丁雪楓, 鐘俊慧

(上海大學(xué)管理學(xué)院, 上海 200444)

由于現(xiàn)實(shí)決策問題的復(fù)雜性以及存在的諸多不確定性因素, 難以用精確的數(shù)值對(duì)其進(jìn)行描述.因此, 很多學(xué)者引入模糊不確定語言描述不確定信息.1965 年, Zadeh[1]提出了模糊集的概念.隨后, Atanassov 等[2]考慮了隸屬度和非隸屬度, 提出了直覺模糊集.2014 年,Yager[3]擴(kuò)大了隸屬度和非隸屬度的空間范圍, 提出了勾股模糊集.但這些模糊集只能粗略表示隸屬度與非隸屬度某一特定的模糊概念[4].Liu 等[5]于2017 年提出了基于不確定語言變量和Pythagorean 模糊集的勾股模糊不確定語言變量, 從定性評(píng)價(jià)與定量分析相結(jié)合的角度對(duì)不確定性和模糊性進(jìn)行描述, 解決了有些定量數(shù)字不能完全表達(dá)決策者評(píng)價(jià)意見的問題.2018 年, 杜玉琴等[6]提出了勾股三角模糊語言集, 擴(kuò)展了隸屬度與非隸屬度滿足的約束條件, 使得決策過程更加靈活.但是, 綜合評(píng)價(jià)的研究對(duì)象存在一定模糊性, 勾股三角模糊語言集通過點(diǎn)值表達(dá)隸屬度和非隸屬度, 使得表達(dá)決策者評(píng)價(jià)信息時(shí)存在一定局限性.與點(diǎn)值相比, 區(qū)間不確定信息的數(shù)據(jù)形式被認(rèn)為可以更加精確地表達(dá)決策者的偏好[7], 描繪數(shù)量差異情況更為直接與合理, 更符合綜合評(píng)價(jià)的實(shí)際情況.為了進(jìn)一步提升表達(dá)決策者偏好的精確程度, 更大限度地保留原始信息的完整, 本工作結(jié)合區(qū)間不確定語言值[8]和勾股三角模糊語言集的優(yōu)勢(shì)定義了一種新的模糊集——區(qū)間值勾股三角模糊語言集(interval-valued pythagorean triangular fuzzy linguistic set, IVPTrFLS), 并研究了區(qū)間值勾股三角模糊語言變量(IVPTrFL variable, IVPTrFLV)的基本理論, 包括運(yùn)算法則、Score 函數(shù)、Accuracy 函數(shù)、距離公式等; 并針對(duì)IVPTrFLV的語言集成問題, 進(jìn)一步提出區(qū)間值勾股三角模糊語言優(yōu)先加權(quán)(IVPTrFL prioritized weighted arithmetic averaging, IVPTrFLPWAA)算子.

基于區(qū)間的綜合評(píng)價(jià)(combinative distance-based assessment, CODAS) 方法是由Ghorabaee 等[9]提出的一種用于求解多準(zhǔn)則決策的方法.該方法基于負(fù)理想解決方案, 通過Euclidean 距離和Taxicab 距離的組合, 衡量備選方案的總體績(jī)效并對(duì)各方案進(jìn)行排序.目前, CODAS 方法被用于求解細(xì)分市場(chǎng)評(píng)估[10]、航空航天材料選擇[11]等問題.傳統(tǒng)的CODAS方法適用于解決方案評(píng)價(jià)值為具體數(shù)值的多準(zhǔn)則決策問題, 但是在實(shí)際的復(fù)雜決策環(huán)境中,考慮到時(shí)間和成本等因素, 決策者往往很難給出各方案在所有準(zhǔn)則下的具體評(píng)估數(shù)值.一方面考慮到CODAS 方法在求解多屬性決策問題中只需考慮負(fù)理想解決方案的簡(jiǎn)便性, 另一方面為幫助決策者做出更符合現(xiàn)實(shí)的決策, 提升決策結(jié)果的準(zhǔn)確性, 本工作提出了一種基于IVPTrFLS 的改進(jìn)CODAS 方法求解多準(zhǔn)則決策問題, 并通過實(shí)例計(jì)算驗(yàn)證了該方法的有效性和穩(wěn)定性.

1 區(qū)間值勾股三角模糊語言集

1.1 基本定義

假設(shè)S={si|i=0,1,··· ,g ?1}是由一組有限且有序的元素組成, 其中g(shù)為奇數(shù),si表示一個(gè)語言值, 則si(i=0,1,··· ,g ?1)稱為一個(gè)語言變量[12].

定義1假設(shè)X為一給定的非空實(shí)數(shù)集,分別表示隸屬度的下限與上限,表示非隸屬度的下限與上限,表示x對(duì)于的猶豫度, 其中的下限與上限, 則IVPTrFLS為

對(duì)于任一x ∈X, 都有

(x)越小, 表示關(guān)于x的信息越多, 評(píng)估越精確; 反之亦然.為了簡(jiǎn)便, 稱

為一個(gè)IVPTrFLV.

定義2設(shè)=為任意2 個(gè)IVPTr-FLV,λ≥0, 則IVPTrFLV 的運(yùn)算法則如下.

設(shè)和是任意2 個(gè)IVPTrFLV, 其運(yùn)算性質(zhì)如下:

(3)

(4)

限于篇幅, 運(yùn)算性質(zhì)(1)～(7)的證明過程略.

定義3假設(shè)為一個(gè)IVPTrFLV,表示的Score 函數(shù),表示的Accuracy 函數(shù), 則S(︵p),A(︵p)的計(jì)算公式如下:

定義4設(shè)為任意2 個(gè)IVPTr-FLV, 則間的Hamming 距離、Euclidean 距離和Taxicab 距離分別為

令

則有

則有

1.2 IVPTrFLV 集成算子

1.2.1 PA 算子

定義5[13]假設(shè)實(shí)數(shù)集合(p1,p2,··· , pn)之間具有優(yōu)先級(jí), 其中p1?p2?··· ?pn(“?”表示“優(yōu)于”),pi為第i個(gè)準(zhǔn)則下的評(píng)價(jià)值, 且滿足pi ∈[0,1].若有

Ti=則稱PA函數(shù)為優(yōu)先加權(quán)(prioritized averaging, PA)算子.

1.2.2 IVPTrFLPWAA 算子

定義6設(shè)若

Ti=的Score 值, 則稱I函數(shù)為IVPTr-FLPWAA 算子.

定理1假設(shè)|i=1,2,··· ,n}是一個(gè)IVPTrFLS, 則IVPTrFLPWAA 算子仍然是一個(gè)IVPTrFLV, 且滿足

式中:的Score 函數(shù)值.

證明 (1) 當(dāng)n=2 時(shí), 根據(jù)IVPTrFLVs 的運(yùn)算法則與性質(zhì)可得

所以, 當(dāng)n=2 時(shí)式(8)成立.

(2) 當(dāng)n=k時(shí), 假設(shè)公式(8)成立, 則有

(3) 當(dāng)n=k+1 時(shí), 有

所以, 當(dāng)n=k+1 時(shí), 式(9)成立.

綜上可知, 對(duì)于任意的n, 式(9)均成立.又因?yàn)?/p>

且

所以, 有

因此, IVPTrFLWAA 也是一個(gè)IVPTrFLV, 故定理1 成立.證畢.

定理2假設(shè)|i=1,2,··· ,n}是一個(gè)IVPTrFLS, 則IVPTrFLPWAA 算子具有以下性質(zhì).

(2) 有界性.假設(shè)

則有

證明 (1) 由定義6 和IVPTrFLV 的運(yùn)算性質(zhì)(4)可得

(2) 由于

則有:

根據(jù)定義3 可得

于是, 由定義3 和I算子的冪等性可得

因此,同理可得,

2 IVPTrFL-CODAS 方法

2.1 問題描述

對(duì)于多準(zhǔn)則決策問題, 假設(shè)備選方案集合為A={A1,A2,··· ,Am}, 準(zhǔn)則集合為C={C1,C2,··· ,Cn},wj(j=1,2,··· ,n)為第j個(gè)準(zhǔn)則的權(quán)重, 滿足w1+w2+···+wn=1, 決策者集合為D={D1,D2,··· ,Dt}.專家Dk(k=1,2,··· ,t)對(duì)方案Ai(i=1,2,··· ,m)在準(zhǔn)則Cj(j= 1,2,··· ,n)下采用IVPTrFLV 進(jìn)行評(píng)價(jià), 得到IVPTrFL 評(píng)價(jià)矩陣其中表示標(biāo)準(zhǔn)化群決策矩陣,︵R為加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化群決策矩陣,ns=[nsj]1×n表示第j個(gè)準(zhǔn)則下的負(fù)理想解決方案,Ra=[hik]n×n表示相對(duì)評(píng)價(jià)矩陣,Hi表示第i個(gè)方案的評(píng)價(jià)值.決策目標(biāo)為在所有備選方案中選出最優(yōu)方案.

2.2 決策方法

CODAS 方法是一種通過Euclidean 距離和Taxicab 距離衡量評(píng)估方案總體績(jī)效的排序方法[9], 其基本思想為: 在2 個(gè)無差異空間l2和l1中計(jì)算方案與負(fù)理想方案之間的Euclidean距離和Taxicab 距離[1], 如果方案在無差異空間l2中無法進(jìn)行比較, 則在無差異空間l1中計(jì)算Taxicab 距離, 并通過2 種距離的組合形式對(duì)方案進(jìn)行排序.若與負(fù)理想方案之間的距離越大, 則表示方案越好.與現(xiàn)有方法相比, CODAS 法在評(píng)估過程中只基于負(fù)理想方案, 無需考慮正理想方案[10].這里, 提出了一種基于IVPTrFLV 的改進(jìn)CODAS 法——IVPTrFL-CODAS方法, 具體過程如下.

式中:

階段2 計(jì)算準(zhǔn)則權(quán)重重要性系數(shù):

式中:w?=max{w1,w2,··· ,wn}為參照權(quán)重;為準(zhǔn)則j的權(quán)重重要性系數(shù).

階段3 采用CODAS 方法確定最優(yōu)方案.

步驟2 確定負(fù)理想方案ns=[nsj]1×n, 其中

步驟3 計(jì)算與nsj之間的Euclidean 距離Ei和Taxicab 距離Ti.

令

則有

令

則有

步驟4 構(gòu)建相對(duì)評(píng)價(jià)決策矩陣Ra=[hik]n×n, 其中

式中:

τ為閥值參數(shù), 通常取值為0.01～0.05[9].如果2 個(gè)備選方案之間的Euclidean 距離差異小于τ,則需要通過Taxicab 距離比較2 個(gè)方案[9].經(jīng)過驗(yàn)證, 當(dāng)τ= 0.02 時(shí), 計(jì)算結(jié)果與原始數(shù)據(jù)最接近[10].

步驟5 計(jì)算每個(gè)方案的評(píng)價(jià)值Hi:

步驟6 根據(jù)Hi值的大小, 對(duì)方案按降序進(jìn)行排序, 排在首位的方案為最優(yōu)方案.

3 算例分析

3.1 算例描述

某公司計(jì)劃投資軟件項(xiàng)目, 現(xiàn)有4 個(gè)可供選擇的投資方案, 即A={A1,A2,A3,A4}.該公司針對(duì)投資方案的選擇, 考慮準(zhǔn)則C={C1,C2,C3}, 其中C1為技術(shù)可行性,C2經(jīng)濟(jì)可行性,C3為操作可行性.準(zhǔn)則權(quán)重向量為w= (0.390,0.260,0.350).這里, 邀請(qǐng)3 位專家D={D1,D2,D3}采用IVPTrFLV 對(duì)4 個(gè)投資方案在考慮3 個(gè)準(zhǔn)則的情況下進(jìn)行評(píng)價(jià).專家采用的語言集為S={S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}, 其中Si(i= 0,1,··· ,6)分別表示: 非常不好,一般不好, 不好, 中等, 比較好, 好, 非常好.受篇幅所限, 這里只給出專家D1的IVPTrFL 評(píng)價(jià)矩陣(見表1).

表1 專家D1 的IVPTrFL 評(píng)價(jià)矩陣Table 1 The IVPTrFL evaluating matrices of expert D1

3.2 決策過程

階段1 建立標(biāo)準(zhǔn)化IVPTrFL 群評(píng)價(jià)決策矩陣.

步驟1 利用式(10)計(jì)算各專家IVPTrFL 評(píng)價(jià)矩陣的Score 值, 專家D1的結(jié)果見表2.

表2 專家D1 評(píng)價(jià)矩陣的Score 值Table 2 The Score values of expert D′1s evaluating matrices

步驟2 利用式(11)建立IVPTrFL 群評(píng)價(jià)決策矩陣, 結(jié)果見表3.

表3 IVPTrFL 群評(píng)價(jià)決策矩陣Table 3 The group IVPTrFL evaluating decision matrices

步驟3 利用式(12), 計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)化IVPTrFL 群評(píng)價(jià)決策矩陣.由于本算例中3 個(gè)指標(biāo)均為效益型指標(biāo), 因此標(biāo)準(zhǔn)化后的群評(píng)價(jià)決策矩陣與IVPTrFL 群評(píng)價(jià)決策矩陣一致.

階段2 利用式(13), 計(jì)算準(zhǔn)則權(quán)重重要性系數(shù), 得到=(1.000,0.667,0.897).

階段3 采用CODAS 方法確定最優(yōu)方案.

步驟1 利用式(14), 計(jì)算加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化IVPTrFL 群評(píng)價(jià)決策矩陣, 結(jié)果見表4.

表4 加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化IVPTrFL 群評(píng)價(jià)決策矩陣Table 4 The weighted normal group IVPTrFL evaluating decision matrices

步驟2 利用式(15) 確定準(zhǔn)則j下的負(fù)理想方案, 可得ns1=([1.392,2.392,3.392],[0.674,0.879], [0.500,0.700]),ns2=([0.014,0.681,1.347], [0.509,0.706], [0.543,0.711]),ns3=([0.931,1.828,2.726], [0.292,0.484], [0.128,0.341]).

步驟3 利用式(16)～(17)計(jì)算方案i在準(zhǔn)則j下的加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)化評(píng)估值與負(fù)理想值之間的Euclidean 距離和Taxicab 距離, 可得E1= 1.110,E2= 0.864,E3= 1.767,E4= 2.554;T1=0.650,T2=0.653,T3=1.915,T4=2.695.

步驟4 利用式(18)和(19), 構(gòu)建相對(duì)評(píng)價(jià)決策矩陣, 可得

步驟5 利用式(20)計(jì)算每個(gè)方案的評(píng)價(jià)值Hi, 可得H1=?1.857,H2=?2.840,H3=3.330,H4=9.056.

步驟6 根據(jù)Hi的值對(duì)各方案進(jìn)行降序排序, 結(jié)果為A4?A3?A1?A2.可見,A4為最優(yōu)投資方案.

3.3 結(jié)果分析

本工作通過靈敏度分析及與現(xiàn)有方法的結(jié)果對(duì)比分析, 對(duì)所提出的IVPFTrFL-CODAS法的穩(wěn)定性與有效性進(jìn)行驗(yàn)證.

3.3.1 穩(wěn)定性

為了考察所提出方法的穩(wěn)定性, 選擇不同的τ值對(duì)決策結(jié)果的影響情況進(jìn)行研究, 結(jié)果見表5.

表5 不同參數(shù)τ 的投資方案排序結(jié)果Table 5 Ranking results of investment schemes with different τ values

由表5 可見, 不同的τ值下采用IVPFTrFL-CODAS 法求得的投資方案的排序結(jié)果均為A4?A3?A1?A2, 排序結(jié)果沒有受決策者設(shè)置的閥值影響, 說明IVPTrFL-CODAS 方法具有良好的穩(wěn)定性.

3.3.2 有效性

將IVPTrFL-CODAS 方法與PFUL-TODIM[14]法、PFL-TOPSIS[15]法進(jìn)行對(duì)比, 不同方法的排序結(jié)果見表6.由表6 可知, IVPTrFL-CODAS 法與PFUL-TODIM 法(1.9 ≤θ≤4)、PFUL-TODIM 法(1.2 ≤θ≤1.8)和PFL-TOPSIS 法得到最優(yōu)方案一致, 均為方案A4, 驗(yàn)證了本方法的有效性.PFUL-TODIM(1.0 ≤θ≤1.1)法得到的最優(yōu)方案與其他方案不同, 說明該方法的決策結(jié)果會(huì)受到參數(shù)θ的影響, 不同參數(shù)取值范圍下進(jìn)行靈敏度分析所得的最優(yōu)方案沒有保持一致.

表6 與現(xiàn)有方法對(duì)比的投資方案排序結(jié)果Table 6 Ranking results of investment schemes compared with other existing methods

4 結(jié)束語

為提升決策者評(píng)價(jià)信息準(zhǔn)確度, 本工作提出了一種IVPTrFLS, 通過定義IVPTrFLV 研究了相關(guān)的基本理論, 并在此基礎(chǔ)上提出了基于IVPTrFLVs 的改進(jìn)CODAS 法用于求解多準(zhǔn)則決策問題.通過對(duì)實(shí)際項(xiàng)目投資決策問題的計(jì)算及對(duì)比分析, 驗(yàn)證了所提出方法的有效性和穩(wěn)定性.由于實(shí)際決策中較難精確地對(duì)決策問題涉及到的準(zhǔn)則及其相對(duì)重要程度進(jìn)行確定, 使得獲取準(zhǔn)則的權(quán)重具有一定難度, 因此提出的IVPTrFL-CODAS 法是在考慮準(zhǔn)則權(quán)重已知的情形下進(jìn)行的.接下來的研究, 將會(huì)考慮準(zhǔn)則權(quán)重在未知情況下的多準(zhǔn)則決策問題的求解.