李占龍,劉林霞,李 虹,孫 寶,曹俊琴

(1.太原科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024； 2.太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，太原 030024；3.太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原 030024)

大型特種車輛因工況復(fù)雜、工作環(huán)境多變等因素，在行駛過程中必然引起強(qiáng)烈的振動，不僅會對車輛的關(guān)鍵部件造成損傷，更會直接影響駕駛?cè)藛T的舒適性。因此，對車輛振動特性的研究是十分有必要的。在振動信號采集過程中常受其他信號的干擾，最終采集的信號多為復(fù)雜非平穩(wěn)振動信號，給信號處理及振動特性分析增加了難度。因此，如何對非平穩(wěn)振動信號有效分解并提取其有用成分，是亟待深入研究的問題。

針對此類機(jī)械設(shè)備中的非平穩(wěn)振動信號，許多學(xué)者做了大量研究。張俊紅等[1]采用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(Empircical Mode Decomposition，EMD)對柴油機(jī)機(jī)體振動信號進(jìn)行分解，并以分解后分量經(jīng)小波時(shí)頻變換得到的時(shí)頻分析結(jié)果為依據(jù)對柴油機(jī)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，最終整機(jī)振動強(qiáng)度明顯降低。李小珍等[2]利用傳統(tǒng)小波變換研究高速鐵路軌道、橋梁等位置的振動傳遞特性，得出了不同位置振動響應(yīng)與車速間的關(guān)系。賈繼德等[3]將同步壓縮小波變換(SWT)與短時(shí)傅里葉變換(STFT)、連續(xù)小波變換(CWT)等方法作比較，結(jié)果表明，SWT對信號的重構(gòu)效果均優(yōu)于其他方法，最后將其應(yīng)用到發(fā)動機(jī)振動信號分析中，有效揭示了發(fā)動機(jī)磨損信號的變化規(guī)律。

2014年，國外學(xué)者K.Dragomiretskiy等[4]提出了一種新的自適應(yīng)非平穩(wěn)信號處理方法—變分模態(tài)分解(Variational mode decomposition,VMD)，VMD克服了EMD分解存在的模態(tài)混疊等問題，且不涉及類似小波變換中小波基函數(shù)的選擇問題。近年來越來越多的學(xué)者將其應(yīng)用于眾多領(lǐng)域的信號分析中[5-8]。文獻(xiàn)[9-10]將VMD分別應(yīng)用于銑削加工顫振檢測和滾動軸承振動狀態(tài)監(jiān)測中，成功實(shí)現(xiàn)了顫振檢測提取和軸承運(yùn)行狀態(tài)的特征提取。由于在求解信號的瞬時(shí)頻率時(shí)，Teager能量算子不需做復(fù)數(shù)計(jì)算，響應(yīng)快，可快速跟蹤瞬時(shí)變化信號的頻率和幅值，與Hilbert變換相比，對揭示瞬時(shí)頻率的突變情況有很好的效果，且Teager能量算子解調(diào)比Hilbert解調(diào)能力強(qiáng)[11]，許多學(xué)者選擇Teager能量算子對分解后分量進(jìn)行解調(diào)。馬增強(qiáng)、徐波等人將變分模態(tài)分解和Teager能量算子結(jié)合成功應(yīng)用到滾動軸承和重型機(jī)械設(shè)備的故障特征提取中[12-13]。

本研究采用VMD與Teager能量算子解調(diào)結(jié)合對3種典型非平穩(wěn)振動信號進(jìn)行分析，通過VMD對非平穩(wěn)振動信號進(jìn)行分解，并利用Teager能量算子解調(diào)作時(shí)頻分析，以研究該類信號的時(shí)頻特性。

1 理論方法

1.1 變分模態(tài)分解

VMD算法實(shí)質(zhì)是基于經(jīng)典維納濾波、希爾伯特變換和混頻理論，在變分框架中解決復(fù)雜信號分解的變分問題求解過程。通過搜尋約束變分模型最優(yōu)解來實(shí)現(xiàn)信號自適應(yīng)分解，將一個(gè)實(shí)信號f分解為K個(gè)帶寬有限的模態(tài)，并得到每個(gè)模態(tài)的帶寬和對應(yīng)的中心頻率。

VMD將分解得到的每個(gè)模態(tài)(即本征模態(tài)函數(shù)IMF)重新定義為一個(gè)調(diào)幅調(diào)頻信號，表達(dá)式如下：

uk(t)=Ak(t)cos[φk(t)]

(1)

為確定每個(gè)模態(tài)的帶寬，需構(gòu)造變分模型，步驟如下：

1) 對每個(gè)模態(tài)uk(t)進(jìn)行希爾伯特(Hilbert)變換，得到模態(tài)函數(shù)的解析信號：

(2)

2) 對得到的解析信號乘以指數(shù)項(xiàng)e-jωkt，可調(diào)整估計(jì)的中心頻率，將對應(yīng)的頻譜調(diào)制到相應(yīng)的基頻帶：

(3)

3) 對式(2)中的解調(diào)信號先進(jìn)行H1高斯平滑估計(jì)，通過計(jì)算其梯度的平方L2范數(shù)，最終得到估計(jì)的各模態(tài)分量帶寬。約束變分模型表達(dá)式如下：

(4)

式(4)中，{uk}={u1,…,uk}為分解得到的k個(gè)IMF分量；{ωk}={ω1,…,ωk}代表各IMF分量對應(yīng)的中心頻率；f為原始信號。

為求取上述約束變分模型的最優(yōu)解，即各個(gè)模態(tài)函數(shù)，引入二次懲罰因子α和拉格朗日乘法算子λ(t)，構(gòu)造如下形式的Lagrange表達(dá)式：

(5)

(6)

利用在L2范數(shù)下的Parseval/Plancherel傅里葉等距變換法,將式(6)變換到頻域中，其表達(dá)式為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

迭代停止條件為

(12)

其中，判定精度ε>0。

圖1 VMD算法流程框圖

1.2 基于互信息準(zhǔn)則的VMD分解個(gè)數(shù)的確定

利用VMD算法對信號作分解時(shí)，需提前設(shè)定懲罰因子α和模態(tài)分解個(gè)數(shù)K的值。本文中懲罰因子α根據(jù)參考文獻(xiàn)[11]取2 000，分解個(gè)數(shù)K根據(jù)互信息準(zhǔn)則來確定。

互信息(mutual information)可表示兩隨機(jī)變量信息熵的差值，即兩隨機(jī)變量間的相關(guān)程度，其定義如下：

I(M|N)=H(M)-H(M|N)

(13)

式中,M、N為兩個(gè)不同的隨機(jī)變量；H(M)為M的信息熵；H(M|N) 為N對應(yīng)M的條件信息熵。對上述互信息作歸一化處理Ii/max(Ii)，通過比較歸一化后的互信息值與閾值0.02[14]的大小，以確定VMD算法分解個(gè)數(shù)K。

1.3 Teager能量算子解調(diào)

Teager能量算子是一種非線性差分算子，時(shí)間分辨率高，計(jì)算過程簡單快速，可及時(shí)跟蹤信號的波形變化，經(jīng)常用于信號解調(diào)分析中[15]。對實(shí)信號經(jīng)VMD得到的各IMF分量作Teager能量算子解調(diào)，計(jì)算各分量的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值，通過得到的實(shí)信號時(shí)頻分布信息繪制二維時(shí)頻圖來作時(shí)頻分析。

對于連續(xù)時(shí)間信號和離散信號，Teager能量算子的定義分別如下：

(14)

ψ[s(n)]=s2(n)-s(n+1)s(n-1)

(15)

式中，s(n)為原始離散時(shí)間信號。

由式(15)可知，離散時(shí)間信號每一時(shí)刻算子的計(jì)算量小，只需3個(gè)樣本數(shù)據(jù)即可。通過式(16)可求出單分量調(diào)幅調(diào)頻信號的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值[11]：

(16)

1.4 VMD-Teager時(shí)頻分析法

文中采用的VMD-Teager方法流程圖如圖2所示。首先利用VMD方法對原始非平穩(wěn)振動信號進(jìn)行分解，再將分解得到的各IMF分量作Teager能量算子解調(diào)，得到各分量的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值，進(jìn)而作時(shí)頻分析。

2 算例分析

現(xiàn)場采集的機(jī)械設(shè)備振動信號普遍存在強(qiáng)脈沖干擾和背景噪聲，某些旋轉(zhuǎn)機(jī)械結(jié)構(gòu)和往復(fù)做功機(jī)械結(jié)構(gòu)均存在間斷性信號。為研究VMD-Teager方法對典型非平穩(wěn)振動信號的有效性，構(gòu)造了分別含噪聲、間斷和脈沖干擾信號的3組典型非平穩(wěn)振動信號，對比研究了VMD和EMD方法的分解能力，并對各分量作Teager能量算子解調(diào)，對其時(shí)頻分析以進(jìn)一步評價(jià)VMD-Teager方法的有效性。

圖2 VMD-Teager時(shí)頻分析法流程框圖

2.1 含噪聲非平穩(wěn)振動信號分析

振動信號f1(t)(含噪聲)由調(diào)幅信號f11(t)、調(diào)幅調(diào)頻信號f12(t)和隨機(jī)噪聲f13(t)組成，圖3為f1(t)時(shí)域圖。圖4為f1(t)分別經(jīng)EMD和VMD方法分解得到的圖形。

(17)

由圖4(a)可知：EMD將信號分解為8個(gè)分量，IMF1的幅值和周期分別約為0.9和0.2 s，與f12(t)對應(yīng)，IMF2在0.4～0.75 s特征與f11(t)相符，但其他時(shí)間段波形出現(xiàn)缺失，IMF3～I(xiàn)MF5包含正弦信號，但未明顯觀察出其與f1(t)各組分特征相似，對比圖3原始信號失真嚴(yán)重；由圖4(b)可知VMD分解得到3個(gè)分量，IMF1的幅值和周期分別約為0.6和0.2 s，與f11(t)的特征相符，IMF2的幅值和周期分別約為0.9和0.2 s，與f12(t)對應(yīng)，IMF3波形無明顯規(guī)律，與隨機(jī)噪聲信號f13(t)對應(yīng)，可將原始信號f1(t)有效準(zhǔn)確分解。

綜上可知：EMD得到的分量個(gè)數(shù)較多且存在虛假分量，而VMD可將含噪聲非平穩(wěn)振動信號準(zhǔn)確分解，因此，VMD對含噪聲非平穩(wěn)振動信號的分解效果優(yōu)于EMD。下文通過比較VMD與f1(t)的頻譜圖以進(jìn)一步驗(yàn)證VMD的有效性。

表1為信號f1(t)經(jīng)VMD方法分解前后頻率和幅值的對比。由表1可知，信號f1(t)經(jīng)VMD方法分解后頻率成分未發(fā)生變化，各頻率成分幅值變化范圍為0.2%～1.6%，進(jìn)一步說明VMD對含噪聲非平穩(wěn)振動信號具有良好的分解效果。

圖3 非平穩(wěn)振動信號f1(t)及其分量的時(shí)域圖

圖4 信號f1(t)的兩種分解圖

表1 信號f1(t)分解前后頻率幅值對比

2.2 含間斷信號非平穩(wěn)振動信號分析

非平穩(wěn)振動信號f2(t)(含間斷信號)由正弦信號f21(t)、線性調(diào)頻信號f22(t)和間斷信號f23(t)組成，圖5為f2(t)的時(shí)域圖，圖6為f2(t)經(jīng)EMD和VMD方法分解得到的圖形。

(18)

圖5 非平穩(wěn)振動信號f2(t)及其分量的時(shí)域圖

由圖6(a)可知：EMD將信號分解為6個(gè)分量，IMF1幅值與f21(t)相符，但在間斷信號f23(t)存在的時(shí)候出現(xiàn)了信號失真，IMF2、IMF3的特征對應(yīng)間斷信號f23(t)，其余分量特征與f2(t)中各信號不符，為虛假分量，對比圖5原信號失真嚴(yán)重；由圖6(b)可知VMD分解得到3個(gè)分量，其中IMF1與線性調(diào)頻信號f22(t)對應(yīng)，幅值約為0.8，IMF2、IMF3分別對應(yīng)正弦信號f21(t)和間斷信號f23(t)，可將原始信號有效準(zhǔn)確分解。表2為信號f2(t)經(jīng)VMD方法分解前后頻率和幅值的對比。由表2可知，信號f2(t)經(jīng)VMD方法分解前后頻率成分未變，幅值發(fā)生0.2%～1.2%的變化。綜上，VMD方法不受間斷信號的干擾，可將含間斷信號的非平穩(wěn)振動信號f2(t)有效分解。

圖6 信號f2(t)的兩種分解圖

表2 信號f2(t)分解前后頻率幅值對比

2.3 含脈沖信號非平穩(wěn)振動信號分析

振動信號f3(t)(含脈沖干擾信號)由兩個(gè)正弦信號f31(t)、f32(t)和脈沖干擾信號f33(t)組成，其時(shí)域圖如圖7所示。圖8為f3(t)EMD和VMD得到的。

(19)

圖7 非平穩(wěn)振動信號f3(t)及其分量的時(shí)域波形

圖8 信號f3(t)的兩種分解結(jié)果

由圖8(a)可知：EMD將信號分解為6個(gè)分量，IMF1與正弦信號f32(t)特征相符，但I(xiàn)MF1受脈沖信號影響較大，導(dǎo)致其波形失真，EMD的其余分量部分特征與f3(t)中各組分特征相符，但各分量間模態(tài)混疊現(xiàn)象嚴(yán)重，對比圖7原始信號失真嚴(yán)重；由圖8(b)可知：VMD分解得到3個(gè)分量，IMF1與f31(t)特征相符，IMF3與脈沖信號f33(t)對應(yīng)，幅值出現(xiàn)了一定程度的失真。表3為信號f3(t)經(jīng)VMD方法分解前后頻率和幅值的對比。由表3知，f3(t)經(jīng)VMD方法分解前后頻率成分未發(fā)生變化，幅值變化范圍為0～1%，基本可忽略。綜上，VMD方法對含脈沖非平穩(wěn)振動信號的分解效果比EMD方法好，可將此類非平穩(wěn)振動信號中各組分有效分解。

表3 信號f3(t)分解前后頻率幅值對比

同時(shí)，利用EEMD對上述三類信號進(jìn)行了分解，對比結(jié)果顯示，EEMD可抑制EMD的模態(tài)混疊，但依然存在算法效率低、分解個(gè)數(shù)過多和精度不足的弊端，限于篇幅，本文不做贅述。綜上，VMD分解個(gè)數(shù)可進(jìn)行優(yōu)化，對3種典型非平穩(wěn)振動信號的分解效果均較理想，后文將對VMD的分量作Teager能量算子解調(diào)以進(jìn)行時(shí)頻分析。

3 時(shí)頻域分析

對上述3組典型非平穩(wěn)振動信號經(jīng)VMD得到的IMF分量作Teager能量解調(diào)，通過計(jì)算所得的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值繪制二維時(shí)頻圖，最后分析頻率隨時(shí)間變化的規(guī)律以驗(yàn)證VMD-Teager方法的有效性。三組典型非平穩(wěn)振動信號的二維時(shí)頻圖如圖9所示。

從圖9(a)可以看出：f1(t)的3個(gè)分信號的中心頻率56、153、362 Hz被清晰的刻畫出來，其中隨機(jī)噪聲f13(t)對應(yīng)的362 Hz頻率隨時(shí)間變化無明顯規(guī)律，與噪聲信號的特征相符；圖9(b)中100 Hz的間斷信號f23(t)在0.2～0.28 s、0.4～0.48 s、0.6～0.68 s和0.8～0.88 s出現(xiàn)，45 Hz的頻率對應(yīng)正弦信號f21(t)，線性調(diào)頻信號f22(t)也清晰可見；圖9(c)中正弦信號f31(t)、f32(t)分別對應(yīng)的中心頻率10 Hz、60 Hz 及其邊頻帶清晰可辨，同時(shí)在0.25 s、0.45 s、0.65 s、0.85 s處脈沖信號f33(t)也對應(yīng)出現(xiàn)。綜上可知，VMD方法對3種典型非平穩(wěn)振動信號的分解效果顯著，經(jīng)Teager能量算子解調(diào)作時(shí)頻分析可清晰揭示信號的瞬時(shí)頻率和幅值隨時(shí)間變化的規(guī)律。因此，采用VMD-Teager方法對非平穩(wěn)振動信號作時(shí)頻分析效果良好。

圖9 三組非平穩(wěn)振動信號的二維時(shí)頻圖

4 結(jié)論

針對非平穩(wěn)振動時(shí)變信號，提出了基于變分模態(tài)分解(VMD)與Teager能量算子解調(diào)的時(shí)頻分析法，并對比研究了對三類典型振動信號(含噪聲、沖擊和間斷信號)的分解能力，利用Teager算子對分解的IMF分量解調(diào)，獲得包含瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值的時(shí)頻圖。相關(guān)結(jié)論如下：

1) 較EMD方法，基于互信息準(zhǔn)則優(yōu)化的VMD對典型非平穩(wěn)振動信號的分解精確，抗混疊能力強(qiáng)，分解效果理想。

2) 利用Teager算子對VMD分解的IMF分量解調(diào)，獲得包含瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)幅值的時(shí)頻圖，可清晰刻畫出原始信號的中心頻率，有效揭示振動信號的局部時(shí)-頻關(guān)系，包括噪聲、沖擊和間斷干擾信號的規(guī)律特征。

3) 下一步研究將探討VMD-Teager時(shí)頻分析法在復(fù)雜機(jī)械結(jié)構(gòu)振動控制和故障診斷等領(lǐng)域的應(yīng)用。