王 濤，容 易，胡久輝，唐 冶，丁 千

(1. 天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072；2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

0 引 言

通過(guò)推進(jìn)系統(tǒng)與箭體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的相互耦合，使液體火箭產(chǎn)生的縱向低頻自激振動(dòng)稱為POGO振動(dòng)[1-3]。POGO振動(dòng)可能發(fā)生在飛行過(guò)程中的任意時(shí)刻，對(duì)運(yùn)載器的安全性和液體火箭發(fā)射可靠性造成嚴(yán)重威脅，對(duì)于載人火箭甚至危及宇航員的生命安全，國(guó)內(nèi)外均展開了大量研究。Rubin[4]提出了液體火箭POGO振動(dòng)的頻域分析法，并成功應(yīng)用此方法分析了大力神Ⅱ運(yùn)載火箭POGO振動(dòng)問(wèn)題。徐得元等[5]利用有理多項(xiàng)式對(duì)POGO振動(dòng)系統(tǒng)中擾動(dòng)力的傳遞函數(shù)逼近，簡(jiǎn)化了文獻(xiàn)[4]所建立的頻域模型。劉濤等[6]基于頻域分析法建立火箭POGO振動(dòng)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。采用矢量擬合法對(duì)傳遞函數(shù)進(jìn)行有理分式擬合，借助極點(diǎn)分布圖確定了蓄壓器能量值對(duì)POGO穩(wěn)定性的影響。文獻(xiàn)[7]應(yīng)用頻域法分析捆綁火箭的POGO穩(wěn)定性，將推進(jìn)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為多個(gè)獨(dú)立的單推進(jìn)劑-單發(fā)動(dòng)機(jī)系統(tǒng)。以上是利用頻域分析方法，研究液體火箭POGO穩(wěn)定性問(wèn)題。而時(shí)域方法也受到了眾多學(xué)者們的關(guān)注，Oppenheim和Rubin[8]從時(shí)域的角度提出了適用于任何液體火箭POGO振動(dòng)系統(tǒng)的建模方法，給出了貯箱、推進(jìn)劑管路系統(tǒng)、泵、蓄壓器和推力室等推進(jìn)單元的建模過(guò)程，通過(guò)組裝單元?jiǎng)恿W(xué)方程，建立液體火箭推進(jìn)系統(tǒng)的擾動(dòng)方程組和結(jié)構(gòu)的縱向振動(dòng)方程組。Zhao等[9]利用Rubin建模方法和Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù)導(dǎo)出單推進(jìn)劑-單發(fā)動(dòng)機(jī)火箭模型的POGO穩(wěn)定條件，發(fā)現(xiàn)推進(jìn)和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度直接影響液體火箭POGO穩(wěn)定性。譚述君等[10-11]討論了臨界耦合強(qiáng)度理論和臨界阻尼比法在POGO穩(wěn)定性分析中適應(yīng)性問(wèn)題，分析結(jié)果表明耦合強(qiáng)度是液體火箭是否發(fā)生POGO振動(dòng)的決定因素。唐冶等[12]基于Rubin法和區(qū)間數(shù)學(xué)理論分析了推進(jìn)系統(tǒng)頻率特性的靈敏度問(wèn)題。Tang等[13]考慮氧化劑和燃料推進(jìn)系統(tǒng)耦合的影響，利用Rubin法建立了液體火箭POGO振動(dòng)系統(tǒng)的等效線性化動(dòng)力學(xué)模型。采用Routh-Hurwitz判據(jù)，分析了推進(jìn)系統(tǒng)參數(shù)對(duì)液體火箭POGO穩(wěn)定性的影響。張青松和張兵[14]利用鍵合圖理論的思想，解決了Rubin模型的奇異性問(wèn)題，提出新的液體火箭POGO穩(wěn)定性分析的狀態(tài)空間模型，通過(guò)仿真證明了該模型的有效性和實(shí)用性。Wang等[15]基于獨(dú)立重量位移描述方法，將Rubin模型中的八種物理單元重新組合，提出了九種獨(dú)立單元，根據(jù)相同節(jié)點(diǎn)的脈動(dòng)壓強(qiáng)相等為連接條件，建立微分方程形式的改進(jìn)Rubin模型，該模型具有維數(shù)低和非奇異的優(yōu)點(diǎn)。王慶偉等[16]利用改進(jìn)的Rubin建模方法和混合坐標(biāo)法建立了火箭姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和POGO振動(dòng)相互耦合的動(dòng)力學(xué)模型，并進(jìn)一步分析了泵增益和蓄壓器能量值對(duì)耦合系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。文獻(xiàn)[17]基于改進(jìn)Rubin方法和模態(tài)分解法對(duì)推進(jìn)系統(tǒng)中的輸送管路動(dòng)力學(xué)模型降維處理，提出了POGO振動(dòng)系統(tǒng)時(shí)域模型的降維方法。

動(dòng)力冗余技術(shù)[18]指運(yùn)載火箭在一臺(tái)或數(shù)臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)出現(xiàn)故障的情況下，自動(dòng)檢測(cè)、判別后發(fā)出指令關(guān)閉此發(fā)動(dòng)機(jī)，實(shí)時(shí)切換或在線重構(gòu)各分系統(tǒng)控制策略，能提高火箭飛行過(guò)程中的推進(jìn)系統(tǒng)可靠性。大部分情況下，應(yīng)用動(dòng)力冗余技術(shù)可避免因發(fā)動(dòng)機(jī)故障引起發(fā)射任務(wù)的失敗。但對(duì)于液體捆綁火箭而言，發(fā)動(dòng)機(jī)故障[19-21]不僅會(huì)造成推力下降還會(huì)引起芯級(jí)和助推貯箱內(nèi)推進(jìn)劑消耗不均、火箭質(zhì)心偏移、浪費(fèi)運(yùn)載能力等后果，這些問(wèn)題的解決依賴于交叉輸送技術(shù)的應(yīng)用。法爾肯9重型的早期方案采用該項(xiàng)技術(shù)保證助推和芯級(jí)推進(jìn)劑按比例平穩(wěn)消耗。航天飛機(jī)V-2通過(guò)應(yīng)用交叉輸送技術(shù)確保助推器分離時(shí)軌道器貯箱仍處于滿箱狀態(tài)，有效提高了運(yùn)載能力[22]。但在國(guó)內(nèi)，具有交叉輸送能力的動(dòng)力冗余火箭尚處于設(shè)計(jì)階段，僅有關(guān)于交叉輸送管路總體參數(shù)和方案設(shè)計(jì)的研究成果[23-24]。

本文針對(duì)推進(jìn)劑的交叉輸送為動(dòng)力冗余液體捆綁火箭POGO穩(wěn)定性分析提出了新的任務(wù)，以獨(dú)立工作、一臺(tái)助推發(fā)動(dòng)機(jī)故障助推貯箱向芯級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)供給推進(jìn)劑和兩助推器同時(shí)向芯級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)供給推進(jìn)劑三種工作模式為研究對(duì)象，利用改進(jìn)Rubin建模方法[15]建立了液體捆綁火箭POGO振動(dòng)系統(tǒng)的分析模型，分析了助推器和芯級(jí)的蓄壓器能量值、泵柔度和泵增益參數(shù)對(duì)不同工作模式下液體捆綁火箭POGO穩(wěn)定性的影響。

1 液體捆綁火箭的POGO振動(dòng)系統(tǒng)

具有交叉輸送功能的動(dòng)力冗余液體捆綁火箭，可通過(guò)控制管路閥門的開閉，使推進(jìn)系統(tǒng)根據(jù)實(shí)際情況在三種不同工作模式之間相互切換：獨(dú)立工作(Mode 1)，一臺(tái)助推發(fā)動(dòng)機(jī)故障助推貯箱向芯級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)供給推進(jìn)劑(Mode 2)、兩助推器同時(shí)向芯級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)供給推進(jìn)劑(Mode 3)。其中Mode 1模式下推進(jìn)系統(tǒng)交叉輸送管路處于關(guān)閉狀態(tài)，每臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)由獨(dú)立的氧路和燃路系統(tǒng)供給推進(jìn)劑。Mode 2模式下發(fā)生故障的助推火箭與芯級(jí)火箭推進(jìn)系統(tǒng)通過(guò)交叉輸送管路相互連通，存在耦合效應(yīng)。Mode 3模式下芯級(jí)貯箱內(nèi)的燃料和氧化劑不再消耗，各臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)所需的推進(jìn)劑由助推貯箱供給。圖1為三種工作模式下動(dòng)力冗余液體捆綁火箭的力學(xué)簡(jiǎn)圖。

圖1 三種工作模式下動(dòng)力冗余液體捆綁火箭Fig.1 The liquid strap-on launch vehicle with redundant propulsion system under three different working modes

基于改進(jìn)Rubin建模方法，本文建立三種工作模式下(Mode 1, Mode 2, Mode 3)具有冗余能力的液體捆綁火箭POGO穩(wěn)定性分析模型。改進(jìn)的Rubin建模方法分為三步：1)通過(guò)有限元技術(shù)建立推進(jìn)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程組；2)建立箭體結(jié)構(gòu)縱向振動(dòng)系統(tǒng)的模態(tài)方程；3)聯(lián)立推進(jìn)系統(tǒng)和箭體結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，建立耦合系統(tǒng)的POGO穩(wěn)定性分析模型。

1.1 推進(jìn)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)改進(jìn)Rubin建模方法中獨(dú)立單元的定義，對(duì)三種工作模式下動(dòng)力冗余液體捆綁火箭推進(jìn)系統(tǒng)進(jìn)行了單元?jiǎng)澐?，并依?jù)以下兩個(gè)劃分原則((1)縱向管路劃分精細(xì)，橫向管路劃分粗糙；(2)忽略不可壓縮管、三通和彎頭的長(zhǎng)度)得到十二種獨(dú)立單元：可壓縮管、單出口貯箱、推力室、波紋管-可壓縮管、可壓縮管-波紋管、三通-可壓縮管(單入口雙出口)、三通-蓄壓器、泵-不可壓縮管、雙出口貯箱、四出口貯箱、三通-可壓縮管(雙入口單出口)和彎頭-可壓縮管。其中八種獨(dú)立單元(可壓縮管、單出口貯箱、推力室、波紋管-可壓縮管、可壓縮管-波紋管、三通-可壓縮管(單入口雙出口)、三通-蓄壓器和泵-不可壓縮管)的動(dòng)力學(xué)模型已由Wang等[15]給出，其余四種獨(dú)立單元的建模過(guò)程如下。

1)雙出口貯箱

雙出口貯箱共有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)(見(jiàn)圖2(a))，t1和t2，這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)均為推進(jìn)劑流出節(jié)點(diǎn)。

圖2 幾種推進(jìn)系統(tǒng)獨(dú)立單元Fig.2 The schematic diagrams of partial independent unit

(1)動(dòng)力學(xué)方程

假設(shè)貯箱內(nèi)的液體凍結(jié)在單元中，應(yīng)用牛頓定律建立其動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

式中：pt1,pt2分別為節(jié)點(diǎn)t1和t2的脈動(dòng)壓強(qiáng);Itt,Rtt為雙出口貯箱的慣性和阻尼;wtta和wtt表示雙出口貯箱內(nèi)推進(jìn)劑的絕對(duì)脈動(dòng)重量位移和相對(duì)脈動(dòng)重量位移，它們之間具有如下關(guān)系[8]

wtta=wtt+ρgAttNtt·rtte

(2)

式中：ρ,g為推進(jìn)劑的密度和標(biāo)準(zhǔn)重力加速度;Att和Ntt分別表示雙出口貯箱出口的面積和方向向量;rtte為雙出口貯箱的位移矢徑。由于貯箱含有兩個(gè)出口，式(2)中的部分變量也可表示為

(3)

式中：wt1,At1,Nt1,wt2,At2和Nt2分別為t1和t2節(jié)點(diǎn)的相對(duì)脈動(dòng)重量位移，截面積和方向向量。將式(2)和式(3)代入式(1)可得

(4)

式中：Htt為雙出口貯箱的水頭矢量，可表示為

Htt=(Nt1+Nt2)Ltt

(5)

式中：Ltt表示貯箱內(nèi)液體的高度。

(2)雙出口貯箱對(duì)結(jié)構(gòu)的作用力

多出口貯箱對(duì)結(jié)構(gòu)的作用力等于每個(gè)出口作用力的疊加。單出口貯箱對(duì)結(jié)構(gòu)的作用力可表示為[8]

(6)

雙出口貯箱對(duì)結(jié)構(gòu)的作用力為

(7)

將式(4)代入式(7)可得

(8)

2)四出口貯箱

四出口貯箱的四個(gè)節(jié)點(diǎn)(見(jiàn)圖2(b)，f1,f2,f3和f4)均為推進(jìn)劑流出節(jié)點(diǎn)。利用與雙出口貯箱相同的建模方法，可以得到四出口貯箱的動(dòng)力學(xué)方程。

(1)動(dòng)力學(xué)方程

(9)

式中：pf 1,wf 1,pf 2,wf 2,pf 3,wf 3,pf 4和wf 4分別為節(jié)點(diǎn)f1,f2,f3和f4的脈動(dòng)壓強(qiáng)和重量位移;Ift,Rft,Hft和rfte為四出口貯箱的慣性、阻尼、水頭矢量和位移矢徑。

(2)四出口貯箱對(duì)結(jié)構(gòu)的作用力

(10)

式中：Af 1,Nf 1,Af 2,Nf 2,Af 3,Nf 3,Af 4和Nf 4分別表示節(jié)點(diǎn)f1,f2,f3和f4的截面積和方向向量。

3)三通-可壓縮管(雙入口單出口)

雙入口單出口共有三個(gè)節(jié)點(diǎn)和一個(gè)連接點(diǎn)(見(jiàn)圖2(c))，d1,d2,d3和d4，其中d1和d2為推進(jìn)劑流入節(jié)點(diǎn)，d3為流出節(jié)點(diǎn)，而d4為組合單元的連接點(diǎn)。

雙入口單出口的三通-可壓縮管與單入口雙出口的三通-可壓縮管具有完全相同的結(jié)構(gòu)，僅d2節(jié)點(diǎn)的推進(jìn)劑流動(dòng)方向發(fā)生變化。因此只需令

(11)

單入口雙出口的三通-可壓縮管動(dòng)力學(xué)方程[15]就可變?yōu)殡p入口單出口的三通-可壓縮管動(dòng)力學(xué)方程。

眾所周知，經(jīng)費(fèi)是開展一切工作的前提和基礎(chǔ)，然而經(jīng)過(guò)調(diào)查，我國(guó)當(dāng)前基層農(nóng)機(jī)推廣中存在嚴(yán)重缺乏經(jīng)費(fèi)的現(xiàn)象，從根本上限制基層農(nóng)機(jī)推廣服務(wù)體系，直接對(duì)推廣工作的效果產(chǎn)生不良影響。由于經(jīng)費(fèi)不足難以對(duì)農(nóng)機(jī)技術(shù)進(jìn)行全面演示及推廣，導(dǎo)致農(nóng)民無(wú)法認(rèn)識(shí)到其作用，極大地降低農(nóng)民的購(gòu)置積極性。除此之外，經(jīng)費(fèi)的匱乏還對(duì)員工的培訓(xùn)和農(nóng)機(jī)試驗(yàn)等工作產(chǎn)生一定的阻礙，在一定程度上嚴(yán)重制約了基層農(nóng)機(jī)推廣服務(wù)工作的發(fā)展。

(1)動(dòng)力學(xué)方程

(12)

(13)

式中：pd1,wd1,pd2,wd2,pd3,wd3分別為節(jié)點(diǎn)d1,d2和d3的脈動(dòng)壓強(qiáng)和重量位移，Itdc,Rtdc,Ktdc和rtde為可壓縮管部分的慣性、阻尼、剛度和矢徑;Htdc1,Htdc3則表示可壓縮管部分入口端到中點(diǎn)處和中點(diǎn)處到出口端的水頭矢量。

(2)三通-可壓縮管對(duì)結(jié)構(gòu)的作用力

KtdcAtdc1(Ntdc1-Ntdc3)(wd1+wd2-wd3)+

(14)

4)彎頭-可壓縮管

彎頭-可壓縮管共有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)j1和j2與一個(gè)連接點(diǎn)j3(見(jiàn)圖2(d))。其中j1為推進(jìn)劑流入節(jié)點(diǎn)，j2為流出節(jié)點(diǎn)。

彎頭的動(dòng)力學(xué)方程可表示為[25]

(15)

式中：pj1,wj1,Aj1,Nj1,pj3,wj3,Aj3,Nj3分別為彎頭節(jié)點(diǎn)j1和j3的脈動(dòng)壓強(qiáng)、重量位移、截面積和方向向量，rjde表示彎頭-可壓縮管的矢徑。

可壓縮管的動(dòng)力學(xué)方程為[8]

(16)

(17)

KjdcAjdc1(Njdc1-Njdc2)wj3+KjdcAjdc1(Njdc2-

(18)

將式(15)～(18)聯(lián)立可得，彎頭-可壓縮管的動(dòng)力學(xué)方程。

(1)動(dòng)力學(xué)方程

(19)

Kjdcρg(Aj3Njdc1-Aj1Nj1)·rjde

(20)

(2)彎頭-可壓縮管對(duì)結(jié)構(gòu)的作用力

考慮到彎頭對(duì)結(jié)構(gòu)的作用力很小，建模過(guò)程中僅考慮可壓縮管部分對(duì)結(jié)構(gòu)的影響，所以彎頭-可壓縮管對(duì)結(jié)構(gòu)的作用力形式上與式(18)完全相同。

單元?jiǎng)澐趾?，?duì)單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，并以相同節(jié)點(diǎn)處脈動(dòng)壓強(qiáng)相等作為連接條件，聯(lián)立相鄰單元的動(dòng)力學(xué)方程。將聯(lián)立后的方程按照節(jié)點(diǎn)編號(hào)的順序?qū)ψ兞窟M(jìn)行排序，并將其表示為矩陣形式，便得到不同工作模式下推進(jìn)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程組[15]

(21)

(22)

(23)

式中：Mp,Cp和Kp分別為推進(jìn)系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；S表示推力室脈動(dòng)壓強(qiáng)對(duì)推進(jìn)劑脈動(dòng)重量位移的影響；w是節(jié)點(diǎn)脈動(dòng)重量位移組成的狀態(tài)矩陣，維數(shù)等于節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)；ptc是推力室脈動(dòng)壓強(qiáng)組成的狀態(tài)矩陣，包含兩部分：氧化劑產(chǎn)生的脈動(dòng)壓強(qiáng)ptco和燃料產(chǎn)生的脈動(dòng)壓強(qiáng)ptcf，其維數(shù)等于兩倍的推力室個(gè)數(shù)；fps表示結(jié)構(gòu)系統(tǒng)對(duì)推進(jìn)系統(tǒng)作用的力矩陣；L為燃燒遲滯所產(chǎn)生的系數(shù)矩陣，而E表示脈動(dòng)重量位移對(duì)脈動(dòng)推力的影響；Xps表示結(jié)構(gòu)系統(tǒng)單元與推進(jìn)系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)的映射關(guān)系，V0,V1和V2是組裝過(guò)程中形成的系數(shù)矩陣，Ф表示為火箭結(jié)構(gòu)系統(tǒng)振型矩陣；q是結(jié)構(gòu)廣義坐標(biāo)組成的狀態(tài)矩陣，維數(shù)等于選取模態(tài)的個(gè)數(shù)。

1.2 結(jié)構(gòu)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程為[15]

(24)

式中：Ms,Cs和Ks分別為火箭結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的模態(tài)質(zhì)量矩陣、模態(tài)阻尼矩陣和模態(tài)剛度矩陣;fsp表示推進(jìn)系統(tǒng)對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)作用的力矩陣

(25)

式中：Xf表示推進(jìn)系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)單元的映射關(guān)系;Q0,Q1,Q2,Qp和U為推進(jìn)系統(tǒng)作用力組裝后形成的系數(shù)矩陣;rp是推進(jìn)系統(tǒng)單元的位移矢徑組成的矩陣。

1.3 POGO穩(wěn)定性分析模型

聯(lián)立式(21)～(25)，可以得到動(dòng)力冗余液體捆綁火箭POGO振動(dòng)的狀態(tài)方程[15]，即

(26)

式中：

式中：Ew,Eq和Epc表示維數(shù)等于節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)、選取模態(tài)數(shù)和兩倍推力室個(gè)數(shù)的單位矩陣。

2 算例分析

為研究蓄壓器能量值、泵增益和泵柔度對(duì)POGO穩(wěn)定性的影響，定義如下特征阻尼比

ζc=min(ζi(t))

(27)

其中，ζi(t)表示POGO振動(dòng)系統(tǒng)在t時(shí)刻的第i階阻尼比。當(dāng)ζc>0，意味著POGO振動(dòng)系統(tǒng)在任意時(shí)刻的各階阻尼比均大于零，不會(huì)發(fā)生POGO振動(dòng)。但當(dāng)ζc<0時(shí)，表明POGO振動(dòng)系統(tǒng)在某時(shí)刻的某階阻尼比小于零，此時(shí)系統(tǒng)會(huì)發(fā)生POGO振動(dòng)。ζc越大，最小阻尼比越大，POGO振動(dòng)系統(tǒng)越不容易發(fā)生POGO振動(dòng)。

2.1 蓄壓器能量值對(duì)POGO穩(wěn)定性的影響

蓄壓器剛度為[8]

(28)

式中：P0V0為蓄壓器能量值，其余變量的定義與文獻(xiàn)[8]相同，這里不再累述。

通過(guò)增大P0V0可降低蓄壓器剛度，減小推進(jìn)系統(tǒng)頻率。當(dāng)推進(jìn)系統(tǒng)頻率遠(yuǎn)離結(jié)構(gòu)系統(tǒng)頻率時(shí)，POGO振動(dòng)不易發(fā)生。圖3給出芯級(jí)和助推蓄壓器P0V0的放大倍數(shù)βca和βba在設(shè)計(jì)值的0.2～5倍時(shí)，ζc的變化規(guī)律。

圖3 蓄壓器能量值對(duì)三種工作模式下液體捆綁火箭POGO穩(wěn)定性的影響Fig.3 The effect of accumulator energy on POGO stability of liquid strap-on launch vehicle for three different working modes

圖3(a)顯示在Mode 1下，增大βca和βba可提高ζc，但當(dāng)βca>0.8,βba>1.4時(shí)，ζc將穩(wěn)定在2.5×10-5附近。這表明當(dāng)推進(jìn)系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)頻率相差較大時(shí)，P0V0的變化對(duì)POGO穩(wěn)定性影響較小。此外，芯級(jí)蓄壓器P0V0對(duì)POGO穩(wěn)定性的影響要弱于助推蓄壓器。這是因?yàn)橹瀑A箱和發(fā)動(dòng)機(jī)的低階模態(tài)增益系數(shù)大于芯級(jí)貯箱和發(fā)動(dòng)機(jī)的增益系數(shù)[26]，使得助推管路系統(tǒng)的流量脈動(dòng)更容易造成POGO振動(dòng)。Mode 2下ζc隨βca和βba的變化規(guī)律與Mode 1的結(jié)果基本相同(見(jiàn)圖3(b))，但最小的ζc為-2.1×10-4,大于Mode 1的-1.3×10-3，這得益于一臺(tái)助推發(fā)動(dòng)機(jī)的故障。由圖3(c)可知，Mode 3模式下增大βba或降低βca可提高ζc，但當(dāng)βca>1.2,βba>1.4時(shí)，ζc將穩(wěn)定在3.4×10-5附近。此外，Mode 3下POGO穩(wěn)定性對(duì)助推蓄壓器P0V0的敏感程度強(qiáng)過(guò)芯級(jí)蓄壓器。通過(guò)對(duì)比圖3(a)～圖3(c)發(fā)現(xiàn)，Mode 3下ζc隨βca和βba的最大變化量為2.2×10-4和6.0×10-4，大于Mode 2的1.5×10-4和1.7×10-4，小于Mode 1的3.2×10-4和1.4×10-3。因此，蓄壓器P0V0對(duì)Mode 1下的POGO穩(wěn)定性的影響最大，Mode 2下的影響最小。這主要是由于交叉輸送管路聯(lián)通使Mode 2和Mode 3下推進(jìn)系統(tǒng)頻率分布更為分散，變化更為復(fù)雜。

2.2 泵增益對(duì)POGO系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

泵增益m+1的提高會(huì)增強(qiáng)推進(jìn)系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度，對(duì)POGO穩(wěn)定性造成不利影響[9]。圖4分析泵增益放大倍數(shù)βpg在設(shè)計(jì)值的1～3倍時(shí)，ζc的變化規(guī)律。

圖4 泵增益對(duì)三種工作模式下液體捆綁火箭POGO系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響Fig.4 The effect of pump gain on POGO stability of liquid strap-on launch vehicle for three different working modes

由圖4(a)可知，Mode 1下芯級(jí)氧化劑泵、芯級(jí)燃料泵、助推氧化劑泵和助推燃料泵的βpg的增大均會(huì)降低ζc，這與文獻(xiàn)[10]中的結(jié)論是一致的。此外，助推氧化劑泵的βpg由1增加至3，ζc減少2.0×10-4，大于助推燃料泵的3.3×10-5，芯級(jí)氧化劑泵的1.1×10-5，芯級(jí)燃料泵的8.0×10-15，這表明氧化劑泵的m+1對(duì)POGO穩(wěn)定性的影響強(qiáng)于燃料泵，助推泵強(qiáng)于芯級(jí)泵，這種現(xiàn)象在Mode 2和Mode 3下也存在。燃路系統(tǒng)的阻尼和頻率一般高于氧路系統(tǒng)，而且氧路系統(tǒng)的頻率更接近結(jié)構(gòu)低階頻率，這會(huì)造成氧泵的變化對(duì)POGO穩(wěn)定性的影響更明顯。文獻(xiàn)[10]指出耦合強(qiáng)度與m+1和模態(tài)增益系數(shù)的乘積呈正相關(guān)，因此具有較大模態(tài)增益系數(shù)的助推泵的影響強(qiáng)過(guò)芯級(jí)泵。通過(guò)對(duì)比圖4(a)～圖4(c)發(fā)現(xiàn)Mode 1下助推氧化劑泵的βpg由1變化至3，ζc減少2.0×10-4，大于Mode 2的4.9×10-5，略小于Mode 3的2.4×10-4。這表明Mode 1和Mode 3下助推氧化劑泵的m+1對(duì)POGO穩(wěn)定性的影響比Mode 2更加靈敏，這是由于Mode 2下一臺(tái)助推發(fā)動(dòng)機(jī)的停機(jī)會(huì)減弱耦合強(qiáng)度，使得助推氧泵的m+1的影響變小。

2.3 泵柔度對(duì)POGO系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響

泵柔度Cpu的增大會(huì)降低推進(jìn)系統(tǒng)頻率，進(jìn)而影響POGO穩(wěn)定性。圖5分析泵柔度放大倍數(shù)βpc在設(shè)計(jì)值的0.5～1.5倍時(shí)，ζc的變化規(guī)律。

圖5 泵柔度對(duì)三種工作模式下液體捆綁火箭POGO系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響Fig.5 The effect of pump flexibility on POGO stability of liquid strap-on launch vehicle for three different working modes

圖5顯示三種工作模式下芯級(jí)氧化劑泵的βpc由0.5增加至1.5，ζc幾乎不改變，這意味著芯級(jí)氧化劑泵Cpu對(duì)POGO穩(wěn)定性的影響較小，這是由于較小的芯級(jí)模態(tài)增益系數(shù)減弱了芯級(jí)氧化劑泵對(duì)POGO穩(wěn)定性的敏感程度。助推氧化劑泵的βpc由0.5變化至1.5，Mode 1和Mode 3下ζc增加2.1×10-5和1.9×10-5，Mode 2減少5.1×10-6，這表明Mode 1和Mode 3下助推氧化劑泵Cpu的影響大于Mode 2。氧化劑泵Cpu和蓄壓器P0V0都是通過(guò)改變氧路系統(tǒng)頻率，影響POGO穩(wěn)定性，因此ζc隨氧化劑泵Cpu的變化規(guī)律與蓄壓器P0V0的影響是基本一致的。助推燃料泵的βpc的增大會(huì)降低ζc，其中Mode 2下降低3.3×10-5，大于Mode 1和Mode 3的2.7×10-6和8.0×10-7，也就是說(shuō)助推燃料泵Cpu的影響在Mode 2下最大，這是因?yàn)槿悸废到y(tǒng)的頻率較高，通常比結(jié)構(gòu)的低階頻率高，當(dāng)燃路系統(tǒng)頻率下降時(shí)可能會(huì)接近結(jié)構(gòu)頻率，誘發(fā)POGO振動(dòng)。同時(shí)不同工作模式下推進(jìn)系統(tǒng)頻率分布規(guī)律相差較大，這影響特征阻尼比對(duì)助推燃料泵Cpu的靈敏度。

3 結(jié) 論

本文利用改進(jìn)的Rubin建模方法，建立了獨(dú)立工作、一臺(tái)助推發(fā)動(dòng)機(jī)故障助推貯箱向芯級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)供給推進(jìn)劑和兩助推器同時(shí)向芯級(jí)發(fā)動(dòng)機(jī)供給推進(jìn)劑三種工作模式下，液體捆綁火箭POGO穩(wěn)定性分析模型。利用QR分解法求解該分析模型，研究POGO穩(wěn)定性，得到如下結(jié)論：

1) Mode 1和Mode 3下，POGO穩(wěn)定性對(duì)助推蓄壓器能量值的敏感程度強(qiáng)過(guò)芯級(jí)蓄壓器。Mode 1下蓄壓器能量值對(duì)POGO穩(wěn)定性的影響最強(qiáng)，而Mode 2下蓄壓器能量值的影響最弱。

2) 三種工作模式下，泵增益的提高均會(huì)減弱POGO穩(wěn)定性，其中氧化劑泵的影響強(qiáng)于燃料泵，助推泵的影響強(qiáng)于芯級(jí)泵。Mode 1和Mode 3下泵增益對(duì)POGO穩(wěn)定性的影響比Mode 2更加靈敏。

3) 三種工作模式下，芯級(jí)氧化劑泵柔度對(duì)POGO穩(wěn)定性的影響較小。Mode 1和Mode 3下助推氧化劑泵柔度的影響大于Mode 2。助推燃料泵柔度的增大會(huì)降低燃路系統(tǒng)頻率，可能誘發(fā)POGO振動(dòng)，其中Mode 2下的影響最大。