羅慶仙 龍能

【摘要】 羅爾定理是拉格朗日中值定理和柯西中值定理的預(yù)備定理，在實際應(yīng)用和中值定理的證明中有著重要的意義.本文通過對羅爾定理的線上教法的分析，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力、知識遷移能力、數(shù)形結(jié)合的思想以及運(yùn)用知識解決問題的能力.同時，學(xué)生還要掌握構(gòu)造輔助函數(shù)和利用中值證明等式的方法，為后面中值定理的學(xué)習(xí)打下扎實的理論基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】羅爾定理;線上;教法;分析

【基金項目】廣東茂名幼兒師范?？茖W(xué)校2020年度教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題——新版課程標(biāo)準(zhǔn)和教資國考背景下的《小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)》的課程設(shè)計與教材建設(shè)（2020GMYSKT02）

一、引 言

微分中值定理包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理，它們是我們討論怎樣由導(dǎo)數(shù)f′（x）的已知性質(zhì)來推斷函數(shù)f（x）所應(yīng)具有的性質(zhì)的有效工具，也是數(shù)學(xué)分析中的重要內(nèi)容.這部分內(nèi)容理論性比較強(qiáng)，特別是定理的應(yīng)用.因此，它們成為教師的一個教學(xué)難點(diǎn).然而，大專院校的學(xué)生按來源基本上分為以下三大類：一是高考，二是3+證書，三是學(xué)業(yè)水平考試，所以他們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較差、理解能力比較弱、自學(xué)能力也相對比較差，這無疑增加了教學(xué)的難度.在中值定理的教學(xué)過程中，首先要讓學(xué)生充分理解羅爾定理，并掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法，這樣才能夠以羅爾定理為基礎(chǔ)，通過構(gòu)造滿足羅爾定理三個條件的輔助函數(shù)，證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理.

二、溫故知新

在講羅爾定理之前，我們先復(fù)習(xí)極值的概念和費(fèi)馬定理，為接下來證明羅爾定理做鋪墊，同時加深學(xué)生對這些知識點(diǎn)的理解.

（極值的概念） 設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I有定義.若x0∈I，且存在x0的某鄰域U（x0）I，x∈U（x0），有

f（x）≤f（x0）（f（x）≥f（x0）），

則稱x0是函數(shù)f（x）的極大點(diǎn)（極小點(diǎn)），f（x0）是函數(shù)f（x）的極大值（極小值）.

注：

①極大點(diǎn)和極小點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱極值;

②極值點(diǎn)必屬于區(qū)間I的內(nèi)部;

③極值是一個局部概念;

④若函數(shù)f（x）在區(qū)間I內(nèi)部某點(diǎn)x0取最值，則x0必為極值點(diǎn).

（費(fèi)馬定理） 設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間I有定義.若函數(shù)f（x）在x0可導(dǎo)，且x0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，則

f′（x0）=0.

三、定理講解

先簡單介紹羅爾定理的條件和結(jié)論，再詳細(xì)分析每一個條件的幾何意義，得出結(jié)論的幾何意義，接著舉例子分析缺少一個或三個羅爾定理條件，結(jié)論是否仍然成立，最后證明羅爾定理！

1.羅爾定理及其幾何意義.

（羅爾定理） 設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上滿足下列條件：

（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù);

（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo);

（3）f（a）=f（b）.

則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使得f′（c）=0.

羅爾定理的條件及結(jié)論

羅爾定理的幾何意義

（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)

在閉區(qū)間[a，b]上有連續(xù)曲線

（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)

曲線上每一點(diǎn)都存在切線

（3）f（a）=f（b）

曲線兩個端點(diǎn)的高度相等

則在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)c，使f′（c）=0

則至少存在一條水平切線

2.羅爾定理的條件分析

定理中的三個條件都很重要，缺少一個，結(jié)論不一定成立，如下列例子：

（1）如圖2，是函數(shù)f（x）=x，0≤x<1，0，x=1的圖像，

在[0，1]上滿足條件（2）和（3），但是條件（1）不滿足，該函數(shù)在0，1上的導(dǎo)數(shù)恒為1.

圖2 函數(shù)圖像

（2）如圖3，是函數(shù)f（x）=|x|，x∈[-1，1]的圖像，

滿足條件（1）和（3），但是條件（2）卻遭到破壞（f（x）在x=0處不可導(dǎo)），結(jié)論也不成立.

（3）如圖4，是函數(shù)f（x）=x，x∈[0，1]的圖像，

滿足條件（1）和（2），但是條件（3）卻遭到破壞，該函數(shù)在0，1上的導(dǎo)數(shù)恒為1.

（4）又如

f（x）=0，-2≤x≤-1，x2，|x|<1，1，1≤x≤2，

在[-2，2]上不連續(xù)，在（-2，2）內(nèi)不可導(dǎo)，且f（2）≠f（-2），即三個條件都不滿足，但存在一點(diǎn)ξ=0∈（-2，2），使得f′（0）=0.這說明羅爾定理的三個條件是充分條件，而不是必要條件.

3.羅爾定理的證明

思路：引導(dǎo)學(xué)生由函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，可以知道函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上取得最大值M和最小值m.接著提問學(xué)生最大值和最小值有沒有可能相等？引導(dǎo)學(xué)生分為m=M和m≠M(fèi)兩種情況討論，對于m≠M(fèi)的情況，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法引導(dǎo)學(xué)生知道至少有一個最值在區(qū)間內(nèi)取值，然后再提問學(xué)生區(qū)間內(nèi)的最值與極值之間的關(guān)系，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生用費(fèi)馬定理去證明.用費(fèi)馬定理證明時，先把它的條件和結(jié)論寫出來，對照著寫過程.羅爾定理的證明方法是分類討論，然后利用費(fèi)馬定理來證明的，下面我們來證明羅爾定理.

證明 （1）若m=M，則f（x）在[a，b]上必為常數(shù)，它的導(dǎo)數(shù)恒為零，此時可在（a，b）內(nèi)任意取一點(diǎn)c，有f′（c）=0.

（2）若m≠M(fèi)，則由f（a）=f（b）知，最大值與最小值至少有一個不在端點(diǎn)處取得.如果最大值不在端點(diǎn)處取得，那么存在c∈（a，b），使得f（c）=M.因為在區(qū)間內(nèi)部取得的最大值一定是極大值，所以由費(fèi)馬定理得f′（c）=0.

綜上所述，定理得證.

四、應(yīng)用舉例，深入理解定理

用羅爾定理解決方程根的存在性問題，得到了證明方程的根的存在性問題的另一種方法的步驟.要提醒學(xué)生注意討論的是f′（x）=0的根的存在性還是f（x）=0的根的存在性，而且只能夠證明至少有一個根.

利用羅爾定理證明含有“中值點(diǎn)”的等式，總結(jié)出證明此類型等式的一般方法.

例1 已知函數(shù)f（x）=（x-1）（x-2），試判斷方程f′（x）=0有幾個根，并指出根的所在區(qū)間.（用羅爾定理判斷）

分析 依題意可知f（x）=0是二次方程，有兩個不相等的實根，f′（x）=0是一次方程，至多有1個實根.用羅爾定理來證明f′（x）=0有幾個根，即要判斷f（x）滿足羅爾定理的條件，但是題目并沒有給出驗證羅爾定理的區(qū)間，因此需要找出區(qū)間.而3個條件中，f（a）=f（b）是找出區(qū)間[a，b]的突破點(diǎn)，所以令f（x）=0求得區(qū)間是（1，2）.

解 因為f（1）=f（2），且f（x）在[1，2]上連續(xù)，在（1，2）內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理得，至少存在一點(diǎn)c∈（1，2），使得f′（c）=0.又因為f′（x）=0是一次方程，至多有1個實根，故f′（x）=0有1個實根，位于（1，2）內(nèi).

例2 用羅爾定理證明：方程3ax2+2bx-（a+b）=0在（0，1）內(nèi)有實根.

分析 依題意令f′（x）=3ax2+2bx-（a+b），因此我們需要通過導(dǎo)數(shù)公式表來找出f（x）的解析式，然后驗證f（x）在（0，1）內(nèi)滿足羅爾定理.

證明 設(shè)輔助函數(shù)

F（x）=ax3+bx2-（a+b）x，

則F（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且F（0）=F（1）=0，由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)c∈（0，1），使F′（c）=0，又因為F′（x）=3ax2+2bx-（a+b），所以有3ac2+2bc-（a+b）=0，即方程3ax2+2bx-（a+b）=0在（0，1）內(nèi)有實根.

例3 設(shè)f（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（1）=0，求證存在ξ∈（0，1），使

f′（ξ）sin ξ+f（ξ）cos ξ=0.

分析 由題可知，函數(shù)f（x）在[0，1]上滿足羅爾定理的條件（1）和（2），需要證明的結(jié)論是f′（ξ）sin ξ+f（ξ）cos ξ=0，即要證明某個函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的方程等于零.把ξ改為x，由f′（x），f（x），sin x和cos x聯(lián)想到兩個函數(shù)相乘的導(dǎo)數(shù)，從而知道需要構(gòu)造的函數(shù)為F（x）=f（x）sin x.

證明 設(shè)輔助函數(shù)為

F（x）=f（x）sin x，

則F′（x）=f′（x）sin x+f（x）cos x，顯然函數(shù)F（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且F（0）=F（1）=0，由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)ξ∈（0，1），

使得F′（ξ）=f′（ξ）sin ξ+f（ξ）cos ξ=0.

練習(xí)：設(shè)f（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且f（1）=0，證明至少存在一點(diǎn)ξ∈（0，1），使得f′（ξ）=-f（ξ）ξ.

分析 由題可知，函數(shù)f（x）在[0，1]上滿足羅爾定理的條件（1）和（2），需要證明的結(jié)論是f′（ξ）=-f（ξ）ξ.但是等號右邊并不為零，所以需要把式子整理變形，使得等號右邊為零，即f（ξ）+ξf′（ξ）=0，把ξ改為x，由f′（x），f（x），x和1聯(lián)想到兩個函數(shù)相乘的導(dǎo)數(shù)，從而知道需要構(gòu)造的函數(shù)為F（x）=xf（x）.

證明 設(shè)輔助函數(shù)為F（x）=xf（x），則F′（x）=f（x）+xf′（x），顯然函數(shù)F（x）在[0，1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，且F（0）=F（1）=0，由羅爾定理知，至少存在一點(diǎn)ξ∈（0，1），使得

F′（ξ）=f（ξ）+ξf′（ξ），

即f′（ξ）=-f（ξ）ξ.

小結(jié)：

1.羅爾定理的三個條件是充分的，不是必要的，缺少一個條件，結(jié)論不一定成立.

2.羅爾定理的應(yīng)用及步驟.

（1）利用羅爾定理證明方程的根.

（?。┡袆e方程f′（x）=0是否有根.驗證f（x）滿足羅爾定理的條件，在證明過程中要注意區(qū)間的選取，通常是從f（a）=f（b）中尋找區(qū)間（如例1）.

（ⅱ）應(yīng)用羅爾定理討論方程的根.首先要構(gòu)造一個函數(shù)，使得構(gòu)造后的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是結(jié)論中的函數(shù)（如例2）.

（2）利用羅爾定理證明含“中值點(diǎn)”的等式.首先改寫中值等式，將所有項移到一側(cè)，把等號右邊變?yōu)榱悖ㄈ舻忍栍疫厼榱銊t不需要改寫）;其次令表達(dá)式中的中值為變量x，并構(gòu)造輔助函數(shù).最后驗證輔助函數(shù)滿足羅爾定理的條件，得出結(jié)論.證明形如：f′（x）g（x）+f（x）g′（x）=0的結(jié)論，可構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）g（x）.

拓展練習(xí)：

考慮到有部分學(xué)生需要專升本，因此我們在教學(xué)上還需要增加一些拓展的習(xí)題，讓有興趣的學(xué)生自行完成.

1.證明方程x5-5x+1=0有且僅有一個小于1的正實根.

2.證明：函數(shù)

f（x）=（x-1）（x-2）（x-3）

在區(qū)間（1，3）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使f″（ξ）=0.

3.證明：方程x3-3x+c=0在區(qū)間（0，1）內(nèi)沒有兩個不同的實根（提示：用反證法）.

五、總 結(jié)

“羅爾定理”是拉格朗日中值定理和柯西中值定理的預(yù)備定理，也是數(shù)學(xué)分析內(nèi)容中學(xué)習(xí)難度比較大的一部分.因此，在進(jìn)行線上教學(xué)時，教師要認(rèn)真?zhèn)湔n，提高自己的教學(xué)水平，同時對自己的上課方式也要進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，比如：教師在教學(xué)方式上要以連麥提問的教學(xué)形式，鼓勵學(xué)生積極思考，發(fā)揮學(xué)生的主體作用;在課堂上讓學(xué)生把做好的題目寫好拍照發(fā)到釘釘群里，對于重點(diǎn)、難點(diǎn)要板書給學(xué)生講解，做到以講練結(jié)合的方法，調(diào)動學(xué)生的積極性，使課堂氣氛更加活躍;在教學(xué)手段上，教師需采用多元化的教學(xué)手段，將板書、課件相結(jié)合;在教學(xué)模式上，教師應(yīng)采取屏幕和攝像頭切換的線上教學(xué)模式，多讓學(xué)生獨(dú)立思考，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

【參考文獻(xiàn)】

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