曹錦波,潘海鵬,張益波

(浙江理工大學(xué) 機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院,杭州 310018)

爬壁機(jī)器人由于其可以在高空作業(yè)的特殊性廣泛應(yīng)用于船舶噴漆除銹、油罐檢測(cè)等行業(yè)[1,2].其中履帶式磁吸附爬壁機(jī)器人作為一種較為常見的爬壁機(jī)器人,是典型的非線性多輸入多輸出系統(tǒng).在壁面爬行過程中履帶機(jī)器人容易受到重力及外部干擾等因素影響,從而導(dǎo)致機(jī)器人實(shí)際位姿與理想位姿的誤差.為了解決這一問題,文獻(xiàn)[3,4]只從機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)出發(fā)設(shè)計(jì)控制PID、反演控制等算法,但這沒有考慮機(jī)器人的動(dòng)力特性,在實(shí)際運(yùn)用中其控制算法具有一定的局限性且對(duì)外部干擾的抑制效果較差.因此,很多學(xué)者結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)進(jìn)行研究,并利用模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、魯棒自適應(yīng)控制等算法進(jìn)行軌跡跟蹤控制[5–8],智能算法能呈現(xiàn)出較好的跟蹤效果并抑制外界干擾,但算法比較復(fù)雜,實(shí)用性與實(shí)時(shí)性不高.

本文參考輪式機(jī)器人的研究及爬壁機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn),受文獻(xiàn)[9]啟發(fā)在研究爬壁機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)上對(duì)控制算法上進(jìn)行改進(jìn).本文將建模誤差與外部干擾作為系統(tǒng)的總體擾動(dòng),通過改進(jìn)型非線性干擾觀測(cè)器[10]對(duì)該擾動(dòng)進(jìn)行觀測(cè)作為前饋控制,使擾動(dòng)誤差以指數(shù)形式收斂,并采用反演控制作為運(yùn)動(dòng)學(xué)控制,采用滑模反演控制作為動(dòng)力學(xué)控制,使動(dòng)力學(xué)控制算法收斂速度快于運(yùn)動(dòng)學(xué)算法收斂速度,避免造成閉環(huán)系統(tǒng)的不穩(wěn)定.最后使用Lyapunov 方法驗(yàn)證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.仿真結(jié)果驗(yàn)證了該算法的有效性.

1 履帶式爬壁機(jī)器人模型

根據(jù)爬壁機(jī)器人的機(jī)械結(jié)構(gòu)及工作環(huán)境特點(diǎn),做出以下假設(shè):

(1)在平直二維壁面內(nèi)工作;

(2)爬壁機(jī)器人為剛體,且質(zhì)量分布均勻,其重心與幾何中心重合;

(3)理想滾動(dòng)條件,爬壁機(jī)器人無滑移,運(yùn)動(dòng)瞬時(shí)方向即機(jī)器人本體坐標(biāo)系X'軸方向.

根據(jù)以上假設(shè),本文研究的履帶式機(jī)器人運(yùn)動(dòng)模型可簡(jiǎn)化為圖1所示.

圖1 爬壁機(jī)器人運(yùn)動(dòng)模型

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

履帶式爬壁機(jī)器人實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)主要有給予兩輪相反速度和給予兩輪方向相同但大小不同速度兩種方法,本文采用第二種方法.(X,Y)為爬壁機(jī)器人在全局坐標(biāo)系XOY下的質(zhì)心坐標(biāo);(X′,Y′)為機(jī)器人本體坐標(biāo)系X'O'Y'中的坐標(biāo);θ為機(jī)器人運(yùn)動(dòng)方向與X軸的夾角,其中 θ 的范圍為[0,2π);(ωL,ωR)為爬壁機(jī)器人的左右輪角速度,即爬壁機(jī)器人的輸入控制量;R為機(jī)器人車輪半徑;L為車身寬度.那么機(jī)器人位姿可用來表示機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程表示為:

其中,vx為機(jī)器人速度在X軸方向的分量,vy為機(jī)器人速度在Y軸方向的分量.

又有:

其中,v為質(zhì)心速度,ω為質(zhì)心角速度.為方便控制,將式(2)代入式(1),狀態(tài)方程簡(jiǎn)化為:

此時(shí)控制量變?yōu)関、ω,機(jī)器人滿足非完整約束條件:

1.2 動(dòng)力學(xué)模型

針對(duì)履帶爬壁機(jī)器人的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行研究,根據(jù)文獻(xiàn)[11,12],假設(shè)兩側(cè)履帶受到的摩擦力相同,將機(jī)器人模型簡(jiǎn)化如圖2所示.那么根據(jù)牛頓力學(xué)對(duì)機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析,當(dāng)無外界干擾時(shí),對(duì)于機(jī)器人本體坐標(biāo)系有:

其中,FR=τR/r,FL=τL/r,τR、τL分別為左右電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩,r為履帶車輪半徑;m為履帶式爬壁機(jī)器人本體質(zhì)量;Ic為機(jī)器人本體對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;Ff x為單側(cè)履帶縱向摩擦力;Ffy為單側(cè)履帶橫向摩擦力;Mf為單側(cè)履帶摩擦阻力矩.

圖2 履帶機(jī)器動(dòng)力學(xué)模型

將動(dòng)力學(xué)方程從本體坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為全局坐標(biāo)系可得:

由以上公式可知,當(dāng)加入未知有界外部干擾時(shí),簡(jiǎn)化的爬壁機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程用標(biāo)準(zhǔn)拉格朗日動(dòng)力學(xué)模型可表示為:

觀察式(7),機(jī)器人的重力和摩擦力矩陣在實(shí)際應(yīng)用中較難測(cè)得,故將其與外界擾動(dòng)視為系統(tǒng)總擾動(dòng).又ST?AT=0故 在式(7)兩邊同時(shí)左乘ST(q)以去掉約束力.同時(shí)對(duì)式(3)求導(dǎo)可得=+,將其也代入式(7),則爬壁機(jī)器人動(dòng)力學(xué)方程等效為:

2 軌跡跟蹤控制器設(shè)計(jì)

由上一部分內(nèi)容可知,本文中將動(dòng)力學(xué)的重力、摩擦力作用及外部干擾視為系統(tǒng)總擾動(dòng),系統(tǒng)建模存在誤差,故采用改進(jìn)型非線性干擾觀測(cè)器對(duì)該部分進(jìn)行前饋補(bǔ)償.

系統(tǒng)控制器(圖3)設(shè)計(jì)首先對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型采用反演控制算法得出爬壁機(jī)器人參考速度和角速度.其次針對(duì)動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)基于改進(jìn)型非線性干擾觀測(cè)器的滑?？刂扑惴?使系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性.

圖3 控制器框圖

2.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器

爬壁機(jī)器人在全局坐標(biāo)系的位姿誤差如圖4所示,則機(jī)器人在本體坐標(biāo)系上的位姿誤差可定義為:

參考文獻(xiàn)[13],得到機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)控制律為:

其中,vd、ωd為爬壁機(jī)器人設(shè)定軌跡的理想速度與角速度,kx、ky、kθ均為正數(shù).此時(shí)定義Lyapunov 函數(shù)為:

其中,e3∈[?π,π],顯然對(duì)于任意界限內(nèi)0,有V1＞0,V1正 定.對(duì)V1求導(dǎo)得:

由于 sin(e3)的存在,存在e3≠0 時(shí)=0,故半負(fù)定,且不恒等于0,時(shí)V1→∞.故根據(jù)Lyapunov 定理可得平衡狀態(tài)是局部漸近穩(wěn)定的.

圖4 爬壁機(jī)器人軌跡跟蹤

2.2 改進(jìn)型非線性干擾觀測(cè)器

對(duì)于外界干擾,普通非線性干擾觀測(cè)器一般將擾動(dòng)d的導(dǎo)數(shù)近似成=0,而實(shí)際環(huán)境中一般不為0,故觀測(cè)效果始終存在誤差.根據(jù)機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,參考文獻(xiàn)[14,15],對(duì)于系統(tǒng)=f(x)+g(x)u+d,設(shè)計(jì)改進(jìn)型非線性干擾觀測(cè)器如下所示:

其中,為實(shí)際干擾d的估計(jì)值;為實(shí)際干擾導(dǎo)數(shù)的估計(jì)值;Li(i=0,1)為觀測(cè)器增益,v為引入的虛擬控制函數(shù).

設(shè)計(jì)控制律[16]:相較于文獻(xiàn)[14,15],該觀測(cè)器對(duì)、、的設(shè)計(jì)進(jìn)行了改進(jìn),對(duì)于在等式右邊增加“?(z0?x)”,修改=z2+L2x為=z2+x從而設(shè)計(jì)的控制律更為簡(jiǎn)單.該觀測(cè)器相較于文獻(xiàn)[14,15]需設(shè)計(jì)的參數(shù)更少,并且采用了飽和函數(shù)替代符號(hào)函數(shù),削弱抖振.

在實(shí)際環(huán)境中影響爬壁機(jī)器人位姿的原因主要為磁吸附力不足,并受重力影響從而造成爬壁機(jī)器人發(fā)生滑移.故干擾主要為磁吸附力及重力,其變化一般緩慢,其n階導(dǎo)滿足條件:

即干擾及其任一階導(dǎo)有界.

定義改進(jìn)型非線性干擾觀測(cè)器的觀測(cè)誤差為:

則,

變換等式得:

令Lyapunov 函數(shù)為:

顯然V2≥0,有且僅當(dāng)、、等于零時(shí),V2=0,V2正定.對(duì)V2求導(dǎo)得:

為滿足Lyapunov 定理,取L0＞0,L1＞0,k1≥D,使得≤0.

2.3 動(dòng)力學(xué)控制器

通過設(shè)置增益將干擾觀測(cè)器觀測(cè)到的干擾轉(zhuǎn)化為相應(yīng)干擾輸入控制量,即:

由上式可知,采用相應(yīng)干擾觀測(cè)器后,系統(tǒng)的干擾減少,根據(jù)轉(zhuǎn)變后的系統(tǒng)設(shè)計(jì)動(dòng)力學(xué)控制器.

其中,β＞0.對(duì)滑動(dòng)面求導(dǎo)得:

將式(21)代入式(23)得:

設(shè)計(jì)的滑?？刂浦饕? 個(gè)部分:等效控制和切換控制,即:

但為了削弱“抖振”現(xiàn)象,引入變速函數(shù)[17]vs(S,ε)=代替符號(hào)函數(shù)sgn(s).

令Lyapunov 函數(shù)為:

則有式(27):

要使系統(tǒng)穩(wěn)定則k2≥0且此時(shí)≤0.

綜上所述,對(duì)于整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng),考慮Lyapunov 函數(shù):根據(jù)Lyapunov定律可知整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的.

3 Matlab 仿真驗(yàn)證

以履帶式機(jī)器人為研究對(duì)象,機(jī)器人參數(shù)為:m=10 kg,I=5 kg·m2,r=0.05 m,L=1 m.

為了驗(yàn)證該控制律的有效性,本文根據(jù)爬壁機(jī)器人一般在壁面上的爬行路徑,設(shè)計(jì)了“S”形路徑,公式如式(28)所示.

該路徑包括勻速直線運(yùn)動(dòng),順時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)及逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng),初始姿態(tài)為假設(shè)外界干擾為d=5sin3(t)+e?t?cos(t),控制參數(shù)設(shè)計(jì)為:kx=0.1,ky=3,kθ=1,L0=1,L1=10,ε1=ε2=1,β=5,?=5,k1=85,k2=50,k3=1.仿真結(jié)果如圖5所示.

由圖5–圖7所示,可以觀察到雖然常規(guī)滑?？刂埔部梢缘玫奖容^好的跟蹤效果,但常規(guī)滑?？刂频恼`差存在抖振,位置誤差為5 cm 左右,姿態(tài)角誤差也在?0.05°～0.05°內(nèi)振蕩.相較而言,加入改進(jìn)型干擾觀測(cè)器后的控制律位姿誤差趨近于0,魯棒性能更優(yōu),抗干擾效果也更好,跟蹤效果如圖8所示.

圖5 X 軸跟蹤誤差

圖6 Y 軸跟蹤誤差

圖7 姿態(tài)角跟蹤誤差

圖8 加入干擾觀測(cè)器軌跡跟蹤效果

而由圖9及圖10可知,改進(jìn)型干擾觀測(cè)器基本可以擬合外界干擾,且與文獻(xiàn)[14]的干擾觀測(cè)器相比誤差的振蕩范圍更小,觀測(cè)效果更佳.

圖9 非線性干擾觀測(cè)器觀測(cè)效果

圖10 非線性干擾觀測(cè)器觀測(cè)誤差

4 結(jié)論

本文為了解決存在建模誤差和擾動(dòng)未知的爬壁機(jī)器人軌跡跟蹤問題設(shè)計(jì)控制器,首先建立了爬壁機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)模型,其次引入干擾觀測(cè)器對(duì)系統(tǒng)建模誤差及外部干擾進(jìn)行觀測(cè),設(shè)計(jì)出一種基于改進(jìn)型干擾觀測(cè)器的反演滑?？刂品椒?Lyapunov 函數(shù)證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性,仿真結(jié)果表明了控制方案的有效性.