鄧子云

(長沙商貿(mào)旅游職業(yè)技術(shù)學(xué)院 經(jīng)濟(jì)貿(mào)易學(xué)院,長沙 410116)

圖像壓縮是計(jì)算機(jī)學(xué)科學(xué)術(shù)界和工程界關(guān)注的熱門研究領(lǐng)域之一[1,2].目前已有很多成熟的壓縮算法,也產(chǎn)生了各種圖像壓縮格式,如JPG、GIF 等[3].還有一些通用的文件壓縮算法,進(jìn)而產(chǎn)生了各種文件壓縮格式,如ZIP、RAR 等[4].奇異值分解方法是線性代數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)科中一種數(shù)據(jù)壓縮方法,可以將大規(guī)模的矩陣在分解為矩陣的乘法表示后,用一定比例的特征數(shù)據(jù)矩陣來表示原來的大規(guī)模矩陣,從而達(dá)到壓縮的目的.奇異值分解方法可以運(yùn)用到圖像壓縮領(lǐng)域,并起到良好的壓縮效果.

已有一些學(xué)者、工程技術(shù)人員將奇異值分解方法運(yùn)用到特定的圖像壓縮應(yīng)用上,如視頻監(jiān)控圖像、遙感圖像等[5,6].還有的研究人員結(jié)合奇異值分解方法和其它的算法來提升圖像的壓縮比[7],絕大多數(shù)研究工作采用的是Matlab 開發(fā)工具[8,9].考慮到圖像壓縮算法多已成熟,本文并不打算提出新的算法,而是深入研究基于奇異值分解的技術(shù)原理,提出2 種運(yùn)用奇異值分解作圖像壓縮的方法,用Python 編程實(shí)現(xiàn)并展開實(shí)驗(yàn),再對JPG、PNG 這2 種通用的圖像格式作出壓縮效果的示例和對比分析.

1 奇異值分解的原理

奇異值分解可以針對任意形態(tài)的矩陣作特征值分解.現(xiàn)實(shí)應(yīng)用場景中的數(shù)據(jù)確實(shí)不太可能都是方陣,而多是行數(shù)、列數(shù)不等的數(shù)據(jù)矩陣,因此,奇異值分解具有廣泛的應(yīng)用價值[10].

奇異值分解的通用形式如式(1)所示[11–13]:

式(1)中的Um×m被稱為左奇異向量組成的標(biāo)準(zhǔn)正交基矩陣,Dm×n被 稱為特征值對角矩陣,被稱為右奇異向量組成的標(biāo)準(zhǔn)正交基矩陣.不論是m＞n,還是m≤n,式(1)都會成立.式(1)可用更為形象的圖形來表述,如圖1(a)和圖1(b)所示[14].

2 用奇異值分解壓縮圖像的原理

根據(jù)式(1),如果將r個特征值從大到小排序,并調(diào)動對應(yīng)的Um×m和中的向量位置,可以得到數(shù)據(jù)矩陣A的奇異值分解排序后的結(jié)果,這個分解結(jié)果即可用于壓縮數(shù)據(jù)矩陣A.

2.1 如何壓縮矩陣數(shù)據(jù)

具體壓縮方法是取前k個特征值,及矩陣Um×m和矩陣中的前k個向量,可得到:

以圖1(a)為例,這種數(shù)據(jù)壓縮的思想示意如圖2所示.

圖1 奇異值分解的圖示

圖2 數(shù)據(jù)壓縮的思想圖示

這種數(shù)據(jù)壓縮的思想體現(xiàn)的就是用數(shù)據(jù)的主要成份來代表整體數(shù)據(jù),從而實(shí)現(xiàn)只要存儲較少的數(shù)據(jù),可見這其實(shí)是一種有損數(shù)據(jù)壓縮,因此需要將數(shù)據(jù)的壓縮控制在可以接受的范圍[15].

2.2 壓縮比的計(jì)算

經(jīng)過如圖2所示的變換后,數(shù)據(jù)矩陣A的近似矩陣的行數(shù)和列數(shù)并沒有變,那又怎么是節(jié)約空間了呢?

這是因?yàn)槠娈愔捣纸夂?不必再存儲數(shù)據(jù)矩陣A,而是存儲矩陣Um×m的前k列、矩陣Dm×n中的前k個特征值,矩陣的前k行,通過式(2)計(jì)算再得到數(shù)據(jù)矩陣A的近似矩陣.這樣,要存儲的數(shù)據(jù)遠(yuǎn)比存儲數(shù)據(jù)矩陣A要使用的存儲空間少得多.

以一個1000×2000 的數(shù)據(jù)矩陣為例,則要存儲2 000 000 個數(shù)據(jù),假定每個數(shù)據(jù)占用的存儲空間數(shù)量相同.假定運(yùn)用奇異值分解共需使用50 個特征值來作數(shù)據(jù)壓縮,存儲矩陣Um×m的前50 列需存儲1000×50=50 000個 數(shù)據(jù),存儲矩陣的前k行需存儲2000×50=100 000個 數(shù)據(jù),則總計(jì)需要存儲50 000+100 000+50=150 050個數(shù)據(jù),這遠(yuǎn)比存儲2 000 000 個數(shù)據(jù)要節(jié)約存儲空間.

衡量這種節(jié)約的程度可用壓縮比來表示,按式(3)所示的公式計(jì)算:

式(3)中,P表示壓縮比,S原表示原始數(shù)據(jù)占用的存儲空間,S壓表示壓縮后的數(shù)據(jù)占用的存儲空間.因此在上述例子中:

2.3 k 取值的2 種方法

k取值應(yīng)為多少合適呢?那得看對數(shù)據(jù)壓縮的目標(biāo)需求了,k越大,數(shù)據(jù)就壓縮得越少,需要的存儲空間也越多,需要找到一個合適的平衡點(diǎn).有2 種方法:

(1)按特征值個數(shù)占比閾值取特征值個數(shù).設(shè)定一個比例閾值f,如果k與特征值總個數(shù)之比的值超過閾值f,則取前k個特征值.

(2)按特征值之和占比閾值取特征值個數(shù).設(shè)定一個比例閾值f,如果前k個特征值之和與所有特征值之和的比的值超過閾值f,則取前k個特征值.

2.4 圖像壓縮的原理

以常用的PNG 和JPG 格式的圖像為例,讀取它們的圖像數(shù)據(jù)可得到一個3 維的數(shù)據(jù)矩陣.第1 維表示的橫向的像素,第2 維表示縱向的像素,第3 維表示圖像的通道,用0～255 范圍的數(shù)據(jù)表示數(shù)據(jù)值.

PNG 和JPG 兩種格式不同的是,PNG 格式圖像的第3 維有4 個通道,分別表示R (Red,紅色)、G (Green,綠色)、B (Blue,藍(lán)色)、A (Alpha,透明度);而JPG 格式圖像只有R、G、B 這3 個通道,沒有A 這個通道[16].這也是JPG 格式圖像比PNG 格式圖像占用空間更小的根本原因.此外,兩種格式對數(shù)據(jù)均有壓縮的算法.這里不討論并忽略兩種格式本身的數(shù)據(jù)壓縮算法.

在分離得到PNG 格式圖像的R、G、B、A 這4 個通道的數(shù)據(jù)矩陣后,可對這4 個2 維數(shù)據(jù)矩陣分別作奇異值分解,再根據(jù)使用的k取值的方法和閾值f,可得到這4 個數(shù)據(jù)矩陣的前k個特征值、Um×k和.JPG 格式圖像則不需要對A 通道的數(shù)據(jù)矩陣作奇異值分解.

要查看壓縮后的PNG 格式圖像,則可將4 個通道的前k個特征值、Um×k和根據(jù)式(2)分別計(jì)算得到近似的數(shù)據(jù)矩陣,組合這4 個2 維數(shù)據(jù)矩陣形成PNG格式圖像的3 維數(shù)據(jù),即可顯示圖像.JPG 格式圖像則計(jì)算并組合R、G、B 這3 個通道的壓縮后數(shù)據(jù)得到圖像的3 維數(shù)據(jù).

3 圖像壓縮應(yīng)用示例

這里以一張?jiān)瓐D的PNG、JPG 2 種格式為例,用k取值的2 種方法來展開圖像壓縮實(shí)驗(yàn).

3.1 圖像原圖

使用的圖像原圖如圖3所示.

圖3 原圖

原圖寬度為4928 像素,高度為3264 像素,用8 位整數(shù)表示各通道的值.則PNG 原圖占用的存儲空間為(不考慮PNG 格式本身的壓縮效果):

4928×3264×4×8=514 719 744 bits ≈61.36 MB

JPG 原圖占用的存儲空間為(不考慮JPG 格式本身的壓縮效果):

4928×3264×3×8=386 039 808 bits ≈46.02 MB

在Python 中,可用代碼1 的源代碼獲取PNG 原圖4個通道數(shù)據(jù)矩陣.

代碼1.獲取PNG 原圖4通道數(shù)據(jù)矩陣import numpy as np from PIL import Image#加載圖像,第1 個參數(shù)為原圖的完整路徑orignImage=Image.open(r'原圖.png','r')imageArray=np.array(orignImage)#得到R 通道數(shù)據(jù)矩陣R=imageArray[:,:,0]#得到G 通道數(shù)據(jù)矩陣G=imageArray[:,:,1]#得到B 通道數(shù)據(jù)矩陣B=imageArray[:,:,2]#得到A 通道數(shù)據(jù)矩陣#原圖為JPG 時應(yīng)注釋此句源代碼A=imageArray[:,:,3]

PIL 為Python 的一個第三方圖像處理類庫,事先應(yīng)在操作系統(tǒng)的命令界面用語句“pip install pillow”來安裝.

3.2 按特征值個數(shù)占比閾值取特征值個數(shù)

在Python 中,用代碼2 即可得到一個數(shù)據(jù)矩陣的奇異值分解結(jié)果.

代碼2.數(shù)據(jù)矩陣奇異值分解import numpy as np#對R 通道數(shù)據(jù)矩陣作奇異值分解U_R,sigma_R,V_T_R=np.linalg.svd(R)#對G 通道數(shù)據(jù)矩陣作奇異值分解U_G,sigma_G,V_T_G=np.linalg.svd(G)#對B 通道數(shù)據(jù)矩陣作奇異值分解U_B,sigma_B,V_T_B=np.linalg.svd(B)#對A 通道數(shù)據(jù)矩陣作奇異值分解#為JPG 原圖時應(yīng)注釋此句源代碼U_A,sigma_A,V_T_A=np.linalg.svd(A)

可以發(fā)現(xiàn),在作奇異值分解后,sigma_R、sigma_G、sigma_B、sigma_A 均為一維數(shù)組,其元素個數(shù)均為3264,則表明均有3264 個特征值.需要注意的是,Python中的0 會表示為一個很小的值,而不會表示為整型的0,因此有的通道數(shù)據(jù)矩陣可能并沒有3264 個特征值,需要編程判斷,可以用特征值與一個很小的值(如0.0001)比較,如果小于這個很小的值,則將特征時判斷為0.結(jié)果發(fā)現(xiàn),sigma_A 的特征值只有1 個.為什么會這樣呢?說明A 通道數(shù)據(jù)是冗余的.

設(shè)計(jì)一個函數(shù),用于生成指定的比例閾值下,用通道的壓縮后數(shù)據(jù)來生成圖像的近似數(shù)據(jù)矩陣,如代碼3 所示.

代碼3.指定比例閾值下的圖像近似數(shù)據(jù)矩陣生成#功能:針對某個通道的數(shù)據(jù)矩陣作奇異值分解得到的U 矩陣、sigma#數(shù)組、V_T 矩陣,根據(jù)percent(百分比)取前若干個特征值來生成#該通道的近似數(shù)據(jù)矩陣#參數(shù):U,對某個通道的數(shù)據(jù)作矩陣奇異值分解后得到的U 矩陣;sigma,#對某個通道的數(shù)據(jù)作矩陣奇異值分解后得到的sigma 數(shù)組;V_T,對#某個通道的數(shù)據(jù)作矩陣奇異值分解后得到的V_T 矩陣;percent,特#征值個數(shù)占比閾值.#返回值:圖像的某個通道的近似數(shù)據(jù)矩陣def genCompressData(U,sigma,V_T,percent):m=U.shape[0]n=V_T.shape[0]reChannel=np.zeros((m,n))for k in range(len(sigma)):#以得到該通道的近似數(shù)據(jù)矩陣#逐個累加reChannel=reChannel+sigma[k]*np.dot(U[:,k].reshape(m,1),V_T[k,:].reshape(1,n))

#如果已經(jīng)超過設(shè)定的比例閾值if (float(k)/len(sigma)>percent):#將數(shù)據(jù)值規(guī)范到0-255 范圍內(nèi)reChannel[reChannel＜0]=0 reChannel[reChannel>255]=255 break#將返回的近似數(shù)據(jù)矩陣的元素數(shù)據(jù)類型規(guī)范#為uint8 return np.rint(reChannel).astype("uint8")

取特征值個數(shù)占比閾值f分別為0.001、0.005、0.01、0.02、0.03、0.04、0.05、0.1.可用代碼4 逐個形成并保存壓縮后再生成的圖像.

代碼4.形成并保存過程for p in [0.001,0.005,0.01,0.02,0.03,0.04,_0.05,0.1]:#生成R 通道近似數(shù)據(jù)矩陣reR=genCompressData(U_R,sigma_R,V_T_R,p)#生成G 通道近似數(shù)據(jù)矩陣reG=genCompressData(U_G,sigma_G,V_T_G,p)#生成B 通道近似數(shù)據(jù)矩陣reB=genCompressData(U_B,sigma_B,V_T_B,p)#生成A 通道近似數(shù)據(jù)矩陣,為JPG 原圖時應(yīng)注釋此句源代碼reA=genCompressData(U_A,sigma_A,V_T_A,p)#生成完整的近似數(shù)據(jù)3 維矩陣,原圖為JPG 時則轉(zhuǎn)而使用下面的#注釋語句reI=np.stack((reR,reG,reB,reA),2)# reI=np.stack((reR,reG,reB),2)reI=np.stack((reR,reG,reB,reA),2)Image.fromarray(reI).save("{}".format(p)+"img.png")

為簡便起見,取比例閾值f值為0.001、0.01、0.05、0.1 時的4 幅壓縮效果圖作出展示,如圖4所示.從圖中可以看出,比例閾值f值為0.001 圖不清楚,為0.01 值時可以大致看出輪廓,為0.05 時圖像基本可辨,為0.1 時圖像與原圖相差無幾,人眼分辨不出是否壓縮過.

對JPG 格式圖像的實(shí)驗(yàn)結(jié)果這里不再重復(fù)羅列分析.在計(jì)算出取不同的比例閾值下的壓縮比后,列出結(jié)果如表1所示.

從表1可以看到,即使是取比例閾值f為0.1,壓縮比都還能達(dá)到5.99,因此,壓縮效果良好.如果對壓縮后的圖像清晰度要求可以降低,則還可以得到更高的壓縮比.

表1中的兩種格式的圖像的壓縮比相同的原因是,不管是3 個通道還是4 個通道,在同一比例閾值下,針對各個通道取特征值的個數(shù)相同,故壓縮比就會相同.

圖4 按特征值個數(shù)占比閾值取特征值個數(shù)時的壓縮效果圖

表1 按特征值個數(shù)占比閾值取特征值個數(shù)時的壓縮比(4 個通道均相同)

3.3 按特征值之和占比閾值取特征值個數(shù)

設(shè)計(jì)一個函數(shù)(代碼5),用于生成指定的比例閾值下,用各通道的壓縮后數(shù)據(jù)來生成圖像的近似數(shù)據(jù)矩陣.

代碼5.圖像近似數(shù)據(jù)矩陣生成#功能:針對某個通道的數(shù)據(jù)矩陣作奇異值分解得到的U 矩陣、sigma#數(shù)組、V_T 矩陣,根據(jù)percent(百分比)取前若干個特征值來生成#圖像的該通道的近似數(shù)據(jù)矩陣;#參數(shù):U,對某個通道的數(shù)據(jù)做矩陣奇異值分解后得到的U 矩陣;#sigma,對某個通道的數(shù)據(jù)作矩陣奇異值分解后得到的sigma 數(shù)組;#V_T,對某個通道的數(shù)據(jù)作矩陣奇異值分解后得到的V_T 矩陣;

#percent,特征值之和占比閾值.#返回值:圖像的該通道的近似數(shù)據(jù)矩陣def genCompressDataFromSum(U,sigma,V_T,percent):m=U.shape[0]n=V_T.shape[0]reChannel=np.zeros((m,n))sum=0.0 #sum 為特征值總和for i in sigma:sum+=i# sumcurrent 為已累加的特征值的和sumcurrent=0.0 for k in range(len(sigma)):#逐個累加,以得到該通道的近似數(shù)據(jù)矩陣reChannel=reChannel+sigma[k]*np.dot(U[:,k].reshape(m,1),V_T[k,:].reshape(1,n))#累加特征值sumcurrent+=sigma[k]#如果已經(jīng)超過設(shè)定的比例閾值if (sumcurrent/sum>percent):#將數(shù)據(jù)值規(guī)范到0-255 范圍內(nèi)reChannel[reChannel＜0]=0 reChannel[reChannel>255]=255 break#將返回的近似數(shù)據(jù)矩陣的元素數(shù)據(jù)類型規(guī)范為uint8 return np.rint(reChannel).astype("uint8")

取特征值之和占比閾值f分別為0.5、0.6、0.7、0.8、0.9,可用代碼6 逐個形成并保存壓縮后再生成的圖像.

代碼6.形成并保存過程for p in[0.3,0.4,0.5,06,0.7,0.8,0.85,0.9]:#生成R 通道近似數(shù)據(jù)矩陣reR=genCompressDataFromSum(U_R,sigma_R,V_T_R,p)#生成G 通道近似數(shù)據(jù)矩陣reG=genCompressDataFromSum(U_G,sigma_G,V_T_G,p)#生成B 通道近似數(shù)據(jù)矩陣reB=genCompressDataFromSum(U_B,sigma_B,V_T_B,p)#生成A 通道近似數(shù)據(jù)矩陣,為原圖JPG 時應(yīng)注釋此句源代碼reA=genCompressDataFromSum(U_A,sigma_A,V_T_A,p)#生成完整的近似數(shù)據(jù)3 維矩陣,原圖為JPG 時則轉(zhuǎn)而使用下面的#注釋語句reI=np.stack((reR,reG,reB,reA),2)# reI=np.stack((reR,reG,reB),2)#保存圖像,參數(shù)為圖像的完整路徑Image.fromarray(reI).save(“{}”.format(p)+“img.png”)

為簡便起見,取比例閾值f值為0.6、0.7、0.8、0.85 時的4 幅壓縮效果圖作出展示,如圖5所示.可以看到,當(dāng)比例閾值f值為0.7 時,已基本可辨;當(dāng)比例閾值f值為0.85 時,圖片已經(jīng)比較清晰.表2還給出了取不同的閾值f值時,對應(yīng)的各個通道的特征值個數(shù),以及針對PNG 格式圖像、針對JPG 格式圖像的存儲空間和壓縮比.

表2中PNG 格式圖像的存儲空間和JPG 格式圖像的存儲空間相同,且A 通道的k值為1 的原因是,PNG格式圖像原圖的A 通道中的值都是等值的255,相當(dāng)于這個通道的數(shù)據(jù)是冗余的,其圖片顯示效果與JPG 格式圖像相當(dāng).

圖5 按特征值之和占比閾值取特征值個數(shù)時的壓縮效果圖

3.4 壓縮比變化趨勢分析

根據(jù)表1和表2,作比例閾值和壓縮比之間的關(guān)系圖,如圖6所示.

從圖6(a)來看,對PNG 格式圖像的壓縮比和對JPG 格式圖像的壓縮比的變化曲線相同.在比例閾值為0.01 時出現(xiàn)曲線拐點(diǎn),這表明在前1%的特征值里,較大值的特征值比較集中;之后曲線變緩,在比例閾值為0.1 以后,曲線已經(jīng)非常平緩,表明增加特征值已很難再改善圖像質(zhì)量.

從圖6(b)來看,對JPG 格式圖像的壓縮比要比對PNG 格式圖像的壓縮比低一點(diǎn).在比例閾值為0.9 后,曲線變得更為平緩,這表明增加特征值已很難再改善圖像質(zhì)量.

表2 按特征值之和占比閾值取特征值個數(shù)時的壓縮比(通道R,G,B,A)

圖6 比例閾值和壓縮比之間的關(guān)系圖

相對來說,按特征值之和占比閾值取特征值個數(shù)的方法更為實(shí)用.因?yàn)槭紫?它考慮的是特征值的重要程度,而不是個數(shù);其次這種方法可以應(yīng)對個別通道數(shù)據(jù)冗余的問題.更為重要的是,這種方法可以用于進(jìn)行大規(guī)模數(shù)量的圖像文件壓縮,因?yàn)檫@種方法可以劃定一個統(tǒng)一的可以接受的特征值之和占比閾值,這個閾值就直接代表著圖像的清晰度.鑒于前述對占比閾值的分析,認(rèn)為這個統(tǒng)一的占比閾值如要基本可辨取0.7,如要比較清晰取0.85.但按特征值個數(shù)占比閾值取特征值個數(shù)的方法不能劃定一個統(tǒng)一的比例閾值,因?yàn)樵谕粋€閾值下,不同的圖像文件的清晰程度可能不同.

3.5 壓縮算法對比分析

現(xiàn)已有很多經(jīng)典的圖像壓縮算法.以經(jīng)典的PNG[5]、JPG[6]圖像格式為對比,仍以本文的圖片作為示例,與本文的壓縮方法在壓縮比上的對比分析如表3所示.由此可見,在對PNG 按特征值之和占比閾值取特征值個數(shù)(f=0.7)時可以取得最高的壓縮比.

表3 對不同圖像格式處理算法的壓縮比對比

鑒于各種算法的原理不同,Python 已經(jīng)提供了成熟的軟件包PIL,直接用保存功能即可將圖片存儲為JPG或PNG 格式,不便計(jì)算時間效率.而本文給出的算法關(guān)鍵之處在于做奇異值分解所耗費(fèi)的時間,仍以本文的圖片作為示例,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4所示.可見,對JPG 做奇異值分解效率明顯較高,但顯然處理一個圖片已超過1 分鐘,效率有待提升.

表4 奇異值分解時間效率

4 結(jié)束語

通過奇異值分解,可以得到3 個分解結(jié)果,即左奇異向量組成的標(biāo)準(zhǔn)正交基矩陣Um×m、特征值對角矩陣Dm×n、右奇異向量組成的標(biāo)準(zhǔn)正交基矩陣.有按特征值個數(shù)占比閾值取特征值個數(shù)和按特征值之和占比閾值取特征值個數(shù)2 種方法來做圖像壓縮,從而得到Dm×n中的前k個特征值、Um×m的前k列、的前k行作為要存儲的數(shù)據(jù)來代表數(shù)據(jù)矩陣.通過對PNG、JPG 兩種格式圖像作壓縮實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),在本實(shí)驗(yàn)個例中,特征值個數(shù)占比閾值取0.1 時,圖片清晰,壓縮比達(dá)到5.99;特征值之和占比閾值取0.85 時,圖片清晰,對PNG 格式圖像的壓縮比達(dá)到7.89,對JPG 格式圖像的壓縮比達(dá)到5.92.認(rèn)為相對來說,按特征值之和占比閾值取特征值個數(shù)的做法更為實(shí)用,可用于大規(guī)模數(shù)量的圖像文件壓縮.

本文研究的局限性在于僅限于奇異值分解本身并應(yīng)用于圖像壓縮領(lǐng)域,沒有將奇異值分解和其它壓縮算法相結(jié)合開展研究.下一步的研究可結(jié)合包括奇異值分解在內(nèi)的多種壓縮算法提出新的組合算法,并作大規(guī)模數(shù)量的圖像文件處理實(shí)驗(yàn)、對比分析,以尋求具有更高壓縮比、能普適應(yīng)用的圖像壓縮方法.