兩個(gè)面合在一起時(shí)，這兩個(gè)面只在一些散斑狀突出物的小面積上才真正相互接觸.這些突出物稱(chēng)為凹凸體（asperity）.所有這些相互接觸的凹凸體的接觸面積的總和Ar，要比接觸面的表觀面積（apparent area）即幾何面積（geometric area）A小得多，也就是：Ar/A＜＜1.顯而易見(jiàn)，真正對(duì)摩擦起作用的是Ar.

圖28 接觸面示意圖(a)截面圖；(b)平面圖。平面圖中帶點(diǎn)的小面積表示凹凸體，其接觸面面積的總和即真正相互接觸的總面積ArFig.28 The diagram of contact surface(a) Section figure;(b) plan figure.The small area with points in the plan represents the asperity,and the total area of its contact surface is the real total area Ar

當(dāng)相互接觸的凹凸體的接觸面總面積Ar再也不能支撐法向荷載N時(shí)發(fā)生屈服，即

式中，p是穿透硬度（penetration hardness）.穿透硬度是表征材料強(qiáng)度的一個(gè)物理量，它表示單位面積的凹凸體接觸面承受法向荷載的能力.在凹凸體的這些接觸面上，在高壓應(yīng)力作用下，發(fā)生黏合作用，兩個(gè)面便在這些接合部上連結(jié)在一起.若要使這兩個(gè)面沿著剪切方向滑動(dòng)，沿剪切方向的作用力就得大到足以切斷這些接合部.所以摩擦力F應(yīng)當(dāng)?shù)扔谒薪雍喜康募羟凶杩沟目偤?，?/p>

式中，s是材料的剪切強(qiáng)度（shear strength），它表示單位面積的凹凸體接觸面抗剪切滑動(dòng)的能力.將式（94）除以式（93），便可得到摩擦系數(shù)

由式（94）可知，摩擦力F與Ar成正比；而由式（93）可知，Ar受控于凹凸體對(duì)法向荷載的響應(yīng)，與N成正比.兩個(gè)方程結(jié)合在一起，不但合理解釋了摩擦力與接觸面的表觀面積無(wú)關(guān)（阿蒙頓斯第一定律），而且合理解釋了摩擦應(yīng)力與正（壓）應(yīng)力成正比（阿蒙頓斯第二定律）.

摩擦系數(shù)是同一種材料的兩種不同強(qiáng)度（剪切強(qiáng)度與穿透強(qiáng)度）之比.如果相互接觸的是兩種不同的材料，那么摩擦系數(shù)便應(yīng)當(dāng)是較軟弱的那種材料的剪切強(qiáng)度與穿透強(qiáng)度之比.因此，在一級(jí)近似下，μs應(yīng)與材料、溫度以及滑動(dòng)速度無(wú)關(guān).因?yàn)閟和p雖然都強(qiáng)烈依賴(lài)于這些參量，但它們之間的差別卻不大.

孔隙中流體的存在導(dǎo)致摩擦的有效應(yīng)力定律.若是兩個(gè)表面受到壓應(yīng)力σn的作用相互接觸，接觸面的總面積為Ar，接觸面的表觀面積為A，在兩個(gè)表面之間沒(méi)有接觸的孔隙內(nèi)流體的壓強(qiáng)為|pf|，那么，與式（93）不同，此情形下的法向荷載為

式中，pAr是在凹凸體接合部上的平均應(yīng)力，p即穿透硬度.由式（94）與式（95）可知，Ar=F/s，從而pAr=pF/s=F/μs. 將式（95）兩邊均除以A，注意到F/A=τ，N/A=σn，這里σn表示有效正應(yīng)力，所以

在大多數(shù)情形下，Ar/A＜＜1，故上式可近似為簡(jiǎn)單的有效應(yīng)力定律[參見(jiàn)式（46）與式（92）]，即

在表示剪切應(yīng)力τ和正應(yīng)力σn的關(guān)系圖中（圖29，假定|pf|=0），表示阿蒙頓斯第二定律的直線稱(chēng)為摩擦滑動(dòng)線（frictional sliding line），摩擦滑動(dòng)線與σn軸的夾角α稱(chēng)為滑動(dòng)摩擦角（angle of sliding friction），α以逆時(shí)針為正.顯然

圖29 在巖石原先已存在斷層上滑動(dòng)的莫爾圓Fig.29 Mohr’s circle for sliding on a rock’s preexisting faults

如果μs=μi，那么在τ-σn圖中，摩擦滑動(dòng)線是位于破壞線下方、與破壞線平行的直線（圖30）.

圖30 在巖石原先已存在斷層上滑動(dòng)的莫爾圓Fig.30 Mohr’s circle for sliding on a rock’s preexisting faults

假定巖石中的應(yīng)力足夠高，以至莫爾圓恰與破壞線相切，切點(diǎn)為F，其輻角為2θf(wàn)，此時(shí)巖石中的應(yīng)力便高到足以發(fā)生新鮮的破裂.在已存在斷層的情形下，莫爾圓與摩擦滑動(dòng)線相交于S1與S2兩點(diǎn)，其輻角分別為2θs1與2θ（s2圖30）.這表明，在已有斷層存在的情況下，巖石可以以多種方式破裂或滑動(dòng)：假設(shè)原先已存在斷層，其斷層面與σ1軸的夾角介于θs1與θs2之間，就有可能在這些斷層面上發(fā)生摩擦滑動(dòng)，而不是在與σ1軸夾角為θf(wàn)的面上產(chǎn)生新的破裂.因?yàn)橄鄳?yīng)于θf(wàn)角的新的破裂在較高的剪切應(yīng)力下才能發(fā)生，所以可能性較大的是沿著原先已存在的斷層發(fā)生滑動(dòng)，而不是產(chǎn)生新的破裂.如果應(yīng)力是逐漸地升高到這一水平，將有可能是沿預(yù)先存在的斷層滑動(dòng)占優(yōu)勢(shì).

綜上所述，由地震波資料得到的震源機(jī)制解可以推斷構(gòu)造應(yīng)力的取向，但這是在假定地震發(fā)生在新產(chǎn)生斷層面的前提下得到的.一旦巖石發(fā)生了破裂，以后再發(fā)生地震就有可能發(fā)生在原先已存在的斷層上.如果原先已存在斷層的斷層面與最大主壓應(yīng)力軸（σ1軸）的夾角介于θs1與θs2之間，在這些斷層上就可能發(fā)生摩擦滑動(dòng)而不是產(chǎn)生新的破裂.這樣，按地震是發(fā)生在新產(chǎn)生的斷層面上的假定來(lái)推斷構(gòu)造應(yīng)力的取向就不準(zhǔn)確了.在一些地區(qū)可以看到，震源機(jī)制解顯示出斷層面的取向隨著山脈或構(gòu)造的走向發(fā)生變化，例如在喜馬拉雅山前、東安底斯山的前陸地區(qū)，由震源機(jī)制解得出的P軸，以及在東非裂谷帶，由震源機(jī)制解得出的T軸，均顯示出其斷層面的取向的確受控于原先已存在的斷層（Stein and Wysession，2003）.但是，一般而言，由一個(gè)地區(qū)的許多斷層面解統(tǒng)計(jì)或綜合分析推出的應(yīng)力軸取向常常比較一致.這是因?yàn)?，在地殼中含有各種取向的、預(yù)先存在的斷層，所以由震源機(jī)制推出的平均應(yīng)力軸的取向沒(méi)有因上述原因而被嚴(yán)重地畸變.

3.3 地殼中的應(yīng)力

由破裂的安德遜理論，可以得到剪切破裂發(fā)生時(shí)的最大主壓應(yīng)力p3，最小主壓應(yīng)力p1與內(nèi)摩擦系數(shù)μi和剪切應(yīng)力強(qiáng)度S之間的關(guān)系（Jaeger，1962；Jaeger and Cook，1979；Turcotte and Schubert，1982，2001；Stein and Wysession，2003）.由式（49）和式（73）可得

將表示cos2θ和sin2θ關(guān)系的式（63）代入式（100），即得以下三個(gè)等價(jià)的表示式.

由拜爾理定律可知，當(dāng)正應(yīng)力|pnn|＜ 200 MPa時(shí)，S=0，μi=0.85，因此，由以上三式中任何一式均可得到

當(dāng)|pnn|＞ 200 MPa時(shí)，S=50 MPa，μi=0.6，所以，從而

地殼中存在許多斷層和節(jié)理.在構(gòu)造應(yīng)力作用下，將沿著這些原先已存在的斷層、節(jié)理或者說(shuō)軟弱地帶發(fā)生摩擦滑動(dòng).通常把地殼中巖石所能承受的水平方向的壓應(yīng)力 (|pH|=-pH)和豎直方向的壓應(yīng)力(|pV|=-pV)之差的最大值稱(chēng)為地殼的強(qiáng)度（strength）（Chinnery，1964），即

當(dāng)斷層沿原先已存在的斷裂面發(fā)生滑動(dòng)時(shí)，可令式（101）中的S=0，μi=μs，從而

在豎直方向的壓應(yīng)力是由靜巖壓和孔隙壓pf引起的，所以

式中，ρ是巖石的密度，ρf是流體的密度，g是重力加速度，h是巖石所處的深度.地殼巖石的平均密度ρ=2 700 kg/m3，重力加速度g=9.8 m/s2，所以地殼巖石的靜巖應(yīng)力梯度（lithostatic stress gradient）ρg=26.5 MPa/km.

（1）逆斷層情形.對(duì)于逆斷層，有

將式（106）與式（107）代入式（102），得

對(duì)于逆斷層，當(dāng)μs=0.85時(shí)，，所以

（2）正斷層情形.對(duì)于正斷層，有

對(duì)于正斷層，當(dāng)μs=0.85時(shí)，

注意到，在這里地殼的強(qiáng)度Δp的定義是以壓應(yīng)力為正［參見(jiàn)式(106)］，由式（112），式（116）或式（113），式（117）諸式，可以清楚地看到：對(duì)于逆斷層情形，Δp是正的，即是壓應(yīng)力；對(duì)于正斷層情形，Δp是負(fù)的，即是張應(yīng)力；在深度h相同時(shí)，逆斷層情形的Δp數(shù)值比正斷層的大（約為4/0.8=5倍）.這說(shuō)明：在同一深度，地殼中的巖石承受壓（性）差應(yīng)力的能力（強(qiáng)度）要比承受張（性）差應(yīng)力的能力（強(qiáng)度）大得多.圖31給出地殼中巖石的強(qiáng)度與最大靜摩擦系數(shù)μs的關(guān)系圖[式（112）和式（116）].圖中，縱坐標(biāo)表示Δp，橫坐標(biāo)表示μs，取ρ=2 700 kg/m3，ρf=1 000 kg/m3，g=10 m/s2，h=5 km.由圖31與（二）圖14可見(jiàn)，當(dāng)μi=μs=0.85時(shí)，對(duì)于逆沖斷層，斷層面的傾角δ=24.8°，Δp=340 MPa；對(duì)于正斷層，斷層面的傾角δ=65.2°，Δp=-68 MPa.

圖31 在逆斷層和正斷層情形下地殼中巖石的強(qiáng)度（偏應(yīng)力）Δp與最大靜摩擦系數(shù)μs的關(guān)系圖中，縱坐標(biāo)表示Δp，橫坐標(biāo)表示μs，h =5 km，孔隙壓pf =-ρfgh，ρf =1 000 kg/m3，ρ =2 700 kg/m3，g =10 m/s2Fig.31 The relationship between the strength (deviatoric stress) Δp and the maximum static friction coefficient μs of rocks in the crust in the case of reverse and normal faults In the figure,the ordinate represents Δp,the abscissa represents μs ,h =5 km,and the porosity pressure pf =-ρf gh，ρf =1 000 kg/m3，ρ =2 700 kg/m3，g =10 m/s2

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